TD 5

Mathématiques
L3 MIAGE
TD 5
1
Dérivées et intégrales
Exercice 1 : Calcul de dérivées
x5
3x + 12x2 − 9x3
ex
(4 − 2x)ex
2 −7
4(3 − x)2
(3 − x)(6 − 2x2 )
7
x
1
3 + 2x2
−3x + x3
(2 − x)2
2 + e3x x2
e
(1 − x)2
ln x
x ln(3x2 + 4)
Exercice 2 : Calcul d’intégrales
Z −1+e/2
Z 4
dx
0
Z +∞
0
Z 1/3
e−3x dx
0
0
2
Z 2
2
dx
1 + 2x
2
3
3x + 12x − 9x dx
−2
−∞
Z 1
3
dx
(1 + 3x)2
Z −2
−3
(2x + 45)ex dx
−1
Z 4
x2
dx
3x2 e3x dx
0
Variables aléatoires continues
Exercice 3 : Exemple graphique
On considère la fonction f dont la représentation graphique est dessinée en-dessous.
f (x)
a.
Exprimer f (x) en fonction de x.
b.
Que doit valoir la valeur a pour que cette fonction soit
une densité ? On suppose désormais que f (x) est la
fonction de densité d’une variable aléatoire continue.
c.
Calculer les probabilités P(X < 1), P(X < 2) et
P(0.5 < X < 1.5).
a
0
1
2
3
x
d.
Que vaut E[X], Var(X) et σ(x). On note désormais F (x) la fonction de répartition de la
variable aléatoire X.
e.
Exprimer F (x) en fonction de x.
f.
Représenter graphiquement la fonction F .
g.
Retrouver les résultats de la question c.
Exercice 4 : Nombres réels
On veut modéliser le choix d’un nombre réel dans [0; 1] par une loi (non uniforme) ayant pour
densité la fonction f définie sur [0; 1] par f (x) = λx où λ est un réel fixé.
a.
Justifier que ceci n’est possible qu’avec un seul réel λ que l’on déterminera.
b.
Quelle est la probabilité de tirer un nombre réel compris entre 0, 3 et 0, 5 avec cette loi.
c.
Calculer l’espérance de cette loi.
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Exercice 5 : Depuis la fonction de répartition
Soit X une variable aléatoire dont la fonction de réparition vérifie
F (x) = 0 si x ≤ 1, F (x) = ln x si 1 < x ≤ e, et F (x) = 1 si e < x.
a.
Exprimer f (x) en fonction de x.
b.
Calculer l’espérance et la variance de X.
c.
Calculer P(0 < X < 2).
Exercice 6 : Densité quadratique
On considère une variable aléatoire X de densité f (x) = cx2 si 0 ≤ x ≤ 3 et 0 sinon.
a.
Evaluer la constante c pour que f soit une densité de probabilité. Donner l’allure de f .
b.
Déterminer la fonction de répartition F de X. Donner son allure.
c.
Calculer P(1 < X < 2).
d.
Déterminer l’espérance et la variance de X.
e.
Pour tout n ∈ N∗ , déterminer le moment d’ordre n de X (E[X n ]).
Exercice 7 : Densités parabolique et circulaire
Soit X une variable aléatoire de densité f (x) = c(1 − x2 )1−1<x<1 .
a.
Déterminer c pour que f soit bien une densité de probabilité.
b.
Quelle est la fonction de répartition de X ?
c.
Calculer E[X] et Var(X).
d.
√
Mêmes questions avec la densité f (x) = c 1 − x2 1−1<x<1 .
Indication : on pourra penser au changement de variable x = cos t.
Exercice 8 : En deux parties
Un phénomène est décrit par une variable aléatoire continue dont la densité de probabilité est
(
f (x) =
x
k
20−x
k
si 0 ≤ x < 10,
si 10 ≤ x < 20.
a.
Déterminer la valeur de la constante k pour que f soit une densité de probabilité.
b.
Tracer cette densité de probabilité.
c.
Donner l’expression de sa fonction de répartition F .
d.
Déterminer la probabilité que X prenne une valeur dans l’intervalle [5; 15].
e.
Calculer F (10). Que représente cette probabilité ?
Exercice 9 : Think Tank
Dans une station-service, la demande hebdomadaire en essence, en milliers de litres, est une
variable aléatoire X de densité f (x) = c(1 − x)4 10<x<1 . Ce modèle suppose en particulier que
la demande ne dépasse jamais 1000 litres.
a.
Déterminer c pour que f soit une densité. Représenter f .
b.
Calculer la fonction de répartition F .
c.
La station est approvisionnée une fois par semaine. Quelle capacité doit avoir son réservoir
pour que la probabilité d’épuiser l’approvisionnement soit inférieure à 10−5 ?