TS. Évaluation 10 - Correction EX 1 : ( 6 points ) Cet exercice

TS. Évaluation 10 - Correction ♣
EX1 : ( 6 points ) Cet exercice comporte 3 questions indépendantes. Une question comporte 4 affirmations repérées par
les lettres a, b, c et d. Vous devez indiquer pour chacune d’elles si elle est vraie ou fausse.
1. Une urne contient 75 boules blanches et 25 boules noires. L’expérience élémentaire consiste à tirer une boule. Les
boules ont toutes la même probabilité d’être tirées. On effectue n tirages indépendants et avec remise, n désignant un
entier supérieur à 10. Soit X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de boules blanches tirées.
a. X suit une loi binomiale de paramètres n et 1
4Affirmation fausse
À la répétition nfois, de façon indépendante, d’une épreuve à deux issues, je peux associer la variable aléa-
toire Xqui comptabilise le nombre de succès ; ici, il y a succès si la boule tirée est blanche avec p=75
100 =3 4.
Xsuit une loi binomiale de paramètres net 3
4
b. P(X=0) =1
22nAffirmation vraie
P(X=0) =¡n
0¢.¡3 4¢0.¡1 4¢n=1
¡22¢n=1
22n
c. P(X<5) =1−P(X>5) Affirmation fausse
P(X<5) =1−P(X>5) 6= 1−P(X>5) avec P(X=5) 6= 0.
d. E(X)=0,75nAffirmation vraie
E(X)=np =n×3
4=0,75n
2. Un point Mest pris au hasard sur un demi-cercle de diamètre [AB], de centre O et de rayon 1.
Nous modéliserons cette situation en supposant que l’angle θ= AOM suit la loi uniforme sur [0 ; π].
1
1
M
AB O
π
6
5π
6
0
πθ
sinθ
a. La densité de probabilité de θest la fonction f définie sur [0 ; 1] par : f (t)=1
1−0Affirmation fausse
sur [0 ; π], la densité de probabilité de la loi uniforme est la fonction fdéfinie par : f(t)=1
π−0=1 π.
b. L’espérance de la variable θest π
2Affirmation vraie
L’espérance d’une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur [a;b] est a+b
2, ainsi E(θ)=0+π 2=π 2
c. Pour tout réel t ∈[0 ; π], P(θ6t)=t
πAffirmation vraie
Pour tout réel t∈[0 ; π], P(θ6t)=Zt
0f(t)dt=Zt 0
1
πdt=t π
d. La probabilité p que le triangle AOM ait une aire inférieure à 1
4est : p =1
3Affirmation vraie
aire(AOM) =1×sinθ
2=sinθ 2, la condition aire(AOM) 61 4s’écrit donc sinθ61 2avec θ∈[0 ; π]
ainsi pour la variable θcette condition s’écrit : θ∈£0 ; π
6¤∪£5π 6,π¤. Par suite p=
π
6−0
π+
π−5π
6
π=1 6+1 6=1 3
3. La durée d’attente en seconde de la caisse d’un supermarché est une variable aléatoire Y qui suit la loi exponentielle
de paramètre 0,01. Alors :
a. La densité de probabilité de Y est la fonction f définie sur [0 ; +∞[par : f (t)=e−0,01tAffirmation fausse
sur [0 ; +∞[, la densité de probabilité de la loi exponentielle de paramètre 0,01 est la fonction fdéfinie par :
f(t)=0,01e−0,01t.
b. Pour tout réel t positif, P(Y 6t)=1−e−0,01tAffirmation vraie
Pour tout réel tpositif, P(Y6t)=Zt
00,01e−0,01xdx=£−e−0,01x¤t
0= −e−0,01t+1=1−e−0,01t

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c. La probabilité d’attendre moins de 3minutes à cette caisse est à 0,01 près, égale à 0,16 Affirmation fausse
La durée d’attente est en secondes, P(Y6180) =1−e−0,01×180 =1−e−1,8 '0,83
d. Il y a plus d’une chance sur deux que l’attente à cette caisse soit supérieure à une minute Affirmation vraie
La durée d’attente est en secondes, P(Y>60) =1−P(Y660) =1−¡1−e−0,01×60¢=e−0,6 '0,55
EX2 : ( 4 points ) Le laboratoire de physique d’un lycée dispose d’un parc d’oscilloscopes identiques. La durée de vie en
années d’un oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suit la « loi de durée de vie sans vieillissement » (ou encore
loi exponentielle) de paramètre λavec λ>0.
Toutes les probabilités seront données à 10−3près.
1. Sachant que p(X>10) =0,286, montrer qu’une valeur approchée à 10−3près de λest 0,125.
On prendra 0,125 pour valeur de λdans la suite de l’exercice.
Xsuit la loi de durée de vie sans vieillissement ou encore loi exponentielle de paramètre λ; donc
p(X>10) =e−10λ=0,286 ⇐⇒ −10λ=ln0,286 ⇐⇒ λ= − ln0,286
10
La calculatrice donne λ=0,125 à 10−3près.
2. Calculer la probabilité qu’un oscilloscope du modèle étudié ait une durée de vie inférieure à 6mois.
6 mois = 0,5 année. On a donc p(X60,5) =1−e−0,125×0,5 =1−e−0,062 5 ≈0,061
3. Sachant qu’un appareil a déjà fonctionné huit années, quelle est la probabilité qu’il ait une durée de vie supérieure
à dix ans ?
L’appareil ayant déjà fonctionné 8 ans, la probabilité qu’il ait une durée de vie supérieure dix ans est égale à
p(X>8)(X>10) =p[(X>10)∩(X>8)]
p(X>8) =p(X>10) p(X>8) =e−0,125×10 e−0,125×8=e−0,125×2≈0,779
4. On considère que la durée de vie d’un oscilloscope est indépendante de celle des autres appareils. Le responsable
du laboratoire décide de commander 15 oscilloscopes. Quelle est la probabilité qu’au moins un oscilloscope ait une
durée de vie supérieure à 10 ans ?
On répète ici, 15 fois de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli, avec comme succès le fait pour un oscil-
loscope d’avoir une durée de vie supérieure à 10 ans, dont la probabilité est égale p=0,286.
La probabilité de n’avoir aucun oscilloscope en état de marche au bout de 10 ans est donc : (1−0,286)15 =0,71415.
Donc inversement, la probabilité d’avoir au moins un oscilloscope en état de marche au bout de 10 ans est égale
à : 1−0,71415 ≈0,994
5. Combien l’établissement devrait-il acheter d’oscilloscopes pour que la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux fonc-
tionne plus de 10 ans soit supérieure à 0,999 ?
On reprend la question précédente avec non plus 15, mais noscilloscopes.
La probabilité qu’au moins 1 sur les noscilloscopes fonctionne après 10 ans est donc : 1−0,714n
Il faut chercher le plus petit naturel ntel que :
1−0,714n>0,999 ⇐⇒ 0,001 >0,714n⇐⇒ ln0,001 >nln0,714 (par croissance de la fonction ln),
soit finalement ln0,001
ln0,714 6n(car ln0,714 <0).
La calculatrice donne 20,5 6n. Le premier naturel convenant est donc 21