TS. Évaluation 8 -Correction 1 ( 4 points ) Cet exercice comporte 3

TS. Évaluation 8 -Correction ♣
1( 4 points ) Cet exercice comporte 3 questions indépendantes. Une question comporte 4 affirmations repérées
par les lettres a,b,cet d. Vous devez indiquer pour chacune d’elles si elle est vraie ou fausse.
1°Une urne contient 75 boules blanches et 25 boules noires. L’expérience élémentaire consiste à tirer une boule. Les
boules ont toutes la même probabilité d’être tirées. On effectue ntirages indépendants et avec remise, ndésignant
un entier supérieur à 10. Soit Xla variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de boules blanches tirées.
a) Xsuit une loi binomiale de paramètres net 1
4Affirmation fausse
À la répétition nfois, de façon indépendante, d’une épreuve à deux issues, je peux associer la variable aléatoire
Xqui comptabilise le nombre de succès ; ici, il y a succès si la boule tirée est blanche avec p=75
100 =3 4.
Xsuit une loi binomiale de paramètres net 3
4
b) P(X= 0) = 1
22nAffirmation vraie
P(X= 0) = n
0.3 40.1 4n=1
(22)n=1 22n
c) P(X < 5) = 1 −P(X > 5) Affirmation fausse
P(X < 5) = 1 −P(X>5) 6= 1 −P(X > 5) avec P(X= 5) 6= 0.
d) E(X)=0,75nAffirmation vraie
E(X) = np =n×3
4= 0,75n
2°Un point Mest pris au hasard sur un demi-cercle de diamètre [AB], de centre O et de rayon 1.
Nous modéliserons cette situation en supposant que l’angle θ=
\
AOMsuit la loi uniforme sur [0 ; π].
1
1
M
AB O
π
6
5π
6
0
πθ
sin θ
a) La densité de probabilité de θest la fonction fdéfinie sur [0 ; 1] par : f(t) = 1
1−0Affirmation fausse
sur [0 ; π], la densité de probabilité de la loi uniforme est la fonction fdéfinie par : f(t) = 1
π−0=1 π.
b) L’espérance de la variable θest π
2Affirmation vraie
L’espérance d’une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur [a;b]est a+b
2, ainsi E(θ) = 0 + π 2=π 2
c) Pour tout réel t∈[0 ; π], P(θ6t) = t
πAffirmation vraie
Pour tout réel t∈[0 ; π], P(θ6t) = Zt
0
f(t) dt=Zt
0
1
πdt=t π
d) La probabilité pque le triangle AOMait une aire inférieure à 1
4est : p=1
3Affirmation vraie
aire(AOM) = 1×sin θ
2=sin θ 2, la condition aire(AOM)61 4s’écrit donc sin θ61 2avec θ∈[0 ; π]
ainsi pour la variable θcette condition s’écrit : θ∈0 ; π
6∪5π 6, π.
Par suite p=
π
6−0
π+π−5π
6
π=1 6+1 6=1 3
3°La durée d’attente en seconde de la caisse d’un supermarché est une variable aléatoire Yqui suit la loi exponentielle
de paramètre 0,01. Alors :
a) La densité de probabilité de Yest la fonction fdéfinie sur [0 ; +∞[par : f(t) = e−0,01tAffirmation fausse
sur [0 ; + ∞ [ , la densité de probabilité de la loi exponentielle de paramètre 0 , 01 est la fonction fdéfinie par :
f(t)=0,01 e−0,01t.
b) Pour tout réel tpositif, P(Y6t) = 1 −e−0,01tAffirmation vraie
Pour tout réel tpositif, P(Y6t) = Zt
0
0,01 e−0,01xdx=−e−0,01xt
0=−e−0,01t+ 1 = 1 −e−0,01t

c) La probabilité d’attendre moins de 3minutes à cette caisse est à 0,01 près, égale à 0,16.Affirmation fausse
La durée d’attente est en secondes, P(Y6180) = 1 −e−0,01×180 = 1 −e−1,8'0,83
d) Il y a plus d’une chance sur deux que l’attente à cette caisse soit supérieure à une minute. Affirmation vraie
La durée d’attente est en secondes, P(Y > 60) = 1−P(Y660) = 1 −1−e−0,01×60= e−0,6'0,55
2( 6 points ) Les parties A et B sont indépendantes
Partie A
L’objectif de cette partie est de démontrer le théorème suivant :
Si Xest une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, alors pour tout réel αappartenant
à l’intervalle ]0 ; 1[ , il existe un unique réel strictement positif χαtel que P(−χα< X < χα) = 1 −α.
Soit fla fonction définie sur l’ensemble des nombres réels par f(t) = 1
√2πe−t2
2.
Soit Hla fonction définie et dérivable sur [0 ; +∞[par H(x) = P(−x6X6x) = Zx
−x
f(t) dt.
1°Que représente la fonction fpour la loi normale centrée réduite ?
fest la fonction densité de la loi normale centrée réduite
2°Préciser H(0) et la limite de H(x)quand xtend vers +∞.
H(0) = P(−06X60) = 0 et lim
x→+∞H(x) = Z+∞
−∞
f(t) dt= 1
P(X∈) = Z+∞
−∞
f(t) dt= 1 par définition d’une loi de probabilité continue pour une v.a Xà valeurs dans .
3°À l’aide de considérations graphiques, montrer que pour tout nombre réel positif x, H(x) = 2 Zx
0
f(t) dt.
fest paire donc la courbe représentative de cette fonction densité est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
0
−xx0 −xx
Pour tout nombre réel x,P(−x6X6x)=2×P(0 6X6x)⇐⇒ H(x) = 2 Zx
0
f(t) dt
4°En déduire que la dérivée H0de la fonction Hsur [0 ; + ∞ [ est la fonction 2 fet dresser le tableau de variations de
Hsur [0 ; +∞[. Démontrer alors le théorème énoncé.
Soit Fune primitive de la fonction fcontinue sur , alors
H(x)=2Zx
0
f(t) dt= 2hF(t)ix
0= 2 (F(x)−F(0)) = 2F(x)−2F(0)
donc H = 2 F + cavec c = 2 F (0) ∈par suite pour tout x∈ [0 ; + ∞ [ H0(x)=2F0(x)=2f(x)⇐⇒ H= 2f
On a donc le tableau de variation suivant pour la fonction H= 2F, avec H0(x)=2f(x)>0car e−x2
2>0
x
2 f ( x )
H ( x )
0+∞
+
00
11
χα
1−α
Comme pour tout nombre α∈]0 ; 1[, le nombre 1−α∈]0 ; 1[, d’après le tableau de variation précédent,
il existe un unique réel strictement positif χαtel que H(χα) = P(−χα< X < χα)=1−α

Partie B Un laboratoire se fournit en pipettes auprès d’une entreprise.
Une pipette est dite conforme si sa contenance est comprise, au sens large entre 98 millilitres (mL) et 102 mL .
Soit Xla variable aléatoire qui à chaque pipette prise au hasard dans le stock d’un laboratoire associe sa contenance
(en millilitres). On admet que Xsuit une loi normale de moyenne µet écart type σtels que µ = 100 et σ2 = 1 , 042 4 .
1°Quelle est alors la probabilité, à 10−3près, pour qu’une pipette prise au hasard soit conforme ?
On utilisera l’extrait de la table de la loi normale centrée réduite, donnant P(Z6t)pour Z →N(0 ; 1)
t0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
1.8 0.9640 0.9648 0.9656 0.9663 0.9671 0.9678 0.9685 0.9692 0.9699 0.9706
1.9 0.9712 0.9719 0.9725 0.9731 0.9738 0.9744 0.9750 0.9755 0.9761 0.9767
2.0 0.9772 0.9777 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9807 0.9812 0.9816
2.1 0.9821 0.9825 0.9829 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9849 0.9853 0.9857
2.2 0.9860 0.9864 0.9867 0.9871 0.9874 0.9877 0.9880 0.9883 0.9886 0.9889
La probabilité pour qu’une pipette prise au hasard soit conforme est :
P(98 6X6102) = P98 −100
√1,042 4 6X−100 √1,042 4 6102 −100 √1,042 4 où X →N(100 ; 1,042 4)
= P(−1,958 902 6Z61,958 902) = 2 ×P(Z61,958 902)− 1 où Z =
X−100
√1,042 4 →N(0 ; 1)
P(98 6X6102) '2×0.9750 −1=0,950
Pour la suite, on admet que la probabilité pour qu’une pipette soit non-conforme est p= 0,05.
2°On prélève dans le stock du laboratoire des échantillons de pipettes de taille n, où nest un entier naturel supérieur
ou égal à 100. On suppose que le stock est assez important pour considérer ces tirages comme indépendants.
Soit Ynla variable aléatoire qui à chaque échantillon de taille nassocie le nombre de pipettes non-conformes de
l’échantillon. Yn
nreprésente donc la fréquence des pipettes non-conformes dans un échantillon.
a) Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire Yn? Vérifier que n>30, np >5et n(1 −p)>5.
À la répétition nfois de façon indépendante d’une épreuve à 2 issues (avec succès si la pipette est non-conforme :
p = 0 , 05 ), On associe la variable aléatoire Ynqui comptabilise le nombre de succès. Ynsuit la loi binomiale de
paramètres net p= 0,05 :Yn→B(n; 0,05)
n>100 >30 donc np >0,05n>5et n(1 −p)>0,95n>95 >5
b) En déduire une valeur approchée de la probabilité P(−1,96 6Zn61,96)
où Znest la variable aléatoire définie par Zn=Yn−0,05n
√0,0475n.
Les conditions étant réunies, n>30, np >5et n(1 −p)>5
d’après le théorème de Moivre-Laplace avec Yn→B(n; 0,05) et Zn =
Yn−0,05n
√0,0475non a, avec Z →N(0 ; 1)
P(−1,96 6Zn61,96) 'P(−1,96 6Z61,96) = 2 ×P(Z61,96) −1=2×0.9750 −1 = 0,95
c) Vérifier que PYn
n∈0,05 −1,96√0,0475
√n; 0,05 + 1,96√0,0475 √n'0,95.
P(−1,96 6Zn61,96) '0,95
⇐⇒ P−1,96 6Yn−0,05n
√0,0475n61,96'0,95
⇐⇒ P−1,96 ×√0,0475√n6Yn−0,05n61,96 ×√0,0475√n'0,95
⇐⇒ P−1,96 ×√0,0475√n
n6Yn n−0,05
n
n61,96 ×√0,0475√n n'0,95
⇐⇒ P−1,96 ×√0,0475
√n6Yn
n−0,05 61,96 ×√0,0475
√n'0,95
⇐⇒ P0,05 −1,96 ×√0,0475
√n6Yn
n60,05 + 1,96 ×√0,0475
√n'0,95
⇐⇒ PYn
n∈0,05 −1,96√0,0475
√n; 0,05 + 1,96√0,0475 √n'0,95