TD 5

Mathématiques L3 MIAGE
TD 5
1 Dérivées et intégrales
Exercice 1 : Calcul de dérivées
x53x+ 12x2−9x34(3 −x)2(3 −x)(6 −2x2)7
x
1
3+2x2
ex(4 −2x)ex2−7−3x+x3
(2 −x)2
2 + e3x
(1 −x)2ex2ln x x ln(3x2+ 4)
Exercice 2 : Calcul d’intégrales
Z4
0
dxZ−1+e/2
0
2
1+2xdxZ2
−2
3x+ 12x2−9x3dxZ−2
−∞
−3
x2dx
Z+∞
0
e−3xdxZ1/3
0
3
(1 + 3x)2dxZ1
−1
(2x+ 45)exdxZ4
0
3x2e3xdx
2 Variables aléatoires continues
Exercice 3 : Exemple graphique
On considère la fonction fdont la représentation graphique est dessinée en-dessous.
x
f(x)
a
0 1 2 3
a. Exprimer f(x)en fonction de x.
b. Que doit valoir la valeur apour que cette fonction soit
une densité ? On suppose désormais que f(x)est la
fonction de densité d’une variable aléatoire continue.
c. Calculer les probabilités P(X < 1),P(X < 2) et
P(0.5< X < 1.5).
d. Que vaut E[X], Var(X)et σ(x). On note désormais F(x)la fonction de répartition de la
variable aléatoire X.
e. Exprimer F(x)en fonction de x.
f. Représenter graphiquement la fonction F.
g. Retrouver les résultats de la question c.
Exercice 4 : Nombres réels
On veut modéliser le choix d’un nombre réel dans [0; 1] par une loi (non uniforme) ayant pour
densité la fonction fdéfinie sur [0; 1] par f(x) = λx où λest un réel fixé.
a. Justifier que ceci n’est possible qu’avec un seul réel λque l’on déterminera.
b. Quelle est la probabilité de tirer un nombre réel compris entre 0,3et 0,5avec cette loi.
c. Calculer l’espérance de cette loi.

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Exercice 5 : Depuis la fonction de répartition
Soit Xune variable aléatoire dont la fonction de réparition vérifie
F(x)=0si x≤1, F (x) = ln xsi 1< x ≤e, et F(x)=1si e < x.
a. Exprimer f(x)en fonction de x.
b. Calculer l’espérance et la variance de X.
c. Calculer P(0 < X < 2).
Exercice 6 : Densité quadratique
On considère une variable aléatoire Xde densité f(x) = cx2si 0≤x≤3et 0 sinon.
a. Evaluer la constante cpour que fsoit une densité de probabilité. Donner l’allure de f.
b. Déterminer la fonction de répartition Fde X. Donner son allure.
c. Calculer P(1 < X < 2).
d. Déterminer l’espérance et la variance de X.
e. Pour tout n∈N∗, déterminer le moment d’ordre nde X (E[Xn]).
Exercice 7 : Densités parabolique et circulaire
Soit Xune variable aléatoire de densité f(x) = c(1 −x2)1−1<x<1.
a. Déterminer cpour que fsoit bien une densité de probabilité.
b. Quelle est la fonction de répartition de X?
c. Calculer E[X]et Var(X).
d. Mêmes questions avec la densité f(x) = c√1−x21−1<x<1.
Indication : on pourra penser au changement de variable x=cos t.
Exercice 8 : En deux parties
Un phénomène est décrit par une variable aléatoire continue dont la densité de probabilité est
f(x) = (x
ksi 0≤x < 10,
20−x
ksi 10 ≤x < 20.
a. Déterminer la valeur de la constante kpour que fsoit une densité de probabilité.
b. Tracer cette densité de probabilité.
c. Donner l’expression de sa fonction de répartition F.
d. Déterminer la probabilité que Xprenne une valeur dans l’intervalle [5; 15].
e. Calculer F(10). Que représente cette probabilité ?
Exercice 9 : Think Tank
Dans une station-service, la demande hebdomadaire en essence, en milliers de litres, est une
variable aléatoire Xde densité f(x) = c(1 −x)410<x<1. Ce modèle suppose en particulier que
la demande ne dépasse jamais 1000 litres.
a. Déterminer cpour que fsoit une densité. Représenter f.
b. Calculer la fonction de répartition F.
c. La station est approvisionnée une fois par semaine. Quelle capacité doit avoir son réservoir
pour que la probabilité d’épuiser l’approvisionnement soit inférieure à 10−5?