Lois continues 1 Densité de probabilité On appelle densité de probabilité toute fonction définie sur un intervalle I, continue, positive et dont l’intégrale sur I est égale à 1. (On considèrera que I = [a, b] ou I = [a , +∞[) 2 Aléa numérique associé à une densité Soit f une densité de probabilité, une variable aléatoire continue X est associée à la densité f si : x pour tout réel x : p( X ≤ x ) = ∫ f(t).dt a 3 Théorème Si f une densité de probabilité et X est une variable aléatoire continue associée à la densité f d alors pour : c, d ∈ I, on a : p( c ≤ X ≤ d ) = ∫ f(t).dt c 4 Fonction de répartition Soit X une variable aléatoire continue associée à la densité f, la fonction de répartition F de X est la x fonction définie sur IR par : F(x) = p( X ≤ x ) = lim x → −∞ ∫ f(t).dt −∞ Propriétés F’ = f F est continue (puisqu’elle est dérivable) lim F(x) = 0 lim F(x) = 1 x→+ ∞ x → −∞ 5 L’espérance, La variance et L’écart type d’une loi continue Soit X une variable aléatoire continue associée à la densité f, l’espérance mathématique de X est le réel noté: E(X), défini par : E(X) = ∫ t.f(t).dt I la variance de X est le réel noté V(X), défini par V(X) = E(X²) – [E(X)]² = ∫ I t2.f(t).dt − (∫ I ) 2 t.f(t).dt la variance de X est le réel noté : σ(X), défini par : σ(X) = V(X) Loi uniforme 1 Définition une variable aléatoire continue X suit une loi de probabilité uniforme sur un intervalle [a, b] si sa densité de probabilité f est définie par : f(x) = f(x) = H. Abderrahim 1 b − a 0 si x∈[a, b] si x ∉[a, b] L. P. Gabès Page 1 Lois continues Quelques commentaires : (1) La loi uniforme continue étant une loi de probabilité, l’aire hachurée en rouge sur la figure ci-dessus vaut 1. Ceci implique que la valeur prise par f(x) vaut 1 . b − a (2) La probabilité que X ∈ [a’,b’] avec a’ < b’ et a’,b’ ∈ [a ,b] vaut : (3) La fonction de répartition associée à la loi uniforme continue est telle que : F (x) = 0 si x < a F (x) = 1 si x > b F (x) = x − a b − a si a ≤ x ≤ b 2 Espérance et variance L’espérance de la loi uniforme continue vaut : E(X) = a+b 2 En effet par définition cours analyse (Intégrale) or et par définition de la loi uniforme continue d’où H. Abderrahim L. P. Gabès Page 2 Lois continues (b − a)2 La variance de la loi uniforme continue vaut : V(X) = 12 En effet par définition même simplification que pour l’espérance or et d’où Loi exponentielle 1 Définition une variable aléatoire continue X suit une loi de probabilité exponentielle( appelée aussi durée de vie sans vieillissement) de paramètre λ > 0 si sa densité de probabilité f est définie IR+ et pour tout x∈ IR+ on a : f(x) = λe−λx 2 Propriétés La fonction f est définie, continue, positive sur [0 ; + ∞[. x lim x→ + ∞ ∫ f(t).dt =1 0 3 Fonction de répartition Si T est une variable aléatoire représentant une durée de vie et suivant une loi exponentielle, alors sa x fonction de répartition est donnée par : F(x) = p(X ≤ x) = ∫ f(t).dt = 1 − eλx 0 4 Espérance Le calcul de l'espérance donne E(X) = 1 , ce qui correspond à la durée moyenne de vie. λ 5 Variance H. Abderrahim L. P. Gabès Page 3 Lois continues Le calcul de la variance donne V(X) = 1 λ2 Remarque Les variables aléatoires décrivant une durée de vie sans usure suivent toutes une loi exponentielle. L'étude qui précède nous montre que la loi d'un phénomène de nature totalement aléatoire peut être modélisée par une fonction exponentielle. Résumé Loi uniforme f(x) = Fonction de densité Fonction de répartitio n Espérance 1 b − a si x∈[a, b] 0 si x ∉[a, b] f(x) = F (x) = 0 si x < a F (x) = 1 si x > b F (x) = x − a b − a Variance H. Abderrahim f(x) = λe−λx si x ∈ IR+ f(x) = 0 si x ∈ IR- x F(x) = p(X ≤ x) = E(X) = a+b 2 d− c = b − a d dt ∫c b − a ( ) p ( c , d ) = 1 − p ( c , d ) p c , d = 1 − p ( c , d ) V(X) = ∫ f(t).dt =1− e 0 si a ≤ x ≤ b P(c ≤ X ≤d )= Probabilit é de certains événemen ts Loi exponentielle (b − a)2 12 L. P. Gabès E(X) = 1 λ d P(c ≤ X ≤d )= λe−λt .dt = ∫ c e −λc − e−λd P(X≥ c) = e−λc = 1 – p([0, c] V(X) = 1 λ2 Page 4 Lois continues Ecart- ype H. Abderrahim σX = V(X) = (b − a) 3 6 L. P. Gabès σX = V(X) = 1 λ Page 5