IE2_2007

UNIVERSITE PARIS XI - IFIPS -1ére Année préparatoire 2006-07 19 Mars 2007
Mécanique : Interrogation 2
Durée 1h30
– Les calculettes et les documents sont interdits.
– Respectez les notations de l’énoncé.
– Les deux problèmes sont indépendants
Problème 1
Un skieur de masse m descend une piste
rectiligne. A l’instant initial, le skieur est au point
O et sa vitesse est nulle. Nous considérerons
deux repères galiléens : le repère R
r r
(O, i , k ) et
r r
le repère R’ (O, i ′, k ′) , tous les deux sont liés
z
r
k
r
k′
O
r
i
à la Terre.
On notera
g l’accélération de pesanteur,
′
( x , z ) et ( x , z′ ) les coordonnées du skieur dans
les repères R et R’ respectivement.
r
i′
α
Partie I :
Nous négligeons les frottements, le skieur n’est soumis qu’à son poids et à la réaction du sol.
I.1)
Représenter sur un schéma les forces qui s’exercent sur le skieur en un point quelconque de
la pente.
r r
I.2)
Ecrire le principe fondamental de la dynamique dans le repère R’ (O, i ′, k ′) .
I.3)
I.4)
En déduire l’expression de x′(t ) .
Calculer l’énergie cinétique du skieur et l’exprimer en fonction de
I.5)
Quelle est la relation entre
prendra E P
I.6)
I.7)
m , α , g et t .
x′ et z , en déduire l’expression de l’énergie potentielle (on
= 0 en O ).
En utilisant vos résultats, montrez que l’énergie mécanique est conservée. Quelle est sa
valeur ?
Auriez-vous pu prévoir le résultat de la question I.6 sans faire de calcul ? Justifiez.
Partie II :
Nous négligeons les frottements, le skieur n’est soumis qu’à son poids et à la réaction du sol.
II.1) Enoncer le théorème de l’énergie cinétique.
II.2) Exprimer le vecteur position
OM dans le repère R’, en déduire le déplacement
élémentaire d OM dans R’.
II.3) Calculer par intégration le travail des forces entre le point O et un point quelconque
d’abscisse x′ .
II.4) Ecrire le théorème de l’énergie cinétique en fonction de x′ , x&′ , m , α et g .
II.5) En dérivant cette expression par rapport au temps montrez que &x&′ est indépendante du
temps. (indication :
r
r r
d (v ) 2 = 2 ⋅ v ⋅ dv ).
Partie III :
En réalité le skieur est soumis a une force de frottement proportionnelle à la vitesse :
r
f = −λ ⋅ v .
III.1) Représenter sur un schéma les forces qui s’exercent sur le skieur durant sa descente.
r r
(O, i ′, k ′) .
III.3) En déduire les équations différentielles du mouvement. On posera τ = m λ .
III.2) Ecrire le principe fondamental de la dynamique dans le repère R’
III.4) Montrer que la constante τ est bien homogène à un temps.
III.5) On se propose de trouver l’expression de la vitesse v′(t ) = x&′(t ) :
a. Résoudre l’équation différentielle sans second membre.
b. Proposer une solution particulière.
c. En déduire la forme générale de v′(t ) .
v′(t ) .
′
e. Quelle est la limite de v (t ) quant t devient grand devant τ . Interpréter.
f. Tracer schématiquement v′(t ) .
III.6) En déduire l’expression de x′(t ) . Tracer son allure.
d. Utiliser les conditions initiales pour donner l’expression de
Partie IV :
Le skieur reste soumis a une force de frottement proportionnelle à la vitesse :
r
f = −λ ⋅ v .
IV.1) L’énergie mécanique du skieur est-elle une constante du mouvement ? Justifiez.
IV.2) En dérivant la variation de l’énergie cinétique par rapport au temps, donner l’équation
différentielle régissant le mouvement.
t
 g (t )

dg (t )
f
(
t
)
⋅
dg
=
f (t ) ⋅
⋅ dt 
∫
∫


dt


Indication : 
IV.3) Comparer cette expression avec le résultat obtenu en (III.3).
IV.4) Quelle méthode de détermination de l’équation différentielle du mouvement vous a t’elle
semblée la plus simple ?
IV.5) Déterminer l’expression de la vitesse v′(t ) = x&′(t ) .
Problème 2
Un poids de masse m est pendu au bout d’une tige dans un wagon de train. La tige est rigide, de
longueur l et de masse négligeable. Le wagon roule sur une voie rectiligne avec une vitesse
constante v , la masse m n’est pas en oscillation.
Le wagon rencontre un mur qui le fait s’arrêter net (il stoppe sans reculer et sans vibrer). On
supposera que l’énergie mécanique du wagon est identique avant et après le choc. Un passant
observe que la masse m décrit un arc de
cercle avant de se mettre en oscillation.
1) Justifier cette observation.
2) Calculer l’angle correspondant à
m
l’amplitude maximale d’oscillation
en fonction de l , v et g ,
m
l’accélération de la pesanteur.