Exercices : quantité de mouvement et principe d`inertie

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Principe dÊinertie et quantité de mouvement
Corrections d’exercices
Exercice 4 page 174
A l’instant t0 = 0 :
Par définition :
x(t0) = 1
et
y(t0) = 3
donc
dOG d (5t + 1)
d(3)
=
i+
j = 5i
dt
dt
dt
vG =
OG 0 (1 ; 3)
donc
v G ( 5 ; 0)
La vitesse est constante vectoriellement donc le mouvement est rectiligne (même direction et même sens) et
uniforme (même valeur de la vitesse).
Exercice 8 page 175
Nous étudierons le système constitué des deux patineurs dans le référentiel terrestre.
Les deux patineurs sont, à l’instant initial, immobiles dans le référentiel terrestre. La quantité de mouvement
du système qu’ils constituent est donc nulle :
A l’instant t0 :
psystème = p A + p B = m A .v A + m B .v B = 0
v A = 0 et v B = 0
car
Le système des deux patineurs est isolé puisqu’il n’y a pas d’intervention extérieure. Les forces avec
lesquelles les deux patineurs se repoussent sont intérieures au système. On a donc, à chaque instant :
psystème = cte = 0
d’où
pA ( t ) + p B ( t ) = 0
⇔
pA ( t ) + p B ( t ) = 0
et
pA ( t ) = − p B ( t )
m A .v A ( t ) + m B .v B ( t ) = 0
⇔
v B (t) =
− mA
× v A (t)
mB
Les vecteurs vitesse des deux patineurs sont donc de même direction mais de sens opposés. La valeur de la
vitesse vA est 4,0 m.s-1 et la valeur de la vitesse vB est 2,5 m.s-1.
Exercice 11 page 175
Le système considéré est le système des deux poissons. Celui-ci est isolé donc sa quantité de mouvement est
constante au cours du temps. Notons 1 le gros poisson et 2 le petit :
Avant la rencontre :
psystème = p1 + p 2 = m1.v1 + m 2 .v 2 = 4 m.v1
Après la rencontre :
p'système = ( m1 + m 2 ).v1 ' = 5 m.v1 '
puisque m1 = 4m2 et v2 = 0
4
v1
5
Le gros poisson poursuit donc sa route dans le même sens et la même direction mais avec une vitesse qui
diminue de 4/5 : v1’ = 4 / 5 × 5,0 = 4,0 km.h-1
Le système étant isolé :
psystème = p'système
⇔
4 m.v1 = 5 m.v1 '
Principe d’inertie et quantité de mouvement : corrections d’exercices
⇔
v1 ' =
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Exercice 14 page 177
Dans le référentiel terrestre, le mouvement du skieur est rectiligne uniforme d’après les données de l’énoncé.
Sa vitesse est donc vectoriellement constante (direction, sens et norme).
D’après le principe d’inertie (ou 1ère loi de Newton), si la vitesse vectorielle du centre de gravité d’un
système est constante alors la somme des forces extérieures appliquées à ce système est nulle :
v G = cte
⇔
∑F
ext
=0
Le système est donc isolé
Bilan des forces exercées sur le skieur
le poids, exercé par le Terre, vertical vers le bas, de norme P = mg.
la réaction de la piste sur les skis, perpendiculaire à la piste puisque les frottements des skis sur la neige
sont négligeables, orientée vers le haut, de norme inconnue.
la force de frottements de l’air, parallèle à la pente, opposée au mouvement, de norme inconnue.
y
Schémas
R
R
G
f
f
x
α
α
P
P
Représentation des forces appliquées
au skieur (sans souci d’échelle)
Ajout d’un repère orthonormé (G ; x ; y)
pour exprimer simplement les vecteurs force
D’après la première loi de Newton (principe d’inertie), si le skieur est= en mouvement rectiligne uniforme,
alors la somme vectorielle des forces extérieures qui lui sont appliquées est nulle : P + R + f = 0
Cette relation est vraie vectoriellement donc reste vraie avec les coordonnées des vecteurs sur chaque axe :
Px + R x + f x = 0
Py + R y + f y = 0
avec
avec
Px = P sin α, fx = – f et Rx = 0
Py = P cos α, fy = 0 et Ry = R
Rappel de géométrie : si deux droites font entre elles un angle α, on retrouve le même angle α entre deux
perpendiculaires à ces droites (il s’agit d’une rotation de 90°). On retrouve donc le même angle α entre le
vecteur poids et l’axe vertical (G ; y) qu’entre la direction de la piste et l’horizontale.
D’après l’équation sur l’axe (G ; x) : P sin α – f = 0
donc
f = mg sin α = 235 N
La force de frottements exercée par l’air est donc de direction « celle du mouvement », de sens « opposé au
mouvement » et de norme 235 N.
Exercice 21 page 179
Etant donné qu’il y a trois cas à traiter dans l’exercice, je traiterai un cas général puis l’appliquerai ensuite à
chaque question. Le référentiel d’étude est le référentiel terrestre.
Avant l’accrochage, la quantité de mouvement du système {motrice + wagon} est la somme des
quantités de mouvement de la motrice et du wagon : pconvoi = p m + p w = m m .v m + m w .v w
Après l’accrochage, la quantité de mouvement du convoi est : pconvoi = ( m m + m w ).v convoi
Principe d’inertie et quantité de mouvement : corrections d’exercices
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Or, le système constitué de la motrice et du wagon étant isolé, la quantité de mouvement du convoi est
constante. C’est donc la même avant et après l’accrochage :
pconvoi = m m .v m + m w .v w = ( m m + m w ).v convoi
d’où
v convoi =
m m .v m + m w . v w
mm + mw
1er cas – Avant l’accrochage, le wagon est immobile :
v convoi =
m m .v m
100
=
× 4,0 = 3,3 km / h
m m + m w 120
2ème cas – Avant l’accrochage, le wagon se déplace à la vitesse de 2,0 km/h dans le sens de la motrice :
v convoi =
m m .v m + m w .v w 100 × 4,0 + 20 × 2,0
=
= 3,7 km / h
mm + mw
120
3ème cas – Avant l’accrochage, le wagon se déplace à la vitesse de 2,0 km/h dans le sens opposé à la motrice :
v convoi =
m m .v m + m w .v w 100 × 4,0 − 20 × 2,0
=
= 3,0 km / h
mm + mw
120
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