8.5 Conservation de l’énergie mécanique Prédiction du mouvement d’un pendule Un pendule est constitué d’une sphère de masse m reliée à une corde de longueur L. Si initialement, la corde fait un angle θo avec la verticale, A) déterminez la vitesse de la sphère au point le plus bas. Situation: θο Problème : Je cherche v en bas 1 8.5 Conservation de l’énergie mécanique Un pendule est constitué d’une sphère de masse m reliée à une corde de longueur L. Si initialement, la corde fait un angle θo avec la verticale, déterminez : Situation: θο Problème : Je cherche v en bas Solution possible : J’utilise le principe de conservation de l’énergie mécanique Ki + U i = K f + U f 2 8.5 Conservation de l’énergie mécanique Situation: L Problème : Je cherche v en bas θο Solution possible : J’utilise le principe de conservation de l’énergie mécanique h Ug =0 Ki + U i = K f + U f K i = 0 U i = mgh 1 2 K f = mv U f = 0 2 Nous aurons Ki + U i = K f + U f 1 2 mgh = mv 2 3 8.5 Conservation de l’énergie mécanique Situation: L θο Problème : Je cherche v en bas Solution possible : h Ug =0 1 2 mgh = mv 2 h = L − L cos θ 0 h = L(1 − cos θ 0 ) J’utilise le principe de conservation de l’énergie mécanique 1 2 gL(1 − cos θ 0 ) = v 2 v = 2 gL(1 − cos θ 0 ) 4 8.5 Conservation de l’énergie mécanique Situation: L Problème : Je cherche v en bas θο Solution possible : J’utilise le principe de conservation de l’énergie mécanique h Ug =0 Résultat probable: v = 2 gL(1 − cos θ 0 ) Analyse Si θ = 60o alors v = gL Si θ = 90o alors v max = 2 gL Si θ = 41,4o alors v max v= 2 5 8.5 Conservation de l’énergie mécanique Situation: θο B) Déterminez la tension T dans la corde au point le plus bas. Problème : Je cherche T Solution possible : J’applique la deuxième loi de Newton. ∑ F = ma 6 8.5 Conservation de l’énergie mécanique Situation: θο Problème : Je cherche T Solution possible : ∑ F = ma Puisque la masse effectue un mouvement circulaire, la force résultante est une force centripète mv ∑F = L 2 T 2 mv = T − mg ∑F = L Fg 7 8.5 Conservation de l’énergie mécanique Puisque la masse effectue un mouvement circulaire, la force résultante est une force centripète mv ∑F = L 2 2 mv = T − mg ∑F = L mv T = mg + L 2 Nous avons vu que v = 2 gL(1 − cos θ 0 ) 8 8.5 Conservation de l’énergie mécanique Puisque la masse effectue un mouvement circulaire, la force résultante est une force centripète mv ∑F = L 2 mv 2 v = 2 gL(1 − cos θ 0 ) T = mg + L T = mg + 2mg (1 − cos θ o ) Résultat probable: Au point le plus bas, la tension est donnée par : T = mg (3 − 2 cos θ o ) N 9 8.5 Conservation de l’énergie mécanique Tension en bas T T = mg (3 − 2 cos θ o ) T = 3mg Analyse : A) Si θο = 90 De plus T N N ∑ F =ma = T − mg a = 2g En bas v = 2 gL 10 8.5 Conservation de l’énergie mécanique Tension en bas T T = mg (3 − 2 cos θ o ) T = 2mg B) Si θο = 60 N N ∑ F =ma = T − mg a=g T En bas v = gL 11 8.5 Conservation de l’énergie mécanique C ) déterminez la vitesse que la masse doit avoir au point le plus bas, afin que la masse fasse un tour complet sur la circonférence, Situation vi Problème : Je cherche la vitesse initiale en bas. 12 8.5 Conservation de l’énergie mécanique C ) Si nous voulons que la masse fasse un tour complet, déterminez la vitesse que la masse doit avoir au point le plus bas. Portons d’abord attention au point le plus haut. Si la vitesse en bas est trop faible, la masse ne fera pas un tour complet Nous voulons que la masse fasse un mouvement circulaire dans la partie supérieure vi Il nous faut une force résultante centripète 13 8.5 Conservation de l’énergie mécanique C ) Si nous voulons que la masse fasse un tour complet, déterminez la vitesse que la masse doit avoir au point le plus bas. Portons attention au point le plus haut. Fg Si la vitesse en bas est trop faible, la masse ne fera pas un tour complet T Nous voulons que la masse fasse un mouvement circulaire dans la partie supérieure Il nous faut une force résultante centripète vi Nous avons T et Fg 14 8.5 Conservation de l’énergie mécanique C ) Si nous voulons que la masse fasse un tour complet, déterminez la vitesse que la masse doit avoir au point le plus bas. ∑ F = ma Fg T mv 2 ∑ F = ma = R = T + mg Si la vitesse est trop grande, nous avons besoin de T À la bonne vitesse, T sera nulle vi mv 2 ∑ F = R = mg 15 8.5 Conservation de l’énergie mécanique Fg T Si la vitesse est trop grande, nous avons besoin de T À la bonne vitesse, T sera nulle mv 2 ∑ F = R = mg Nous aurons Ug =0 vi v = Rg = Lg 2 en haut À partir du principe de conservation de l’énergie mécanique, nous pouvons écrire Ki + U i = K f + U f 16 8.5 Conservation de l’énergie mécanique Fg T 1 1 2 2 mvi = mv f + mg 2 L 2 2 1 1 2 mvi = mgL + mg 2 L 2 2 1 5 2 mvi = mgL 2 2 Ug =0 vi vi = 5 gL Résultat probable : La vitesse en bas sera 2 vi = 5gL m/s 17 8.5 Conservation de l’énergie mécanique Exemple : Saut à l’élastique Bungee Vous êtes l’ingénieur(e) responsable des installations d’un saut à l’élastique. On vous demande de déterminer la constante de rappel de la corde élastique pour que le saut soit sécuritaire : La rampe de lancement est située à 36,0 m au-dessus de l’eau Vous attachez une masse de 80,0 kg à la corde de 25 m de longueur. Déterminez « k » afin que la masse touche à peine à l’eau. 18 8.5 Conservation de l’énergie mécanique Exemple : Saut à l’élastique Vous êtes responsable des installations d’un saut à l’élastique. On vous demande de déterminer la constante de rappel de la corde élastique pour que le saut soit sécuritaire : La rampe de lancement est située à 36,0 m au-dessus de l’eau 25 m 11 m Vous attachez une masse de 80,0 kg à la corde de 25 m de longueur. Déterminez « k » afin que la masse touche à peine à l’eau. 19 8.5 Conservation de l’énergie mécanique Exemple : Saut à l’élastique La rampe de lancement est située à 36,0 m au-dessus de l’eau Selon le principe de conservation de l’énergie mécanique 25 m Ki + U i = K f + U f 11 m Ug =0 Ui = U f K i = 0 et 1 mgyi = k (∆y ) 2 2 Kf =0 2mgyi k= (∆y ) 2 20 8.5 Conservation de l’énergie mécanique Exemple : Saut à l’élastique 1 mgyi = k (∆y ) 2 2 2mgyi k= 2 (∆y ) 25 m 11 m Ug =0 2 × 80 × 9,81× 36 k= = 467 2 (11) Résultat probable : La constante de rappel « k» sera d’au moins 467 N/m 21 8.5 Conservation de l’énergie mécanique Exemple : Saut à l’élastique B) Est-ce dangereux pour une personne? Quelle sera l’accélération dans ces conditions? Au point le plus bas, a est maximale. Nous avons T ∑F Ug =0 = ma ∑ F = ma = T − mg Fg ma = k∆y − mg ma = 467 × 11 − 80 × 9,81 = 4352,2 Résultat probable : L’accélération maximale sera de a = 54,4 m/s 2 22 8.5 Conservation de l’énergie mécanique Exemple : Saut à l’élastique B) Est-ce dangereux pour une personne? Quelle sera l’accélération dans ces conditions? Résultat probable : L’accélération maximale sera de T Ug =0 a = 5,5 g a = 5,5 g m/s 2 m/s 2 Fg Est-ce dangereux pour une personne? Voir la page 69 23