TS. Évaluation 10 - Correction EX 1 : ( 6 points ) Cet exercice

♣
TS. Évaluation 10 - Correction
E X 1 : ( 6 points ) Cet exercice comporte 3 questions indépendantes. Une question comporte 4 affirmations repérées par
les lettres a, b, c et d. Vous devez indiquer pour chacune d’elles si elle est vraie ou fausse.
1. Une urne contient 75 boules blanches et 25 boules noires. L’expérience élémentaire consiste à tirer une boule. Les
boules ont toutes la même probabilité d’être tirées. On effectue n tirages indépendants et avec remise, n désignant un
entier supérieur à 10. Soit X la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de boules blanches tirées.
1
a. X suit une loi binomiale de paramètres n et
Affirmation fausse
4
À la répétition n fois, de façon indépendante, d’une épreuve à deux issues, je peux associer la variable aléa3
75
= .
toire X qui comptabilise le nombre de succès ; ici, il y a succès si la boule tirée est blanche avec p =
100 4
3
X suit une loi binomiale de paramètres n et
4
1
b. P(X = 0) = 2n
Affirmation vraie
2
¡ ¢ ¡ ¢0 ¡ ¢n
1
1
P(X = 0) = n0 . 34 . 41 = ¡ ¢n = 2n
2
2
2
c. P(X < 5) = 1 − P(X > 5)
Affirmation fausse
P(X < 5) = 1 − P(X > 5) 6= 1 − P(X > 5) avec P(X = 5) 6= 0.
d. E(X ) = 0, 75n
Affirmation vraie
3
4
E(X ) = np = n × = 0, 75n
2. Un point M est pris au hasard sur un demi-cercle de diamètre [AB], de centre O et de rayon 1.
ƒ suit la loi uniforme sur [0 ; π].
Nous modéliserons cette situation en supposant que l’angle θ = AOM
M
π
1
θ
B
O
π
6
sin θ
5π
6
1
A
0
a. La densité de probabilité de θ est la fonction f définie sur [0 ; 1] par : f (t ) =
1
1−0
Affirmation fausse
sur [0 ; π], la densité de probabilité de la loi uniforme est la fonction f définie par : f (t ) =
b. L’espérance de la variable θ est
π
2
Affirmation vraie
L’espérance d’une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur [a ; b] est
c. Pour tout réel t ∈ [0 ; π], P(θ 6 t ) =
Pour tout réel t ∈ [0 ; π], P(θ 6 t ) =
1
1
= .
π−0 π
t
Zπ
0
0+π π
a +b
, ainsi E(θ) =
=
2
2
2
Affirmation vraie
t
t
Z
f (t ) dt =
0
1
t
dt =
π
π
d. La probabilité p que le triangle AOM ait une aire inférieure à
1
4
est : p =
1
3
Affirmation vraie
1 × sin θ sin θ
1
1
=
, la condition aire(AOM) 6 s’écrit donc sin θ 6
avec θ ∈ [0 ; π]
2
2
4
2
π
π − 5π
£ π ¤ £ 5π
¤
1 1 1
6 −0
6
ainsi pour la variable θ cette condition s’écrit : θ ∈ 0 ; 6 ∪ 6 , π . Par suite p =
+
= + =
π
π
6 6 3
aire(AOM) =
3. La durée d’attente en seconde de la caisse d’un supermarché est une variable aléatoire Y qui suit la loi exponentielle
de paramètre 0, 01. Alors :
a. La densité de probabilité de Y est la fonction f définie sur [0 ; +∞[ par : f (t ) = e−0,01t
Affirmation fausse
sur [0 ; +∞[, la densité de probabilité de la loi exponentielle de paramètre 0, 01 est la fonction f définie par :
f (t ) = 0, 01 e−0,01t .
b. Pour tout réel t positif, P(Y 6 t ) = 1 − e−0,01t
Affirmation vraie
Z t
£
¤
t
Pour tout réel t positif, P(Y 6 t ) =
0, 01 e−0,01x dx = −e−0,01x 0 = −e−0,01t + 1 = 1 − e−0,01t
0
♣
TS. Évaluation 10 - Correction
c. La probabilité d’attendre moins de 3 minutes à cette caisse est à 0, 01 près, égale à 0, 16
La durée d’attente est en secondes, P(Y 6 180) = 1 − e
−0,01×180
= 1−e
−1,8
Affirmation fausse
' 0, 83
d. Il y a plus d’une chance sur deux que l’attente à cette caisse soit supérieure à une minute
Affirmation vraie
¡
¢
−0,01×60
−0,6
La durée d’attente est en secondes, P(Y > 60) = 1−P(Y 6 60) = 1 − 1 − e
=e
' 0, 55
E X 2 : ( 4 points ) Le laboratoire de physique d’un lycée dispose d’un parc d’oscilloscopes identiques. La durée de vie en
années d’un oscilloscope est une variable aléatoire notée X qui suit la « loi de durée de vie sans vieillissement » (ou encore
loi exponentielle) de paramètre λ avec λ > 0.
Toutes les probabilités seront données à 10−3 près.
1. Sachant que p(X > 10) = 0, 286, montrer qu’une valeur approchée à 10−3 près de λ est 0, 125.
On prendra 0, 125 pour valeur de λ dans la suite de l’exercice.
X suit la loi de durée de vie sans vieillissement ou encore loi exponentielle de paramètre λ ; donc
p(X > 10) = e−10λ = 0, 286 ⇐⇒ −10λ = ln 0, 286 ⇐⇒ λ = −
ln 0, 286
10
La calculatrice donne λ = 0, 125 à 10−3 près.
2. Calculer la probabilité qu’un oscilloscope du modèle étudié ait une durée de vie inférieure à 6 mois.
6 mois = 0,5 année. On a donc p(X 6 0, 5) = 1 − e−0,125×0,5 = 1 − e−0,062 5 ≈ 0, 061
3. Sachant qu’un appareil a déjà fonctionné huit années, quelle est la probabilité qu’il ait une durée de vie supérieure
à dix ans ?
L’appareil ayant déjà fonctionné 8 ans, la probabilité qu’il ait une durée de vie supérieure dix ans est égale à
p[(X > 10) ∩ (X > 8)] p(X > 10) e−0,125×10
p (X >8) (X > 10) =
=
= −0,125×8 = e−0,125×2 ≈ 0, 779
p(X > 8)
p(X > 8)
e
4. On considère que la durée de vie d’un oscilloscope est indépendante de celle des autres appareils. Le responsable
du laboratoire décide de commander 15 oscilloscopes. Quelle est la probabilité qu’au moins un oscilloscope ait une
durée de vie supérieure à 10 ans ?
On répète ici, 15 fois de façon indépendante, une épreuve de Bernoulli, avec comme succès le fait pour un oscilloscope d’avoir une durée de vie supérieure à 10 ans, dont la probabilité est égale p = 0, 286.
La probabilité de n’avoir aucun oscilloscope en état de marche au bout de 10 ans est donc : (1−0, 286)15 = 0, 71415 .
Donc inversement, la probabilité d’avoir au moins un oscilloscope en état de marche au bout de 10 ans est égale
à:
1 − 0, 71415 ≈ 0, 994
5. Combien l’établissement devrait-il acheter d’oscilloscopes pour que la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux fonctionne plus de 10 ans soit supérieure à 0, 999 ?
On reprend la question précédente avec non plus 15, mais n oscilloscopes.
La probabilité qu’au moins 1 sur les n oscilloscopes fonctionne après 10 ans est donc : 1 − 0, 714n
Il faut chercher le plus petit naturel n tel que :
1 − 0, 714n > 0, 999 ⇐⇒ 0, 001 > 0, 714n ⇐⇒ ln 0, 001 > n ln 0, 714 (par croissance de la fonction ln),
soit finalement
ln 0, 001
6 n (car ln 0, 714 < 0).
ln 0, 714
La calculatrice donne 20, 5 6 n. Le premier naturel convenant est donc 21