TS. Évaluation 8 -Correction 1 ( 4 points ) Cet exercice comporte 3

TS. Évaluation 8 -Correction
♣
1 ( 4 points ) Cet exercice comporte 3 questions indépendantes. Une question comporte 4 affirmations repérées
par les lettres a, b, c et d. Vous devez indiquer pour chacune d’elles si elle est vraie ou fausse.
1° Une urne contient 75 boules blanches et 25 boules noires. L’expérience élémentaire consiste à tirer une boule. Les
boules ont toutes la même probabilité d’être tirées. On effectue n tirages indépendants et avec remise, n désignant
un entier supérieur à 10. Soit X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de boules blanches tirées.
1
a) X suit une loi binomiale de paramètres n et
Affirmation fausse
4
À la répétition n fois, de façon indépendante, d’une épreuve à deux issues, je peux associer la variable aléatoire
75
3
X qui comptabilise le nombre de succès ; ici, il y a succès si la boule tirée est blanche avec p =
= .
100
4
3
X suit une loi binomiale de paramètres n et
4
1
b) P(X = 0) = 2n
Affirmation vraie
2
0
n
1
1
P(X = 0) = n0 . 43 . 14 = 2 n = 2n
(2 )
2
c) P(X < 5) = 1 − P(X > 5)
P(X < 5) = 1 − P(X > 5) 6= 1 − P(X > 5) avec P(X = 5) 6= 0.
d) E(X) = 0, 75n
E(X) = np = n ×
Affirmation fausse
Affirmation vraie
3
4
= 0, 75n
2° Un point M est pris au hasard sur un demi-cercle de diamètre [AB], de centre O et de rayon 1.
\ suit la loi uniforme sur [0 ; π].
Nous modéliserons cette situation en supposant que l’angle θ = AOM
M
5π
6
π
π
6
sin θ
1
θ
B
O
1
A
0
a) La densité de probabilité de θ est la fonction f définie sur [0 ; 1] par : f (t) =
1
1−0
sur [0 ; π], la densité de probabilité de la loi uniforme est la fonction f définie par : f (t) =
b) L’espérance de la variable θ est
π
2
Pour tout réel t ∈ [0 ; π], P(θ 6 t) =
1
1
= .
π−0
π
Affirmation vraie
L’espérance d’une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur [a ; b] est
c) Pour tout réel t ∈ [0 ; π], P(θ 6 t) =
Affirmation fausse
t
Zπ
Affirmation vraie
t
Z
f (t) dt =
0
a+b
0+π
π
, ainsi E(θ) =
=
2
2
2
0
t
1
t
dt =
π
π
d) La probabilité p que le triangle AOM ait une aire inférieure à
1
4
est : p =
1
3
Affirmation vraie
1 × sin θ
sin θ
1
1
=
, la condition aire(AOM) 6 s’écrit donc sin θ 6
avec θ ∈ [0 ; π]
2
2
4
2
ainsi pour la variable θ cette condition s’écrit : θ ∈ 0 ; π6 ∪ 5π
6 , π .
π
5π
−0 π− 6
1 1
1
Par suite p = 6
+
= + =
π
π
6 6
3
3° La durée d’attente en seconde de la caisse d’un supermarché est une variable aléatoire Y qui suit la loi exponentielle
de paramètre 0, 01. Alors :
aire(AOM) =
a) La densité de probabilité de Y est la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par : f (t) = e−0,01t
Affirmation fausse
sur [0 ; +∞[, la densité de probabilité de la loi exponentielle de paramètre 0, 01 est la fonction f définie par :
f (t) = 0, 01 e−0,01t .
b) Pour tout réel t positif, P(Y 6 t) = 1 − e−0,01t
Affirmation vraie
Z t
t
Pour tout réel t positif, P(Y 6 t) =
0, 01 e−0,01x dx = −e−0,01x 0 = −e−0,01t + 1 = 1 − e−0,01t
0
c) La probabilité d’attendre moins de 3 minutes à cette caisse est à 0, 01 près, égale à 0, 16.
La durée d’attente est en secondes, P(Y 6 180) = 1 − e−0,01×180 = 1 − e−1,8 ' 0, 83
Affirmation fausse
d) Il y a plus d’une chance sur deux que l’attente à cette caisse soit supérieure à une minute.
Affirmation vraie
−0,01×60
−0,6
La durée d’attente est en secondes, P(Y > 60) = 1−P(Y 6 60) = 1 − 1 − e
=e
' 0, 55
2 ( 6 points )
Les parties A et B sont indépendantes
Partie A
L’objectif de cette partie est de démontrer le théorème suivant :
Si X est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite, alors pour tout réel α appartenant
à l’intervalle ]0 ; 1[, il existe un unique réel strictement positif χα tel que P (−χα < X < χα ) = 1 − α.
R par
t2
1
f (t) = √ e− 2 .
2π
Z
Soit H la fonction définie et dérivable sur [0 ; +∞[ par H(x) = P (−x 6 X 6 x) =
Soit f la fonction définie sur l’ensemble des nombres réels
x
f (t) dt.
−x
1° Que représente la fonction f pour la loi normale centrée réduite ?
f est la fonction densité de la loi normale centrée réduite
2° Préciser H(0) et la limite de H(x) quand x tend vers +∞.
Z +∞
f (t) dt = 1
H(0) = P (−0 6 X 6 0) = 0 et lim H(x) =
x→+∞
R) =
Z
−∞
+∞
f (t) dt = 1 par définition d’une loi de probabilité continue pour une v.a X à valeurs dans
Z x
3° À l’aide de considérations graphiques, montrer que pour tout nombre réel positif x, H(x) = 2
f (t) dt.
P (X ∈
−∞
R.
0
f est paire donc la courbe représentative de cette fonction densité est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
−x
Pour tout nombre réel x,
0
−x
x
x
0
Z
P (−x 6 X 6 x) = 2 × P (0 6 X 6 x) ⇐⇒ H(x) = 2
x
f (t) dt
0
4° En déduire que la dérivée H 0 de la fonction H sur [0 ; +∞[ est la fonction 2f et dresser le tableau de variations de
H sur [0 ; +∞[. Démontrer alors le théorème énoncé.
Soit F uneZ primitive de la fonction f continue sur , alors
h
ix
x
H(x) = 2
f (t) dt = 2 F (t) = 2 (F (x) − F (0)) = 2F (x) − 2F (0)
R
0
0
donc H = 2F +c avec c = 2F (0) ∈
R
H 0 (x) = 2F 0 (x) = 2f (x) ⇐⇒ H = 2f
par suite pour tout x ∈ [0 ; +∞[
On a donc le tableau de variation suivant pour la fonction H = 2F , avec H 0 (x) = 2f (x) > 0 car e−
x
χα
0
2f (x)
+
H(x)
1−α
x2
2
+∞
1
0
Comme pour tout nombre α ∈]0 ; 1[, le nombre 1 − α ∈]0 ; 1[, d’après le tableau de variation précédent,
il existe un unique réel strictement positif χα tel que H (χα ) = P (−χα < X < χα ) = 1 − α
>0
Un laboratoire se fournit en pipettes auprès d’une entreprise.
Partie B
Une pipette est dite conforme si sa contenance est comprise, au sens large entre 98 millilitres (mL) et 102 mL .
Soit X la variable aléatoire qui à chaque pipette prise au hasard dans le stock d’un laboratoire associe sa contenance
(en millilitres). On admet que X suit une loi normale de moyenne µ et écart type σ tels que µ = 100 et σ 2 = 1,042 4.
1° Quelle est alors la probabilité, à 10−3 près, pour qu’une pipette prise au hasard soit conforme ?
On utilisera l’extrait de la table de la loi normale centrée réduite, donnant P (Z 6 t) pour Z ,→ N (0 ; 1)
t
0, 00
0, 01
0, 02
0, 03
0, 04
0, 05
0, 06
0, 07
0, 08
0, 09
1.8
0.9640
0.9648
0.9656
0.9663
0.9671
0.9678
0.9685
0.9692
0.9699
0.9706
1.9
0.9712
0.9719
0.9725
0.9731
0.9738
0.9744
0.9750
0.9755
0.9761
0.9767
2.0
0.9772
0.9777
0.9783
0.9788
0.9793
0.9798
0.9803
0.9807
0.9812
0.9816
2.1
0.9821
0.9825
0.9829
0.9834
0.9838
0.9842
0.9846
0.9849
0.9853
0.9857
2.2
0.9860
0.9864
0.9867
0.9871
0.9874
0.9877
0.9880
0.9883
0.9886
0.9889
La probabilité pour qu’une
est :
pipette prise au hasard soit conforme
98 − 100
X − 100
102 − 100
où X ,→ N (100 ; 1,042 4)
P (98 6 X 6 102) = P √
6√
6 √
1,042 4
1,042 4
1,042 4
,→ N (0 ; 1)
= P (−1,958 902 6 Z 6 1,958 902) = 2×P (Z 6 1,958 902)−1 où Z = √X−100
1,042 4
P (98 6 X 6 102) ' 2 × 0.9750 − 1 = 0,950
Pour la suite, on admet que la probabilité pour qu’une pipette soit non-conforme est p = 0, 05.
2° On prélève dans le stock du laboratoire des échantillons de pipettes de taille n, où n est un entier naturel supérieur
ou égal à 100. On suppose que le stock est assez important pour considérer ces tirages comme indépendants.
Soit Yn la variable aléatoire qui à chaque échantillon de taille n associe le nombre de pipettes non-conformes de
Yn
l’échantillon.
représente donc la fréquence des pipettes non-conformes dans un échantillon.
n
a) Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire Yn ? Vérifier que n > 30, np > 5 et n(1 − p) > 5.
À la répétition n fois de façon indépendante d’une épreuve à 2 issues (avec succès si la pipette est non-conforme :
p = 0, 05), On associe la variable aléatoire Yn qui comptabilise le nombre de succès. Yn suit la loi binomiale de
paramètres n et p = 0, 05 : Yn ,→ B (n ; 0, 05)
n > 100 > 30 donc np > 0, 05n > 5 et n (1 − p) > 0, 95n > 95 > 5
b) En déduire une valeur approchée de la probabilité P (−1, 96 6 Zn 6 1, 96)
Yn − 0,05n
.
où Zn est la variable aléatoire définie par Zn = √
0, 0475n
Les conditions étant réunies,
n > 30, np > 5 et n(1 − p) > 5
Yn − 0,05n
d’après le théorème de Moivre-Laplace avec Yn ,→ B (n ; 0, 05) et Zn = √
on a, avec Z ,→ N (0 ; 1)
0, 0475n
P (−1, 96 6 Zn 6 1, 96) ' P (−1, 96 6 Z 6 1, 96) = 2 × P (Z 6 1, 96) − 1 = 2 × 0.9750 − 1 = 0, 95
√
√
Yn
0, 0475
0, 0475
c) Vérifier que P
∈ 0, 05 − 1, 96 √
; 0, 05 + 1, 96 √
' 0, 95.
n
n
n
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
P (−1, 96 6 Zn 6 1, 96) ' 0, 95
Yn − 0,05n
P −1, 96 6 √
6 1, 96 ' 0, 95
0, 0475n
√
√
√
√ P −1, 96 × 0, 0475 n 6 Yn − 0,05n 6 1, 96 × 0, 0475 n ' 0, 95
√
√
√
√ 0, 0475 n
Yn 0,05
n
0, 0475 n
P −1, 96 ×
6
−
6 1, 96 ×
' 0, 95
n
n
n
n
√
√
0, 0475
Yn
0, 0475
√
√
P −1, 96 ×
6
− 0,05 6 1, 96 ×
' 0, 95
n
n
n
√
√
0, 0475
Yn
0, 0475
√
√
P 0,05 − 1, 96 ×
6
6 0,05 + 1, 96 ×
' 0, 95
n
n
n
√
√
Yn
0, 0475
0, 0475
P
∈ 0, 05 − 1, 96 √
; 0, 05 + 1, 96 √
' 0, 95
n
n
n