Fonctions usuelles

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Fonctions usuelles
1 Fonction affine
D´efinition 1 Une fonction affine est une fonction d´efinie sur Rpar f(x) = ax +bavec aet br´eels.
Dans le cas o`u b= 0,on dit que fest lin´eaire.
Rappel : Soit fune fonction d´efinie sur intervalle I
1. fest strictement croissante sur Isi pour tout couple (x1, x2) d’´el´ements de I:
x1< x2⇒f(x1)< f (x2)
2. fest strictement d´ecroissante sur Isi pour tout couple (x1, x2) d’´el´ements de I:
x1< x2⇒f(x1)> f (x2)
Th´eor`eme 1 Soit f:x7→ ax +bune fonction affine.
1. Si a > 0, f est strictement croissante
2. Si a < 0, f est strictement d´ecroissante
3. La repr´esentation graphique de fest une droite de coefficient directeur (ou pente) a.
Repr´esentation graphique
-2 -1 0 1 2 3 4
-2
-1
0
1
2
3
4
f(x) = 2x−1
x
y
-2 -1 0 1 2 3 4
-2
-1
0
1
2
3
4
f(x) = −3
2x+ 2
x
y
-2 -1 0 1 2 3 4
-2
-1
0
1
2
3
4
f(x) = 4
3x
x
y
2 Fonction carr´e
D´efinition 2 La fonction carr´e est la fonction d´efinie sur Rpar f(x) = x2
Rappel : Une fonction fd´efinie sur Dest paire si pour tout x∈ D :−x∈ D et f(−x) = f(x)
La repr´esentation graphique d’une fonction paire est sym´etrique par rapport `a l’axe des ordonn´ees.
Th´eor`eme 2 Soit fd´efinie sur Rpar f(x) = x2.
1. fest strictement d´ecroissante sur ]−∞; 0[
2. fest strictement croissante sur ]0; +∞[
3. La repr´esentation graphique de fest une parabole dont l’axe des ordonn´ees est axe de sym´etrie.

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Fonctions usuelles 2
Repr´esentation graphique
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-1
0
1
2
3
4
f(x) = x2
x
y
3 Fonction cube
D´efinition 3 La fonction cube est la fonction d´efinie sur Rpar f(x) = x3
Rappel : Une fonction fd´efinie sur Dest impaire si pour tout x∈ D :−x∈ D et f(−x) = −f(x)
La repr´esentation graphique d’une fonction impaire est sym´etrique par rapport `a l’origine du rep`ere.
Th´eor`eme 3 Soit fd´efinie sur Rpar f(x) = x3.
1. fest strictement croissante sur R
2. fest impaire
Repr´esentation graphique
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
f(x) = x3
x
y
4 Fonction inverse
D´efinition 4 La fonction inverse est la fonction d´efinie sur R∗par f(x) = 1
x
Th´eor`eme 4 Soit fd´efinie sur Rpar f(x) = 1
x.
1. fest strictement d´ecroissante sur ]−∞; 0[ et sur ]0; +∞[.
2. fest impaire.
3. La repr´esentation graphique de fest une hyperbole d’axes les axes de coordonn´ees.
Remarque 1 Ne pas ´ecrire fstrictement d´ecroissante sur R∗.C’est faux.

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Fonctions usuelles 3
Repr´esentation graphique
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
f(x) = 1
x
x
y
5 Fonction racine carr´ee
D´efinition 5 La fonction racine carr´e est la fonction d´efinie sur R+par f(x) = √x
Th´eor`eme 5 Soit fd´efinie sur R+par f(x) = √x. Alors fest strictement croissante sur R+
Repr´esentation graphique
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-1
0
1
2
3
f(x) = √x
x
y
6 Fonction compos´ee
6.1 D´efinition
D´efinition 6 Si fet gsont deux fonctions d´efinies respectivement sur Dfet Dgla fonction compos´ee
f◦gest la fonction d´efinie par
(f◦g) (x) = f[g(x)]
Remarque 2 Pour que la d´efinition ait un sens, il faut que x∈ Dget que g(x)∈ Df
Exemple 1 Soit fla fonction d´efinie sur Rpar f(x) = 3x+ 2 et gla fonction d´efinie sur R+par
g(x) = √x

Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny -- Eiffel - Gagny --
Fonctions usuelles 4
f◦g(1) = f[g(1)] = f³√1´=f(1) = 5
g◦f(1) = g[f(1)] = g(5) = √5
f◦gest d´efinie si x∈R+et g(x)∈R.Donc f◦gest d´efinie sur R+
g◦fest d´efinie si x∈Ret f(x)∈R+.Donc g◦fest d´efinie sur ·−2
3; +∞·
∀x∈R+:f◦g(x) = f[g(x)] = f¡√x¢= 3√x+ 2
∀x∈·−2
3; +∞·:g◦f(x) = g[f(x)] = g(3x+ 2) = √3x+ 2
Remarque 3 En g´en´eral, f◦g6=g◦f
6.2 Sens de variation
Soit fla fonction d´efinie sur Rpar f(x) = x2et gla fonction d´efinie sur Rpar g(x) = x+ 3
f◦gest d´efinie sur Rpar f◦g(x) = f[g(x)] = f(x+ 3) = (x+ 3)2
La fonction carr´e est strictement d´ecroissante sur R−donc f◦gest strictement d´ecroissante sur ]−∞;−3]
car x+ 3 60⇔x6−3
La fonction carr´e est strictement croissante sur R+donc f◦gest strictement croissante sur [−3; +∞[ car
x+ 3 >0⇔x>−3
Plus g´en´eralement :
1. La compos´ee de fonctions deux fonctions strictement croissantes est une fonction strictement crois-
sante.
2. La compos´ee de fonctions deux fonctions strictement d´ecroissantes est une fonction strictement
croissante.
3. La compos´ee d’une fonction strictement croissante et d’une fonction strictement d´ecroissante est
une fonction strictement d´ecroissante.