Cours 4ème Lois continues

Lois continues
H. Abderrahim L. P. Gabès Page 1
1 Densité de probabilité
On appelle densité de probabilité toute fonction définie sur un intervalle I, continue, positive et dont
l’intégrale sur I est égale à 1. (On considèrera que I = [a, b] ou I = [a , +∞[)
2 Aléa numérique associé à une densité
Soit f une densité de probabilité, une variable aléatoire continue X est associée à la densité f si :
pour tout réel x : p( X ≤ x ) =
x
a
f(t).dt
∫
3 Théorème
Si f une densité de probabilité et X est une variable aléatoire continue associée à la densité f
alors pour : c, d ∈ I, on a : p( c ≤ X ≤ d ) =
d
c
f(t).dt
∫
4 Fonction de répartition
Soit X une variable aléatoire continue associée à la densité f, la fonction de répartition F de X est la
fonction définie sur IR par : F(x) = p( X ≤ x ) =
x
x
lim f(t).dt
→−∞ −∞
∫
Propriétés
 F’ = f
 F est continue (puisqu’elle est dérivable)
x
lim F(x) 0
→−∞
=
x
lim F(x) 1
→+ ∞
=
5 L’espérance, La variance et L’écart type d’une loi continue
Soit X une variable aléatoire continue associée à la densité f,
 l’espérance mathématique de X est le réel noté: E(X), défini par : E(X) =
I
t.f(t).dt
∫
 la variance de X est le réel noté V(X), défini par V(X) = E(X²) – [E(X)]² =
(
)
2
2
I I
t .f(t).dt t.f(t).dt
−
∫ ∫
 la variance de X est le réel noté : σ (X), défini par : σ (X) =
V(X)
Loi uniforme
1 Définition
une variable aléatoire continue X suit une loi de probabilité uniforme sur un intervalle [a, b] si sa densité de
probabilité f est définie par : f(x) =
1
b a
−
si x∈[a, b]
f(x) = 0 si x ∉[a, b]

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Quelques commentaires :
(1) La loi uniforme continue étant une loi de probabilité, l’aire hachurée en rouge sur la figure ci-dessus vaut 1. Ceci
implique que la valeur prise par f(x) vaut
1
b a
−
.
(2) La probabilité que X ∈ [a’,b’] avec a’ < b’ et a’,b’ ∈ [a ,b] vaut :
(3) La fonction de répartition associée à la loi uniforme continue est telle que :
F (x) = 0 si x < a
F (x) = 1 si x > b
F (x) =
x a
b a
−
−
si a ≤ x ≤ b
2 Espérance et variance
L’espérance de la loi uniforme continue vaut :
a b
E(X)
2
+
=
En effet par définition
cours analyse (Intégrale)
or et par définition de la loi uniforme continue
d’où

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La variance de la loi uniforme continue vaut :
2
(b a)
V(X) 12
−
=
En effet par définition
même simplification que pour l’espérance
or et
d’où
Loi exponentielle
1 Définition
une variable aléatoire continue X suit une loi de probabilité exponentielle( appelée aussi durée de vie
sans vieillissement) de paramètre λ > 0 si sa densité de probabilité f est définie IR
+
et pour tout x∈ IR+
on a : f(x) =
x
e
−λ
λ
2 Propriétés
 La fonction f est définie, continue, positive sur [0 ; + ∞[.
x
x0
lim f(t).dt 1
→ + ∞
=
∫
3 Fonction de répartition
Si T est une variable aléatoire représentant une durée de vie et suivant une loi exponentielle, alors sa
fonction de répartition est donnée par :
x
x
0
F(x) p(X x) f(t).dt 1 e
λ
= ≤ = = −
∫
4 Espérance
Le calcul de l'espérance donne E(X) =
1
λ
, ce qui correspond à la durée moyenne de vie.
5 Variance

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Le calcul de la variance donne V(X) =
2
1
λ
Remarque
Les variables aléatoires décrivant une durée de vie sans usure suivent toutes une loi exponentielle. L'étude
qui précède nous montre que la loi d'un phénomène de nature totalement aléatoire peut être modélisée
par une fonction exponentielle.
Résumé
Loi uniforme Loi exponentielle
Fonction
de densité
f(x) =
1
b a
−
si x∈[a, b]
f(x) = 0 si x ∉[a, b]
f(x) =
x
e
−λ
λ si x ∈ IR
+
f(x) = 0 si x ∈ IR
-
Fonction
de
répartitio
n
F
(
x
) = 0 si
x
<
a
F (x) = 1 si x > b
F (x) =
x a
b a
−
−
si a ≤ x ≤ b
x
0
F(x) p(X x) f(t).dt 1 e
= ≤ = = −
∫
Espérance
a b
E(X)
2
+
= E(X) =
1
λ
Probabilit
é de
certains
événemen
ts
P(c ≤ X ≤d )=
d c
b a
−
−
=
d
c
d t
b a
−
∫
(
)
(
)
p c , d 1 p c , d
= −
(
)
(
)
p c , d 1 p c , d
= −
P(c ≤ X ≤d )=
d
t
c
e .dt
−λ
λ
∫
=
c d
e e
−λ −λ
−
P(X≥ c) =
c
e
−λ
= 1 – p([0, c]
Variance
2
(b a)
V(X) 12
−
=
V(X) =
2
1
λ

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Ecart- ype
X
V(X)
σ =
(b a) 3
6
−
=
X
V(X)
σ = =
1
λ