modules sur les anneaux principaux - Henri Lombardi

MODULES SUR LES ANNEAUX
PRINCIPAUX
Universit´e de Franche-Comt´e, Besan¸con
Henri Lombardi
Maˆıtre de Conf´erences
´emile: [email protected]
page web: http://hlombardi.free.fr
derni`ere mise `a jour le 1er septembre 2009

Table des mati`eres
Table des mati`eres ...................................... i
Avant-Propos v
1 Arithm´etique de base 1
Introduction .......................................... 1
1.1 On a le droit de calculer modulo n.......................... 1
1.2 L’algorithme d’Euclide ................................. 2
Exercices ........................................ 3
1.3 Th´eor`eme des restes chinois sur Z........................... 3
Les lemmes de Gauss et d’Euclide .......................... 4
Exercices ........................................ 4
1.4 Syst`emes d’´equations lin´eaires sur Z......................... 5
Manipulations ´el´ementaires sur une matrice `a coefficients entiers ......... 5
Le plan de travail .................................... 5
Un exemple ....................................... 6
Exercices ........................................ 10
2 Groupes et anneaux commutatifs 11
2.1 Groupes commutatifs .................................. 11
Homomorphismes de groupes ab´eliens, isomorphismes ............... 12
Le groupe des morphismes de Gvers H....................... 13
Sous-groupes ...................................... 13
Somme et produit de groupes ab´eliens ........................ 14
Groupes ab´eliens quotients .............................. 15
Exercices ........................................ 17
2.2 Anneaux commutatifs ................................. 18
Quelques d´efinitions et propri´et´es ´el´ementaires reli´ees `a la structure d’anneau . . 18
Sous-anneaux ...................................... 19
Id´eaux, anneaux quotients ............................... 21
Produit fini d’anneaux, syst`eme fondamental d’idempotents orthogonaux . . . . 24
Th´eor`eme des restes chinois .............................. 25
Id´eaux premiers et maximaux ............................. 26
Exercices ........................................ 26
2.3 Quelques rappels sur la th´eorie de la divisibilit´e dans les anneaux int`egres . . . . 27
2.3.1 Premi`eres d´efinitions ............................. 27
2.3.2 Anneaux factoriels ............................... 28
3 Syst`emes lin´eaires sur un anneau principal 31
3.1 Calcul matriciel et syst`emes de Cramer sur un anneau commutatif arbitraire . . 31
3.2 Anneaux de Bezout et anneaux principaux ...................... 33
3.3 R´eduction de Smith d’une matrice sur un anneau principal ............ 35
Manipulations ´el´ementaires et manipulations de Bezout .............. 35

ii Table des mati`eres
La r´eduction de Smith ................................. 36
Exercices ........................................ 39
3.4 Syst`emes lin´eaires sur un anneau principal ...................... 40
Exercices ........................................ 41
4 Modules sur un anneau commutatif 43
Introduction .......................................... 43
4.1 D´efinitions g´en´erales concernant les modules ..................... 43
Modules et applications lin´eaires ........................... 43
Sous-modules, syst`emes g´en´erateurs ......................... 45
4.2 Applications lin´eaires entre modules libres de rang fini ............... 45
4.3 Modules de type fini .................................. 48
Matrice repr´esentant une application A-lin´eaire entre modules de type fini . . . 48
Un r´esultat structurel important pour les modules de type fini ........... 49
4.4 Sommes et produits de modules ............................ 50
Exercices ........................................ 51
4.5 Modules quotients ................................... 52
Th´eor`eme de factorisation ............................... 52
Sous-modules et quotients d’un module quotient .................. 53
Exercices ........................................ 53
4.6 Dualit´e ......................................... 54
4.7 Torsion, annulateurs .................................. 54
Exercices ........................................ 55
4.8 Modules monog`enes .................................. 55
Exercices ........................................ 56
4.9 Un important r´esultat d’unicit´e ............................ 56
4.10 Modules de pr´esentation finie ............................. 56
Syst`emes lin´eaires sur un anneau commutatif .................... 56
Changement de syst`eme g´en´erateur pour un module de pr´esentation finie . . . . 58
Applications lin´eaires entre modules de pr´esentation finie ............. 58
Exercices ........................................ 59
5 Modules de pr´esentation finie sur les anneaux principaux 61
5.1 Structure des applications lin´eaires entre modules libres .............. 61
5.2 Th´eor`eme de la base adapt´ee ............................. 62
Exercices ........................................ 63
5.3 Structure des modules de pr´esentation finie ..................... 63
Exercices ........................................ 64
5.4 Un peu de dualit´e ................................... 65
Exercices ........................................ 66
5.5 Structure des modules de type fini .......................... 66
6 Application : structure d’un endomorphisme 67
6.1 Un K[X]-module int´eressant ............................. 67
Exercices ........................................ 69
6.2 Forme r´eduite de Frobenius .............................. 69
6.3 Exemples ........................................ 71
7 Anneaux et modules nœth´eriens 85
7.1 D´efinition ........................................ 85
7.2 Discussion ........................................ 85
7.3 Propri´et´es ´el´ementaires ................................ 86
7.4 Discussion, suite .................................... 87

Table des mati`eres iii
8 Solution des exercices 89
8.1 Arithm´etique de base .................................. 89
8.2 Rappels sur les groupes ab´eliens et les anneaux commutatifs ............ 93
8.3 Syst`emes lin´eaires sur un anneau principal ...................... 95
8.4 Modules sur un anneau commutatif .......................... 97
8.5 Modules de pr´esentation finie sur les anneaux principaux .............. 103
8.6 Application : structure d’un endomorphisme ..................... 109
Index des notations 111
Index des termes 113