modules sur les anneaux principaux - Henri Lombardi

MODULES SUR LES ANNEAUX
PRINCIPAUX
Université de Franche-Comté, Besançon
Henri Lombardi
Maı̂tre de Conférences
émile: [email protected]
page web: http://hlombardi.free.fr
dernière mise à jour le 1er septembre 2009
Table des matières
Table des matières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Avant-Propos
1 Arithmétique de base
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 On a le droit de calculer modulo n . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 L’algorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Théorème des restes chinois sur Z . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Les lemmes de Gauss et d’Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Systèmes d’équations linéaires sur Z . . . . . . . . . . . . . . . .
Manipulations élémentaires sur une matrice à coefficients entiers
Le plan de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
v
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
1
2
3
3
4
4
5
5
5
6
10
2 Groupes et anneaux commutatifs
2.1 Groupes commutatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Homomorphismes de groupes abéliens, isomorphismes . . . . . . . . . . . . .
Le groupe des morphismes de G vers H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Somme et produit de groupes abéliens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Groupes abéliens quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Anneaux commutatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quelques définitions et propriétés élémentaires reliées à la structure d’anneau
Sous-anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Idéaux, anneaux quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Produit fini d’anneaux, système fondamental d’idempotents orthogonaux . .
Théorème des restes chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Idéaux premiers et maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Quelques rappels sur la théorie de la divisibilité dans les anneaux intègres . .
2.3.1 Premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Anneaux factoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
11
12
13
13
14
15
17
18
18
19
21
24
25
26
26
27
27
28
3 Systèmes linéaires sur un anneau principal
3.1 Calcul matriciel et systèmes de Cramer sur un anneau commutatif arbitraire
3.2 Anneaux de Bezout et anneaux principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Réduction de Smith d’une matrice sur un anneau principal . . . . . . . . . .
Manipulations élémentaires et manipulations de Bezout . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
31
31
33
35
35
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ii
Table des matières
3.4
La réduction de Smith . . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Systèmes linéaires sur un anneau principal
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4 Modules sur un anneau commutatif
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Définitions générales concernant les modules . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modules et applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sous-modules, systèmes générateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Applications linéaires entre modules libres de rang fini . . . . . . . . . . .
4.3 Modules de type fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrice représentant une application A-linéaire entre modules de type fini
Un résultat structurel important pour les modules de type fini . . . . . . .
4.4 Sommes et produits de modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Modules quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème de factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sous-modules et quotients d’un module quotient . . . . . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Torsion, annulateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Modules monogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9 Un important résultat d’unicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 Modules de présentation finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Systèmes linéaires sur un anneau commutatif . . . . . . . . . . . . . . . .
Changement de système générateur pour un module de présentation finie
Applications linéaires entre modules de présentation finie . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Modules de présentation finie sur les anneaux principaux
5.1 Structure des applications linéaires entre modules libres . . .
5.2 Théorème de la base adaptée . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Structure des modules de présentation finie . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Un peu de dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Structure des modules de type fini . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
36
39
40
41
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
43
43
43
43
45
45
48
48
49
50
51
52
52
53
53
54
54
55
55
56
56
56
56
58
58
59
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
61
61
62
63
63
64
65
66
66
.
.
.
.
.
.
6 Application : structure d’un endomorphisme
6.1 Un K[X]-module intéressant . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Forme réduite de Frobenius . . . . . . . . . .
6.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
67
67
69
69
71
7 Anneaux et modules nœthériens
7.1 Définition . . . . . . . . . . . .
7.2 Discussion . . . . . . . . . . . .
7.3 Propriétés élémentaires . . . .
7.4 Discussion, suite . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
85
85
85
86
87
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Table des matières
8 Solution des exercices
8.1 Arithmétique de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Rappels sur les groupes abéliens et les anneaux commutatifs
8.3 Systèmes linéaires sur un anneau principal . . . . . . . . . .
8.4 Modules sur un anneau commutatif . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Modules de présentation finie sur les anneaux principaux . .
8.6 Application : structure d’un endomorphisme . . . . . . . . .
iii
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
89
. 89
. 93
. 95
. 97
. 103
. 109
Index des notations
111
Index des termes
113
Avant-Propos
Le contenu de ce cours
Ce cours constitue une introduction à la théorie des modules sur un anneau commutatif, avec
une insistance toute particulière sur le cas des modules de présentation finie sur les anneaux
principaux.
La notion de module est la généralisation aux anneaux commutatifs de la notion d’espace
vectoriel sur un corps.
Comme dans le cas des corps, la théorie des modules peut être vue comme une abstraction
de la théorie de la résolution des systèmes linéaires.
L’exemple le plus élémentaire d’anneau principal est l’anneau des entiers relatifs. C’est pourquoi le chapitre 1 est consacré, d’une part au rappel des propriétés arithmétiques de base de
l’anneau Z, d’autre part à la résolution des systèmes linéaires à coefficients et inconnues dans
Z. Cette résolution s’appuie sur des transformations élémentaires qui ramènent n’importe quel
système linéaire à un système équivalent pour lequel la résolution est tout à fait claire et simple.
Il s’agit d’une adaptation au cas de l’anneau Z de la réduction d’une matrice sur un corps à
la forme standard
Ik
0
0
0
à laquelle le lecteur est habitué.
Cette nouvelle réduction, sur Z, est l’objet du théorème 1.4.1 qui explique comment ramener
une matrice à la forme
D 0
0
0
avec pour D une matrice diagonale.
Un algorithme tout à fait analogue est développé dans le chapitre 3 consacré à la résolution
des systèmes linéaires sur un anneau principal, avec le théorème fondamental 3.3.2 pour la
réduction d’une matrice à la forme de Smith.
La lectrice qui maı̂trise parfaitement ces deux théorèmes peut estimer qu’elle a compris
l’essentiel de ce cours.
Mais il lui faudra aussi faire un effort d’abstraction non négligeable pour faire le lien entre la
théorie des systèmes linéaires et celle des modules. Tout le reste du cours est consacré à expliquer
cette abstraction.
Le chapitre 2 est constitué de rappels concernant les groupes abéliens et anneaux commutatifs, rappels de ce qui est usuellement fait dans les cours de L3. Les points essentiels sont les
théorèmes de factorisation 2.1.15 et 2.2.11, ainsi que le théorème des restes chinois 2.2.17, généralisation à un anneau commutatif arbitraire du théorème analogue pour Z. Tout au plus, peut-être,
certains lecteurs n’auront pas encore entendu parler des systèmes fondamentaux d’idempotents
orthogonaux, mais cette notion ne présente aucune difficulté. Le théorème les concernant (2.2.16)
peut être considéré comme une variante du théorème des restes chinois.
Le chapitre 4 est consacré à la définition des A-modules et à quelques généralités utiles
concernant cette notion. Les groupes abéliens sont exactement les Z-modules, et cela facilitera
vi
Avant-Propos
sans doute la tâche du lecteur, car le chapitre reprend en grande partie, avec quelques modifications nécessaires les rappels sur les groupes abéliens.
Deux notions essentielles sont d’une part celle de A-module libre de rang fini, qui est la généralisation immédiate des espaces vectoriels de dimension finie sur un corps, et d’autre part celle
de A-module de présentation finie, en relation directe avec la résolution des systèmes linéaires.
C’est aussi la généralisation naturelle de la notion de groupe abélien de type fini.
Le chapitre 5 concerne le cas où A est un anneau principal. Il culmine avec le théorème de
structure des A-modules de présentation finie. Auparavant on aura donné la structure d’une
application linéaire entre modules libres de rang fini, et la structure d’une inclusion M ⊆ L
lorsque L est un module libre de rang fini et M un sous-module de type fini.
Signalons que de façon tout à fait étonnante, on ne sait toujours pas si les trois théorèmes de
structure que nous venons d’évoquer sont ou non valables pour le cas des anneaux de Bezout.
Le chapitre 6 est une belle application de la théorie développée au chapitre précédent. On
obtient le décryptage de la structure des endomorphismes d’un K-espace vectoriel de dimension
finie, pour un corps K arbitraire, avec une matrice en forme de Frobenius pour une base convenable de l’espace vectoriel. Il s’agit d’un progrès substantiel par rapport à la classification de
Jordan, qui ne concerne que les endomorphismes dont le polynôme caractéristique est scindé.
Le chapitre 7 qui termine le cours est consacré à une brève discussion d’une notion fort
délicate, qui est la notion de module ou d’anneau nœthérien.
Quelques renseignements pratiques
On trouve un index des notations page 111, suivi d’un index des termes.
Les définitions de termes sont mises en italique gras. Elles sont souvent situées dans le texte
du cours plutôt que dans une définition numérotée.
Tous les théorèmes, proposition définitions etc. . . sont numérotés les uns après les autres
dans chaque section, à l’exception notable des exercices, qui sont regroupés à la fin de chaque
section, avec une numérotation séparée. Un chapitre final est consacré à la correction (de la
plupart) des exercices.
Les exercices marqués d’une étoile sont considérés comme difficiles. Les autres sont plutôt
du style (( application directe du cours )). Il est recommandé de ne pas se précipiter sur les
corrections, mais plutôt d’essayer sérieusement de les résoudre.
Henri LOMBARDI
Laboratoire de Mathématiques de Besancon
UFR des Sciences et Techniques
Université de Franche-Comté
25030 BESANCON cedex FRANCE
fax : (33) 3 81 66 66 23
tel : (33) 3 81 66 63 30
émile : [email protected]
page web : http://hlombardi.free.fr/
1. Arithmétique de base
Introduction
Ce chapitre commence par quelques rappels sur l’arithmétique de base dans N et Z. Il se
termine avec un thème nouveau : la discussion et la solution des systèmes linéaires à coefficients
et inconnues dans Z.
1.1
On a le droit de calculer modulo n
On se place dans Z, et on considère un entier n > 1. On écrit
a ≡ b mod n,
ou encore
a =n b
pour signifier
∃k, a = b + kn.
Dans un tel cas on dit que a et b sont congrus modulo n.
Fait 1.1.1
1. Il s’agit d’une relation d’équivalence.
2. On a les propriétés de stabilité suivantes
a =n a0 et b =n b0
a =n a0 et b =n b0
a =n a0
=⇒
=⇒
=⇒
a + b =n a0 + b0
a × b =n a0 × b0
−a =n −a0
Ainsi tous les calculs dans Z qui utilisent +, −, ×, 0, 1 vont pouvoir être faits sous une forme
miniature, modulo n, en ne conservant que l’information (( a mod n )) pour l’élément a.
Exemple avec n = 100 : pour les nombres écrits en base 10, on ne garde que les deux derniers
chiffres.
Exemple de la preuve par 9 et de la preuve par 11 pour les opérations effectuées avec des
nombres écrits en base 10. Elles sont basées sur le genre de calcul suivant, en remarquant que
10n =9 1n =9 1 et 10n =11 (−1)n :
123524 =9 1 + 2 + 3 + 5 + 2 + 4 =9 17 =9 1 + 7 =9 8,
123524 =11 −1 + 2 − 3 + 5 − 2 + 4 =11 5.
On peut se demander ce qui se passe avec des opérations plus compliquées que +, −, × :
– Ou bien l’opération compliquée est une combinaison des opérations +, −, ×, par exemple
(a, b, c) 7→ 7ab2 − 3abc3 + b4 ,
ou encore
a b
(a, b, c, d, e, f, g, h, i) 7→ d e
g h
et tout se passe bien.
c f i
2
1. Arithmétique de base
– Ou bien ce n’est pas le cas et en général rien ne va plus.
Par exemple la relation d’ordre a complètement disparu.
Autre exemple le quotient et le reste de la division de a par b 6= 0 : ceci est caractérisé par
a = bq + r avec 0 6 r < |b|. Si on les a effectués dans Z, il va rester modulo n l’égalité
a =n bq + r. Mais si l’on remplace a et b par a0 et b0 tels que a =n a0 et b =n b0 et si q 0
et r0 sont le nouveau quotient et le nouveau reste, on n’a pas en général q =n q 0 , ni non
plus r =n r0 . Par exemple comparer modulo 7 le quotient et le reste de la division de 101
par 10 et celui de la division de 31 par 17.
1.2
L’algorithme d’Euclide
Théorème 1.2.1 Soient a, b > 0 dans Z, et g le plus grand diviseur commun à a et b. Alors :
1. Tout diviseur commun à a et b divise g.
2. On peut exprimer g sous la forme ua + vb avec u, v ∈ Z.
Plus précisément il existe une matrice M ∈ M2 (Z) de déterminant ±1 telle que
g
a
.
=
M
0
b
3. m = ab/g est le plus petit commun multiple de a et b : plus précisément, tout multiple
commun à a et b est multiple de m.
Démonstration. La preuve du point 1. est basée sur les deux remarques suivantes :
– Le résultat est trivial si b divise a, dans ce cas g = b, et tout diviseur commun à a et b
divise b.
– Si b ne divise pas a et si par division euclidienne on obtient a = bq + r avec b > r > 0,
alors les diviseurs communs à a et b sont exactement les diviseurs communs à b et r.
Ainsi en démarrant avec a0 = a, b0 = b, on pose a1 = b et b1 = r, et on remplace le problème
de départ pour (a0 , b0 ) par le même problème pour (a1 , b1 ). La remarque importante est que
0 < b1 < b0 . En recommençant l’opération, on remplace ensuite (a1 , b1 ) par (a2 , b2 ) etc. . . Après
un nombre fini d’étapes du processus on tombe forcément sur la situation où pour un certain k,
bk divise ak . Et les diviseurs communs à a et b sont alors exactement les diviseurs de bk .
Tous les diviseurs communs à a et b sont donc diviseurs d’un seul d’entre eux, bk : celui-ci n’est
pas seulement le plus grand au sens de la relation d’ordre usuelle, c’est aussi (( le plus grand ))
au sens de la relation de divisibilité, pour laquelle (( plus grand )) signifie (( être multiple de )).
2. La forme matricielle du calcul précédent est
b
0 1
a
=
, i.e.
r
1 −q
b
a1
b1
0
=
1
1
−q1
a0
b0
Donc si l’on appelle q1 , q2 . . . les quotient successifs, jusqu’à qk+1 le quotient de ak par bk on
aura
bk
0
1
0
1
0
1
a0
=
···
0
1 −qk+1
1 −q2
1 −q1
b0
1 0
0
1
Ainsi en posant M0 =
et, successivement pour i = 0, . . . , k, Mi+1 =
Mi ,
0 1 1 −qi+1
g
a
on obtient en fin de compte
= Mk+1
avec det(Mk+1 ) = (−1)k+1 .
0
b
3. Tout d’abord m = a(b/g) = b(a/g) est bien un multiple commun de a et b. Ensuite si l’on a
un multiple commun ad = bc, en utilisant au + bv = g on obtient
gd = (au + bv)d = adu + bvd = bcu + bvd = b(cu + vd),
d = (b/g)(cu + vd) et ad = m(cu + vd).
2
1.3. Théorème des restes chinois sur Z
3
On appelle ce type d’égalité (( au + bv = pgcd(a, b) )) une relation de Bezout entre a et b.
Le pgcd est aussi souvent noté a ∧ b.
Remarques. 1) L’algorithme des divisions successives pour calculer le pgcd est appelé (( algorithme d’Euclide )). Lorsque on (( enrichit )) l’algorithme de manière à calculer également u et v (ou
même la matrice Mk ) on parle d’(( algorithme d’Euclide étendu )). Il s’agit de la mère de tous
les algorithmes.
2) Au sujet de la propriété caractéristique du pgcd d de a et b :
(( x divise g si et seulement si x divise a et b )).
2a) Si on la lit dans Z, cela détermine g seulement au signe près. La convention la plus pratique
est de choisir le pgcd dans N pour rétablir l’unicité. De manière générale les nombres x et −x
sont équivalents du point de vue la divisibilité.
2b) Puisque tout nombre divise 0, il n’y a pas de difficulté à étendre la notion de pgcd à un
couple (a, b) arbitraire dans Z (dans le théorème on a examiné le cas où a et b sont > 1). En
particulier
pgcd(a, 0) = |a| et pgcd(a, ±1) = 1.
Commentaire. Le mot (( algorithme )) vient de Al Khwarizmi (790-850), un savant perse qui a
écrit un livre en arabe dans le titre duquel se trouvait (( Al Djabr )), qui a donné (( algèbre )).
Deux entiers a et b sont dits étrangers, ou encore premiers entre eux , ou encore comaximaux , lorsque pgcd(a, b) = 1, (on n’a pas besoin pour cela de supposer qu’ils sont positifs,
ni même que leur valeur absolue est > 1). Cette condition équivaut à : ∃u, v ∈ Z, au + bv = 1
et ceci conduit à la définition générale suivante :
Définition 1.2.2 Dans un anneau commutatif arbitraire A deux éléments a, b ∈ A sont dits
étrangers, ou encore comaximaux lorsqu’il existe u, v ∈ A tels que au + bv = 1.
Corollaire 1.2.3 Si a est étranger à b et c alors il est étranger à bc.
Démonstration. On fait le produit des deux relations de Bezout.
2
Exercices
g
u
=
Exercice 1.2.1 Si
0
s
v
t
a
avec ut − vs = 1, à quoi sont égaux s et t ?
b
Exercice 1.2.2 On peut utiliser une légère variante de la division euclidienne. On suppose
seulement a, b 6= 0 (plutôt que a, b > 0). Alors on peut écrire a = bq + r avec |r| 6 |b| /2. Dans
ce cas donner une majoration du nombre d’étapes de l’algorithme d’Euclide ainsi modifié.
Exercice 1.2.3 Donner un algorithme en langage de programation pour l’algorithme d’Euclide
étendu correspondant à la démonstration du théorème 1.2.1.
1.3
Théorème des restes chinois sur Z
Théorème 1.3.1 On considère des entiers a1 , . . . , an deux à deux étrangers et des entiers
x1 , . . . , xn arbitraires, alors il existe un entier x tel que x ≡ xi mod
Q ai pour chaque i. En
outre deux solutions du problème sont congrues modulo le produit a = ni=1 ai .
Démonstration.
Existence. Commençons par le cas n = 2. On écrit a1 u1 + a2 u2 = 1, on remarque alors que
a1 u1 ≡ 1 mod a2
a2 u2 ≡ 1 mod a1
et
a1 u1 ≡ 0 mod a1
a2 u2 ≡ 0 mod a2
4
1. Arithmétique de base
Une solution est donc x = x2 (a1 u1 ) + x1 (a2 u2 ). La différence entre deux solutions éventuelles
est un multiple commun à a1 et a2 , i.e. un multiple de a1 a2 (car a1 et a2 sont étrangers).
Cas général. Montrons d’abord que l’on peut trouver e1 tel que
e1 ≡ 1 mod a1 et e1 ≡ 0 mod ai pour i 6= 1
Pour ceci on multiplie les relations de Bezout pour chacun des couples (a1 , ai ). On obtient une
égalité du type
Q
c1 a1 + f1 ni=2 ai = 1.
Alors e1 = 1 − c1 a1 convient. De la même manière, on construit pour chaque j ∈ J1..nK
un ej
P
qui est congru à 1 modulo aj , et à 0 modulo les autres ai . Finalement on pose x = j xj ej .
Unicité modulo le produit des ai . Q
Si on a deux solutions b et b0 , leur différence est multiple de
chacun des ai . L’unicité modulo ni=1 ai résulte alors du théorème 1.2.1 point 3. (il implique
que tout multiple commun de deux éléments étrangers est multiple de leur produit) et du corollaire 1.2.3 (qui permet de passer à n > 2).
2
Remarque. On pourrait aussi traiter d’abord le cas n = 2 en entier (existence et unicité), et
terminer avec un raisonnement par récurrence sur n.
Les lemmes de Gauss et d’Euclide
Lemme 1.3.2 (lemme de Gauss)
Soient a, b, c, d des entiers > 1.
1. Si pgcd(a, b) = 1 et si a divise bc alors a divise c.
2. (forme symétrique) Si pgcd(a, b) = 1 et si ad = bc alors il existe e tel que c = ae et d = be
3. (forme symétrique, la même, dite autrement) Si pgcd(a, b) = 1, tout multiple commun à a
et b est multiple de ab.
4. (cas particulier : (( lemme d’Euclide ))) Si un nombre premier p divise bc, il divise b ou il
divise c.
Démonstration. Le point 3. a déjà été démontré, sous une forme un peu plus générale : c’est le
théorème 1.2.1 3.
2
Commentaire. Le lemme d’Euclide (apparemment démontré par Gauss pour la première fois)
est le lemme crucial quand on démontre l’uncité de la décomposition d’un nombre entier > 2 en
produit de facteurs premiers.
Exercices
Exercice 1.3.1 (système de congruences simultanées)
On considère sur Z le système de congruences simultanées
x ≡ a1
.. ..
..
. .
.
x ≡ ar
mod n1
..
.
mod nr
1. Dans le cas où une solution existe montrer qu’elle est unique modulo le ppcm des nj .
2. Démontrez que le système admet un solution si et seulement si sont vérifiées les congruences
ai ≡ aj mod pgcd(ni , nj ) pour 1 6 i < j 6 r.
3. Quel est le rapport avec le théorème chinois formulé en termes d’idéaux deux à deux
comaximaux ?
1.4. Systèmes d’équations linéaires sur Z
1.4
5
Systèmes d’équations linéaires sur Z
Manipulations élémentaires sur une matrice à coefficients entiers
On appelle manipulation élémentaire sur une matrice à coefficients dans Z l’une
des transformations suivantes que l’on fait subir à la matrice :
1. Ajout à une ligne d’une combinaison linéaire (à coefficients entiers) des autres lignes.
2. Ajout à une colonne d’une combinaison linéaire (à coefficients entiers) des autres colonnes.
3. Permutation de colonnes ou de lignes.
Si la matrice, notée A, est celle d’un système linéaire AX = C, dont les coefficients et les
inconnues sont dans Z, nous pouvons comparer avec ce que nous savons déjà dans le cas où les
coefficients et les inconnues sont dans un corps (Q par exemple).
Comparaison avec le cas des matrices à coefficients dans Q
Ce qui ne change pas :
– Une manipulation élémentaire de lignes remplace le système linéaire par un système linéaire équivalent dont les coefficients restent dans Z. Autrement dit le système linéaire
est équivalent au précédent, en tant que système à coefficients et inconnues dans Z (pas
seulement dans Q).
– Une permutation de colonnes revient à changer la numérotation des inconnues.
– Faire une manipulation élémentaire de lignes sur A ∈ Mm,n (Z) revient à la multiplier à
gauche par la matrice U ∈ GLn (Z) obtenue à partir de In en lui faisant subir la même
manipulation élémentaire.
– Faire une manipulation élémentaire de colonnes sur A ∈ Mm,n (Z) revient à la multiplier
à droite par la matrice C ∈ GLm (Z) obtenue à partir de Im en lui faisant subir la même
manipulation élémentaire.
Ce qui change :
– On n’autorise pas la division d’une ligne par un élément non nul : dans le cas des corps
Q, R ou C, cela permet de rendre les pivots égaux à 1.
– On autorise des manipulations élémentaires de colonnes. Les inconnues subissent alors
des transformations plus importantes qu’une simple renumérotation. C’est le prix à payer
pour ramener le système linéaire à une forme diagonale. La transformation sur les inconnues n’est cependant (( pas trop grave )), car à partir de la solution obtenue avec les
nouvelles inconnues, on peut retrouver la solution avec les inconnues de départ en faisant
les transformations inverses.
Le plan de travail
– algorithme qui ramène une matrice à coefficients dans Z à la forme (( diagonale )) au moyen
de manipulations élémentaires de lignes et de colonnes
– application à la résolution (et à la discussion si le second membre est donné par des
paramètres) d’un système linéaire à coefficients dans Z.
Théorème 1.4.1 (forme réduite (( diagonale )))
On peut à l’aide des manipulations élémentaires décrites précédemment, ramener toute matrice
à coefficients entiers à une forme réduite du type suivant :
D
0
0
0
la matrice D étant diagonale à diagonale entièrement non nulle.
NB : La matrice D, les colonnes de 0 ou les lignes de 0 peuvent être absentes.
6
1. Arithmétique de base
Démonstration. L’algorithme est le suivant.
Si la matrice est nulle il n’y a rien à faire. Sinon . . .
On repère un coefficient non nul minimum en valeur absolue, disons c.
Si sa ligne et sa colonne sont nulles (hormis lui même), on le ramène en position (1, 1), ce qui
donne une matrice de la forme :
c
0
0
A0
et on doit traiter le problème initial avec la matrice restante A0 , de taille plus petite, ce qui permet
de terminer par récurrence (du point de vue algorithmique on fait une boucle convenable).
Sinon . . .
On repère dans la ligne ou la colonne de c un coefficient non nul, disons a.
– (cas simple) Si c divise a, on utilise c comme pivot pour tuer a et on passe à un nouveau
coefficient non nul dans la ligne ou la colonne de c, s’il en reste.
– (cas décisif) Si c ne divise pas a, on peut écrire c = aq + r avec |r| 6 |c| /2. Par une
manipulation élémentaire autorisée on peut donc remplacer a par r. Maintenant r fait
office de nouveau c, et on peut terminer par récurrence (du point de vue algorithmique on
fait une boucle convenable).
Il est clair que cet algorithme termine, parce que tant que l’on n’est pas ramené au cas d’une
matrice de taille plus petite, chaque étape (( décisive )) remplace le coefficient minimum en valeur
absolue par un coefficient au moins deux fois plus petit (en valeur absolue).
2
Pour voir comment cet algorithme permet la discussion complète des systèmes linéaires sur
Z le mieux est d’examiner un exemple en détail.
Étant donné un système linéaire sur Z écrit matriciellement sous la forme AX = B, on
considère la matrice F = [ A | B ]. On fait subir à F des manipulations élémentaires de lignes,
ce qui ne change pas les solutions du système, et des manipulations élémentaires de colonnes,
seulement sur la partie A de la matrice, ce qui revient à faire un changement d’inconnues. On doit
donc mémoriser les transformations de colonnes. Pour cela on crée une matrice carrée C ayant
pour taille le nombre d’inconnues (i.e. le nombre de colonnes de A). Au départ cette matrice C
est égale à la matrice identité. Ensuite, chaque fois que l’on fait subir à A une manipulation de
colonnes, on fait subir à C la même manipulations de colonnes.
Un exemple
Voici un exemple traité avec Maple :
On va analyser le système linéaire sur Z : AX = B, avec [ A | B ] = F1 , la matrice F1 étant la suivante
(on a mis des paramètres dans le second membre B pour faire la discussion en fonction des valeurs des
paramètres).
Pour faire comprendre comment on choisit la manipulation que l’on va faire, on encadre le coefficient
le plus petit en valeur absolue (parmi les coefficients non nuls) et on souligne, dans sa ligne ou sa colonne,
le plus petit coefficient restant en valeur absolue1 (parmi les coefficients non nuls).
F1 := matrix([[-1075, -175, 545,
-247, 755, -1177, c]]);

−1075


F1 :=  3010
−1489
La matrice C est donnée au départ par
>
>
-850, a], [3010, 490, -1526, 2380, b], [-1489,

-175
545
−850
a
490
−1526
2380
−247
755
−1177

b 

c
C:=LinearAlgebra[IdentityMatrix](4);
1. En fait la lectrice attentive remarquera quelques imperfections de détails, sans influence sur la justesse du
résultat : on n’a pas toujours souligné le coefficient optimal, et le reste de la division n’est pas toujours le reste
centré.
1.4. Systèmes d’équations linéaires sur Z
7

>
F2:=addrow(F1,1,3,-1);

0
0
0

 0

C := 
 0

0
1
0
0
1
0
0

0 


0 

1
545
−850
a

490
−1526
2380
b



-72
210
−1075 −175

F2 := 
 3010
−414
>
167
−85
131
4a − 3c

−1526
2380
b



210
−327
−a + c
41

F3 := 
 3010 490
−414 −72
F4:=addrow(F3,1,3,2);

>
−327 −a + c
F3:=addrow(F2,3,1,-3);

>

1
167
41
−85
131
4a − 3c


F4 := 
 3010
−80
490
−1526
2380
b



10
40
−65
7a − 5c
F5:=addrow(F4,3,1,-4);

−245
391
−24 a + 17 c

490 −1526
2380
b



10
−65
7a − 5c
1
487

F5 := 
 3010
−80
40
>
>
F6:=addcol(F5,2,3,245): F6:=addcol(F6,2,4,-391): F6:=addcol(F6,2,1,-487):
F6:=swapcol(F6,2,1): F6:=addrow(F6,1,2,-490): F6:=addrow(F6,1,3,-10);


1
0
0
0
−24 a + 17 c



F6 := 
 0 −235620 118524 −189210 11760 a − 8330 c + b 
2490
−3975
247 a − 175 c
0 −4950
>
>
C6:=addcol(C,2,3,245): C6:=addcol(C6,2,4,-391): C6:=addcol(C6,2,1,-487):
C6:=swapcol(C6,2,1);


0
1
0
0


 1 −487 245 −391 


C6 := 

 0
0
1
0 


0
>
>
0
0
1
F7:=addcol(F6,3,2,2); C7:=addcol(C6,3,2,2):

1
0
0
0
−24 a + 17 c

F7 := 
 0 1428 118524 −189210 11760 a − 8330 c + b
0 30
2490
−3975
247 a − 175 c
F8:=addrow(F7,3,2,-48);

1

F8 := 
 0
0
0
0
-12
−996
30
2490
0
−24 a + 17 c


−96 a + 70 c + b 

−3975
247 a − 175 c
1590




8
1. Arithmétique de base
>
F9:=addrow(F8,2,3,2);

1
0
0

−24 a + 17 c
0



F9 := 
 0 −12 −996 1590 −96 a + 70 c + b 
0
6
498 −795 55 a − 35 c + 2 b
>
>
>
>
>
F10:=addrow(F9,3,2,2): F10:=swaprow(F10,3,2) ;

1 0
0
0
−24 a + 17 c

F10 := 
 0 6 498 −795 55 a − 35 c + 2 b
0 0
0
0
14 a + 5 b
F11:=addcol(F10,2,3,-83); C11:=addcol(C7,2,3,-83):

1 0 0
0
−24 a + 17 c

F11 := 
 0 6 0 −795 55 a − 35 c + 2 b
0 0 0
0
14 a + 5 b
F12:=addcol(F11,2,4,133); C12:=addcol(C11,2,4,133):

1 0 0 0
−24 a + 17 c

F12 := 
 0 6 0 3 55 a − 35 c + 2 b
0 0 0 0
14 a + 5 b
F13:=addcol(F12,4,2,-2): F13:=swapcol(F13,4,2);
C13:=addcol(C12,4,2,-2): C13:=swapcol(C13,4,2);

1 0 0 0
−24 a + 17 c

F13 := 
 0 3 0 0 55 a − 35 c + 2 b
0 0 0 0
14 a + 5 b


0 133 −83 −265


 1
8
−4
−13 


C13 := 

 0 266 −165 −530 


0
1
0
−2
On a obtenu LA C13 = A13 , LB = B13 avec
– [ A13 | B13 ] est la matrice F13 , autrement dit


1 0 0 0
A13 =  0 3 0 0  et
0 0 0 0

















B13

−24 a + 17 c
=  55 a + 2 b − 35 c 
14 a + 5 b
– L est le produit des matrices élémentaires correspondant aux transformations de lignes,
– C13 est le produit des matrices élémentaires correspondant aux transformations de colonnes
Notons que l’égalité LB = B13 nous donne par simple lecture de B13


−24 0 17
L =  55 2 −35 
14 5
0
Le système de départ A X = B équivaut à LA X = B13 donc aussi à A13 Y = B13 , avec X = C13 Y ,
−1
Y = C13
X.
On a donc les conditions de compatibilité 14 a + 5 b = 0 et 55 a + 2 b − 35 c ≡ 0 mod 3 (c’est-à-dire
a − b + c ≡ 0 mod 3). Lorsque ces conditions sont satisfaites la solution générale en (y1 , y2 , y3 , y4 ) est :
y1
y2
y3
y4
=
=
:
:
−24 a + 17 c
(55 a + 2 b − 35 c)/3
arbitraire
arbitraire
1.4. Systèmes d’équations linéaires sur Z
9
La solution générale en (x1 , x2 , x3 , x4 ) est donnée quant à elle au moyen de deux paramètres m1 = y3 et
m2 = y4 qui peuvent prendre des valeurs arbitraires

 

 
−24 a + 17 c
0 133 −83 −265
x1


 x   1
8
−4
−13 
  (55 a + 2 b − 35 c)/3 
 2  
·

=


 x3   0 266 −165 −530  
m1
m2
0
1
0
−2
x4
>
>
print(‘conditions de compatibilité: ‘, F13[3,5], ‘= 0 ‘,
F13[2,5], ‘congru 0 mod ‘, F13[2,2]);
conditions de compatibilité : , 14 a + 5 b, = 0 , 55 a − 35 c + 2 b, congru 0 mod , 3
>
print(F13[2,5], ‘mod ‘, F13[2,2], ‘est égal à ‘, F13[2,5] mod F13[2,2]);
55 a − 35 c + 2 b, mod , 3, est égal à , a + c − b
>
X:=vector(4,[x1,x2,x3,x4]):
>
>
>
W13:=evalm(C13&^(-1)); Y:=evalm(W13&*X):
y1:=Y[1]: y2:=Y[2]: y3:=Y[3]: y4:=Y[4]:
print(‘changement d’inconnues, y1=‘, y1,‘ y2=‘, y2,‘ y3=‘, y3,‘ y4=‘, y4);
changement d’inconnues, y1 = 487 x1 + x2 − 245 x3 + 391 x4 ,
y2 = − 330 x1 + 166 x3 − 265 x4 , y3 = − 2 x1 + x3 , y4 = − 165 x1 + 83 x3 − 133 x4
>
>
>
Y[1]:= F13[1,5]/F13[1,1]; Y[2]:= F13[2,5]/F13[2,2];
Y[3]:= m1; Y[4]:= m2; X:=evalm(C13&*Y):
x1:=X[1]; x2:=X[2]; x3:=X[3]; x4:=X[4];
Y1 := −24 a + 17 c
Y2 :=
55
3
a−
35
3
c+
2
3
b
Y3 := m1
Y4 := m2
x1 :=
7315
3
x2 :=
x3 :=
a−
368
3
14630
3
4655
3
a−
a−
x4 :=
229
3
9310
3
55
3
266
3
c+
c+
c+
a−
16
3
532
3
35
3
b − 83 m1 − 265 m2
b − 4 m1 − 13 m2
b − 165 m1 − 530 m2
c+
2
3
b − 2 m2
On aurait préféré que Maple n’écrive pas les fractions sous forme séparée, i.e. par exemple qu’il écrive
plutôt :
7315 a − 4655 c + 266 b
− 83 m1 − 265 m2 .
x1 =
3
On termine avec quelques vérifications qui montrent au moins que l’on ne s’est pas trop trompé.
>
x1-(a+c-b)/3; x2+(a+c-b)/3; x3+(a+c-b)/3;
2438 a − 1552 c + 89 b − 83 m1 − 265 m2
123 a − 76 c + 5 b − 4 m1 − 13 m2
4877 a − 3103 c + 177 b − 165 m1 − 530 m2
>
A:=submatrix(F1, 1..3, 1..4);

−1075 −175
545
−850

490 −1526 2380
A := 
 3010
−1489 −247
755
−1177
>




AX:=evalm(A&*X);
AX :=
−475 a − 170 b
1330 a + 476 b
−672 a + c − 240 b
AX1:=subs(b=-14*a/5,AX[1]); AX2:=subs(a=-5*b/14,AX[2]);
AX3:=subs(b=-14*a/5,AX[3]);
AX1 := a
AX2 := b
AX3 := c
>
10
1. Arithmétique de base
Exercices
Exercice 1.4.1
1. Montrer que a = 385 et b = 357 ont pour pgcd 7 en utilisant l’algorithme d’Euclide.
2. En déduire deux entiers u et v ∈ Z tels que ua + vb = 7.
3. Résoudre complètement dans Z2 l’équation 385x + 357y = 0 : les inconnues sont x, y.
4. Résoudre complètement dans Z2 l’équation 385x + 357y = c : les inconnues sont x, y ; c
est un paramètre. (Discuter suivant que c est ou non un multiple de 7.)
5. Résoudre complètement dans Z3 l’équation 385x + 357y + 15z = e : les inconnues sont
x, y, z et e est un paramètre.
Exercice 1.4.2
Résoudre complètement dans Z l’équation suivante (x, y sont les inconnues, a est un paramètre,
la discussion se fait en fonction de la valeur de a) : 36x + 21y = a.
Exercice 1.4.3
À quelle condition nécessaire et suffisante portant sur a et b (éléments de Z) le système linéaire
suivant (inconnues x, y, z ∈ Z) admet-il une solution ?
(
14x + 35y + 10z = a
5x + 11y + 4z
= b
Exercice 1.4.4
1. Calculer le pgcd g de a = 159 et b = 24 par l’algorithme d’Euclide.
2. En déduire le calcul de u et v ∈ Z tels que ua + vb = g.
3. Résoudre complètement dans Z l’équation 159x + 24y = c : les inconnues sont x, y, et c
est un paramètre.
4. Résoudre complètement dans Z l’équation 159x + 24y + 106z = c : les inconnues sont
x, y, z, et c est un paramètre.
Exercice 1.4.5
En application du théorème 1.4.1 montrer que toute matrice dans GLn (Z) peut être obtenue
par des transformations élémentaires de lignes appliquées successivement à la matrice In . Si le
déterminant est égal à 1, les permutations de lignes ne sont pas nécessaires.
Exercice* 1.4.6 (forme réduite de Smith, calcul rapide)
On considère une matrice M ∈ Mn×` (Z). On peut déterminer un mineur maximal non nul, que
l’on note d, par la méthode du pivot de Gauss sur Q.
1. Pour éviter l’explosion dans la taille des coefficients lorsqu’on met en œuvre l’algorithme
du théorème 1.4.1, on fait tous les calculs modulo 2d. Dire quelles précautions on doit
prendre (Z/2d n’est pas vraiment un anneau principal !) pour être certain de récupérer la
forme de Smith de M .
2. Question beaucoup plus difficile : peut-on aussi récupérer pour pas cher des matrices inversibles P et Q telles que P M Q soit en forme de Smith ?
2. Rappels sur les groupes abéliens
et les anneaux commutatifs
2.1
Groupes commutatifs
Définition 2.1.1 Un monoı̈de est un ensemble M avec une loi de composition et une constante vérifiant des propriétés (ou axiomes) convenables. La structure est décrite sous le format
(M, ·, e).
La loi · est une loi binaire, e est une constante.
Les axiomes sont les suivants :
1. e · a = a · e = a (élément neutre)
2. a · (b · c) = (a · b) · c (associativité)
Le monoı̈de est dit commutatif si la loi · est commutative
Remarques. 1) e est l’unique élément neutre (à droite et à gauche) pour la loi ·.
2) L’associativité permet de supprimer les parenthèses, par exemple (a · (b · c)) · d se réécrit sans
ambigüité a · b · c · d.
3) Un élément x d’un monoı̈de est dit idempotent si l’on a x · x = x.
Définition 2.1.2 Un groupe commutatif est un ensemble G avec des lois de composition et
une constante vérifiant des propriétés (ou axiomes) convenables. La structure est décrite sous le
format (G, +, −, 0G ).
La loi + est une loi binaire, la loi − est une loi unaire, 0G est une constante.
Les axiomes sont les suivants :
1. a + b = b + a (commutativité)
2. a + (b + c) = (a + b) + c (associativité)
3. a + 0G = a (élément neutre)
4. a + (−a) = 0G (opposé)
Remarque. On dit aussi groupe abélien à la place de groupe commutatif.
On adopte la convention usuelle d’écriture : a + (−b) = a − b.
Dans le second membre, le symbole − peut alors être interprété comme une loi binaire, dite
de soustraction. Cependant dans l’écriture −a + b − c le premier symbole − est nécessairement
lu comme une loi unaire.
Dans un groupe commutatif (noté additivement), 0 est l’unique élément vérifiant 0 + y = y
pour tout y, et −x est l’unique élément vérifiant x + (−x) = 0. Pour cette raison (unicité),
on omet parfois de donner la loi unaire − et la constante 0 comme éléments constitutifs de la
structure de groupe. Cette prise de position ne tient pas la route si l’on veut implémenter une
structure de groupe sur machine : on doit alors donner l’élément 0 et la loi x 7→ −x de manière
explicite.
12
2. Groupes et anneaux commutatifs
Remarque. Il arrive souvent qu’une loi de groupe soit notée ×, ◦ ou · , ou même sans aucun
symbole. On dit alors que le groupe est noté multiplicativement. La notation pour le neutre
n’est plus 0, mais 1 ou e, ou encore autre chose, de même l’opposé de a n’est plus noté −a mais
a−1 . Dans ce cas on parle par exemple du groupe (G, · , a 7→ a−1 , 1G ).
Addition (ou loi binaire) répétée
On considère un groupe G en notation additive. On définit une (( loi externe )) (n, x) 7→ n · x
(généralement noté seulement nx), pour n ∈ Z et x ∈ G. Cela se définit comme suit :
def
• 0Z · x = 0G
def
• 1·x = x
def
• n · x = x + · · · + x (n fois) si n > 2
def
• (−1) · x = −x
def
• (−n) · x = −(n · x) = (−x) + · · · + (−x) (n fois) si n > 2
On vérifie alors que
(n +Z m) · x = (n · x) +G (m · x)
et
m · (n · x) = (mn) · x pour tous m, n ∈ Z.
Notez la ressemblance avec quelque chose de familier : la loi externe dans le cas d’un espace
vectoriel possède les mêmes propriétés.
Remarque. En notation multiplicative :
def
def
def
• a0 = 1, a1 = a, an = a · · · a (n fois) si n > 2,
def
def
• a−1 = a−1 ( ! ! !), a−n = (an )−1 = a−1 · · · a−1 (n fois) si n > 2,
• avec les propriétés a(n+m) = an · am , a(mn) = (am )n .
Homomorphismes de groupes abéliens, isomorphismes
Ce qui suit est tout à fait similaire à ce que l’on a vu pour les applications linéaires entre
espaces vectoriels. Dans le cas des groupes, on ne parle plus d’application linéaire mais d’homomorphisme, ou de morphisme.
Théorème et définition 2.1.3 On considère deux groupes (G, +, −, 0) et (G0 , +0 , −0 , 00 ).
1. Un homomorphisme de G dans G0 est une application h : G → G0 qui (( conserve les
lois )), i.e. pour tous x, y dans G :
(a) h(x + y) = h(x) +0 h(y)
(b) h(−x) = −0 h(x)
(c) h(0) = 00
2. En fait, il suffit que la propriété 1a) soit satisfaite pour que h soit un homomorphisme.
3. Un homomorphisme bijectif est appelé un isomorphisme. Dans ce cas, la bijection
réciproque est également un homomorphisme, donc un isomorphisme.
Exemple. Les applications log et exp sont deux isomorphismes réciproques entre les groupes
(R+ , ×, x 7→ x−1 , 1) et (R, +, −, 0).
Lemme 2.1.4
1. Un homomorphisme de groupes commutatifs h : G → G0 est injectif si et seulement si
h−1 (0) = {0}. On note Ker h = h−1 (0) et on l’appelle le noyau de h.
2. Le composé de deux homomorphismes G1 → G2 et G2 → G3 est un homomorphisme.
2.1. Groupes commutatifs
13
3. Les automorphismes d’un groupe commutatif forment un groupe (en général non commutatif ) pour la composition.
Fait 2.1.5 Soit (G, +, −, 0) un groupe commutatif et a ∈ G. L’application
µa,G : Z −→ G,
n 7−→ n · a
(2.1)
est l’unique homomorphisme de Z dans G qui envoie 1 sur a.
Remarque. Voici l’énoncé correspondant en notation multplicative pour le groupe (Q+ , · ) :
l’application n 7→ an , Z → Q+ est l’unique homomorphisme de Z dans Q+ qui envoie 1 sur a.
Le groupe des morphismes de G vers H
Notons HomGroupes (G, H) l’ensemble des morphismes du groupe G dans le groupe H.
Lemme 2.1.6 Soient G, H deux groupes abéliens1 .
1. Il existe une structure naturelle de groupe sur l’ensemble E = HomGroupes (G, H) définie
comme suit :
ϕ +E ψ
−E ϕ
0E
def
=
(x 7−→ ϕ(x) + ψ(x))
def
=
(x 7−→ −ϕ(x))
def
(x 7−→ 0H )
=
2. L’application
µG : G −→ HomGroupes (Z, G),
a 7−→ µa,G
est un isomorphisme de groupes.
Sous-groupes
Définition 2.1.7 Un sous-groupe H d’un groupe G est une partie stable par les opérations
+, − qui contient l’élément 0G .
Dans un tel cas, H est muni d’une structure de groupe pour les lois induites par +, − et la
constante 0G . En outre l’injection canonique H → G est un homomorphisme. Un tel homomorphisme est appelé un homomorphisme d’inclusion, ou encore une inclusion.
Fait 2.1.8 Si ϕ : G → G0 est un homomorphisme de groupes, l’image Im ϕ = ϕ(G) est un
sous-groupe de G0 , et le noyau Ker ϕ = ϕ−1 (0) est un sous-groupe de G.
Fait 2.1.9 Si C est une partie d’un groupe abélien G il existe un sous-groupe dePG, noté hCi,
qui est le plus petit-sous groupe de G contenant C. Il est formé par les sommes ki=1 mi xi , où
les mi ∈ Z et les xi ∈ C. On dit que hCi est le sous-groupe de G engendré par C.
Un groupe abélien G est dit de type fini s’il est engendré par une partie finie.
1. Ce lemme n’est valable que parce que les groupes considérés sont abéliens.
14
2. Groupes et anneaux commutatifs
Somme et produit de groupes abéliens
Si H1 et H2 sont deux sous-groupes de G, alors l’intersection H1 ∩ H2 est un sous-groupe de
G, la réunion H1 ∪ H2 engendre le sous-groupe H1 + H2 = { h1 + h2 | h1 ∈ H1 , h2 ∈ H2 }, qui
est appelé la somme de H1 et H2 .
Si en outre on a
(h1 ∈ H1 , h2 ∈ H2 , h1 + h2 = 0) =⇒ h1 = h2 = 0,
on dit que les sous-groupes H1 et H2 sont en somme directe et l’on écrit H1 ⊕ H2 pour
H1 + H2 .
Si H1 ⊕ H2 = G on dit que G est somme directe interne de H1 et H2 et que H2 est un
supplémentaire de H1 dans G. Un sous-groupe H de G est dit facteur direct dans G s’il
possède un supplémentaire dans G.
Plus généralement. Soit (Hi )i∈I est une famille de sous-groupes de G.
S
1. La réunion i∈I Hi engendre le sous-groupe
nP
o
P
H
=
h
|
h
∈
H
,
J
une
partie
finie
de
I
,
i
j
j
j
i∈I
j∈J
qui est appelé la somme des Hi .
2. Si en outre on a pour toute partie finie J de I
P
(hj ∈ Hj , j∈J hj = 0) =⇒ ∀j ∈ J, hj = 0,
P
L
on dit que les sous-groupes Hi sont en somme directe et l’on écrit i∈I Hi pour i∈I Hi .
Nous fixons le contexte suivant pour la fin du paragraphe.
Q
Soit (Gi )i∈I une famille de groupes abéliens, et G = i∈I Gi
l’ensemble produit cartésien de la famille, c’est-à-dire l’ensemble des familles
(xi )i∈I telles que chaque xi est dans Gi .
Notons πk : G → Gk la projection canonique (xi )i∈I 7→ xk .
Proposition et définition 2.1.10 Il existe une unique structure de groupe abélien sur G qui
fasse de chaque πk un homomorphisme de groupes. Par exemple en notation additive, lorsque
l’on note les structures sous la forme (Gi , +Gi , −Gi , 0Gi ) et (G, +G , −G , 0G ) on a les égalités
suivantes.
(xi )i∈I +G (yi )i∈I = (xi +Gi yi )i∈I ,
0G = (0Gi )i∈I
et
−G (xi )i∈I = (−Gi xi )i∈I .
On dit que G est le groupe produit de la famille (Gi )i∈I . Lorsque I = {1, . . . , n} on note
aussi G1 × · · · × Gn .
I
Cas particulier
Q : lorsque tous les groupes Gi sont égaux à un même groupe H on note H pour
le produit i∈I H.
Lemme 2.1.11 Soient H1 et H2 deux sous-groupes d’un groupe abélien G. On a un homomorphisme naturel
H1 × H2 −→ H1 + H2 , (h1 , h2 ) 7−→ h1 + h2 .
Cet homomorphisme est un isomorphisme si et seulement si H1 ∩ H2 = {0} c’est-à-dire si
H1 + H2 = H 1 ⊕ H2 .
Q
Proposition 2.1.12 Il revient au même de donner un homomorphisme ϕ : H → i∈I Gi , ou
de donner une famille d’homomorphismes (ϕi )i∈I , où chaque ϕi est un homomorphisme de H
dans Gi . Précisément, pour un ϕ donné, on définit la famille (ϕi )i∈I par
πk ◦ ϕ = ϕk .
2.1. Groupes commutatifs
15
Réciproquement si la famille (ϕi )i∈I est donnée il faut définir ϕ par
ϕ(x) = (ϕi (x))i∈I .
Sous forme plus abstraite, l’application
Q
Q
HomGroupes (H, i∈I Gi ) −−→ i∈I (HomGroupes (H, Gi )),
ϕ 7−→ (πi ◦ ϕ)i∈I
est une bijection et même un isomorphisme de groupes.
Pour chaque k ∈ I notons k : Gk → G l’homomorphisme naturel qui à x ∈ Gk associe la
famille k (x) = (yi )i∈I définie par yi = 0 si i 6= k et yk = x.
Définition
2.1.13 Les sous-groupes
somme directe dans G et le sous-groupe
P
L k (Gk ) sont en L

(G
)
est
noté
(par
abus)
G
.
On
dit
que
i
i∈I i
i∈I i
i∈I Gi est le groupe somme directe
(externe) de la famille (Gi )i∈I .
Remarque.
L
– Le groupe i∈I Gi est donc l’ensemble des familles (xi )i∈I telles que tous les xi sauf un
nombre fini sont nuls.
L
Q
– Dans le cas où I est fini, on a i∈I Gi = i∈I Gi . Ceci justifie que l’on note G1 × · · · × Gn
également sous la forme
L G 1 ⊕ · · · ⊕ Gn .
– Pour x = (xi )i∈I ∈ i∈I Gi , on dit que xk est la coordonnée de x pour l’indice k.
– Cas particulier : lorsqueL
tous les groupes Gi sont égaux à un même groupe H on note H (I)
pour la somme directe i∈I H.
L
Proposition 2.1.14 Il revient au même de donner un homomorphisme ϕ : i∈I Gi → H, ou
de donner une famille d’homomorphismes (ϕi )i∈I , où chaque ϕi est un homomorphisme de Gi
dans H. Précisément, l’application
Q
L
ϕ 7−→ (ϕ ◦ i )i∈I
HomGroupes ( i∈I Gi , H) −→
i∈I (HomGroupes (Gi , H)),
est une bijection et même un isomorphisme de groupes.
L
Si la famille (ϕi )i∈I est donnée l’élément correspondant ϕ de HomGroupes ( i∈I Gi , H) est
défini par
P
ϕ(x) = ϕ((xi )i∈I ) = j∈J xj ,
où J est une partie finie de I contenant tous les indices à coordonnée non nulle pour x.
Exemple. Le groupe additif d’un anneau de polynômes A[X] est isomorphe à A(N) : au polynôme
f (X) on fait correspondre la suite (infinie) de ses coefficients, tous nuls sauf pour un nombre
fini d’entre eux.
Groupes abéliens quotients
Ensemble quotient
Rappelons que l’on définit l’ensemble quotient d’un ensemble E par une relation d’équivalence ∼, souvent noté E/ ∼, au moyen des conventions suivantes :
– Un élément arbitraire x de E/∼ est toujours donné par un élément x de E.
On peut écrire x := x mod ∼ .
– L’égalité dans E/∼ est définie par :
x = y dans E/∼
⇐⇒
x ∼ y dans E.
On a alors l’application surjective
πE,∼ : E −→ E/∼ ,
x 7−→ x := x mod ∼
qui est appelée la projection canonique de E sur E/∼ .
16
2. Groupes et anneaux commutatifs
Décomposition canonique d’une application
Lorsqu’on a une application ϕ : E → F , la relation
def
x ∼ x0
ϕ(x) = ϕ(x0 )
⇐⇒
est une relation d’équivalence sur E et l’on obtient une décomposition canonique de ϕ sous la
forme ϕ = j ◦ θ ◦ π
ϕ
E
j
/ F
O
π
E/∼
/ ϕ(E)
θ
où π = πE,∼ est la projection canonique, j l’injection canonique et θ une bijection. Ce genre de
décomposition se particularise souvent comme dans le point 2. du théorème 2.1.15, pour lequel
les 4 applications sont des morphismes de groupes.
Congruence modulo un sous-groupe
Lorsque H est un sous-groupe d’un groupe abélien G, on définit sur G la congruence modulo H
x ≡ y mod H
def
⇐⇒
x ∈ y + H = {x + h | h ∈ H }
qui est une relation d’équivalence. L’ensemble quotient est noté G/H et il est muni d’une structure de groupe (unique) qui fait de la projection canonique G → G/H un homomorphisme de
groupes. On dit que G/H est le groupe quotient de G par le sous-groupe H (en fait il s’agit
d’une abréviation pour : groupe quotient de G par la congruence modulo H).
Théorème 2.1.15
1. (théorème de factorisation) Soit H un sous-groupe d’un groupe abélien G. Pour qu’un
homomorphisme ψ : G → K se factorise par G/H il faut et suffit que H ⊆ Ker ψ.
ψ1
Dans un tel cas l’homomorphisme G/H −→ K qui réalise la factorisation est unique.
Autrement dit ψ1 est l’unique morphisme de groupes G/H → K tel que ψ1 ◦ π = ψ.
Dans toute la suite du cours, on donne une version imagée des théorèmes de factorisation unique au moyen de dessins du style suivant : la flèche en trait-tiret indique que
l’on cherche une factorisation, le point d’exclamation indique qu’elle existe et qu’elle est
unique.
G LL
π
G/H
LL
LLψ
LL
LL
LL
_ _ _ _ _%/
ψ1 !
homomorphisme qui s’annule sur H
K
2. (décomposition canonique d’un morphisme)
Tout homomorphisme ϕ : G → K de groupes abéliens se décompose sous forme
ϕ = j ◦ θ ◦ π,
G
j
ϕ
π
G/ Ker ϕ
– π : G → G/Ker ϕ est la projection canonique,
– j : ϕ(G) → K est l’homomorphisme d’inclusion et
– θ : G/Ker ϕ → ϕ(G) est un isomorphisme.
/ K
O
θ
/ ϕ(G)
2.1. Groupes commutatifs
17
En particulier tout homomorphisme surjectif G → K permet d’identifier K à un module
quotient de G, via l’isomorphisme G/Ker ϕ → K obtenu par factorisation.
Exemples. 1) Notons Q+ = { x ∈ Q | x > 0 }. Le théorème fondamental de l’arithmétique (décomposition unique d’un nombre entier en produit de facteurs premiers) implique pour le groupe
multiplicatif (Q+ , ×) la structure suivante : Q+ ' Z(P ) , où P est l’ensemble des nombres premp
mp
miers : tout élément r ∈ Q+ s’écrit sous forme p1 1 · · · pk k avec les pi premiers distincts et
mp1 , . . . , mpk ∈ Z ; ainsi à r on fait correspondre la famille des exposants (presque tous nuls)
mp ∈ Z pour p ∈ P .
2) Plus généralement si A est un anneau factoriel et K son corps de fractions, on a un isomorphisme K× /A× ' Z(P ) , où P est un système de représentants des éléments irréductibles. Cet
isomorphisme est également significatif par le fait qu’il respecte aussi les structures d’ordre
naturelles sur ces deux groupes :
def
– sur le premier la relation d’ordre est donnée par la divisibilité (x | y ⇐⇒ y/x ∈ A),
– sur le second la relation d’ordre est l’ordre produit.
Sous-groupes et quotients d’un groupe quotient
Proposition 2.1.16 Soit H un sous-groupe d’un groupe abélien G et π : G → G/H la projection canonique. L’application
K 7−→ π −1 (K)
établit une bijection croissante entre les sous-groupes de G/H d’une part et les sous-groupes de
G contenant H d’autre part. Cette bijection transforme sommes et intersections en sommes et
intersections. La bijection réciproque est L 7→ π(L) ' L/H. En outre pour des sous-groupes
K2 ⊆ K1 ⊆ G/H, en notant Li pour π −1 (Ki ), l’homomorphisme obtenu en composant les deux
homomorphismes naturels
L1 −→ K1 −→ K1 /K2
donne par le théorème de factorisation un isomorphisme
∼
L1 /L2 −→
K1 /K2 .
On peut réécrire cet isomorphisme sous la forme
∼
L1 /L2 −→
(L1 /H)/(L2 /H).
Proposition 2.1.17 Soient H et K deux sous-groupes d’un groupe abélien G. Alors l’homomorphisme obtenu en composant les deux homomorphismes naturels
H −→ H + K −→ (H + K)/K
donne par le théorème de factorisation un isomorphisme
∼
H/(H ∩ K) −→
(H + K)/K.
Exercices
Exercice 2.1.1 Décrire les sous-groupes de Z et ceux de Z/nZ (n ∈ N∗ ).
Exercice 2.1.2 Soient n, m ∈ N∗ .
1. Décrire les homomorphismes de Z/nZ dans un groupe abélien arbitraire G.
2. Décrire le groupe HomGroupes (Z/nZ, Z/mZ). Quand est-il réduit à 0 ?
18
2. Groupes et anneaux commutatifs
2.2
Anneaux commutatifs
Définition 2.2.1 Un anneau (unitaire) est un ensemble A avec des lois de composition et des
constantes vérifiant des propriétés (ou axiomes) convenables. La structure est décrite sous le
format (A, +, −, ×, 0A , 1A ).
Les lois + et × sont des lois binaires, la loi − est une loi unaire, 0A , 1A sont deux constantes.
Les axiomes sont les suivants :
1. (A, +, −, 0A ) est un groupe commutatif.
2. (A, ×, 1A ) est un monoı̈de.
3. a × (b + c) = (a × b) + (a × c), (b + c) × a = (b × a) + (c × a) (distributivité à gauche et à
droite de la multiplication sur l’addition)
Les règles de distributivité peuvent se reformuler en disant que pour tout a, les applications
x 7→ ax et x 7→ xa sont des endomorphismes du groupe additif (A, +, −, 0). En particulier elles
impliquent que a × 0 = 0 × a = 0 ainsi que a × (−b) = −(a × b) = (−a) × b.
Dans un anneau unitaire 1A est l’unique élément e vérifiant ex = xe = x pour tout x.
Notons que x + x = x implique x = 0, mais que l’équation e × e = e admet au moins les
deux solutions 1 et 0.
Dans les formules écrites on omet en général le signe × et on applique la règle de priorité
(facilitée visuellement par l’ommission du signe ×) qui demande de lire a + bc comme a + (bc)
et non pas comme (a + b)c.
Fait 2.2.2 Un anneau A est réduit à son seul élément 0A si et seulement si 1A = 0A . Un tel
anneau est dit trivial ou nul.
Un anneau est dit commutatif si la multiplication est commutative.
On peut supprimer l’exigence de l’élément neutre pour × auquel cas on parle d’anneau sans
la mention (( unitaire )).
Comme ce cours est consacré à 99% aux anneaux commutatifs unitaires,
on applique dans la suite la convention terminologique locale selon laquelle
(( anneau )) vaut pour (( anneau commutatif unitaire )).
Les rares cas contraires seront clairement mentionnés.
Quelques définitions et propriétés élémentaires reliées à la structure d’anneau
Nous supposons que A est un anneau commutatif unitaire.
– Un morphisme (ou homomorphisme) d’un anneau A vers un anneau B est un morphisme ϕ du groupe (A, +, −, 0) vers le groupe (B, +, −, 0) qui, en outre, préserve la
multiplication (ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y)) et l’élément neutre (ϕ(1A ) = 1B ).
– Un élément a ∈ A est dit inversible (dans A) s’il existe b ∈ A tel que ab = 1. On dit
aussi (( a est une unité de l’anneau A )).
L’ensemble des éléments inversibles de l’anneau A est noté A× , on obtient ainsi le groupe
des unités (A× , ×, x 7→ x−1 , 1A ). Par exemple Z× = {±1}.
On notera A∗ l’ensemble A \ {0}, à ne pas confondre avec A× .
– Un anneau (commutatif unitaire) non trivial dans lequel tout élément non nul est inversible est appelé un corps. Cela revient à dire que les éléments non nuls de l’anneau forment
un groupe pour ×, c’est-à-dire que A∗ = A× .
– L’expression (( corps )) sous-entend toujours (( commutatif )).
Dans le cas non commutatif on parle de (( corps gauche )) ou d’(( algèbre à division )) (division ring dans les livres écrits en anglais).
2.2. Anneaux commutatifs
19
– L’élément a de A est dit régulier si l’on a droit à la règle de simplification ax = ay ⇒
x = y ; c’est-à-dire si x 7→ ax est injective. Comme x 7→ ax est un endomorphisme du
groupe additif (A, +, −, 0), cela revient à dire que ax = 0 ⇒ x = 0.
– Un élément x non nul et non régulier est appelé un diviseur de zéro. On a alors x et y
non nuls avec xy = 0.
– Tout élément inversible est régulier.
– Un anneau dans lequel tout élément non nul est régulier est appelé un anneau intègre.
On lit parfois : domaine d’intégrité. Tout corps est un anneau intègre.
Premiers exemples
On ne mentionne pas les lois lorsqu’elles sont (( bien connues )).
• Q, R, C sont des corps.
• Z est un anneau intègre. Les seuls éléments inversibles sont ±1.
• Z/nZ. Le fait (( on a le droit de calculer modulo n )) peut s’interpréter au moyen des deux
affirmations suivantes.
1. Si l’on identifie deux entiers dès qu’ils sont égaux modulo n, on obtient encore un anneau
commutatif, que l’on note Z/nZ.
2. En notant a l’entier a modulo n, l’application x 7→ x de Z dans Z/nZ conserve les lois +,
− et ×.
Si plusieurs modules interviennent on pourra utiliser des notations comme e
a, a◦ , a• , b
a ...
Fait 2.2.3 L’anneau Z/nZ est un corps si et seulement si n est un nombre premier.
• Lorsque p est un nombre premier on note Fp le corps Z/pZ. On peut construire à partir de
Fp des corps finis plus grands. Voici un exemple : on vérifie que dans F7 , −1 n’est pas un carré.
On peut alors rajouter de manière purement formelle la racine carrée de −1, que l’on note par
exemple i. Un élément du corps obtenu, noté Fp [i] s’écrit de manière unique a + ib avec a et b
dans F7 . On vérifie facilement que l’on obtient bien un corps, qui a 49 éléments.
• Z[X] est un anneau intègre. Pour tout anneau intègre A l’anneau des polynômes A[X] est
intègre.
• Mn (Q) ou Mn (Z) ou Mn (R) sont des anneaux unitaires, non commutatifs (si n > 1) avec des
diviseurs de zéro (si n > 1).
• Si (H, +) est un groupe commuatif, le groupe abélien
def
EndGroupes (H) = HomGroupes (H, H)
peut être muni d’une structure naturelle d’anneau (en général non commutatif) en prenant pour
loi produit la composition des applications
(h1 , h2 ) 7−→ h1 ◦ h2
L’élément neutre pour la multiplication est IdH .
• De manière analogue si V est un espace vectoriel réel, on obtient pour les endomorphismes de V
la structure (EndR (V ), +, −, ◦, 0, IdV ) qui est un anneau unitaire (en général non commutatif).
Sous-anneaux
Définition 2.2.4 Un sous-anneau A d’un anneau B est une partie stable par +, −, × qui
contient les éléments 0B et 1B .
20
2. Groupes et anneaux commutatifs
Dans un tel cas, A est muni d’une structure d’anneau pour les lois induites par +, − et ×
et les constantes 0B et 1B .
En outre l’injection canonique A → B, x 7→ x est un homomorphisme. Un tel homomorphisme est appelé un homomorphisme d’inclusion, ou encore une inclusion.
Remarque. On aurait pu simplement demander dans la définition 2.2.4 que A contienne −1 et
soit stable par + et ×.
Fait 2.2.5 Si ϕ : A → B est un homomorphisme d’anneaux, l’image ϕ(A) est un sous-anneau
de B, et l’application A → ϕ(A) qui en découle est un homomorphisme surjectif d’anneaux.
En bref tout homomorphisme d’anneaux se décompose naturellement en un homomorphisme
surjectif suivi d’une inclusion.
Considérons un homomorphisme injectif d’anneaux A → B. Alors l’application A → ϕ(A)
qui en découle est un isomorphisme d’anneaux.
En bref la différence qui sépare d’un homomorphisme injectif d’une inclusion est presque
imperceptible : un homomorphisme injectif est un isomorphisme suivi d’une inclusion.
Sous-anneau engendré par . . .
Fait 2.2.6 Soit A un anneau.
1. Il existe un unique homomorphisme d’anneau Z → A, le sous-anneau image est aussi le
sous-groupe additif engendré par 1.
Dans la suite on note ZA ou Z ce sous-anneau de A.
2. Z est le plus petit sous-anneau de A.
3. Si l’homomorphisme Z → A est injectif, Z est isomorphe à Z.
Sinon, si n est le plus petit entier > 0 tel que n · 1A = 0A , Z est isomorphe à Z/nZ. On dit
que n est la caractéristique de A. L’anneau nul est le seul anneau de caractéristique 1.
Soient A ⊆ B des anneaux et x ∈ B. Le (( plus petit sous-anneau de B contenant A et x ))
existe : c’est l’ensemble des y ∈ B qui peuvent s’écrire sous la forme
y = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn
pour un entier n et des éléments a0 , . . . , an dans A.
Ce sous-anneau est en général noté A[x], ce qui peut conduire à une certaine confusion avec
l’anneau des polynômes en une indéterminée, mais fort heureusement A[X] est le plus petit
sous-anneau de A[X] contenant A et X.
Plus généralement on peut se poser le problème suivant :
Montrer qu’existe et décrire le plus petit sous-anneau de B
contenant une partie donnée C de B
Un argument très abstrait pour affirmer qu’un tel (( plus petit sous-anneau contenant C ))
existe consiste à considérer l’ensemble
\
C=
D
D∈A, C⊆D
où A est (( l’ensemble de tous les sous-anneaux de B )). On vérifie que C est un sous-anneau de
B qui répond à la question posée.
Une construction plus explicite de ce sous-anneau procède par récurrence comme suit.
Tout d’abord pour deux parties E et F de B on définit E + F = { x + y | x ∈ E, y ∈ F } et
E · F = { xy | x ∈ E, y ∈ F }. Ensuite :
2.2. Anneaux commutatifs
21
On définit C0 = C ∪ {0, 1, −1}.
On définit C1 = C0 + C0 .
On définit C2 = C1 · C1 .
Plus généralement
– pour k pair > 2, on pose Ck+1 = Ck + Ck , et
– pour k impair
S> 3, on pose Ck+1 = Ck · Ck .
Enfin on pose C = k∈N Ck . On voit facilement que C est bien un sous-anneau et qu’il est
contenu dans tout sous-anneau de B contenant C.
–
–
–
–
Notons que cette construction fonctionne aussi dans le cas d’un anneau non commutatif B
mais que celle donnée pour A[x] ne conviendrait pas : l’ensemble décrit ci-dessus n’est pas a
priori stable par produit : par exemple axbx ne se réécrit pas a priori sous la forme cx2 .
Corps des fractions d’un anneau intègre
On peut construire le corps des fractions d’un anneau intègre.
Tout anneau intègre s’identifie à un sous-anneau de son corps des fractions.
Idéaux, anneaux quotients
Calculer modulo un idéal
On a vu que l’on peut calculer modulo n dans Z. On a vu que cela revient à dire que l’on
peut définir un anneau Z/nZ tel que l’application naturelle
πn : Z −→ Z/nZ, x 7−→ x
soit un homomorphisme surjectif d’anneaux. Le noyau de cet homomorphisme n’est autre que
le sous-groupe nZ de Z. Ainsi Z/nZ est l’ensemble quotient de Z pour la relation d’équivalence
(( congruence modulo n )) et il est muni d’une structure d’anneau.
De manière générale si I est un sous-groupe additif de (A, +) pour un anneau (A, +, ×), on
se pose la question :
Peut-on (( calculer modulo I )) ?
La réponse est que I doit être un idéal de A. Elle est précisée dans la proposition suivante.
Proposition et définition 2.2.7 Un idéal d’un anneau A est un sous-groupe pour l’addition
qui vérifie la propriété :
∀a ∈ I, ∀x ∈ A, xa ∈ I.
Dans un tel cas il y a une unique structure d’anneau sur le groupe quotient A/I pour laquelle
la projection canonique πA,I : A → A/I soit un homomorphisme d’anneau.
L’anneau A/I ainsi défini s’appelle l’anneau quotient de A par l’idéal I.
Remarques.
1) La question encadrée peut se reformuler dans un cadre très général et en termes abstraits
comme suit : (( lorsque A est un anneau et ∼ une relation d’équivalence sur A, à quelle condition
sur ∼ peut-on munir l’ensemble quotient d’une structure anneau de façon à ce que la surjection
canonique x 7→ x soit un homomorphisme d’anneaux ? )).
La réponse est que la relation d’équivalence est nécessairement la congruence modulo un sousgroupe, et que ce sous-groupe doit en outre être un idéal.
2) On a Ker πA,I = I. Tout idéal est donc le noyau de la projection canonique qu’il définit. On va
bientôt voir la réciproque (théorème 2.2.11) : tout noyau d’un homomorphisme d’anneaux est un
idéal. En outre, le théorème théorème 2.2.11 implique que si ϕ : A → B est un homomorphisme
surjectif d’anneau, alors on se trouve, à isomorphisme unique près, exactement dans la situation
πA,I : A → A/I .
22
2. Groupes et anneaux commutatifs
3) Un idéal I de A contient un élément inversible si et seulement si il contient 1, si et seulement
si I = A, si et seulement si l’anneau quotient est nul. Un idéal qui ne contient pas 1 est appelé
un idéal propre.
4) Indiquons ce qui se passe lorsque A est un anneau non commutatif. On dit qu’un sous-groupe
additif I de A est un idéal à gauche si (( ∀a ∈ I, ∀x ∈ A, xa ∈ I )), on dit que c’est un
idéal à droite si (( ∀a ∈ I, ∀x ∈ A, ax ∈ I )). Un sous-groupe additif qui est à la fois un
idéal à gauche et à droite est appelé un idéal ou encore un idéal bilatère. La proposition
précédente s’applique alors dans le cadre non commutatif, en prenant bien soin que idéal signifie
idéal bilatère.
Fait 2.2.8 Si a1 , . . . , an ∈ A, le plus petit idéal qui contient ces éléments existe, il est égal à
a1 A + · · · + an A,
def
où aA = { ax | x ∈ A }. Il est souvent noté ha1 , . . . , an iA , ou ha1 , . . . , an i si le contexte fixe
clairement l’anneau A. On dit que c’est un idéal de type fini parce qu’il est engendré par un
nombre fini d’éléments.
Calculer modulo cet idéal, c’est calculer à la fois modulo a1 , modulo a2 , . . ., modulo an .
Un idéal aA = hai engendré par un seul élément est appelé un idéal principal .
Exemples. 1) Un corps K possède exactement deux idéaux : h0i = {0} et h1i = K.
2) Tous les idéaux de type fini de l’anneau Z sont principaux. En effet, si g est le pgcd de m et
n alors gZ = mZ + nZ.
3) Le même résultat s’applique pour K[X] si K est un corps, car l’algorithme d’Euclide sur Z
fonctionne (( presque à l’identique )) sur K[X]. Cela montre que pour deux polynômes M et N
dans K[X], il y a un diviseur commun de la forme G = AM + BN , de sorte que hM, N i = hGi.
4) L’idéal h3, Xi de Z[X] n’est pas principal. L’idéal 9, 3X, X 2 de Z[X] ne peut pas être
engendré par seulement 2 éléments. Signalons que la description complète des idéaux de Z[X]
est assez compliquée.
Opérations sur les idéaux
La proposition qui suit généralise le fait 2.2.8.
Proposition 2.2.9 Si P est une partie de l’anneau A, l’idéal engendré par P existe :
n
o
Xn
def
I = x ∈ A | ∃n ∈ N, ∃x1 , . . . , xn ∈ P, ∃a1 , . . . , an ∈ A, x =
ai xi
i=1
est un idéal, c’est le plus petit idéal de A contenant P .
NB : Si n = 0 la somme est vide et (par convention) égale à 0.
Proposition et définition 2.2.10
Soient I et J deux idéaux de A :
1. I + J et I ∩ J sont aussi des idéaux de A.
2. Les deux idéaux I et J sont dits comaximaux lorsque 1 ∈ I + J.
P
3. – on définit IJ = { z ∈ A | ∃n ∈ N, x1 , . . . , xn ∈ I, y1 , . . . , yn ∈ J, z = ni=1 xi yi }
(attention à la notation IJ, elle prète à confusion).
– IJ est un idéal de A, appelé le produit des idéaux I et J.
– Si I = ha1 , . . . , ak i et J = hb1 , . . . , b` i alors IJ = ha1 b1 , . . . , ai bj , . . . , ak b` i.
– Ce produit est associatif, commutatif, et distributif par rapport à l’addition des idéaux.
4. On a (I ∩ J)2 ⊆ IJ ⊆ I ∩ J.
La notion d’idéaux comaximaux redonne dans le cas d’idéaux principaux la notion d’éléments
étrangers, ou comaximaux (définition 1.2.2).
2.2. Anneaux commutatifs
23
Idéaux comme noyaux d’homomorphismes, théorème de factorisation
Théorème 2.2.11
1. Si ϕ : A → B est un homomorphisme d’anneaux, son noyau Ker ϕ = ϕ−1 (0) est un idéal
de A et son image est un sous-anneau de B.
2. (théorème de factorisation) Soit I un idéal de A. Pour qu’un homomorphisme d’anneau
ψ : A → B se factorise par A/I il faut et suffit que I ⊆ Ker ψ.
ψ1
Dans un tel cas l’homomorphisme A/I −→ B qui réalise la factorisation est unique.
A KK
KKK
KKψK
KKK
K%
A/I _ _ _ _ _/ B
π
homomorphisme qui s’annule sur I
ψ1 !
3. (décomposition canonique d’un morphisme)
Tout homomorphisme d’anneaux ϕ : A → B se décompose sous forme
ϕ = j ◦ θ ◦ π,
A
j
ϕ
π
A/Ker ϕ
/ B
O
θ
/ ϕ(A)
– π : A → A/Ker ϕ est la projection canonique,
– j : ϕ(A) → B est l’homomorphisme d’inclusion et
– θ : A/Ker ϕ → ϕ(A) est un isomorphisme.
En particulier tout homomorphisme surjectif d’anneaux A → B permet d’identifier B à
un anneau quotient de A, via l’isomorphisme A/I → B obtenu par factorisation.
Proposition 2.2.12 (quotients et sous-anneaux)
Si I est un idéal de A et A1 un sous-anneau de A alors A1 + I est un sous anneau de A, A1 ∩ I
est un idéal de A1 et le théorème de factorisation donne un isomorphisme canonique :
∼
A1 /(A1 ∩ I) −→
(A1 + I)/I .
Proposition 2.2.13 (idéaux d’un anneau quotient)
Soit I un idéal de A, B = A/I et π : A → B la projection canonique.
1. L’application J →
7 π −1 (J) établit une bijection entre
– les idéaux de B d’une part et
– les idéaux de A qui contiennent I d’autre part.
2. Cette bijection est croissante, elle transforme les sommes et intersections en sommes et
intersections.
3. Si I1 ⊇ I alors on obtient par le théorème de factorisation un isomorphisme canonique
∼
A/I1 −→
B/π(I1 ) ,
ce que l’on peut écrire sous forme d’une (( simplification de fraction )) :
(A/I )/( I1 /I ) ' A/I1 .
4. Soit K un autre idéal de A alors π(K) = π(I + K) est un idéal de A/I et on obtient par
∼
le théorème de factorisation un isomorphisme canonique A/(I + K) −→
B/π(K) .
24
2. Groupes et anneaux commutatifs
Produit fini d’anneaux, système fondamental d’idempotents orthogonaux
Étant donnés un entier n et des anneaux A1 , . . ., An , il existe une structure naturelle
d’anneau sur le produit cartésien
def
A = A1 × · · · × An
Q
encore noté ni=1 Ai : l’addition, la multiplication, l’opposé, 1 et 0 sont définis (( coordonnée par
coordonnée )), par exemple (a1 , . . . , an )(b1 , . . . , bn ) = (a1 b1 , . . . , an bn ).
Exemple. Le théorème des restes chinois dans Z peut être traduit
de la manière suivante.
Q
Si a1 , . . . , an sont des entiers deux à deux étrangers et a = i ai , il y a une bijection naturelle
Z/aZ −→ Z/a1 Z × · · · × Z/an Z
qui, à la classe de x modulo a, fait correspondre le n-uplet des classes de x modulo chaque ai .
Cette bijection est un isomorphisme d’anneaux.
Dans un produit A = A1 × · · · × An de n anneaux, les éléments e1 = (1A1 , 0A2 , . . . , 0An ),
e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . ., en = (0, . . . , 0, 1) jouent un role très particulier :
– Tout d’abord ce sont des idempotents : un idempotent est un élément e qui vérifie e2 = e.
– Ensuite ei ej = 0 pour i 6= j (deux idempotents e, e0 tels que ee0 = 0 sont dit orthogonaux ).
P
– Enfin ni=1 ei = 1A
Alors que dans un anneau intègre les seuls idempotents sont 0 et 1, dans un produit d’anneaux
non triviaux apparaissent automatiquement des idempotents 6= 0, 1.
Notons que le noyau de la projection canonique sur le k-ème facteur, πk : A → Ak , est égal à
A1 × · · · × Ak−1 × {0} × Ak+1 · · · × An = h1 − ek i
de sorte que Ak ' A/h1 − ek i
NB : 1 − ek = (1, . . . , 1, 0, 1, . . . , 1) avec 0 en position k.
Exemple. Considérons l’exemple d’un produit de n anneaux intègres non triviaux. Un tel anneau
contient exactement 2n idempotents.
Avec les ej définis comme ci-dessus, chaque idempotent
P
s’écrit sous la forme eJ = j∈J ej pour une partie J de {1, . . . , n}. On a
e∅ = 0,
eJ∩K = eJ eK ,
eJ∪K = eJ + eK − eJ eK ,
et
eJ 0 = 1 − eJ
où J 0 désigne la partie complémentaire de J. Ainsi on a une bijection naturelle entre les parties
de {1, . . . , n} et les idempotents de A, et les opérations ensemblistes usuelles dans l’ensemble
des parties ont une traduction en pur calcul algébrique sur les idempotents.
Définition 2.2.14 Dans un anneau on appelle système fondamental d’idempotents orthogonaux un système (e1 , . . . , en ) d’idempotents deux à deux orthogonaux dont la somme est
égale à 1.
Exemple. Le système fondamental d’idempotents orthogonaux de Z/60Z correspondant à la
décomposition 60 = 3 × 4 × 5 qui donne l’isomorphisme Z/60Z ' Z/3Z × Z/4Z × Z/5Z est
(40, 45, 36).
Remarque. Dans la littérature on interdit souvent à tout élément d’un système fondamental
d’idempotents orthogonaux d’être nul. Ceci est légitime si l’on est dans un anneau où l’on a un
test (( e = 0 ? )) pour les idempotents.
n soit un système fondamental d’idempotents orthogoFait 2.2.15 Pour que (e1 , . . . , en ) ∈ AP
naux il suffit que ei ej = 0 pour i 6= j et ni=1 ei = 1B .
2.2. Anneaux commutatifs
25
On a vu que dans un produit A = A1 ×· · ·×An de n anneaux, il y a un système fondamental
d’idempotents orthogonaux e1 , . . . , en . En outre, chaque Ak est isomorphe au quotient de A par
l’idéal h1 − ek i où ek est l’idempotent correspondant à Ak . Le théorème suivant énonce une
réciproque : tout système fondamental d’idempotents orthogonaux signale un isomorphisme de
l’anneau avec un produit d’anneaux (non triviaux si les idempotents sont non nuls).
Théorème 2.2.16 Soit B un anneau et (e1 , . . . , en ) un système fondamental d’idempotents orthogonaux. Alors B est isomorphe au produit B1 ×· · ·×Bn , où Bi = B/h1 − ei i. L’isomorphisme
est donné par
Yn
Bi
B 3 x 7−→ (x mod h1 − ei i)i∈J1..nK ∈
i=1
Remarque. L’homomorphisme d’anneau x 7→ (x mod h1 − ek i) de B sur Bk se restreint en
un isomorphisme de groupes ek B → Bk . Cet isomorphisme de groupes additifs est aussi un
morphisme pour les lois de multiplication, mais ek B est un idéal et non pas un sous-anneau
de B. La mutliplication fait de l’idéal Ik = ek B un anneau avec 1Ik = ek , mais l’inclusion de
groupes Ik → B n’est pas un homomorphisme d’anneaux.
Théorème des restes chinois
Ce qui vient généralise le théorème des restes chinois du chapitre 1.
Théorème 2.2.17 (théorème des restes chinois, généralisation)
Soient I1 , . . . , In , (n > 2), des idéaux deux à deux comaximaux de A, alors
Q
1. L’application canonique ϕ : A → nk=1 A/Ik est surjective.
2. Son noyau est
\n
Yn
Ik =
Ik .
k=1
k=1
3. On a un isomorphisme obtenu par factorisation :
.\n
Yn
∼
A
Ik −→
k=1
k=1
A/Ik .
Démonstration. Posons
Ji =
Y
k:k6=i
Ik .
Écrivons aij + aji = 1 pour i 6= j avec aij ∈ Ii , aji ∈ Ij . On écrit
Y
Y
1=
(aik + aki ) =
aki + bi = ai + bi
k:k6=i
k:k6=i
(#)
avec bi ∈ Ii et ai ∈ Ji , donc
ai ≡ 0 mod Ji et ai ≡ 1 mod Ii
(+)
En conséquence, pour x1 , . . . , xn ∈ A
X n
ϕ
ai xi = (x1 mod I1 , . . . , xn mod In )
i=1
ce qui montre que ϕ estTsurjective. Le théorème de factorisation donne alors le point 3. car on
a évidemment
= nk=1 Ik .
Tn Ker ϕ Q
L’égalité k=1 Ik = nk=1 Ik se démontre par récurrence sur n pour n > 2 en notant que (#)
implique que Ii et Ji sont comaximaux. Voyons l’initialisation, c’est-à-dire le cas n = 2 : si
x ∈ I1 ∩ I2 et si a + b = 1 avec a ∈ I1 et b ∈ I2 , alors x = ax + bx, avec ax ∈ I1 I2 parce que
x ∈ I2 et bx ∈ I1 I2 parce que x ∈ I1 , donc x ∈ I1 I2 .
2
Remarque. Les éléments ai que l’on a construits dans la démonstration du théorème chinois
T ne
sont rien d’autre que le système fondamental d’idempotents orthogonaux (modulo I = i Ii )
correspondant à la décomposition de A/I en produit. Inversement le théorème 2.2.16 peut être
déduit du théorème chinois si l’on note que les 1 − ei sont deux à deux comaximaux et que leur
produit est nul.
26
2. Groupes et anneaux commutatifs
Idéaux premiers et maximaux
Définition 2.2.18 Un idéal de A est appelé un idéal premier si l’anneau quotient est un
anneau intègre non trivial. Il est appelé un idéal maximal si l’anneau quotient est un corps.
Ainsi tout idéal maximal est premier. Considérons un idéal I de A, on a :
Fait 2.2.19 (caractérisation des idéaux premiers) Les propriétés suivantes sont équivalentes.
1. I est premier (i.e., A/I est intègre, non trivial)
2. 1 ∈
/ I et ∀x, y ∈ A, (xy ∈ I ⇒ x ∈ I ou y ∈ I).
3. 1 ∈
/ I et pour tous idéaux I1 , I2 , si I1 I2 ⊆ I, alors I1 ⊆ I ou I2 ⊆ I.
Fait 2.2.20 (caractérisation des idéaux maximaux) Les propriétés suivantes sont équivalentes.
1. I est maximal (i.e., A/I est un corps)
2. I est maximal parmi les idéaux propres de A.
3. 1 ∈
/ I et pour tout x ∈
/ I, I + hxi = h1i.
4. 1 ∈
/ I et ∀x ∈ A, (x ∈ I ou ∃y ∈ A, 1 − xy ∈ I).
Exercices
Exercice 2.2.1
1. Montrer que l’anneau EndGroupes (Z/nZ) est isomorphe à Z/nZ.
2. En déduire que le groupe des automorphismes du groupe Z/nZ est isomorphe à (Z/nZ)× .
3. Montrer que les groupes (Z/nZ)× sont cycliques pour n = 4, 7, 11 et donner à chaque fois
un générateur.
4. Quel isomorphisme donne la décomposition en facteurs premiers de 308 pour l’anneau
Z/308Z (théorème des restes chinois) ?
5. Décomposer le groupe AutGroupes (Z/308Z) en produit de groupes cycliques.
Exercice 2.2.2 Démontrer la proposition 2.2.12 comme conséquence du théorème de factorisation 2.2.11.
Exercice 2.2.3 Par définition un anneau commutatif B est une algèbre de Boole si et seulement si tout élément est idempotent. Soit B une algèbre de Boole. On montrera les affirmations
suivantes.
1. 2 =B 0, ∀x, x = −x et B× = {1}. Si B est intègre, c’est le corps F2 .
2. La relation x 4 y définie par (( x est multiple de y )), c’est-à-dire hxi ⊆ hyi est une relation
d’ordre.
3. Pour la relation 4 deux éléments arbitraires admettent une borne inférieure, leur ppcm
x ∧ y = xy, et une borne supérieure, leur pgcd x ∨ y = x + y + xy. En outre 0 est élément
minimum et 1 élément maximum.
4. Pour tout x ∈ B l’élément x0 = 1+x est l’unique élément qui vérifie x∧x0 = 0 et x∨x0 = 1,
on l’appelle le complément de x.
5. Les idempotents d’un anneau commutatif A forment une algèbre de Boole pour les deux
lois suivantes :
– l’addition est définie par a ⊕ b = a + b − 2ab
– la multiplication est la même que dans A
2.3. Quelques rappels sur la théorie de la divisibilité dans les anneaux intègres
27
NB : Dans une algèbre de Boole on prend pour relation d’ordre la relation de divisibilité renversée
dans le but d’obtenir 0 et 1 comme éléments minimum et maximum, conformément à la notation
traditionnelle en logique booléenne. Quand on prend l’algèbre de Boole des parties d’un ensemble
E, à chaque partie est associée sa fonction caractéristique, 0 correspond à ∅ et à la fonction
partout nulle, 1 correspond à E et à la fonction constante 1, ∧ correspond à ∩ pour les parties
et inf pour les fonctions caractéristiques, et ∨ correspond à ∪ et à sup.
Exercice 2.2.4 Soient a et b deux idempotents et x un élément d’un anneau commutatif A.
1. Montrer que x ∈ aA ⇔ ax = x. En particulier aA = bA ⇔ a = b.
2. L’élément ab est le plus petit commun multiple de a et b parmi les idempotents de A (i.e.,
si w est un idempotent, w ∈ aA ∩ bA ⇔ w ∈ abA). En fait, on a même aA ∩ bA = abA.
On note a ∧ b = ab.
3. L’élément 1 − (1 − a)(1 − b) = a + b − ab est noté a ∨ b. Montrer que aA + bA = (a ∨ b)A.
En déduire que a ∨ b est le plus grand commun diviseur de a et b parmi les idempotents
de A (en fait un élément arbitraire de A divise a et b si et seulement si il divise a ∨ b).
4. Montrer que les deux anneaux A/hai × A/hbi et A/ha ∨ bi × A/ha ∧ bi sont isomorphes.
Exercice* 2.2.5 (lemme de l’idéal de type fini idempotent)
Si I est un idéal de type fini idempotent (c’est-à-dire si I = I 2 ) dans A, alors I = hei avec un
idempotent e entièrement déterminé par I.
2.3
Quelques rappels sur la théorie de la divisibilité dans les
anneaux intègres
2.3.1
Premières définitions
Soit A un anneau intègre
1. a, b ∈ A : a divise b, noté a | b, équivalent à hbi ⊆ hai. La divisibilité est une relation de
préordre, c’est-à-dire réflexive et transitive.
2. a, b ∈ A : a et b sont dits associés s’il existe u ∈ A× avec a = ub. C’est une relation
d’équivalence, appelée association. Si a ou b est nul, l’autre est nul aussi.
Pour a et b dans A les propriétés suivantes sont équivalentes.
(a) hai = hbi
(b) a | b et b | a
(c) a et b sont associés.
Si on note A/A× l’ensemble quotient de A par la relation d’association, on obtient :
– la loi de multiplication (qui passe au quotient) est associative et commutative, elle
possède pour élément neutre la classe des inversibles,
– la relation de divisibilité est une relation d’ordre : réflexive, transitive et antisymétrique.
On dit que A/A× est le monoı̈de de la divisibilité dans A.
3. p ∈ A∗ \ A×
– p est irréductible signifie : a | p implique p | a ou a | 1 (a ∈ A× ).
Autrement dit, hpi est maximal parmi les idéaux principaux 6= h1i.
– p est premier signifie : p divise ab implique p divise a ou b.
Autrement dit, hpi est un idéal premier.
Un élément premier est irréductible, la réciproque n’est pas toujours vraie. Par exemple
dans A = Z[X 2 , X 3 ] ⊆ Z[X], X 2 et X 3 sont irréductibles mais pas premiers (X 2 divise
(X 3 )2 mais ne divise pas X 3 , X 3 divise (X 2 )3 mais ne divise pas X 2 ).
28
2. Groupes et anneaux commutatifs
4. a, b, c ∈ A : c est un pgcd de a et b signifie : pour tout x, x | c ⇐⇒ x | a et x | b.
S’il existe, un pgcd de a et b est défini de manière unique à association près, autrement
dit en tant qu’élément de A/A× , il est unique.
En termes de la relation d’ordre, c’est ce que l’on appelle la borne inférieure de a et b.
5. a, b ∈ A
– a et b sont premiers entre eux signifie : tout diviseur commun est inversible, ce qui
revient à dire que 1 est un pgcd de a et b.
– a et b sont étrangers (ou comaximaux ) signifie ha, bi = 1.
Deux éléments étrangers sont premiers entre eux. La réciproque n’est pas toujours vraie.
Par exemple X et Y dans K[X, Y ] sont premiers entre eux, mais pas comaximaux.
6. a, b, c ∈ A : c est un ppcm de a et b signifie : pour tout x, c | x ⇐⇒ a | x et b | x.
Autrement dit hci = hai ∩ hbi.
S’il existe, un ppcm de a et b est défini de manière unique à association près, autrement
dit en tant qu’élément de A/A× , il est unique.
En termes de la relation d’ordre, c’est ce que l’on appelle la borne supérieure de a et b.
2.3.2
Anneaux factoriels
Définition 2.3.1 L’anneau intègre A est dit factoriel s’il vérifie le (( théorème fondamental
de l’arithmétique )). En détail :
1. Tout élément non nul admet une décomposition en produit de facteurs irréductibles, c’estQ
i
à-dire plus précisément s’écrit sous forme u ri=1 pm
avec
i
–
–
–
–
u ∈ A×
r ∈ N (si r = 0, le produit vide est par convention égal à 1)
pi irréductible et mi ∈ N∗ pour 1 6 i 6 r.
pi et pj ne sont pas associés si i 6= j.
2. Une telle décomposition est unique, à association près, et à l’ordre des facteurs près.
Définition 2.3.2 Soit A un anneau factoriel et p un élément irréductible. Pour a ∈ A∗ on note
vp (a) l’entier défini comme suit :
– Si a ∈ A×Q, vp (a) = 0.
i
avec u ∈ A× , les pi irréductibles deux à deux non associés et les mi > 0,
– Si a = u i pm
i
alors
– vp (a) = 0 si aucun des pi n’est associé à p,
– vp (a) = mi si pi est associé à p.
On appelle vp (a) la valuation de a en p ou encore la valuation p-adique de a.
NB : L’entier vp (a) est bien défini en raison de l’unicité (à association près) de la décomposition
de a en produit de facteurs irréductibles.
Proposition 2.3.3 (propriété de base de la valuation p-adique)
Soit A un anneau factoriel, a, b ∈ A∗ .
1. vp (ab) = vp (a) + vp (b).
2. a divise b si et seulement si pour tout irréductible p, vp (a) 6 vp (b) (on peut se limiter aux
p qui figurent dans une décomposition de a en produit de facteurs irréductibles).
Corollaire 2.3.4 Soit A un anneau factoriel, K son corps de fractions, a, b ∈ A∗ .
1. a, b admettent un pgcd et un ppcm. Ceux-ci sont caractérisés à association près par :
∀p irréductible, vp (a ∧ b) = min(vp (a), vp (b)), et vp (a ∨ b) = max(vp (a), vp (b)).
2. Toute suite strictement croissante d’idéaux principaux est finie.
2.3. Quelques rappels sur la théorie de la divisibilité dans les anneaux intègres
29
3. vp se prolonge de manière unique à K∗ si l’on demande vp (xy) = vp (x) + vp (y).
4. Alors si on étend la relation de divisibilité de A∗ à K∗ en posant (( x divise y si y = ax
avec a dans A∗ )), on obtient que x divise y si et seulement si pour tout irréductible p,
vp (x) 6 vp (y), et l’on a aussi un pgcd et un ppcm comme dans le point 1.
Théorème 2.3.5 Pour qu’un anneau intègre soit factoriel il faut et suffit que les deux propriétés
suivantes soient satisfaites
1. Toute suite strictement croissante d’idéaux principaux est finie.
2. Deux éléments arbitraires admettent un pgcd.
La propriété 2. peut être remplacée par :
2bis. (lemme d’Euclide) Si p irréductible divise ab il divise a ou b.
3. Systèmes linéaires sur un anneau
principal
Dans ce chapitre la section 3.2 est un simple rappel sur la théorie de la divisibilité dans les
anneaux principaux.
Le reste du chapitre est (( nouveau )).
La section 3.1 reprend dans le cadre des anneaux commutatifs la théorie des systèmes linéaires de Cramer. Il y a quelques différences subtiles avec ce que l’on connaı̂t déjà bien pour les
corps. Tout est basé sur des identités algébriques qui sont démontrées d’une manière qu’il est
important d’assimiler. En effet, elles sont déduites, pour un anneau commutatif arbitraire, du
fait qu’elles sont valables dans le cas des corps.
Les sections 3.3 et 3.4 sont consacrées aux systèmes linéaires sur les anneaux principaux, dont
la solution complète est basée sur la réduction des matrices à la forme de Smith (théorème 3.3.2).
Ce théorème concentre à lui seul l’essentiel des résultats la théorie des systèmes linéaires,
puis celle des modules de type fini sur un anneau principal, ainsi que des applications linéaires
entre de tels modules. Tous les résultats sur les anneaux principaux qui suivent dans ce cours
ne sont que l’énumération de corollaires à peu près immédiats de ce théorème, souvent formulés
en langage nettement plus abstrait et plus (( savant )) que le langage matriciel suffisant pour
l’énoncé du théorème 3.3.2.
3.1
Calcul matriciel et systèmes de Cramer sur un anneau commutatif arbitraire
La somme de deux matrices de Mm,n (A) et le produit de deux matrices de formats convenables sont bien définis (par les formules usuelles). Le produit est distributif sur l’addition, à
droite et à gauche. Le produit est associatif (pour 3 matrices A, B, C de formats convenables).
En particulier Mn (A) est un anneau (en général non commutatif).
Un système linéaire de m équations pour n inconnues, à coefficients et inconnues dans A
peut s’écrire sous forme matricielle (avec A ∈ Mm,n (A))
AX = B.
Le déterminant d’une matrice carrée A ∈ Mn (A) est bien défini : on utilise pour cela
e comme la transposée de
la formule usuelle. On définit également la comatrice de A, notée A,
la matrice des cofacteurs (on dit aussi matrice cotransposée)
Lemme 3.1.1 Soient A, C ∈ Mn (A).
1. On a toujours det(AC) = det(A) det(C).
e = AA
e = det(A) Im .
2. On a AA
3. Les propriétés suivantes sont équivalentes.
(a) A est inversible dans Mn (A).
(b) A est inversible à droite dans Mn (A).
32
3. Systèmes linéaires sur un anneau principal
(c) A est inversible à gauche dans Mn (A).
(d) det(A) est inversible dans A.
Démonstration. 1. Il s’agit d’une identité algébrique (les indéterminées dans cette identité sont
les 2n2 coefficients de A et C). Il suffit donc de la vérifier lorsque les coefficients de A et C sont
des indéterminées sur l’anneau Z. Dans ce cas l’anneau est intègre, donc c’est le sous-anneau de
son corps de fractions. Le fait d’avoir donné une démonstration pour le cas des corps commutatifs
suffit donc à conclure pour tous les anneaux.
2. Ces n2 identités algébriques peuvent être traitées selon la même méthode qu’au point 1. Mais
il est plus simple de remarquer qu’elles résultent du fait que l’on peut calculer le déterminant
d’une matrice carrée en le développant selon une ligne ou une colonne arbitraires, ce qui résulte
directement de la formule définissant le déterminant.
3. Conséquence facile des points 1. et 2.
2
Corollaire 3.1.2 (système linéaire de Cramer)
Pour une matrice carrée A correspondant à un système linéaire de n équations à n inconnues
AX = B les propriétés suivantes sont équivalentes.
1. Le système admet toujours une solution (quel que soit le second membre B).
2. Le système admet toujours une solution unique (quel que soit le second membre B).
3. La matrice A est inversible dans l’anneau Mn (A).
4. Le déterminant det(A) est inversible dans A.
Dans ce cas la solution pour un second membre fixé B peut être donnée par les formules de
Cramer : xk = det(Ak )/ det(A), où Ak est la matrice obtenue à partir de A en remplaçant la
k-ème colonne par B.
Démonstration. 3. ⇔ 4. d’après le lemme 3.1.1 3.
2. ⇒ 1. est évident.
1. ⇒ 3. Pour chaque colonne Bi de la matrice In on a un Xi tel que AXi = Bi . En juxtaposant
les Xi on obtient une matrice A0 telle que AA0 = In , on conclut par le lemme 3.1.1 3 que A est
inversible dans Mn (A).
3. ⇒ 2. Si A0 A = A A0 = In on a équivalence de AX = B avec X = A0 B pour tous X, B en
raison de l’associativité de la multiplication des matrices.
Formules de Cramer. La même démonstration que pour le cas des corps
P s’applique. On appelle
Cj la j-ème colonne de la matrice A. Le système linéaire se réécrit k xk Ck = B. On utilise
ensuite le fait que le déterminant est une forme n-linéaire alternée des colonnes. Posons Φ(Y ) =
det(C1 , . . . , Y, . . . , Cn ) avec Y à la place de Ck . Alors det(Ak ) = Φ(B) et par linéarité Φ(B) =
xk Φ(Ck ) = xk det(A), car tous les Φ(Cj ) pour j 6= k sont nuls (deux colonnes égales).
2
Remarque. Contrairement au cas des corps, pour une matrice carrée A, il ne suffit pas que
l’équation AX = 0 admette 0 pour unique solution, pour que A soit inversible. Pour s’en rendre
compte, prendre A = Z, n = 1 et A = [ 2 ].
Voici maintenant un lemme, toujours purement matriciel, qui prendra bientôt la signification
géométrique précise suivante : sur un anneau non nul, le rang d’un module libre est bien défini.
Lemme 3.1.3 Soient deux matrices A ∈ Mm,n (A) et C ∈ Mn,m (A) avec m > n. Si AC = Im
alors 1A = 0A .
Démonstration. On a AC = A1 C1 avec des matrices carrées A1 et C1 obtenues à partir de A et
C en complétant par des zéros (m − n colonnes pour A1 , m − n lignes pour C1 ).
0
.
A1 = ..
0
0 ··· 0
A
C1 =
C
A1 C1 = AC = Im .
3.2. Anneaux de Bezout et anneaux principaux
33
Ainsi 1 = det Im = det(AC) = det(A1 C1 ) = det(A1 ) det(C1 ) = 0.
2
On termine cette section avec le théorème de Cayley-Hamilton et l’expression de la matrice
e comme polynôme en la matrice A.
cotransposée A
Théorème 3.1.4 Soit A ∈ Mn (A) et notons
P (X) = det(XIn − A) = X n +
Xn−1
k=0
dk X k = XQ(X) + dn
son polynôme caractéristique (donc det(A) = (−1)n dn ). Alors
P (A) = 0 (Cayley-Hamilton)
et plus précisément
e = (−1)n+1 Q(A).
A
Démonstration. Il s’agit dans les deux cas de familles d’identités algébriques avec les coefficients
de A comme indéterminées. Il suffit donc de les démontrer dans le cas de la matrice générique A
dont les coefficients sont des indéterminées. On est alors sur l’anneau polynômes Z[(aij )i,j∈J1..nK ],
sous-anneau d’un corps L, et la matrice A a un déterminant inversible dans L. Le théorème de
Cayley-Hamilton est valable pour le cas des corps, il s’applique donc pour la matrice générique.
Le théorème de Cayley-Hamilton s’écrit aussi sous la forme AQ(A) = −dn In . Alors l’égalité
e = (−1)n+1 Q(A) résulte des égalités AA
e = det(A) In et AQ(A) = −dn In en simplifiant à
A
gauche par A, ce qui est légitime parce que la matrice A est inversible dans Mn (L).
2
3.2
Anneaux de Bezout et anneaux principaux
Cette section constitue un rappel de résultats de base pour les anneaux principaux.
Définition 3.2.1 Un anneau intègre non trivial dans lequel tout idéal de type fini est principal
est appelé anneau de Bezout.
Théorème et définition 3.2.2 Pour un anneau intègre A les propriétés suivantes sont équivalentes.
1. Tout idéal est principal.
2. A est un anneau de Bezout et toute suite croissante (au sens large) d’idéaux principaux
admet deux termes consécutifs égaux.
Un anneau intègre non trivial qui vérifie ces propriétés équivalentes est appelé anneau principal.
Démonstration. Supposons l’anneau principal. Tout d’abord il est clair que c’est un anneau de
Bezout. Soit par ailleurs ha1 i ⊆ ha2 i ⊆ · · · ⊆ han i ⊆ · · · une suite infinie d’idéaux principaux,
croissante au sens large. Considérons la réunion I de tous ces idéaux. Il est clair que c’est un
idéal. Puisque l’anneau est principal on a I = hbi pour un certain b ∈ I. Par exemple b ∈ hak i.
Mais alors hbi ⊆ hak i ⊆ I = hbi, donc tous les ha` i pour ` > k sont égaux à hak i.
Inversement supposons que toute suite croissante d’idéaux principaux admet deux termes
consécutifs égaux. Alors il est absurde d’avoir une suite infinie strictement croissante d’idéaux
principaux. Soit maintenant I un idéal arbitraire et cherchons à construire un système générateur fini pour I. Si I = 0 alors I = h0i. Sinon soit a1 6= 0 dans I. Si I = ha1 i, c’est OK. Sinon
il existe x2 ∈ I \ ha1 i. Soit a2 un générateur de ha1 , x2 i. Si I = ha2 i, c’est OK. Sinon il existe
x3 ∈ I \ ha2 i. Soit a3 un générateur de ha2 , x3 i. etc. . . On construit ainsi une suite strictement
croissante d’idéaux principaux h0i ( ha1 i ( ha2 i ( ha3 i · · · Comme elle doit s’arrêter, on obtient
I = hak i pour un certain k.
2
34
3. Systèmes linéaires sur un anneau principal
Remarque. La définition d’anneau principal que l’on trouve dans la plupart des ouvrages correspond au point 1. du théorème précédent. Cette définition pose cependant un réel problème.
C’est une définition très abstraite que nous discuterons plus en détail dans le chapitre 7 consacré
aux anneaux nœthériens. Le point 2. du théorème précédent donne un contenu plus concret à
cette définition. Nous utiliserons dans ce cours essentiellement cette définition alternative.
La théorie de la divisibilité pour les anneaux principaux est similaire à celle de Z. Les premiers
résultats utilisent seulement le fait que l’anneau est de Bezout.
Fait 3.2.3 (théorème de Bezout)
Dans un anneau intègre, les propriétés suivantes sont équivalentes.
1. ha, bi = hgi .
2. Il existe u, v, a1 , b1 tels que
g
u
=
0
−b1
v
a1
a
et ua1 + vb1 = 1.
b
Dans un tel cas g est un pgcd de a et b. Et si a, b 6= 0, ab/g est un ppcm de a et b.
Démonstration. L’égalité ha, bi = hgi signifie que l’on a a1 , b1 , u, v ∈ A vérifiant
au + bv = g,
2. ⇒
1. ⇒
–
–
ga1 = a,
gb1 = b.
a
a1
1. On a déjà ua + vb = g. On inverse la matrice et on obtient
=
b
b1
2. Le seul cas délicat est celui où (a, b) 6= (0, 0). Si ha, bi = hgi on obtient
d’une part g(ua1 + vb1 ) = g et on peut simplifier par g parce que g 6= 0,
d’autre part −ab1 + ba1 = −ga1 b1 + ga1 b1 = 0.
−v
u
g
.
0
Pour le dernier point, il est clair que g divise a et b et que tout diviseur commun à a et b
divise au + bv = g. Montrons que ab/g est un ppcm de a et b. Tout d’abord ab/g = a1 b = ab1
est bien un multiple commun. D’autre part si ad = bc, alors gd = (au + bv)d = b(cu + vd),
d = (b/g)(cu + vd) et ad = (ab/g)(cu + vd).
2
Théorème 3.2.4 (lemme de Gauss pour un anneau de Bezout)
Soient a, b, c, d des éléments non nuls d’un anneau de Bezout A.
1. Si pgcd(a, b) = 1 et si a divise bc alors a divise c.
2. (forme symétrique) Si pgcd(a, b) = 1 et si ad = bc alors il existe e tel que c = ae et d = be
3. (forme symétrique, la même, dite autrement) Si pgcd(a, b) = 1, tout multiple commun à a
et b est multiple de ab.
4. (cas particulier, (( lemme d’Euclide ))) Si un élément irréductible p divise bc, il divise b ou
il divise c. Autrement dit, tout élément irréductible est premier.
Démonstration. 1., 2. et 3. disent la même chose, qui résulte du dernier point de 3.2.3.
2
Lemme 3.2.5 Dans un anneau intègre, si toute suite croissante d’idéaux principaux admet deux
termes consécutifs égaux, tout élément a ∈ A∗ \ A× peut être décomposé en produit de facteurs
irréductibles (non nécessairement distincts).
Démonstration. Tout d’abord tout élément a ∈ A∗ \ A× possède un diviseur irréductible. Si
a est irréductible, c’est OK. Sinon, il a un diviseur strict a1 . Si a1 est irréductible, c’est OK.
Sinon il a un diviseur strict a2 . En poursuivant le processus on construit une suite (an ) avec
ha0 i ( ha1 i ( ha2 i ( · · ·. Et par l’hypothèse faite cela ne peut continuer indéfiniment.
Ensuite la décomposition en produit d’irréductibles. L’élément a est multiple d’un irréductible
p1 . On écrit a = a1 p1 . Si a1 ∈ A× c’est terminé. Sinon a1 est multiple d’un irréductible p2 .
3.3. Réduction de Smith d’une matrice sur un anneau principal
35
On écrit a1 = a2 p2 . Si a2 ∈ A× , c’est terminé. Sinon a2 est multiple d’un irréductible p3 . . .
On construit ainsi de proche en proche une suite a1 , . . . , an , . . . avec hak i ( hak+1 i pour tout k.
Cette suite strictement croissante d’idéaux principaux doit s’arrêter vue l’hypothèse qui a été
faite.
2
Remarque. Si l’on a un test qui décide si un élément donné est irréductible, et qui en cas de
réponse négative, fournit un diviseur strict, la démonstration précédente fournit un algorithme de calcul d’un diviseur irréductible d’un élément non nul a ∈
/ A× arbitraire, puis d’une
décomposition en produit de facteurs irréductibles.
Dans le cas contraire, il arrive qu’un tel algorithme soit inconnu, ou même que l’on sache qu’il
n’en existe pas.
Théorème 3.2.6 Tout anneau principal est factoriel. Autrement dit un anneau principal vérifie
le (( théorème fondamental de l’arithmétique )) (décomposition (( unique )) en produit de facteurs
irréductibles).
Démonstration. 1. Existence d’une décomposition en produit de facteurs irréductibles. Voir le
fait 3.2.2 et le lemme 3.2.5.
2. Unicité : résulte du lemme d’Euclide.
2
Théorème 3.2.7 Les idéaux premiers d’un anneau principal A sont, d’une part l’idéal {0},
d’autre part les idéaux maximaux hpi = pA pour chaque élément irréductible p. Dans le premier
cas, le quotient est A, dans le second cas, le quotient est un corps.
NB : On suppose que A n’est pas un corps.
Démonstration. Puisque tous les idéaux sont principaux, et vu le lemme de Gauss, on voit
facilement que les idéaux premiers sont exactement ceux décrits ci-dessus. Si p est un élément
irréductible et x ∈
/ pA, alors hp, xi est un idéal qui contient strictement hpi, donc il est égal à 1.
Ainsi dans l’anneau quotient, tout élément x 6= 0 est inversible.
2
3.3
Réduction de Smith d’une matrice sur un anneau principal
Manipulations élémentaires et manipulations de Bezout
Nous avons déjà décrit les manipulations élémentaires de lignes ou de colonnes pour une
matrice à coefficients dans Z. Ce qui a été dit s’applique à n’importe quel anneau et nous ne le
répétons pas.
Nous introduisons maintenant de nouvelles (( manipulations )).
Définition 3.3.1 Une matrice de Bezout de taille n est une matrice carrée, égale à la matice
identité,
sauf
pour 4 coefficients en positions (i, i), (j, j), (i, j) et (j, i) avec 1 6 i < j 6 n et
aii aij aji ajj = 1. Nous pouvons noter cette matrice Bz(n, i, j; aii , aij , aji , ajj ). Par exemple

1
0

0
B = Bz(6, 2, 4; u, v, s, t) = 
0

0
0
0
u
0
s
0
0
0
0
1
0
0
0
0
v
0
t
0
0
0
0
0
0
1
0

0
0

0

0

0
avec
ut − sv = 1
1
Effectuer une manipulation de Bezout sur une matrice M c’est la multiplier à gauche (manipulation de lignes) ou à droite (manipulation de colonnes) par une matrice de Bezout.
36
3. Systèmes linéaires sur un anneau principal
Pour mieux visualiser une matrice de Bezout, on peut
voici ce que cela donne avec l’exemple précédent :

1

u
v


1
B = Bz(6, 2, 4; u, v, s, t) = 

s
t


1
remplacer les 0 par des cases vides,








avec
ut − sv = 1
1
g
a
u v
, alors pour une matrice
=
Si l’on a dans un anneau une égalité matricielle
0
b
s t
A ∈ M6,n (A) ayant des coefficients a et b dans la colonne k en positions (2, k) et (4, k), effectuer
le produit B ·A revient à faire les manipulations de lignes simultanées suivantes sur la matrice A :
L2 ← uL2 + vL4
L2
u v
L2
←
ou encore
L4
s t
L4
L4 ← sL2 + tL4
Le résultat sera (entre autres) que les coefficients en position (2, k) et (4, k) seront remplacés
par g et 0.
Par exemple avec


∗ ∗ ∗
c d a


∗ ∗ ∗


A=

e f b
∗ ∗ ∗
∗ ∗ ∗
on obtient
∗
∗
 uc + ve ud + vf


∗
∗
B·A=
 sc + te sd + tf


∗
∗
∗
∗


∗
g

∗

0

∗
∗
A · B0
De la même manière, effectuer un produit
pour une matrice de Bezout convenable B 0
permettra de remplacer deux coefficients a, b situés sur une même ligne par un couple (g, 0).
La réduction de Smith
Théorème 3.3.2 (forme réduite de Smith)
Soit A un anneau principal. On peut à l’aide de manipulations élémentaires et de manipulations
de Bezout, ramener toute matrice à coefficients dans A à une forme réduite du type suivant :
D
0
0
0
avec
D = Diag(a1 , . . . , ak ) et
a1 | a2 | · · · | ak , ak 6= 0
NB : La matrice D, les colonnes de 0 ou les lignes de 0 peuvent être absentes.
Démonstration. L’algorithme est le suivant.
Dans un premier temps on va réduire la matrice à la forme diagonale sans chercher à imposer
les relations de divisibilité entre les coefficients diagonaux successifs de D.
Si la matrice est nulle il n’y a rien à faire. Sinon . . .
On repère un coefficient non nul, disons c, on le ramène en position (1, 1) par des manipulations
élémentaires.
3.3. Réduction de Smith d’une matrice sur un anneau principal
37
Si la première ligne et la première colonne sont nulles (hormis le coefficient c en position (1, 1)),
on obtient une matrice de la forme :
c
0
0
A0
et on doit traiter le problème initial avec la matrice restante A0 , de taille plus petite, ce qui premet
de terminer par récurrence (du point de vue algorithmique on fait une boucle convenable).
Sinon . . .
On traite d’abord la première ligne au moyen de manipulations de colonnes, de manière à la
remplacer par une ligne [ h 0 · · · 0 ]
Pour ceci on considère dans la première ligne tous les coefficients non nuls, les uns après les
autres. Soit a un tel coefficient.
– (cas simple, manipulation élémentaire) Si c divise a, on utilise c comme pivot pour tuer a.
– (cas décisif) Si c ne divise pas a, on utilise une manipulation de Bezout qui permet de
remplacer le couple (c, a) par un couple (g, 0) avec g = pgcd(c, a) qui divise strictement c.
Quand on a traité tous les coefficients de la première ligne. On traite ensuite de la même manière
les coefficients de la première colonne.
Cependant on constate que si l’on doit faire des manipulations de Bezout pour traiter la première
colonne, alors la première ligne peut en être affectée, si bien qu’après cette première passe, il se
peut qu’il faille retraiter la première ligne, puis la première colonne etc. . .
On note que chaque fois que l’on utilise une manipulation de Bezout (cas décisif), le coefficient
en position (1, 1) décroı̂t strictement au sens de la divisibilité. Puisque toute suite strictement
décroissante pour la divisibilité est finie, on est certain d’aboutir à la situation où la première
ligne et la première colonne de la matrice sont entièrement nulles, à l’exception du coefficient en
position (1, 1). On est alors ramené à la situation envisagée tout au départ.
En conclusion, on est capable de réduire la matrice à la forme diagonale.
Il ne reste donc qu’à
traiter
le cas d’une matrice diagonale.
a 0
Or une matrice
avec a 6= 0 et b 6= 0 donne par manipulation élémentaire la matrice
0 b
a b
g 0
, puis par manipulation de Bezout une matrice
, puis par manipulation élé0 b
c d
g 0
mentaire une matrice
. Puisque le déterminant n’a pas changé on a gd = ab et comme
0 d
g = pgcd(a, b), on voit que d est un ppcm de a et b donc est multiple de g. Ainsi des manipulations
du même type permettront d’ordonner la diagonale de D, au sens que les coefficients successifs
se divisent les uns les autres.
2
Remarque. Pour que l’algorithme fonctionne vraiment, on doit disposer des facilités suivantes
de manière explicite :
– Savoir tester si un élément de A est nul ou pas.
– Savoir tester, pour a 6= 0 et b 6= 0 si a divise b, et
– en cas de réponse positive, fournir le quotient b/a,
– en cas de réponse négative, fournir
une matrice de Bezout répondant à la question qui
u v
se pose, c’est-à-dire une matrice
de déterminant 1 telle que sa + tb = 0.
s t
Lorsque ces conditions ne sont pas remplies, on n’a pas vraiment d’algorithme à notre disposition,
mais la démonstration donne quand même une preuve abstraite d’existence.
Nous allons redonner maintenant le même théorème sous une forme plus abstraite (moins
algorithmique) en rajoutant un résultat d’unicité.
Pour une matrice A ∈ Mm,n (A) nous noterons Aα,β la matrice extraite sur les lignes α =
38
3. Systèmes linéaires sur un anneau principal
[α1 , . . . , αr ] ⊆ J1..mK et les colonnes1 β = [β1 , . . . , βs ] ⊆ J1..nK.
Rappelons que l’on appelle mineur d’ordre k d’une matrice A le déterminant d’une
matrice carrée extraite de A sur k lignes et k colonnes.
Nous noterons P` l’ensemble des listes extraites de J1..`K (en ordre croissant) et Pk,` le
sous-ensemble des listes à k éléments.
Théorème 3.3.3 Soit A un anneau principal et A ∈ Mm,n (A). Il existe des matrices inversibles
L ∈ GLn (A) et C ∈ GLm (A) telles que l’on ait
L·A·C =
D
0
0
0
avec
D = Diag(a1 , . . . , ak ) et
a1 | a2 | · · · | ak , ak 6= 0
En outre l’entier k et les idéaux principaux ha1 i ⊇ · · · ⊇ hak i sont uniquement déterminés par A.
En fait a1 est un pgcd des coefficients de A, a1 a2 est un pgcd des mineurs d’ordre 2 de A, a1 a2 a3
est un pgcd des mineurs d’ordre 3 de A, etc. . .
La matrice ∆ = LAC s’appelle une forme réduite de Smith de la matrice A. Lorsque
l’on donne aussi les matrices inversibles L et C on parle d’une réduction de Smith.
Remarque. On ignore si le théorème 3.3.3 est valable ou non dans le cas d’un anneau de Bezout
général. On n’a ni démonstration ni contre-exemple.
Démonstration du théorème 3.3.3. Il reste seulement à démontrer la question de l’unicité.
Tout d’abord concernant l’entier k on remarque qu’il est égal au rang de la matrice lorsqu’on la
considère comme une matrice à coefficients dans le corps des fractions K de A. Le rang d’une
matrice sur un corps étant bien défini, l’entier k ne dépend que de A, et non des matrices inversibles L et C qui interviennent dans la réduction. On peut noter que k est défini comme l’ordre
maximum d’un mineur non nul de la matrice A.
Ensuite concernant les idéaux haj i, ou, ce qui revient au même les éléments aj (( à association
près )), il est clair qu’il suffit de démontrer la toute dernière affirmation : en fait a1 est un pgcd
des coefficients de A, a1 a2 est un pgcd des mineurs d’ordre 2 de A, . . .
Voyons l’affirmation pour a1 . On note que ha1 i est l’idéal engendré par les coefficients de LAC.
Il suffit donc de montrer que l’idéal engendré par les coefficients d’une matrice ne change pas
lorsqu’on la multiplie à gauche ou à droite par une matrice inversible. Ceci résulte clairement
du lemme suivant qui est évident :
Lemme. Pour une matrice U notons D1 (U ) l’idéal engendré par les coefficients de U . Sur
un anneau arbitraire, si U et V sont des matrices de formats tels que U V est définie, alors
D1 (U V ) ⊆ D1 (U )D1 (V ) ⊆ D1 (U ) ∩ D1 (V ).
Pour terminer la démonstration, il nous faut une généralisation de ce lemme pour chaque idéal
engendré par les mineurs d’ordre r d’une matrice. C’est l’objet de la fin de cette section.
2
Nous introduisons les idéaux déterminantiels d’une matrice.
Définition 3.3.4 (idéaux déterminantiels) Soit A un anneau commutatif arbitraire, A ∈
Mm,n (A) et 1 6 k 6 min(m, n). L’idéal déterminantiel d’ordre k de la matrice A est
l’idéal, noté DA,k (A) ou Dk (A), engendré par les mineurs d’ordre k de A. Pour k 6 0 on pose
par convention Dk (A) = h1i, et pour k > min(m, n), Dk (A) = h0i.
Ces conventions sont naturelles car elles permettent d’obtenir en toute généralité les égalités
suivantes :
Ir 0
– Si C =
, pour tout k on a Dk (A) = Dk+r (C).
0 A
1. Le symbole d’inclusion signifie ici que la liste de gauche est extraite en ordre croissant de la liste de droite.
3.3. Réduction de Smith d’une matrice sur un anneau principal
– Si C =
0
0
0
A
39
, pour tout k on a Dk (A) = Dk (C).
Lemme 3.3.5 (Formule de Binet-Cauchy)
Si A ∈ Mn,m (A) et C ∈ Mm,n (A) avec m < n, on a
X
det(C1..m,α ) det(Aα,1..m ).
det(CA) =
α∈Pm,n
Démonstration. Dans le produit CA on intercale entre C et A une matrice diagonale D ayant
pour coefficients des indéterminées λ1 , . . . , λn , et l’on regarde quel est le coefficient de λi1 · · · λim
dans le polynôme det(CDA) (pour cela on prend λi1 = · · · = λim = 1 et les autres nuls). On
termine en prenant tous les λi égaux à 1.
2
Le corollaire suivant est immédiat.
Corollaire 3.3.6 Si A et C sont des matrices telles que AH est définie, alors, pour tout r > 0
on a
Dr (AC) ⊆ Dr (A) Dr (C)
(3.1)
Rappelons que deux matrices A, C ∈ Mm,n (A) sont dites équivalentes si l’on peut obtenir C
à partir de A en la multipliant à droite et à gauche par des matrices inversibles.
Théorème 3.3.7
1. Si deux matrices A ∈ Mm,n (A) et C ∈ Mm,p (A) ont le même module image dans Am ,
elles ont les mêmes idéaux déterminantiels de chaque ordre.
2. En particulier deux matrices équivalentes ont les mêmes idéaux déterminantiels. En
conséquence les idéaux déterminantiels d’une application linéaire ϕ entre deux
modules libres de rangs finis sont bien définis (en utilisant une matrice représentant
l’application linéaire). Et si ϕ ◦ ψ est définie, on a Dr (ϕ ◦ ψ) ⊆ Dr (ϕ) Dr (ψ).
Démonstration. Il suffit de montrer le point 1. Il existe deux matrices H et K telles que A = HC
et C = KA, donc pour tout r on a
Dr (A) ⊆ Dr (C)Dr (H) ⊆ Dr (C)
et
Dr (C) ⊆ Dr (A)Dr (K) ⊆ Dr (A).
2
Fin de la démonstration d’uncité dans le théorème 3.3.3. Il est clair que les idéaux déterminantiels de la matrice ∆ = LAC sont donnés par
0 si r > k
Dr (∆) =
a1 · · · ar 6= 0 si r ∈ J1..kK
Comme Dr (∆) = Dr (A) on obtient l’unicité de k et le fait que a1 · · · ar est un pgcd des mineurs
d’ordre r de A pour toute réduite de Smith de A.
2
Exercices
Exercice 3.3.1 Montrer que pour toute matrice A et tout entier r on a
Dr+1 (A) ⊆ Dr (A)D1 (A) ⊆ Dr (A).
Exercice 3.3.2 (idéaux déterminantiels d’une matrice de projection sur un anneau arbitraire)
Si A ∈ Mn (A) est idempotente, on dit que A est une matrice de projection. Montrer que
chaque idéal déterminantiel Dr (A) est idempotent. En conséquence il est engendré par un idempotent (voir l’exercice 2.2.5).
40
3. Systèmes linéaires sur un anneau principal
Exercice* 3.3.3 (matrices de projection sur un anneau principal)
NB : Cet exercice est basé sur l’exercice 3.3.2.
1. Si P ∈ Mn (Z) est idempotente (c’est-à-dire si P 2 = P ) elle peut être réduite, au moyen de
transformations élémentaires de lignes et de colonnes à la forme canonique d’une matrice de
projection standard
Ik
0k,n−k
Ik,n =
avec k 6 n.
0n−k,k 0n−k,n−k
En outre les permutations de lignes ou de colonnes ne sont pas nécessaires.
2. Généraliser à une matrice sur un anneau principal.
3. En fait la matrice P est semblable à Ik,n .
3.4
Systèmes linéaires sur un anneau principal
Soit A un anneau principal. On considère un système linéaire à coefficients et inconnues dans
A que l’on écrit sous forme matricielle : AX = B avec A ∈ Mm,n (A). Il s’agit d’un système de
m équations à n inconnues.
Théorème 3.4.1 Supposons que l’on ait une réduction de Smith de A sous forme
L·A·C =
D
0
0
0
avec
D = Diag(a1 , . . . , ak ) et
a1 | a2 | · · · | ak , ak 6= 0
(à priori on a k 6 inf(m, n), éventuellement k = 0, ou k = n, ou k = m). Supposons aussi que
aj est une unité exactement pour j ∈ J1..`K (éventuellement ` = 0 ou ` = k).
1. La solution générale du (( système sans second membre )) AX = 0 est donnée comme suit :
(a) Si n = k il y a l’unique solution X = 0.
(b) Si n > k la solution est donnée au moyen de n − k paramètres libres dans A,
y1 , . . . , yn−k comme suit :
 


x1
0
 ... 
 ... 
 


 
 0 
 


X = =C ·
 = y1 Ck+1 + · · · + yn−k Cn
 
 y1 
 . 
 . 
 .. 
 .. 
xn
yn−k
en notant Cj la j-ème colonne de C.
2. Le système admet une solution si et seulement si les contraintes suivantes sont satisfaites
 0 
b1
..  et on doit avoir
0

pour le second membre B. On pose L · B = B =
.
b0m
– b0j = 0 pour k < j 6 m et
– b0j ≡ 0 mod aj pour ` < j 6 k.
La solution générale du système dans ce cas est donnée au moyen de n − k paramètres
libres dans A, y1 , . . . , yn−k comme suit :
 0

b1 /a1
 .. 
 . 
 0

b0
b0
 b /a 
X = C ·  k k  = 1 C1 + · · · + k Ck + y1 Ck+1 + · · · + yn−k Cn
 y1 
a1
ak
 . 
 .. 
yn−k
3.4. Systèmes linéaires sur un anneau principal
41
Remarques.
1) Si on pose aj = 0 pour k < j 6 m, toutes les contraintes dans le point 2. du théorème peuvent
être formulées de la même manière : b0j ≡ 0 mod aj pour j ∈ J1..mK.
2) On retrouve naturellement comme cas (très) particulier les systèmes de Cramer étudiés dans
la section 3.1 sur un anneau arbitraire.
3) Une différence importante avec le cas des systèmes linéaires sur les corps c’est qu’on a maintenant souvent besoin d’une matrice inversible C générale, alors que dans le cas des corps on
pouvait se contenter d’une matrice de permutation, ce qui permettait de désigner des inconnues
principales et des inconnues auxiliaires.
4) Lorsque les conditions de compatibilité sont satisfaites, on obtient une solution particulière
simple en prenant tous les paramètres libres égaux à 0. Mais pour autant la solution n’est
pas en général donnée par des formes A-linéaires C 7→ α(C), ceci à cause de la présence des
dénominateurs ai . Cependant lorsque les ai sont des unités, on trouve bien des formes A-linéaires. Supposons que A = K[X] pour un corps K, le fait de ne pas avoir de dénominateurs
dans l’expression générale de la solution est une circonstance très favorable, car cette expression
donnera une solution pour toute valeur du paramètre X, ce qui évite une discussion en fonction
des valeurs de ce paramètre.
Démonstration du théorème 3.4.1. Posons L · A · C = A0 . Le système AX = B équivaut au
système LAX = LB = B 0 et, en posant Z = C −1 X, à A0 Z = B 0 . Avec la matrice A0 sous forme
réduite la discussion du système est évidente. Les contraintes sur B 0 sont celles annoncées, et la
solution générale pour Z est z1 = b01 /a1 , . . . , zk = b0k /ak avec zk+1 , . . . , zn arbitraires. Puisque
X = CZ, on obtient les résultats annoncés en prenant pour variables libres (ou paramètres)
yi = zk+i pour i ∈ J1..n − kK.
2
Exercices
Exercice* 3.4.1 A est un anneau principal, A ∈ Mm,n (A). Montrer que le système linéaire
AX = B admet une solution si et seulement si pour tout r ∈ J1..mK on a l’égalité des idéaux
déterminantiels
Dr (A) = Dr ([A B]),
où [A B] désigne la matrice obtenue en juxtaposant la colonne B à droite de la matrice A.
NB : Ce résultat subtil n’est pas valable pour un anneau commutatif arbitraire. Il généralise un
résulat analogue dans le cas des corps : le système linéaire admet une solution si et seulement si
les matrices A et [A B] ont même rang.
4. Modules sur un anneau
commutatif
Introduction
Dans ce chapitre A est un anneau commutatif unitaire, et K est un corps. Nous ne faisons
aucune hypothèse particulière sur A.
Dans le chapitre 1 nous avons vu comment les systèmes linéaires sur l’anneau Z peuvent être
traités au moyen de calculs matriciels qui généralisent les techniques que nous connaissions déjà
dans le cas des corps.
On sait que la notion d’espace vectoriel a été introduite en particulier comme une abstraction
géométrique de la notion de système d’équations linéaires. Une matrice est alors vue comme une
application K-linéaire entre espaces vectoriels de dimensions finies. La géométrie des sous-espaces vectoriels et celle des applications linéaires permet de mieux comprendre l’étude des systèmes
linéaires.
De la même manière, la notion de A-module, qui est l’analogue pour les anneaux de la notion
d’espace vectoriel pour les corps, peut être comprise comme une abstraction géométrique de la
notion plus concrète de système linéaire.
4.1
Définitions générales concernant les modules
Modules et applications linéaires
La définition d’un A-module est directement calquée sur celle d’un K-espace vectoriel.
Définition 4.1.1 Soit (A, +, −, ×, 0, 1) un anneau commutatif.
Un A-module M est donné sous la forme (M, +, −, 0, · ) où
1. (M, +, −, 0) est un groupe commutatif et
2. la loi · est une loi externe, une application
A × M → M,
(a, x) 7→ a · x
satisfaisant les propriétés suivantes (a1 , a2 ∈ A, x, x1 , x2 ∈ M ) :
(a) (a1 + a2 ) · x = (a1 · x) + (a2 · x)
(b) a · (x1 + x2 ) = (a · x1 ) + (a · x2 )
(c) (a1 × a2 ) · x = a1 · (a2 · x)
(d) 1 · x = x
Les axiomes de la loi externe · peuvent se reformuler en disant que l’application
a 7→ (x 7→ a · x)
est un homomorphisme de l’anneau A dans l’anneau EndGroupes (M ) des endomorphismes du
groupe (M, +, −, 0). En particulier elles impliquent que
0A · x = a · 0M = 0M
et
−x = (−1) · x.
44
4. Modules sur un anneau commutatif
En général on omet les symboles × et · .
Exemples. L’anneau A peut être vu comme un A-module en prenant pour loi externe · la
multiplication ×. Le produit cartésien An , qui est un groupe additif, peut être muni d’une
structure naturelle de A-module en définissant la loi externe · comme suit
def
a · (x1 , . . . , xn ) = (ax1 , . . . , axn )
On appelle base canonique de An les éléments e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . .,
en = (0, . . . , 0, 1). En fait il faudrait les noter eA,n,1 , eA,n,2 , . . . , eA,n,n .
Les morphismes de A-modules sont appelés des applications A-linéaires, ils sont définis
comme pour les espaces vectoriels, comme suit.
Définition 4.1.2 Soient M et N deux A-modules. Une application A-linéaire ϕ : M → N
est un homomorphisme du groupe (M, +, −, 0) vers le groupe (N, +, −, 0) qui est (( compatible
avec la loi externe )) au sens suivant :
– ϕ(a · x) = a · ϕ(x) (a ∈ A, x ∈ M )
Lemme 4.1.3 Pour vérifier qu’une application ϕ : M → N est une application A-linéaire il
suffit de vérifier que ϕ est compatible avec la loi + et avec la loi externe.
Lemme 4.1.4 Si ϕ : M → N est une application A-linéaire bijective, la bijection réciproque
est également linéaire. On dit alors que ϕ est un isomorphisme linéaire de M sur N .
Proposition et définition 4.1.5 (le A-module LA (M, N ))
Soient M et N deux A-modules. L’ensemble des applications A-linéaires de M dans N est noté
LA (M, N ), ou, si le contexte est clair, L (M, N ). C’est un sous-groupe de HomGroupes (M, N ).
Il est muni d’une structure naturelle de A-module au moyen de la loi externe définie comme
suit :
def
a · ϕ = (x 7−→ a · ϕ(x))
(ϕ ∈ L (M, N ), a ∈ A, x ∈ M ).
def
En outre le A-module EndA (M ) = LA (M, M ) est un anneau (pour la loi de multiplication ◦)
et l’application
A −→ EndA (M ),
a 7−→ a · IdM
est un homomorphisme injectif d’anneaux.
En vérifiant que l’on obtient bien une structure de A-module sur L (M, N ) le lecteur notera
que la commutativité de l’anneau est indispensable.
Théorème 4.1.6 Si H est un groupe abélien, il existe une unique structure de Z-module sur
H. La loi externe est celle qui a été définie page 12. Si H et G sont deux groupes abéliens, on
a l’égalité HomGroupes (G, H) = LZ (G, H).
Lemme 4.1.7 (applications linéaires depuis un module An )
Si M est un A-module arbitraire une application A-linéaire ϕ : An → M est complètement
caractérisée par l’image de la base canonique de An , qui sont n éléments arbitraires de M .
L’application A-linéaire x
b : An → M correspondant au n-uplet x = (x1 , . . . , xn ) ∈ M n est
définie par
Pn
(a1 , . . . , an ) 7−→
i=1 ai xi .
En langage plus abstrait : on a une bijection naturelle
λA,M,n
LA (An , M ) −−−−→ M n ,
ϕ 7−→ (ϕ(e1 ), . . . , ϕ(en )),
avec (λA,M,n )−1 (x) = x
b. En outre λA,M,n est un isomorphisme de A-modules.
4.2. Applications linéaires entre modules libres de rang fini
45
Définition 4.1.8 Soit x = (x1 , . . . , xn ) un n-uplet dans un A-module M . On utilise la notation
x
b du lemme 4.1.7.
P
1. Les xi sont dits linéairement indépendants si x
b est injective, i.e., si l’égalité ni=1 ai xi
implique les ai sont nuls.
2. On dit que x1 , . . . , xn est un système
b est surjective, i.e., si tout
Pn générateur de M si x
élément de M s’écrit sous forme i=1 ai xi .
3. Le n-uplet x est appelé une base de M siP
x
b est un isomorphisme, i.e., si tout élément
de M s’écrit de manière unique sous forme ni=1 ai xi . On dit alors que M est A-module
libre de rang n.
Une base d’un A-module libre de rang n est donc l’image de la base canonique de An par un
isomorphisme An → M , et un A-module est libre de rang n si et seulement si il est isomorphe
à An .
Sous-modules, systèmes générateurs
Définition 4.1.9 Soit N un A-module, M un sous-groupe de N , et j : M → N l’injection
canonique. Il existe au plus une structure de A-module sur (M, +, −, 0) qui fasse de j une application A-linéaire. Ceci se produit lorsque M est stable pour la loi externe. Les lois sur M sont
donc celles induites par les lois de N . On dit dans ce cas que M est un sous-A-module de N .
Lemme 4.1.10 Les sous-A-modules de A vu comme un A-module sont les idéaux de A.
Lemme 4.1.11 Soit ϕ : M → N une application A-linéaire.
Alors le noyau de ϕ : Ker ϕ = { x ∈ M | ϕ(x) = 0 } est un sous-A-module de M .
De même l’image de ϕ : Im ϕ = { y ∈ N | ∃x ∈ M, ϕ(x) = y } est un sous-A-module de N .
Une
Pcombinaison linéaire d’éléments x1 , . . . , xn du A-module M est un élément de la
forme ni=1 ai xi (pour des ai ∈ A).
Proposition 4.1.12 Soient x1 , . . . , xn des éléments d’un A-module M . Il existe un plus petit
sous-module de M contenant les xi , c’est l’ensemble des combinaisons linéaires des xi . On peut
également le caractériser comme le sous-module image de l’application A-linéaire x
b : An → M
associée au n-uplet x = (x1 , . . . , xn ). On note ce sous-module Ax1 +· · ·+Axn ou hx1 , . . . , xn iA,M ,
ou encore, si le contexte est clair hx1 , . . . , xn i. On dit que c’est le sous-A-module de M
engendré par x1 , . . . , xn .
Plus généralement pour une partie G quelconque de M , il existe un plus petit sous-module de M
contenant G, qui est l’ensemble des combinaisons linéaires pour des familles finies d’éléments
de G. On note ce sous-module hGiA , ou encore, si le contexte est clair hGi.
Définition 4.1.13 Un système générateur d’un A-module M est une famille d’éléments de M
qui engendre M comme sous-module de M . Un A-module est dit de type fini s’il possède un
système générateur fini.
Ainsi un module est de type fini si et seulement si il existe une application A-linéaire surjective An → M .
4.2
Applications linéaires entre modules libres de rang fini
Matrice d’une application linéaire
Définition 4.2.1 Soient E et F deux A-modules libres de bases respectives
P E = (e1 , . . . , en ) et
F = (f1 , . . . , fm ), et ϕ : E → F une application A-linéaire. Si ϕ(ej ) = m
i=1 aij fi , la matrice
A = (aij )i∈J1..mK,j∈J1..nK ∈ Mm,n (A)
46
4. Modules sur un anneau commutatif
est appelée la matrice de l’application A-linéaire ϕ sur les bases E et F. On la notera
A = ME,F (ϕ).
Ainsi les colonnes de ME,F (ϕ) expriment sur la base de F les images par ϕ des éléments de
la base de E.
D’après le lemme 4.1.7 il est clair qu’une application A-linéaire entre modules libres de rang
fini est entièrement caractérisée par sa matrice, qui peut être choisie arbitrairement. On obtient
alors l’isomorphisme suivant.
Lemme 4.2.2 Avec les notations de la définition 4.2.1 l’application
LA (E, F ) −→ Mm,n (A),
ϕ 7−→ ME,F (ϕ)
est un isomorphisme de A-modules. En particulier, LA (E, F ) est un A-module libre de rang mn.
Ce lemme doit être complété par la correspondance entre la composition des applications
A-linéaires et le produit des matrices.
Proposition 4.2.3 Soient E, F et G trois A-modules libres de bases respectives E =
(e1 , . . . , en ), F = (f1 , . . . , fm ) et G = (g1 , . . . , gp ). Soient ϕ : E → F et ψ : F → G des
applications A-linéaires. Alors on a l’égalité
ME,G (ψ ◦ ϕ) = MG,F (ψ) · ME,F (ϕ)
Remarque. Une égalité ϕ(x) = y se traduit par l’égalité matricielle AX = Y , ceci peut aussi
interprété en terme de composition d’applications A-linéaires en remarquant que X est la matrice
de l’application A-linéaire A → E, a 7→ ax et Y est la matrice de l’application A-linéaire
A → F, a 7→ ay (le A-module A étant muni de sa base canonique : 1).
Rang d’un module libre de type fini
Corollaire 4.2.4 (le rang d’un module libre est bien défini)
Si An ' Am avec m > n alors l’anneau A est nul. Donc si A est un anneau non nul, le rang
d’un A-module libre (de rang fini) L est bien déterminé. On le notera rgA (L) ou rg(L).
Démonstration. C’est une conséquence du lemme 3.1.3, car les isomorphismes ϕ : An → Am et
ϕ−1 : Am → An donnent des matrices F , G qui vérifient F G = Im (proposition 4.2.3).
2
En fait on a un résultat un peu plus précis 4.2.6. Mais il nous faut un lemme préparatoire.
Lemme 4.2.5
1. Soient M un A-module, L un A-module libre de rang fini et ϕ : M → L une application A-linéaire surjective. Alors il existe une application A-linéaire ψ : L → M telle que
ϕ ◦ ψ = IdL .
2. Tout endomorphisme surjectif d’un A-module libre de rang fini est un isomorphisme.
3. Tout système générateur de m éléments dans un module libre de rang m est une base.
Démonstration. 1. On définit ψ comme suit : pour chaque élément yi d’une base de L on prend
pour ψ(yi ) un élément xi de M tel que ϕ(xi ) = yi .
2. Soit L le module libre, ϕ l’endomorphisme surjectif et F la matrice de ϕ sur une base fixée.
D’après le point 1. F est inversible à droite dans Mn (A). Le point 3. du lemme 3.1.1 nous dit
que F est inversible dans Mn (A), donc que ϕ est inversible dans EndA (L).
3. Simple reformulation du point 2.
2
4.2. Applications linéaires entre modules libres de rang fini
47
Une application A-linéaire surjective ϕ : M → N est dite scindée s’il existe une application
A-linéaire ψ : N → M telle que ϕ ◦ ψ = IdN . Le point 1. du lemme précédent dit donc que toute
application linéaire surjective vers un module libre de rang fini est scindée.
Corollaire 4.2.6 Si ϕ : An → Am est surjective avec m > n alors l’anneau A est nul.
Première démonstration. Le point 1. du lemme 4.2.5 nous ramène à la situation du lemme 3.1.3.
Deuxième démonstration. On compose la projection Am → An , (x1 , . . . , xm ) 7→ (x1 , . . . , xn )
avec l’application A-linéaire ϕ. On obtient un endomorphisme surjectif de Am . Le point 2. du
lemme 4.2.5 indique que cet endomorphisme est injectif, c’est-à-dire que son noyau est réduit
à 0, or ce noyau contient le dernier élément de la base canonique de Am , avec une coordonnée
égale à 1. Donc 1A = 0A .
2
Formule de changement de bases
Étant données deux bases E et E 0 d’un même A-module libre E, la matrice de E 0 sur
E est par définition la matrice ayant pour colonnes les vecteurs de E 0 exprimés sur la base E,
autrement dit c’est la matrice ME 0 ,E (IdE ). On dit aussi que c’est la matrice de passage de
E à E 0 .
Une matrice de passage d’une base E à une autre base E 0 est inversible et son inverse est
égale à la matrice de passage de E 0 à E. En effet
ME 0 ,E (IdE ) · ME,E 0 (IdE ) = ME,E (IdE ) = In et ME,E 0 (IdE ) · ME 0 ,E (IdE ) = ME 0 ,E 0 (IdE ) = In
On déduit de la proposition 4.2.3 la formule de changement de bases.
Fait 4.2.7 (formule de changement de bases)
Soient E et F deux A-modules libres de bases respectives E = (e1 , . . . , en ) et F = (f1 , . . . , fm ),
et ϕ : E → F une application A-linéaire qui admet la matrice A sur ces deux bases. Considérons
0 ) de E et F . Soit P la matrice de passage
deux autres bases E 0 = (e01 , . . . , e0n ) et F 0 = (f10 , . . . , fm
0
0
0
de E à E , Q la matrice de passage de F à F et A la matrice de ϕ sur les bases E 0 et F 0 alors
on a l’égalité
A0 = Q−1 · A · P
Démonstration. En effet
ME 0 ,F 0 (ϕ) = MF ,F 0 (IdF ) · ME,F (ϕ) · ME 0 ,E (IdE )
2
Deux matrices A et A0 de Mm,n (A) sont dites équivalentes si on a une égalité A0 = Q−1 ·A·P
avec Q inversible dans Mn (A) et P inversible dans Mm (A). Il est clair qu’il s’agit d’une relation
d’équivalence sur Mm,n (A).
Deux matrices A et A0 de Mn (A) sont dites semblables si on a une égalité A0 = P −1 · A · P
avec P inversible dans Mn (A). Il est clair qu’il s’agit d’une relation d’équivalence sur Mn (A).
Remarque. Le fait que le rang d’un module libre sur un anneau non nul est bien défini n’est pas
si évident. À titre d’illustration on présente ici un anneau non commutatif C et deux matrices
F ∈ M2,1 (C) et M1,2 (C) telles que F G = I2 et GF = I1 . Ceci signifie que les modules libres C2
et C1 sont isomorphes (on peut les considérer soit tous deux comme des modules à droite, soit
tous deux comme des modules à gauche).
L’anneau C est l’anneau des endomorphismes du groupe additif B[X], où B est un anneau non
nul. Tout élément f de B[X] s’écrit de manière unique sous la forme f1 (X 2 ) + Xf2 (X 2 ), avec
48
4. Modules sur un anneau commutatif
f1 , f2 ∈ B[X]. On considère alors les éléments π1 , π2 , ι1 , ι2 de C définis comme suit : π1 (f ) = f1 ,
π2 (f ) = f2 , ι1 (g) = g(X 2 ), ι2 (g) = Xg(X 2 ). Un calcul facile donne alors les égalités
1C 0
π1
π1
[ ι1 ι2 ] =
.
= [ 1C ] et
[ ι1 ι2 ]
0 1C
π2
π2
4.3
Modules de type fini
Matrice représentant une application A-linéaire entre modules de type fini
Considérons deux A-modules de type fini M = P
Ax1 + · · · + Axn , N = Ay1 + · · · + Aym et
ϕ : M → N une application A-linéaire. Si ϕ(xj ) = nj=1 cij yi , on considère la matrice
C = (cij )i∈J1..mK,j∈J1..nK ∈ Mm,n (A).
On dit alors que la matrice C représente l’application A-linéaire ϕ sur les systèmes
générateurs (x1 , . . . , xn ) et (y1 , . . . , ym ).
Il est clair que la matrice C donne l’information suffisante pour calculer ϕ(x) pour un x
arbitraire de E, c’est-à-dire que la matrice C (( définit )) l’application ϕ. Néanmoins il y a deux
différences substantielles avec le cas des modules libres et des bases (systèmes générateurs linéairement indépendants). La première est que deux matrices distinctes peuvent représenter la
même application A-linéaire. La deuxième est que toute matrice ne représente pas nécessairement une application A-linéaire entre les deux modules, au sens de la définition qui vient d’être
donnée. En bref la relation (( la matrice A représente l’application A-linéaire ϕ )) (pour des systèmes générateurs fixés) ne donne lieu ni à une application de LA (E, F ) vers Mm,n (A), ni à une
application de Mm,n (A) vers LA (E, F ).
Cependant, on retrouve d’autres propriétés des matrices qui étaient valables pour les modules
libres. Notamment celles concernant la somme ou la composition de deux applications A-linéaires :
– si C et C 0 représentent des applications A-linéaires ϕ, ϕ0 de M vers N remtivement aux
mêmes systèmes générateurs alors C + C 0 et aC représentent les applications A-linéaires
ϕ + ϕ0 et aϕ,
– même type de résultat reliant la composition des applications A-linéaires et le produit des
matrices, pour des applications A-linéaires ϕ : M → N et ψ : N → P entre modules de
type fini.
On en déduit les deux lemmes suivants.
P
k
Soit M un A-module de type fini et ϕ ∈ EndA (M ). Pour un polynôme R(X) = m
k=0 ak X ∈
A[X], on définit comme d’habitude
Xm
R(ϕ) = a0 · IdM +
ak · ϕk .
k=1
On a alors pour R et S ∈ A[X] l’égalité R(ϕ) ◦ S(ϕ) = (RS)(ϕ).
Lemme 4.3.1 Soit (x1 , . . . , xn ) un système générateur de M et C ∈ Mn (A) une matrice qui
représente ϕ sur ce système générateur, alors pour R ∈ A[X], R(C) représente l’endomorphisme
R(ϕ) sur le même système générateur.
Lemme 4.3.2 Avec les mêmes hypothèses, si ϕ = 0EndA (M ) on a det(C) · IdM = 0EndA (M ) ,
c’est-à-dire ∀x ∈ M, det(C) x = 0.
Pn−1
Démonstration. Soit P (X) = det(XIn − C) = X n + k=0
dk X k = XQ(X) + dn le polynôme caractéristique de la matrice C. L’endomorphisme P (ϕ) = ϕQ(ϕ) + dn IdM = dn IdM est représenté
par la matrice P (C) = 0Mn (A) , donc dn IdM = 0EndA (M ) .
2
4.3. Modules de type fini
49
Un résultat structurel important pour les modules de type fini
Nous démontrons dans ce paragraphe le théorème 4.3.3, de portée très générale, qui permet
de retrouver, dans le cas où l’on a affaire à un module libre de rang fini, les résultats 4.2.5 et
4.2.6, sous une forme plus précise.
Soit M un A-module de type fini et une application linéaire ϕ : M → M . Notons A1 le
sous-anneau de EndA (M ) image de A par l’injection naturelle a 7→ a · IdM , puis B = A1 [ϕ] =
{ R(ϕ) | R ∈ A[X] } le sous-anneau de EndA (M ) engendré par A1 et ϕ. Comme RS(ϕ) = R(ϕ)◦
S(ϕ) et RS = SR, l’anneau B est un anneau commutatif unitaire. On peut considérer M comme
un B-module avec la loi externe
def
ψ · x = ψ(x)
(ψ ∈ B, x ∈ M ).
Théorème 4.3.3 (surjectif implique bijectif)
Soit M un A-module de type fini et ϕ : M → M un endomorphisme surjectif. Alors ϕ est un
isomorphisme et son inverse est un polynôme en ϕ.
Démonstration. On reprend les notations avant le théorème. Soit (x1 , . . . , xn ) un système générateur. Considérons l’idéal I de B engendré par ϕ :
X∞
A · ϕk = { ϕ ◦ R(ϕ) | R ∈ A[X] } .
I = ϕB =
k=1
Puisque l’application linéaire ϕ est surjective, il existe une matrice


a11 ϕ · · · a1n ϕ
.
.. 
P =  ..
(aij ∈ A)
.
an1 ϕ · · · ann ϕ
vérifiant
  
   
x1
x1
x1
0
..   .. 
..   .. 


P
=
et donc (In − P )
= . ,
.
.
.
0
xn
xn
xn
où In est la matrice identité de Mn (B). On en déduit
 
   
x1
x1
0
.
..   .. 

det(In − P )  ..  = (I^
−
P
)
(I
−
P
)
=
. .
n
n
.
0
xn
xn

Donc det(In − P ) = 0B , or det(In − P ) = 1B − ϕ ψ avec ψ ∈ B, parce que la matrice P est à
coefficients dans I = ϕ B. Comme ψ est un polynôme en ϕ il commute avec ϕ et l’on obtient
ϕ ψ = ψ ϕ = 1B = IdM . En conclusion ϕ est inversible dans B, donc dans EndA (M ) et son
inverse ψ est un élément de A1 [ϕ], i.e., un polynôme en ϕ.
2
Remarques. 1) La matrice P dans la démonstration ci-dessus ne représente pas nécessairement
un endomorphisme de M .
2) On utilise dans cette preuve des matrices dont certaines ont leurs coefficients dans B et
d’autres (les vecteurs colonnes) leurs coefficients dans M . Pour que la démonstration soit sans
reproche, il faut se convaincre que l’associativité du produit matriciel reste valable dans ce cadre
généralisé. La vérification de ce fait est basée d’une part sur la règle d’assocativité mixte
(ψ1 ◦ ψ2 ) · x = ψ1 · (ψ2 · x),
qui résulte directement des définitions de la loi interne ◦ et de la loi externe · , et d’autre part
sur la bilinéarité de ces deux produits.
Corollaire 4.3.4 Si M est un module de type fini, tout élément ϕ inversible à droite dans
EndA (M ) est inversible, et son inverse est un polynôme en ϕ.
Démonstration. Un endomorphisme inversible à droite est surjectif.
2
50
4. Modules sur un anneau commutatif
4.4
Sommes et produits de modules
Cette section reprend presque sans changement la section analogue pour le cas des groupes
abéliens
Si M1 et M2 sont deux sous-A-modules d’un A-module N , alors l’intersection M1 ∩ M2 est
un sous-A-module de N et la réunion M1 ∪ M2 engendre le sous-A-module
M1 + M2 = { x1 + x2 | x1 ∈ M1 , x2 ∈ M2 } ,
qui est appelé la somme de M1 et M2 .
Si en outre on a
(x1 ∈ M1 , x2 ∈ M2 , x1 + x2 = 0) =⇒ x1 = x2 = 0,
on dit que les sous-A-modules M1 et M2 sont en somme directe ou encore supplémentaires
et l’on écrit M1 ⊕ M2 pour M1 + M2 .
Si M1 ⊕ M2 = N on dit que N est somme directe interne de M1 et M2 et que M2 est un
supplémentaire de M1 dans N . Un sous-A-module M de N est dit facteur direct dans N
s’il possède un supplémentaire dans N .
Plus généralement soit (Mi )i∈I est une famille de sous-A-modules de N .
S
1. La réunion i∈I Mi engendre le sous-A-module
nP
o
P
,
M
=
x
|
x
∈
M
,
J
une
partie
finie
de
I
i
j
j
j
i∈I
j∈J
qui est appelé la somme des Mi .
2. Si en outre on a pour toute partie finie J de I
P
(xj ∈ Mj , j∈J xj = 0) =⇒ ∀j ∈ J, xj = 0,
on dit que les sous-A-modules Mi sont en somme directe et l’on écrit
P
i∈I Mi .
L
i∈I
Mi pour
Q
Proposition et définition 4.4.1 Soit (Ni )i∈I une famille de A-modules, et N = i∈I Ni le
produit des groupes (Ni , +, −, 0). Notons πk : N → Nk la projection canonique (xi )i∈I 7→ xk .
Alors il existe une unique structure de A-module sur N qui fasse de chaque πk une application
A-linéaire. Cette structure est définie par la loi externe
a · (xi )i∈I = (axi )i∈I
On dit que N est le A-module produit de la famille (Ni )i∈I . Lorsque I = {1, . . . , n} on note
aussi N1 × · · · × Nn .
Cas particulier : lorsque
tous les A-modules Ni sont égaux à un même A-module M on note
Q
M I pour le produit i∈I M.
Proposition 4.4.2 On prend les notations de la définition 4.4.1. Soit M un autre A-module.
L’application ϕ 7→ (πi ◦ ϕ)i∈I est une bijection
Q
Q
LA (M, i∈I Ni ) −−→ i∈I (LA (M, Ni )),
et cette bijection est un isomorphisme de A-modules.
Lemme 4.4.3 Soient M1 et M2 deux sous-A-modules d’un A-module N . On a un homomorphisme naturel
M1 × M2 −→ M1 + M2 ,
(x1 , x2 ) 7−→ x1 + x2 .
Cet homomorphisme est un isomorphisme si et seulement si M1 ∩ M2 = {0} c’est-à-dire si
M1 + M2 = M1 ⊕ M2 .
Q
Définition
4.4.4 Soit (Ni )i∈I une famille de A-modules,
L
Let N = i∈I Ni . Le sous-groupe
i∈I Ni de N est aussi un sous-A-module. On dit que
i∈I Ni est le A-module somme
directe (externe) de la famille (Ni )i∈I .
4.4. Sommes et produits de modules
51
Remarque.
L
– Le A-module i∈I Ni est donc l’ensemble des familles (xi )i∈I telles que tous les xi sauf
un nombre fini sont nuls.
L
Q
– Dans le cas où I est fini, on a i∈I Ni = i∈I Ni . Ceci justifie que l’on note N1 × · · · × Nn
également sous la forme
L N1 ⊕ · · · ⊕ Nn .
– Pour x = (xi )i∈I ∈ i∈I Ni , on dit que xk est la coordonnée de x pour l’indice k.
– Cas particulier : lorsque tous les A-modules
Ni sont égaux à un même A-module M on
L
(I)
note M pour la somme directe i∈I M.
Proposition
L 4.4.5 Soit (Ni )i∈I une famille de A-modules et M un autre A-module. Notons
k : Nk → i∈I Ni l’application A-linéaire naturelle. L’application
L
Q
LA ( i∈I Ni , M ) −−→ i∈I (LA (Ni , M )), ϕ 7−→ (ϕ ◦ i )i∈I
est un isomorphisme de A-modules.
L’isomorphisme réciproque est donné par
(ϕi )i∈I 7−→ ϕ
avec
ϕ(x) = ϕ((xi )i∈I ) =
P
j∈J
xj ,
où J est une partie finie de I contenant tous les indices à coordonnée non nulle pour x.
Exercices
Exercice 4.4.1 (autour du théorème chinois)
On note Cn un groupe cyclique d’ordre n. On rappelle qu’un treillis est un ensemble ordonné
pour lequel deux éléments ont toujours une borne supérieure et une borne inférieure. On cherche
à expliciter des isomorphismes (( naturels )) entre C7 ×C10 et C70 .
1. Dessinez le treillis des sous-groupes de C70 .
2. Explicitez une relation de Bezout 7u + 10v = 1.
3. La première méthode consiste à utiliser la famille des groupes µn = µn (C) (le groupe des
racines n-èmes de l’unité dans C). On note
ζ = e2iπ/70
10
7 le générateur canonique de µ70 . Les
groupes µ7 et µ10 sont les sous-groupes ζ
et ζ de µ70 . On sait que µ70 = µ7 µ10
et cela nous fournit donc un isomorphisme (( naturel )) α : µ7 ×µ10 → µ70 : (x, y) 7→ xy. On
demande d’expliciter α−1 .
4. La deuxième méthode consiste à utiliser la famille des groupes Z/nZ. Pour m ∈ Z on note
◦
m la classe de m dans Z/70Z, par m
e sa classe modulo 7 et par m sa classe modulo 10.
◦
Rappeler brièvement pourquoi les applications m 7→ m
e (de Z/70Z vers Z/7Z) et m 7→ m
(de Z/70Z vers Z/10Z) sont bien définies et sont des homomorphismes surjectifs. Ce sont
des homomorphismes (( naturels )). On note λ : Z/70Z → Z/7Z×Z/10Z l’homomorphisme
◦
défini par λ(m) = (m,
e m). Montrer que c’est un isomorphisme et expliciter l’isomorphisme
réciproque.
5. Pouvez-vous comparer ces deux méthodes ?
Exercice* 4.4.2 (modules projectifs de type fini)
Un A-module P est dit projectif de type fini s’il est isomorphe à un facteur direct dans un
module libre de rang fini. Autrement dit il existe un entier n > 0 et un module Q tels que
P ⊕ Q ' An .
1. Montrer qu’un A-module est projectif de type fini si et seulement si il existe un entier n
et une matrice de projection F ∈ Mn (A) (i.e., F 2 = F ) telle que P ' Im F .
2. Montrer que si P est un A-module est projectif de type fini, alors P ? également et l’application A-linéaire naturelle de P dans P ?? est un isomorphisme (pour la dualité voir la
section 4.6).
52
4. Modules sur un anneau commutatif
3. Soit F ∈ Mn (A) une matrice de projection. On définit le polynôme RF (X) ∈ A[X] par
l’égalité RF (1 + X) = det(In + XF ) .
(a) À quoi est égal RF (X) lorsque F est une matrice de projection standard Ik,n ?
(b) Montrer que RF (1) = 1 et RF (XY ) = RF (X) RF (Y ).
(c) Montrer que les coefficients de RF (X) forment un système fondamental d’idempotents
orthogonaux.
(d) Montrer que RF (X) ne dépend que du module P = Im F . Autrement si pour une
matrice de projection G ∈ Mm (A) on a Im F ' Im G, alors RF (X) = RG (X).
Exercice 4.4.3 (vecteurs unimodulaires)
Soit x un élément d’un A-module M . Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes.
1. x est sans torsion et le sous-module hxi = Ax est en facteur direct dans M .
2. Le sous-module hxi = Ax est libre de rang 1 et en facteur direct dans M .
3. Il existe une forme linéaire α ∈ LA (M, A) = M ? telle que α(x) = 1
Dans ce cas on dit que x est unimodulaire (comme élément de M ). Montrer qu’alors α est
unimodulaire comme élément de M ? .
4.5
Modules quotients
Définition 4.5.1 Soit M un A-module, N un sous-A-module, M/N le groupe quotient et π :
M → M/N la projection canonique. Il existe une unique structure de A-module sur M/N qui
fasse de π une application A-linéaire. Elle est définie par la loi externe
def
a · π(x) = π(ax).
Le A-module ainsi obtenu est appelé le module quotient de M par le sous-module N .
Théorème de factorisation
Théorème 4.5.2
1. (théorème de factorisation) Soit N un sous-A-module de M . Pour qu’une application Alinéaire ψ : M → P se factorise par M/N il faut et suffit que N ⊆ Ker ψ.
ψ1
Dans un tel cas l’application A-linéaire M/N −→ P qui réalise la factorisation est unique.
M LL
LLL ψ
LLL
π
LLL
L%
M/N _ _ _ _ _/ P
ψ !
application A-linéaire qui s’annule sur N
1
2. (décomposition canonique d’un morphisme)
Toute application A-linéaire ϕ : M → P se décompose sous forme
ϕ = j ◦ θ ◦ π,
M
j
ϕ
π
M /Ker ϕ
– π : M → M /Ker ϕ est la projection canonique,
– j : ϕ(M ) → P est l’homomorphisme d’inclusion et
– θ : M /Ker ϕ → ϕ(M ) est un isomorphisme.
/ P
O
θ
/ ϕ(M )
4.5. Modules quotients
53
En particulier toute application A-linéaire surjective M → P permet d’identifier P à un
module quotient de M , via l’isomorphisme M /Ker ϕ → P obtenu par factorisation.
Lemme 4.5.3 Soit M un A-module de type fini. Si un quotient M/N de M est isomorphe à
M , alors N = 0.
Démonstration. Cela résulte du théorème 4.3.3, car en composant la projection canonique M →
M/N avec l’isomorphisme M/N → M on obtient une application A-linéaire surjective M → M
de noyau N . Comme elle est bijective, N = 0.
2
Sous-modules et quotients d’un module quotient
Proposition 4.5.4 Soit N un sous-module d’un A-module M et π : M → M/N la projection
canonique. L’application
P 7−→ π −1 (P )
établit une bijection croissante entre les sous-A-modules de M/N d’une part et les sous-A-modules de M contenant N d’autre part. Cette bijection transforme sommes et intersections en
sommes et intersections. La bijection réciproque est L 7→ π(L) ' L/N . En outre pour des sousA-modules P2 ⊆ P1 ⊆ M/N , en notant Li pour π −1 (Pi ), l’application A-linéaire de L1 vers
P1 /P2 obtenue en composant les deux applications A-linéaires naturelles
L1 −→ P1 −→ P1 /P2
donne par le théorème de factorisation un isomorphisme
∼
L1 /L2 −→
P1 /P2 .
On peut réécrire cet isomorphisme sous la forme
∼
L1 /L2 −→
(L1 /N )/(L2 /N ).
Proposition 4.5.5 Soient N et P deux sous-modules d’un A-module M . Alors l’application Alinéaire de N vers (N + P )/P obtenue en composant les deux applications A-linéaires naturelles
N −→ N + P −→ (N + P )/P
donne par le théorème de factorisation un isomorphisme
∼
N/(N ∩ P ) −→
(N + P )/P.
Exercices
Exercice 4.5.1 On reprend les hypothèses de l’exercice 2.2.4.
1. Donner une suite de manipulations élémentaires (voir page 5) qui transforment la matrice
Diag(a, b) en la matrice Diag(a ∨ b, a ∧ b).
2. En déduire que les deux A-modules aA × bA et (a ∨ b)A × (a ∧ b)A sont isomorphes.
3. Est-ce qu’il existe un automorphisme de l’anneau A × A qui transforme l’idéal aA × bA
en l’idéal (a ∨ b)A × (a ∧ b)A ?
Exercice 4.5.2 (surjections scindées)
1. Montrer qu’une application A-linéaire surjective ϕ : M → P est scindée si et seulement si
Ker ϕ est en facteur direct dans M . Dans ce cas si M = N ⊕ Ker ϕ la restriction ϕ|N est
un isomorphisme de N sur P .
2. Est-ce que les applications Z-linéaires naturelles Z/100Z → Z/10Z et Z/100Z → Z/4Z
sont scindées ? Généraliser au cas d’un anneau principal.
3. Si A est un produit fini de corps et P un module de type fini, toute application A-linéaire
surjective ϕ : M → P est scindée.
54
4. Modules sur un anneau commutatif
Remarque. Dans le cas d’espaces vectoriels de dimensions finies sur un corps toutes les surjections
sont scindées et la fabrication des espaces vectoriels quotients est sans mystère. Cela devient
nettement plus amusant avec les anneaux commutatifs.
Exercice 4.5.3 (réduction d’un module, modulo un idéal)
Soit M un B-module, I un idéal de B et C = B/I l’anneau quotient. On note IM le sous
module de M engendré par les ax tels que a ∈ I et x ∈ M . Pour a ∈ B et x ∈ M on note
◦
a := a mod I et x := x mod IM .
1. Montrer que le B-module quotient M/IM est muni d’une unique structure de C-module
◦
◦
satisfaisant ax = ax pour a ∈ B et x ∈ M .
◦
◦
2. Si M est libre sur B de base E = (e1 , . . . , en ), M/IM est libre sur C de base (e1 , . . . , en )
3. Si P est un sous-B-module de M , à quelle condition P/IP s’identifie-t-il à un sous-C-module de M/IM ?
4. Si M = M1 ⊕ · · · ⊕ Ms pour des sous-B-modules Mi , alors
M/IM s’identifie à M1 /IM1 ⊕ · · · ⊕ Ms /IMs .
5. Si M est monogène sur B, isomorphe à B/J, à quoi est isomorphe M/IM ?
6. Dans le théorème 5.3.1 quelle est la structure de (A/hai)-module M/aM pour un élément
arbitraire a de A ? Examiner en particulier le cas où a est l’un des diviseurs élémentaires.
4.6
Dualité
Le module dual d’un A-module M est le module LA (M, A), souvent noté M ? . Ses éléments
sont appelés des formes linéaires sur M .
Toute application A-linéaire M → N donne lieu à une application transposée
tϕ
: N ? −→ M ? ,
α 7−→ α ◦ ϕ.
Dans le cas de modules libres de rang fini, on a la base duale du module dual (définie comme
pour les espaces vectoriels de dimension finie) et la matrice transposée correspond à l’application
linéaire transposée pour les bases duales, comme dans le cas des corps.
On a aussi, pour n’importe quel module M une application linéaire canonique M → M ?? ,
définie par x 7→ (α 7→ α(x)). Cette application linéaire est un isomorphisme si le module est
libre de rang fini.
4.7
Torsion, annulateurs
Un élément x d’un A-module M est appelé un élément de torsion s’il est annulé par un
élément régulier b de A : bx = 0. Autrement dit b qui est régulier dans A (( n’est plus régulier
pour x )).
Dans un module arbitraire M les éléments de torsion forment un sous-module : en effet si b
et b0 réguliers annulent respectivement x et x0 , l’élément bb0 , qui est aussi régulier, annule toute
combinaison linéaire de x et x0 . Ce sous-module est appelé le sous-module de torsion de M ,
nous le noterons TA (M ), ou, si le contexte est clair T(M ).
Un module est dit de torsion si tous ses éléments sont de torsion.
À l’opposé des éléments de torsion il y a les éléments sans torsion, c’est-à-dire les éléments
x pour lesquels l’idéal annulateur
def
(0 : x) = (0 : x)A,M = { a ∈ A | ax = 0 }
4.8. Modules monogènes
55
est réduit à 0. Si l’anneau est intègre tout élément d’un module est ou bien un élément de torsion,
ou bien un élément sans torsion. Mais un idempotent 6= 0, 1 n’est ni un élément de torsion, ni
un élément sans torsion.
L’idéal annulateur du A-module M est défini par
def
AnnA (M ) = Ann(M ) = (0 : M ) = (0 : M )A = { a ∈ A | aM = 0 }
Un module est dit fidèle si son annulateur est réduit à 0. Il revient au même de dire que
l’homomorphisme canonique A → EndA (M ), a 7→ a · IdM est injectif.
Lemme 4.7.1 Un module de type fini est un module de torsion si et seulement si son annulateur
contient un élément régulier.
Démonstration. La condition est évidemment suffisante. Réciproquement si le module est engendré par x1 , . . . , xn et si chaque xi est annulé par un élément régulier bi , alors le produit des
bi est régulier et annule M .
2
On définit aussi des sous-modules annulateurs comme par exemple, pour un idéal I de A
AnnM (I) = (0 : I)M = { x ∈ M | Ix = 0 } .
Les annulateurs sont des cas particuliers de transporteurs, par exemple pour x ∈ M et N
un sous-module de M le transporteur de x dans N est
def
(N : x) = (N : x)A,M = { a ∈ A | ax ∈ N } .
ou encore pour deux sous-modules N , P de M le transporteur de P dans N est
def
(N : P ) = (N : P )A,M = { a ∈ A | aP ⊆ N } .
Exercices
Exercice 4.7.1 On note P l’ensemble des nombres premiers.
L
1. On considère le Z-module M = p∈P Z/pZ.
(a) Montrer que tout élément de M est de torsion : M = T(M ).
(b) Montrer que M est fidèle.
Q
2. On considère l’anneau A = p∈P Z/pZ.
Montrer que pour tout x ∈ A il existe un unique y vérifiant y(1 − xy) = (1 − xy)x = 0.
4.8
Modules monogènes
Un module est dit monogène s’il est engendré par un seul élément. Si par exemple M = Ax
alors l’application linéaire surjective µx : A → M, x 7→ ax donne par factorisation un isomor∼
phisme A/Ker µx −→
M.
On dit parfois module cyclique pour module monogène, mais la terminologie ne semble pas
bien fixée quant à une différence éventuelle entre les deux notions. On définit parfois un module
cyclique comme un module monogène de torsion.
Sur un anneau principal A, un module monogène est isomorphe à un quotient A/hai. Cette
section est consacrée à l’étude de ces modules à travers quelques exercices, qui sont les analogues
des exercices 2.1.1, 2.1.2 et 2.2.1 qui traitent le cas A = Z.
56
4. Modules sur un anneau commutatif
Exercices
Exercice 4.8.1 Soit A un anneau, a ∈ A et M le module monogène A/aA. On notera e la
classe de 1 dans M .
Décrire les sous modules monogènes de M . Que signifie la relation d’inclusion ? Décrire le quotient de deux d’entre eux lorsqu’il y a inclusion.
Exercice 4.8.2 Soit A un anneau principal et a ∈ A∗ \ A× . Décrire les sous-A-modules de A
et ceux de A/hai.
Exercice 4.8.3 Soit A un anneau arbitraire.
1. Si a ∈ A décrire les applications A-linéaires de A/hai dans un A-module arbitraire M .
2. On considère a, b dans un anneau principal A. Décrire le A-module LA (A/hai , A/hbi).
Quand est-il réduit à 0 ?
Exercice 4.8.4 Soit A un anneau arbitraire.
1. Montrer que l’anneau EndA (A/hai) est isomorphe à A/hai.
2. En déduire que le groupe des automorphismes du A-module A/hai est isomorphe
à (A/hai)× .
4.9
Un important résultat d’unicité
Théorème 4.9.1 Soient I1 ⊆ · · · ⊆ In et J1 ⊆ · · · ⊆ Jm des idéaux de A avec n 6 m. Si un
A-module M est isomorphe à la fois à A/I1 ⊕ · · · ⊕ A/In et A/J1 ⊕ · · · ⊕ A/Jm , alors on a
1. Jk = A pour n < k 6 m,
2. et Jk = Ik pour 1 6 k 6 n.
Démonstration. 1. Il suffit de montrer que si n < m alors Jm = A, i.e. que l’anneau B := A/Jm
est nul. On a
Ln
L
Bm = m
i=1 A/(Ii + Jm ).
j=1 A/(Jj + Jm ) ' M/Jm M '
Or chaque A/(Ii + Jm ) est un quotient de B, donc il existe une application linéaire surjective
de Bn sur Bm et par suite B est nul (corollaire 4.2.6). On suppose désormais sans perte de
généralité que m = n.
2. Il suffit de montrer que Jk ⊆ Ik pour k ∈ J1..nK. Remarquons d’abord que pour un idéal I et
un élément x de A, le noyau de l’application linéaire y 7→ yx mod I de A sur x(A/I) est l’idéal
(I : x), et donc que
x(A/I) ' A/(I : x).
Soit maintenant x ∈ Jk . Pour j ∈ Jk..nK, on a (Jj : x) = A et donc
xM '
Mn
j=1
A/(Jj : x) =
Mk−1
j=1
A/(Jj : x)
et
xM '
Mn
i=1
A/(Ii : x).
En appliquant le point 1. au module xM avec les entiers k − 1 et n, nous obtenons (Ik : x) = A,
i.e. x ∈ Ik .
2
4.10
Modules de présentation finie
Systèmes linéaires sur un anneau commutatif
Considérons une matrice M ∈ Mq,m (A). À cette matrice correspondent :
4.10. Modules de présentation finie
57
– d’une part le système linéaire M X = B, où X est le vecteur colonne des inconnues et B
un vecteur colonne ayant pour coordonnées des paramètres ou des éléments de A ;
– d’autre part l’application A-linéaire ϕ : Am → Aq qui est représentée par la matrice M
sur les bases canoniques.
Dans le cas où A est un corps, la structure géométrique de ϕ est donnée par des changements
de base sur les espaces vectoriels de départ et d’arrivée, qui conduisent à ramener la matrice à
la forme canonique
Ik
0k,m−k
Ik,q,m =
avec k 6 min(m, q).
0q−k,k 0q−k,m−k
Dans le cas où A est un anneau principal, on a vu dans le chapitre 3 que l’on obtient
également une forme réduite, un peu plus sophistiquée, dite forme réduite de Smith
D
0k,m−k
,
0q−k,k 0q−k,m−k
où D est une matrice diagonale D = Diag(a1 , . . . , ak ) avec a1 | a2 | . . . | ak 6= 0.
Dans les deux cas la géométrie de l’application A-linéaire ϕ est ainsi parfaitement décrite,
et l’interprétation en termes du système linéaire est claire.
– Le noyau de ϕ est un A-module libre de rang m − k qui admet un supplémentaire libre
de rank k, ce noyau représente le défaut d’injectivité de ϕ, c’est-à-dire encore le degré
d’ambigüité de la solution (éventuelle) du système linéaire.
– Le conoyau de ϕ, à savoir le module quotient Am / Im ϕ, représente le défaut de surjectivité de ϕ, et en termes du système linéaire le défaut de solutions. Dans le cas des corps, il
s’agit à nouveau d’un module libre, avec la signification (constructive) que l’on est capable
d’en calculer une base. Dans le cas d’un anneau principal ce module est isomorphe à un
module
Aq−k ⊕ A/hd1 i ⊕ . . . ⊕ A/hdk i
c’est-à-dire la somme directe d’un module libre et d’une somme directe de modules cycliques.
Lorsque l’on passe au cas d’un anneau commutatif arbitraire, les choses deviennent nettement plus compliquées. Le noyau, l’image et le conoyau des matrices sont toujours des modules
cruciaux, mais leur structure est souvent difficile à cerner.
Définition 4.10.1 Un module isomorphe au conoyau d’une matrice, c’est-à-dire isomorphe à
un quotient d’un module libre de rang fini par un sous-module de type fini, est appelé un module
de présentation finie.
Pour un anneau arbitraire A, étudier la structure des modules de présentation finie, les
classifier, est une tâche essentielle.
Si M est le module conoyau d’une matrice A = (aij ) ∈ Mm,n (A), si
def
π : Am → M = Am / Im(A)
est la projection canonique et si g1 , . . . , gm ∈ M est l’image de la base canonique e1 , . . . , em de
Am , alors M est engendré par les gk , il est donc de type fini. Les colonnes de la matrice A
représentent des relations de dépendance linéaire entre les gk dans M . On peut visualiser ces
relations en écrivant

 

  
g1
g1
a11 . . . am1
0
.
..   ..   .. 
t  .. 
A .
=  ..
=
. .
.
.
0
a1n . . . amn
gm
gm
En fait on a un peu mieux :
58
4. Modules sur un anneau commutatif
Lemme 4.10.2 Avec les notations précédentes, toute relation de dépendance linéaire entre les
gk dans M est une combinaison linéaire des relations données par les colonnes de A.
P
P
Démonstration. Une égalité i αi gi = 0 dans M signifie que i αi ei ∈ Im A ⊆ Am , c’est-à-dire


α1
.. 

exactement que le vecteur colonne
est une combinaison linéaire des vecteurs colonnes
.
αm
de A.
2
Ainsi s’explique la terminologie module de présentation finie : un module de présentation finie
est un module donné par un nombre fini de générateurs soumis à un nombre fini de relations.
On dit que la matrice A est une matrice de présentation du module M pour le
système générateur (g1 , . . . , gm ).
Changement de système générateur pour un module de présentation finie
Se pose alors la question suivante : si l’on change de système générateur, est-ce que les
relations sont toujours engendrées par un nombre fini d’entre elles ? La réponse est positive.
Proposition 4.10.3 Si un module M est de présentation finie, pour tout système générateur
fini h1 , . . . , hr de M , le module des relations pour (h1 , . . . , hr ) est de type fini.
Démonstration. Avec les notations précédentes on a des matrices H1 ∈ Mm,r (A) et H2 ∈
Mr,m (A) telles que
[ g1 · · · gm ] H1 = [ h1 · · · hr ]
et
[ h1 · · · hr ] H2 = [ g1 · · · gm ].
On va montrer que le module des relations entre les hj est engendré par les colonnes de H2 A
d’une part et les colonnes de Ir − H2 H1 d’autre part. En effet tout d’abord on a clairement
[ h1 · · · hr ] H2 A = 0 et [ h1 · · · hr ] (Ir − H2 H1 ) = 0.
Ensuite si l’on a une relation de dépendance linéaire [ h1 · · · hr ] C = 0, on en déduit
[ g1 · · · gm ] H1 C = 0, donc H1 C = AC 0 pour un certain vecteur colonne C 0 et
C = ((Ir − H2 H1 ) + H2 H1 )C = (Ir − H2 H1 )C + H2 AC 0 = HC 00 ,
C
00
où H = [ Ir − H2 H1 | H2 A ] et C =
.
C0
2
Applications linéaires entre modules de présentation finie
Tout module de présentation finie M peut être (( codé )) par une matrice de présentation A
telle que Coker(A) ' M . Pour pouvoir (( calculer avec les modules de présentation finie )), il faut
aussi décrire les applications linéaires au moyen de matrices.
Nous expliquons comment cela fonctionne sans donner les démonstrations. Le lecteur pourra
s’y essayer. Il s’agit essentiellement d’appliquer judicieusement le théorème de factorisation pour
des applications linéaires d’un module dans un autre.
1. Un module de présentation finie M est décrit par un triplet (k, g, A) où A ∈ Mm,n (A)
représente une application linéaire entre les modules libres Ak et Ag . On a M ' Coker(A)
et πM : Ag → M est une application linéaire surjective de noyau Im(A), c’est-à-dire que
l’on a une suite exacte :
πM
A
M →0
Ak −−→ Ag −−→
La matrice A est une matrice de présentation de M (pour le système générateur de M
image de la base canonique de Ag par πM ).
4.10. Modules de présentation finie
59
2. Une application linéaire ϕ du module M1 (décrit par (k1 , g1 , A1 )) vers le module M2 (décrit
par (k2 , g2 , A2 )) est décrite par deux matrices Kϕ et Aϕ vues comme des applications linéaires Kϕ : Ak1 → Ak2 et Aϕ : Ag1 → Ag2 soumises à la relation de commutation
Aϕ A1 = A2 Kϕ .
A k1
Kϕ
A1
A k2
A2
πM 1
/ Ag1
ϕ
Aϕ
/ Ag2
/ / M1
πM 2
/ / M2
3. L’application linéaire ϕ de M1 vers M2 représentée par (Kϕ , Aϕ ) est nulle si et seulement
si il existe Z : Ag1 → Ak2 vérifiant A2 Z = Aϕ .
4. La somme de deux applications linéaires ϕ et ψ de M vers N représentées par (Kϕ , Aϕ )
et (Kψ , Aψ ) est représentée par (Kϕ + Kψ , Aϕ + Aψ ).
Pour a ∈ A l’application linéaire aϕ est représentée par (aKϕ , aAϕ ).
5. Pour représenter la composée de deux applications linéaires, on compose leurs
représentations.
Ceci montre que les problèmes concernant les A-modules de présentation finie peuvent toujours être interprétés comme des problèmes à propos de matrices, et se ramènent souvent à des
problèmes de résolution de systèmes linéaires sur A.
Exercices
Exercice* 4.10.1 (réduction d’un module, modulo un idéal, 2)
On reprend les notations de l’exercice 4.5.3. On a C = B/I.
1. Si N est un C-module montrer qu’on peut le voir comme un B-module en posant, pour
def
a ∈ B et x ∈ N , ax = ax.
2. Toute application B-linéaire ψ : M → N se factorise de manière unique par M/IM .
M MM
MMM
MMψM
π
MMM
MM&
M/IM _ _ _ _ _/ N
θ!
B-modules
applications B-linéaires
C-modules, applications C-linéaires
3. Si M est engendré par (g1 , . . . , gm ), alors M/IM est engendré comme C-module par
◦
◦
(g1 , . . . , gm ).
4. Si M est de présentation finie sur B avec une matrice de présentation A pour un système générateur (g1 , . . . , gm ), M/IM est de présentation finie sur C avec la matrice de
◦
◦
présentation A pour le système générateur (g1 , . . . , gm ).
5. Modules de présentation finie sur
les anneaux principaux
Dans tout ce chapitre, A désigne un anneau principal
5.1
Structure des applications linéaires entre modules libres
Soient E et F deux A-modules libres de bases respectives E = (e1 , . . . , en ) et F =
(f1 , . . . , fm ), et ϕ : E → F une application A-linéaire.
Soit ϕ : E → F une application A-linéaire avec pour matrice A = ME,F (ϕ).
On donne une description géométrique de ϕ dans le théorème qui suit.
Théorème 5.1.1 Supposons que l’on ait une réduction de Smith de A sous forme
L·A·C =
D
0
0
0
avec
D = Diag(a1 , . . . , ak ) et
a1 | a2 | · · · | ak , ak 6= 0
(à priori on a k 6 inf(m, n), éventuellement k = 0, ou k = n, ou k = m). Soit E 0 = (e01 , . . . , e0n )
0 ) la base de
la base de E telle que C soit la matrice de passage de E à E 0 . Soit F 0 = (f10 , . . . , fm
−1
0
F telle que L soit la matrice de passage de F à F . Alors :
1. Le noyau Ker ϕ est le A-module libre de base (e0k+1 , . . . , e0n ), il admet comme supplémentaire le module libre de base (e01 , . . . , e0k )
2. L’image Im ϕ est le A-module libre de base (a1 f10 , . . . , ak fk0 ). Il admet un supplémentaire si
et seulement si les ai (i ∈ J1..kK) sont des unités. Une base d’un supplémentaire est alors
0
0 ).
(fk+1
, . . . , fm
En outre l’entier k et les idéaux ha1 i , . . . , hak i ne dépendent que de ϕ.
Démonstration. C’est évident puisque ME 0 ,F 0 (ϕ) = LAC (fait 4.2.7). Le dernier point concernant l’unicité des idéaux se déduit de l’unicité analogue dans le théorème 3.3.3.
2
Remarque. Dans le théorème précédent si le module image Im ϕ n’admet pas de supplémentaire
on peut néanmoins remarquer que le module G qui admet (f10 , . . . , fk0 ) pour base, et qui est en
facteur direct, peut être défini de façon intrinsèque à partir de Im ϕ comme suit.
G = { x ∈ F | ∃a ∈ A∗ , ax ∈ Im ϕ }
L’écart entre G et Im ϕ est somme toute assez faible puisque G/ Im ϕ ' A/ha1 i ⊕ · · · ⊕ A/hak i
est un module de torsion.
62
5. Modules de présentation finie sur les anneaux principaux
5.2
Théorème de la base adaptée
Ce théorème analyse la structure d’une inclusion d’un module de type fini dans un A-module
libre de rang fini.
Théorème 5.2.1 Soit M un sous-A-module de type fini d’un module F libre de rang m. Alors
M est libre de rang k 6 m et il existe une base F = (f1 , . . . , fm ) de F adaptée à M au sens
suivant. Il existe un entier k > 0 et des éléments a1 , . . . , ak de A∗ avec a1 | a2 | · · · | ak tels que
a1 f1 , . . . , ak fk soit une base de M .
En outre
– l’entier k et les idéaux ha1 i , . . . , hak i ne dépendent que de M (vu comme sous-module
de F ), on dira que ha1 i , . . . , hak i est la liste des facteurs invariants de l’inclusion M ⊆ F ,
– si ψ ∈ GL(F ), M et ψ(M ) ont les mêmes facteurs invariants.
On dira aussi que les hai i sont les facteurs invariants de l’application A-linéaire ϕ.
Démonstration. L’existence de la base adaptée résulte du théorème 5.1.1 puisqu’un sous-module
à n générateurs de F est le module image d’une application A-linéaire ϕ : An → F ' Am .
On reprend les notations du théorème 5.1.1. L’unicité de k et celle des idéaux haj i résulte
– du fait que les idéaux déterminantiels de ϕ sont donnés par
0 si r > k
Dr (ϕ) = Dr (A) = Dr (LAC) =
a1 · · · ar 6= 0 si r ∈ J1..kK
– et du fait que les idéaux déterminantiels d’une matrice ne dépendent que du module image
(théorème 3.3.7).
Enfin le tout dernier point est évident.
2
On dira aussi que la base F est adaptée à l’inclusion M ⊆ F .
Cas des groupes abéliens
On appelle base d’un groupe abélien H une base de H lorsqu’on le voit comme un Z-module.
Corollaire 5.2.2 Si H est un sous-groupe de type fini d’un groupe abélien libre F ' Zm il existe
une base F = (f1 , . . . , fm ) de F adaptée à H au sens suivant. Il existe un entier k > 0 et des
éléments a1 , . . . , ak de N∗ avec a1 | a2 | · · · | ak tels que a1 f1 , . . . , ak fk soit une base de H.
En outre les entier k, a1 , . . ., ak ne dépendent que de H.
Méthode pratique
Elle pourra être utilisée dans les exercices 5.2.1 et 5.2.2.
On veut donner une description précise d’un sous-A-module de type fini de An donné comme
l’image d’une matrice A ∈ Mm,n (A). A priori on procède par manipulations élémentaires ou
manipulations de Bezout, de lignes et de colonnes.
Comme les manipulations de colonnes ne changent pas le module image, on peut donner la
priorité aux manipulations de colonnes, et n’utiliser les manipulations de lignes que lorsque c’est
absolument nécessaire.
Une fois que l’on a une réduction de Smith LAC = ∆, la base adaptée pour le module Im A
est fournie par les colonnes de la matrice L−1 ∈ GLm (A).
5.3. Structure des modules de présentation finie
63
Supposons que l’on ait L = Ep · · · E2 · E1 , où les Ei correspondent aux manipulations (élémentaires ou de Bezout) effectuées dans l’ordre de leur numérotation. Alors
L−1 = Im · E1−1 · E2−1 · · · Ep−1 .
Pour obtenir L−1 sans trop d’effort, il suffit donc de faire subir à la matrice Im les manipulations
de colonnes correspondant aux multiplications à droite successives par E1−1 , E2−1 , . . ., Ep−1 .
Par exemple si une matrice E correspond à la manipulation élémentaire de lignes Li ←
Li + aLj , la matrice E −1 correspond à la manipulation élémentaire de lignes Li ← Li − aLj et
à manipulation élémentaire de colonnes Cj ← Cj − aCi .
Exercices
Exercice 5.2.1 On considère l’anneau Z et le module M ⊆ Z3 image de la matrice


−1075 −175
545
−850
490 −1526 2380 
A =  3010
−1489 −247
755
−1177
donnée dans l’exemple page 6. Donner une base de Z3 adaptée à l’inclusion M ⊆ Z3 , et la base
de M correspondante.
Exercice 5.2.2 Même contexte. Soit P = Im( tA) ⊆ Z4 . Donner une base de Z4 adaptée à
l’inclusion P ⊆ Z4 , et la base de P correspondante.
5.3
Structure des modules de présentation finie
Théorème 5.3.1 Tout A-module de présentation finie M est isomorphe à un module
Ar ⊕ A/ha1 i ⊕ · · · ⊕ A/hak i ,
(r, k ∈ N)
pour des éléments a1 , . . . , ak de A∗ \ A× avec a1 | a2 | · · · | ak . En outre les entiers r, k et les
idéaux ha1 i , . . . , hak i ne dépendent que du module M .
Démonstration. Mise à part la question de l’unicité, cela résulte clairement du théorème 5.1.1
puisqu’un module de présentation finie est par définition un module isomorphe au conoyau
d’une matrice F . Naturellement, si la réduite de Smith de A contient des unités sur la diagonale,
ces éléments n’interviennent pas dans la structure du quotient, puisque pour un u ∈ A× on a
A/hui = 0. Pour la structure du quotient nous ne devons garder que les éléments diagonaux qui
sont dans A∗ \ A× .
La question de l’unicité a été traitée dans le théorème général 4.9.1 dans lequel on ne supposait
rien sur l’anneau A. En effet si on pose ak+1 = · · · = ak+r = 0 et s = k + r on obtient
M ' A/ha1 i ⊕ · · · ⊕ A/has i
2
avec ha1 i ⊇ · · · ⊇ has i
Corollaire 5.3.2 Soit A-module de présentation finie M
1. Le sous-module de torsion de M admet un supplémentaire libre de rang fini dans M ,
2. Si M est sans torsion il est libre de rang fini.
Corollaire 5.3.3 Tout A-module de présentation finie de torsion M est isomorphe à un module
A/ha1 i ⊕ · · · ⊕ A/hak i
pour des éléments a1 , . . . , ak de A∗ \ A× avec a1 | a2 | · · · | ak . En outre l’entier k et les idéaux
ha1 i , . . . , hak i ne dépendent que du module N .
64
5. Modules de présentation finie sur les anneaux principaux
Définition 5.3.4 Dans le théorème 5.3.1, on peut poser ak+1 = · · · = ak+r = 0. Alors avec
s = k + r on obtient : a1 , . . . , as ∈ A \ A× avec a1 | a2 | · · · | as et
M ' A/ha1 i ⊕ · · · ⊕ A/has i .
La liste de ces idéaux principaux propres [ha1 i , . . . , has i], avec ha1 i ⊇ · · · ⊇ has i constitue un
système complet d’invariants pour la strucure du module de présentation finie. Autrement
dit deux modules de présentation finie sont isomorphes si et seulement si ils ont la même liste
d’invariants. Les éléments (ai )i∈J1..sK sont appelés les diviseurs élémentaires du module M .
Leur liste est bien définie à association près.
Cas des groupes abéliens
Un groupe abélien H est dit de présentation finie s’il est de présentation finie lorsqu’on
le voit comme un Z-module.
Corollaire 5.3.5
1. Tout groupe abélien de présentation finie H est isomorphe à un groupe
Zr ⊕ Z/ha1 i ⊕ · · · ⊕ Z/hak i ,
(r, k ∈ N)
pour des entiers a1 , . . . , ak > 2 avec a1 | a2 | · · · | ak . En outre les entiers r, k et a1 , . . . , ak
ne dépendent que du module H.
2. Un groupe abélien de présentation finie est libre si et seulement si il est sans torsion.
3. Un groupe abélien est fini si et seulement si il est de torsion et de présentation finie. Il est
est isomorphe à un groupe
Z/ha1 i ⊕ · · · ⊕ Z/hak i ,
(k ∈ N)
pour des entiers a1 , . . . , ak > 2 avec a1 | a2 | · · · | ak . En outre les entiers k et a1 , . . . , ak
ne dépendent que du groupe.
Méthode pratique
Elle pourra être utilisée pour résoudre les exercices 5.3.1 et 5.3.2.
On suppose qu’un module de présentation finie M est donné par une matrice de présentation A pour un système générateur g1 , . . . , gm . En appliquant la méthode pratique (expliquée
page 62) pour le théorème de la base adaptée pour le module Im(A), on obtiendra explicitement
(comme combinaisons linéaires des gj ) les nouveaux générateurs h1 , . . . , hs pour lesquels
M = h1 A ⊕ · · · ⊕ hs A et Ann(hj ) = haj i (j ∈ J1..sK)
de sorte que hj A ' A/haj i (les aj sont les diviseurs élémentaires du module M ).
Exercices
Exercice 5.3.1 On considère l’anneau Z et le module N = Z3 /M , conoyau de la matrice


−1075 −175
545
−850
490 −1526 2380 
A =  3010
−1489 −247
755
−1177
donnée dans l’exemple page 6. Donner la structure de N .
Exercice 5.3.2 Même contexte. Soit Q = Coker( tA). Donner la structure de Q.
5.4. Un peu de dualité
65
Exercice 5.3.3 Combien y a-t-il de structures différentes possibles pour un groupe abélien fini
d’ordre 500 ? D’ordre 32 ? D’ordre 800 ?
Exercice 5.3.4 On cherche à généraliser l’exercice précédent. Soit A un anneau principal. Pour
un module de torsion de type fini M ' A/ha1 i⊕· · ·⊕A/hak i on note O(M ) = hai où a = a1 · · · ak .
On suppose que a = p5 q 3 avec p et q irréductibles non associés. Combien y a-t-il de structures
différentes possibles pour M si on impose O(M ) = hai?
Exercice 5.3.5 Avec les notations du théorème 5.3.1 montrer que k +r est le nombre minimum
de générateurs de N , et r le rang maximum des sous-modules libres de N .
Exercice* 5.3.6 Soit p un nombre premier et H = Z/pZ ⊕ Z/p2 Z.
Calculer les entiers suivants.
1. Le nombre d’éléments d’ordre p2 dans H.
2. Le nombre d’éléments d’ordre p dans H.
3. Le nombre d’éléments de EndGroupes (H).
4. Le nombre d’éléments de AutGroupes (H).
5. Pour p = 5 dessiner le treillis des sous-groupes de H.
Exercice* 5.3.7 (réduction de matrice sur un anneau de Bezout)
On considère un anneau de Bezout A et une matrice F ∈ Mm,n (A).
1. (forme échelonnée) Montrer qu’il existe un entier k ∈ J0.. inf(m, n)K, une matrice L ∈
GLn (A) et une matrice de permutation P ∈ GLm (A) telles que l’on ait
L·F ·P =
T
G
0
0
avec
T triangulaire supérieure à coefficients diagonaux 6= 0
2. (forme triangulaire) Montrer qu’il existe un entier k ∈ J0.. inf(m, n)K, une matrice L0 ∈
GLn (A) et une matrice C ∈ GLm (A) telles que l’on ait
L0 · F · C =
T0
0
0
0
avec
T 0 triangulaire supérieure à coefficients diagonaux 6= 0
3. En déduire que
(a) Ker F est libre de rang n − k et admet un supplémentaire libre de rang k.
(b) Im F est libre de rang k.
(c) En posant M = Coker F , le sous-module de torsion T(M ) admet un supplémentaire
libre.
(d) Si m = n et F 2 = F , F est semblable à la matrice de projection standard Ik,n .
5.4
Un peu de dualité
Théorème 5.4.1 Soit M un sous-A-module d’un A-module L libre de rang p, défini par un
système d’égalités et de congruences :
λi (x) = 0 pour i ∈ J1..mK
et
µj (x) ≡ 0 mod aj pour j ∈ J1..nK,
où les λi et µj sont des formes linéaires sur L. Alors M est libre de rang fini et on peut calculer
une base de M .
66
5. Modules de présentation finie sur les anneaux principaux
Démonstration. On introduit des inconnues yj pour j ∈ J1..nK. On a alors un système linéaire
sur L × An ' Ap+n , avec m + n équations
λi (x) = 0,
µj (x) + yj aj = 0
Ce système linéaire homogène admet pour solution les éléments d’un sous-module M1 de L×An .
Ce module est le noyau d’une matrice, il est donc libre et on peut en calculer une base, ce qui
fournit un isomorphisme explicite ψ : As → M1 . Soit maintenant π : L × An → L, (x, y) 7→ x
la projection sur le premier facteur. Il est clair que M = Im(π ◦ ψ). C’est donc l’image d’une
matrice et on peut en calculer une base.
2
Remarque. La démonstration proposée ici demande deux calculs successifs de formes réduites
de Smith. En fait le calcul d’un système générateur de M1 (qui apparaı̂t comme le noyau d’une
matrice) est suffisant pour passer à la deuxième étape du calcul. Donc la procédure peut être
accélérée.
Théorème 5.4.2 Soit M et N deux sous-A-modules de type fini d’un A-module libre de rang
fini L. Alors M ∩ N est libre de rang fini et on peut calculer une base M ∩ N .
Démonstration. D’après le théorème 3.4.1 tout sous-A-module de type fini de L peut être défini
par un système d’égalités et de congruences. On obtient alors M ∩N comme solution du système
formé par des égalités et congruences qui définissent M et d’autres qui définissent N . On conclut
2
avec le théorème 5.4.1.
Exercices
Exercice 5.4.1 Calculer le module dual LA (M, A) lorsque M est un module de présentation
finie.
Exercice 5.4.2 On regarde Q comme un Z-module. Calculer son module dual.
Exercice 5.4.3 Soit M et N deux A-modules de présentation finie. Alors le A-module
LA (M, N ) est un module de présentation finie, et plus précisément :
1. On peut calculer un système générateur fini pour LA (M, N ).
2. On peut calculer une matrice de présentation de LA (M, N ) pour ce système générateur.
5.5
Structure des modules de type fini
Théorème 5.5.1 Soit A un anneau principal et M un module de type fini arbitraire.
1. M est de présentation finie.
2. M est somme directe de son sous-module de torsion T(M ), qui est de type fini, et d’un
module libre de rang fini dont le rang ne dépend que de N .
3. Si M est sans torsion, il est libre, et pour tout sous-module de type fini N , il y a une base
de M adaptée à l’inclusion N ⊆ M .
4. Si M est de torsion, il est isomorphe à un module A/ha1 i⊕ · · · ⊕ A/hak i pour des éléments
a1 , . . . , ak de A∗ \ A× avec a1 | a2 | · · · | ak . En outre l’entier k et les idéaux ha1 i , . . . , hak i
ne dépendent que du module N .
Démonstration. Le premier point relève de considérations sur la nœthérianité, que nous
développerons au chapitre 7 (voir le théorème 7.3.2). Le reste en découle puisque les résultats
on été établis pour les modules de présentation finie.
2
Remarque. Contrairement aux résultats précédents dans ce chapitre et notamment les théorèmes
de structure 5.1.1, 5.2.1, 5.3.1, 5.4.1 et 5.4.2, le théorème 5.5.1 n’a aucun contenu algorithmique.
L’hypothèse est trop vaguement définie (un module de type fini arbitraire) pour pouvoir être
traitée par une procédure algorithmique. Ceci sera discuté dans le chapitre 7.
6. Application : structure d’un
endomorphisme
On fixe le contexte suivant pour tout le chapitre 6.
Soient V un K-espace vectoriel de dimension finie,
E = (e1 , . . . , en ) une base de V sur K et ϕ ∈ EndK (V ).
Le but du chapitre est d’étudier la structure de ϕ, ce qui revient à déterminer une forme
réduite uniquement déterminée pour la matrice de ϕ après un changement de base convenable.
Cette étude est facilitée si l’on munit V d’une structure naturelle de K[X]-module attachée
à l’endomorphisme ϕ.
Le grand avantage de la forme réduite de Frobenius (que nous allons expliquer) est d’être
calculée par une procédure purement rationnelle : on ne sort jamais du corps des coefficients de
la matrice donnée au départ. En particulier, contrairement à ce qui se passe avec la réduite de
Jordan, il n’est pas besoin de faire appel aux racines du polynôme caractéristique de ϕ.
6.1
Un K[X]-module intéressant
On peut voir V comme un K[X]-module, en définissant la loi externe comme suit :
P · u = P (ϕ)(u),
P ∈ K[X], u ∈ V.
Nous notons Vϕ le K[X]-module ainsi défini. Faisons alors quelques remarques de bon sens,
que nous regroupons dans la proposition qui suit. Nous notons µϕ et polynôme minimal et χϕ
le polynôme caractéristique de ϕ.
Proposition 6.1.1
1. Un sous-K-espace vectoriel E de V est un sous-K[X]-module si et seulement si ϕ(E) ⊆ E
(i.e. E est un sous-espace vectoriel ϕ-stable).
2. Des sous-espaces ϕ-stables sont en somme directe comme K-espaces vectoriels si et seulement si ils sont en somme directe comme sous-K[X]-modules de Vϕ .
3. Vϕ est K[X]-module de type fini et de torsion.
4. L’idéal annulateur (0 : Vϕ ) ⊆ K[X] est égal à hµϕ i.
5. Si y ∈ Vϕ \ {0}, le sous-K[X]-module engendré par y, noté hyiϕ ou K[X] · y, est le plus
petit sous-espace vectoriel ϕ-stable de V contenant y. Ce sous-espace hyiϕ admet une base
de la forme By,ϕ = (y, ϕ(y), . . . , ϕk−1 (y)), où
P
j
ϕk (y) = a0 y + k−1
j=1 aj ϕ (y)
est la première relation de dépendance K-linéaire
P qui sej présente entre y et ses transformés
successifs par ϕ. Si on pose fy (X) = X k − k−1
j=0 aj X on a alors les résultats suivants.
(a) L’annulateur (0 : y)K[X] est égal à hfy i, ce qui implique que fy divise le polynôme
minimal µ.
68
6. Application : structure d’un endomorphisme
(b) Le sous-espace hyiϕ est isomorphe en tant que K[X]-module au module K[X]/hfy i.
L’isomorphisme est donné par
K[X]/hfy i −→ hyiϕ ,
g 7−→ g · y.
En particulier, en notant x = X, l’image de (1, x, . . . , xk−1 ) (base naturelle du K-espace vectoriel K[X]/hfy i), est la base By,ϕ .
(c) La matrice de la restriction ϕ|hyiϕ sur
polynôme fy :

0 ···

1 0

 0 ...
Pf y = 
 .. . .
.
.
.
 ..
0
···
la base By,ϕ est la matrice compagne du
···
..
.
..
.
..
.
···
···
..
1
0
.
0
..
.
..
.
..
.
0
1
a0

a1
..
.
..
.




.



ak−2 
ak−1
(d) Le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de ϕ|hyiϕ , c’est-à-dire encore de
la matrice compagne Pfy , sont tous deux égaux à fy .
Démonstration. 1. Clair.
2. En effet dans les deux cas cela signifie qu’ils sont en somme directe comme sous-groupes
abéliens de V .
3. En effet V est engendré par (e1 , . . . , en ) et si χ(X) est le polynôme caractéristique de ϕ, alors
χ annule V , i.e. χ ∈ (0 : Vϕ )K[X] .
4. Par définition du polynôme minimal de ϕ.
5. Clair, modulo éventuellement de petits calculs.
2
Le théorème qui suit est un peu plus délicat.
Théorème 6.1.2 Avec les notations précédentes soit F = ME (ϕ). Alors la matrice caractéristique XIn − F est une matrice de présentation du K[X]-module Vϕ pour le système générateur
(e1 , . . . , en ).
P
Démonstration. Notons F = (aij )i,j∈J1..nK . On a X · ej = ϕ(ej ) = i∈J1..nK aij ei .
Autrement dit
P
(X − ajj ) · ej − i∈J1..nK,i6=j aij ei = 0.
Ainsi la j-ème colonne de XIn − F est une relation de dépendance K[X]-linéaire pour le système
générateur (e1 , . . . , en ).
Il nous faut ensuite démontrer que toute relation de dépendance K[X]-linéaire pour (e1 , . . . , en )
est une combinaison K[X]-linéaire des relations données par les colonnes de XIn − F .
Puisque X 2 · ej = X · (X · ej ), on voit1 que l’expression de X 2 · ej comme combinaison K-linéaire
de E, s’écrit comme combinaison K[X]-linéaire des relations données par XIn − F . De même
pour tout g ∈ K[X], l’expression de g · ej comme combinaison K-linéaire de E, s’écrit comme
combinaison K[X]-linéaire des relations données par XIn − F . Cette expression est donnée en
fait par la j-ème colonne de la matrice g(F ).
P
Maintenant, pour (g1 , . . . , gn ) ∈ K[X]n , l’expression de i∈J1..nK gi · ei comme combinaison Klinéaire de E s’écrit aussi comme combinaison K[X]-linéaire des relations données
P par XIn − F .
Et une telle expression est identiquement nulle exactement si et seulement si i∈J1..nK gi · ei = 0.
2
1. La lectrice sceptique est vivement encouragée à écrire les détails de ce petit calcul, par exemple avec n = 3.
6.2. Forme réduite de Frobenius
69
Exercices
Exercice 6.1.1 Donner une démonstration détaillée de la proposition 6.1.1.
Exercice* 6.1.2 (structure de A[X]-module sur An associée à A ∈ Mn (A))
On généralise le théorème 6.1.2 en remplaçant le corps K par un anneau arbitraire A. Soit
A ∈ Mn (A) ; on munit An d’une structure de A[X]-module en posant
Q · x = Q(A) · x
pour Q ∈ A[X] et x ∈ An (notez que le premier · est la loi externe que l’on définit tandis que
le deuxième · est le produit matriciel usuel).
Soit ϕ : A[X]n An l’unique A[X]-morphisme qui transforme la base canonique de A[X]n en
celle de An . Autrement dit, si on note du même nom (e1 , . . . , en ) ces deux bases canoniques, ϕ
est définie par
def
ϕ(Q1 , . . . , Qn ) = ϕ(Q1 e1 + · · · + Qn en ) = Q1 · e1 + · · · + Qn · en = (Q1 (A) · e1 , . . . , Qn (A) · en ).
On va montrer que la suite ci-dessous est exacte :
XI −A
ϕ
A[X]n −−n−→ A[X]n −−→ An → 0
Autrement dit An est un A[X]-module de présentation finie et XIn − A est une matrice de
présentation pour le système générateur (e1 , . . . , en ).
1. Montrer que l’on a une somme directe de A-modules A[X]n = Im(XIn − A) ⊕ An .
2. Conclure.
6.2
Forme réduite de Frobenius
Dans l’anneau euclidien K[X] tout polynôme non nul est (( associé à )) un unique polynôme
unitaire (au sens de la relation d’association). Or dans la forme réduite de Smith d’une matrice,
les éléments diagonaux sont a priori définis à association près. On obtient donc dans le cas de
l’anneau K[X] une forme réduite complètement unique en demandant que les éléments diagonaux
non nuls soient des polynômes unitaires.
Rappelons qu’une matrice H ∈ Mn (K[X]) est inversible si et seulement si son déterminant
est inversible dans K[X], c’est-à-dire si det(H) ∈ K∗ . Dans le processus de réduction de Smith
d’une matrice, les matrices de passage produites sont automatiquement de déterminant ±1.
Théorème 6.2.1 (structure d’un endomorphisme d’un K-espace vectoriel)
Avec les notations précédentes.
1. La réduction de Smith de la matrice XIn − F est du type
L · (XIn − F ) · C = Diag(1, . . . , 1, f1 , . . . , fk ),
k ∈ N∗ , L, C ∈ GLn (K[X])
avec pour fi des polynômes unitaires dans K[X] \ K vérifiant f1 | · · · | fk .
2. Le K[X]-module Vϕ est isomorphe à
K[X]/hf1 i ⊕ · · · ⊕ K[X]/hfk i
3. La matrice F est semblable à une matrice diagonale par blocs dont les blocs diagonaux
sont les matrices compagnes des polynômes fi . Cette forme réduite de la matrice de ϕ est
appelée forme de Frobenius.
4. Le polynôme fk est égal au polynôme minimal µ de ϕ. Le polynôme caractéristique χ de f
est égal au produit des fi .
70
6. Application : structure d’un endomorphisme
5. Si le polynôme caractéristique de ϕ est égal à son polynôme minimal il n’y a qu’un bloc
diagonal, Vϕ = hyiϕ pour un y ∈ V et sur une base convenable la matrice de ϕ est la
matrice compagne de son polynôme caractéristique.
Démonstration. Conséquence du théorème 5.3.1 (forme réduite de Smith d’une matrice sur un
anneau principal), du corollaire 5.3.3 (structure des A-modules de présentation finie de torsion
sur un anneau principal), du théorème 6.1.2 (matrice de présentation de Vϕ ) et de la proposition
6.1.1 (remarques de bon sens sur le module Vϕ ). Les détails sont laissés au lecteur.
2
Les deux théorèmes structurels 6.1.2 et 6.2.1 doivent être complétés par le théorème plus
facile qui suit.
Deux endomorphismes d’un même K-espace vectoriel de dimension finie sont dits semblables s’ils sont conjugués sous l’action du groupe linéaire, c’est-à-dire encore si leurs matrices
sur une même base sont semblables.
Théorème et définition 6.2.2 On considère deux endomorphismes ϕ et ψ du K-espace vectoriel V (de dimension finie n).
1. (a) Tout homomorphisme de K[X]-modules, θ : Vϕ → Vψ , est un endomorphisme du
K-espace vectoriel V .
(b) Pour qu’un θ ∈ EndK (V ) soit un homomorphisme de Vϕ dans Vψ , il faut et suffit que
θ ◦ ϕ = ψ ◦ θ.
2. Les endomorphismes ϕ et ψ sont semblables si et seulement si les K[X]-modules Vϕ et Vψ
sont isomorphes.
3. Les polynômes fi dans le théorème 6.2.1 caractérisent la classe d’équivalence de ϕ pour
la relation de similitude. Ils sont appelés les invariants de similitude de l’endomorphisme ϕ.
Démonstration. 1a) Évident.
1b) Pour g ∈ K[X] et v ∈ V notons g(ϕ)(v) = g ·ϕ v et g(ψ)(v) = g ·ψ v. Alors θ est un
homomorphisme de Vϕ dans Vψ si et seulement si pour tout g ∈ K[X] et v ∈ V on a
θ(g ·ϕ v) = g ·ψ θ(v)
Ceci implique pour g = X que θ(ϕ(v)) = ψ(θ(v)). Inversement si θ ◦ ϕ = ψ ◦ θ, alors par récurrence sur r, θ ◦ ϕr = ψ r ◦ θ, puis pour tout g ∈ K[X], θ ◦ g(ϕ) = g(ψ) ◦ θ, donc pour tout v,
θ(g ·ϕ v) = g ·ψ θ(v).
2. Conséquence immédiate de 1.
3. La liste des fi caractérise exactement la classe d’isomorphisme du module Vϕ . D’après le
point 2., elle caractérise donc exactement la classe de similitude de ϕ.
2
Remarques. 1) En dimension n fixée et pour un polynôme caractéristique donné, les invariants
de similitude sont soumis à deux contraintes. D’une part leur produit doit être égal au polynôme
caractéristique, d’autre part ils doivent se diviser successivement : f1 | · · · | fk . Notons aussi que
fk est égal au polynôme minimal et que f1k divise le polynôme caractéristique.
2) Si ϕ est nilpotent, son polynôme caractéristique est X n et les invariants de similitude de ϕ
sont des X ri . La forme de Frobenius est alors identique à la forme de Jordan (à ceci près que dans
un bloc de Jordan usuel les 1 sont au dessus de la diagonale, alors que dans la forme de Frobenius
ils sont en dessous de la diagonale, il suffit de prendre les vecteurs dans la numérotation opposée
pour passer d’une forme à l’autre).
3) Si ϕ − λId est nilpotent, son polynôme caractéristique est (X − λ)n et les invariants de
similitude de ϕ sont des polynômes (X − λ)ri . La forme de Frobenius de ϕ − λId redonne alors
la forme de Jordan (comme dans la remarque 1)).
6.3. Exemples
71
4) Si l’on sait calculer la décomposition en facteurs premiers du polynôme caractéristique χ
d’un endomorphisme ϕ, on peut écrire χ = q1 · · · qr où les qi sont des puissances de polynômes
irréductibles pi . Alors on a V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vr où Vi = Ker(qi (ϕ)) (lemme des noyaux). En notant
ϕi l’endomorphisme de Vi obtenu par restriction de ϕ, on peut ensuite calculer la forme réduite
de Frobenius de chaque ϕi . Les invariants de similitude de ϕi sont alors des puissances de pi .
Ceci donne lieu à une autre forme réduite, mais son calcul est a priori beaucoup plus difficile
que pour la forme de Frobenius, voire impossible, dans la mesure où il est basé sur le calcul (a
priori difficile) de la décomposition en facteurs premiers du polynôme caractéristique.
6.3
Exemples
Les exemples d’application de la théorie précédentes sont de deux ordres.
Tout d’abord le plus souvent, un endomorphisme ϕ (d’un espace vectoriel de dimension finie)
a son polynôme minimal égal à son polynôme caractéristique. Dans ce cas la théorie nous dit
que, sur une base convenable, l’endomorphisme admet pour matrice la matrice compagne de son
polynôme caractéristique. La base est du type
(x1 , . . . , xn ) avec x2 = ϕ(x1 ), x3 = ϕ(x2 ), . . . , xn = ϕ(xn−1 ).
En pratique, il suffit de choisir le vecteur x1 (( au hasard )) et cela marche avec une très bonne
probabilité de succès (i.e., les xi sont linéairement indépendants).
Les exemples plus difficiles sont lorsque le polynôme minimal n’est pas égal au polynôme
caractéristique. Il existe des techniques d’algèbre linéaire pure qui n’utilisent pas la belle théorie
des modules sur les anneaux principaux, et qui donnent à partir d’une matrice carrée F deux
matrices H et P où H est la forme réduite de Frobenius de F et P est la matrice de changement
de base : P −1 F P = H.
La théorie que nous avons développée est plus élégante, mais ne fournit sans doute pas
d’algorithme plus performant que ceux basés sur l’algèbre linéaire.
Nous proposons deux exemples que nous traitons avec le logiciel Maple 9 et nous donnons le
texte correspondant (programmes et exemples) juste après nos commentaires de ce texte.
Les trois premières pages définissent les procédures qui seront utilisées.
Pour notre méthode nous considérons la matrice caractéristique A = uI6 − F à coefficients
dans Q[u] et nous allons lui faire subir des transformations de lignes et de colonnes légitimes
pour l’anneau principal Q[u]. À la suite de ces transformations nous aurons une égalité L A C =
A0 avec L, C ∈ GL6 (Q[u]) (en fait L et C sont de déterminant ±1) et l’image de A0 sera
suffisamment simple (en forme de Smith à des permutations de colonnes près) pour que la
structure du module Coker A0 soit claire.
Nous aurons besoin de connaı̂tre L−1 pour donner la matrice de changement de base. Pour
cela nous initialisons V et W = V −1 avec V = W = I6 . Au cours du traitement de la matrice A
chaque fois qu’une manipulation de ligne intervient, nous faison subir à V la même manipulation
de ligne et à W la manipulation de colonne opposée, de manière à avoir constamment W =
V −1 . Par contre nous ne nous préoccupons pas de calculer la matrice C correspondant aux
manipulations de colonnes, car cette matrice n’a pas d’incidence sur l’image de la matrice LF C.
Ainsi les procédures de manipulations de lignes opèrent sur le triplet B = (A, V, W ) tandis
que les procédures de manipulations de colonnes opèrent uniquement sur la matrice A.
La procédure pivotligne utilise le coefficient en position (m, n), supposé constant non
nul, comme pivot pour tuer tous les coefficients de la colonne n, sauf le pivot, au moyen de
manipulations de lignes.
La procédure pivotcolonne utilise le coefficient en position (m, n), supposé constant non
nul, comme pivot pour tuer tous les coefficients de la ligne m, sauf le pivot, au moyen de
manipulations de colonnes.
72
6. Application : structure d’un endomorphisme
La procédure pivotlc enchaı̂ne les deux procédures précédentes.
La procédure quopivcol considère les coefficients a et b ∈ Q[u] en positions (m, n1 ) et
(m, n2 ). La division euclidienne de a par b donne le quotient q : on retranche q fois la colonne
n2 à la colonne n1 , ce qui remplace a par le reste de la division de a par b.
La procédure quopivli est la procédure analogue de manipulations de lignes, visant à diviser
un coefficient par un autre situé dans la même colonne.
La procédure iBzCol utilise une relation de Bezout (sur Z) entre deux coefficients constants (entiers, non nuls) situés sur une même ligne. La procédure fait subir aux colonnes une
manipulation de Bezout correspondante.
La procédure BzCol utilise une relation de Bezout (sur Q[u]) entre deux coefficients non
constants situés sur une même ligne. La procédure fait subir aux colonnes une manipulation de
Bezout correspondante.
Enfin les deux dernières procédures servent à expliciter la structure de Q[u]-module de Qn
en présence de l’endomorphisme défini par la matrice F .
La procédure EvalPolMatVect prend en entrée une matrice F ∈ Mn (Q), un polynôme P (en
la variable u) et un vecteur V ∈ Qn . Cette procédure évalue P ·F V = P (F ) · V (retourné sous
la forme du vecteur V1 )
La procédure EvalMatVectPol prend en entrée une matrice F ∈ Mn (Q) et un V ∈ Q[u]n (le
nom de la variable est précisé). Cette procédure évalue V après substitution de F à u. Autrement


p1 (u)
P
dit, si V =  ... , on évalue le vecteur ni=1 pi (F ) · ei , où (e1 , . . . , en ) est la base canonique
pn (u)
de Qn . Le résultat est retourné sous la forme du vecteur V1 .
La page 4 commence le premier exemple en créant une matrice F convenable. Nous noterons
ϕ l’endomorphisme de Q[u]n correspondant.
La fonction Pass prend en entrée un entier, et donne en sortie une matrice unitriangulaire
supérieure, les coefficients non nuls étant tirés au hasard parmi −1, 0, 1.
La matrice G est en forme réduite de Frobenius.




G := 



0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0 −1 0 0
0 0 0 0
0 −2 0 0
1 0 0 0
0 0 0 −1
0 0 1 0








Ses invariants de similitude sont X 2 + 1 et (X 2 + 1)2 . On construit une matrice inversible T1 au
moyen de deux utilisations de Pass, on calcule T2 = T1−1 , puis F = T2 G T1 , ce qui donne




F := 




13 −9 −5 −13 −3 −6
−4
0
0
10
3
5 

26 −14 −8 −36 −9 −18 

6
−1
0
−8 −4 −2 

8
−8 −5 −8
0
−6 
−7
1
0
10
5
3
La procedure frobenius de maple, appliquée à la matrice F , donne les matrices suivantes pour
6.3. Exemples
73
P et P −1
1323
1643
405
− 1643
1566
1643
− 2118
1643
125
53
1839
1643






P =




17889
1643
− 5652
1643
35811
1643
6109
1643
384
53
− 5954
1643
24965
1643
− 4524
1643
37866
1643
28406
1643
− 125
53
− 28127
1643
− 12960
1643
320
− 1643
3470
− 1643

31940
1643
− 71957
1643
− 1180
1643
− 384
53
1025
1643
405
− 1643
920
1643
− 6907
1643
3749
− 1643
− 40
53
5547
1643











1
− 2049
1643
− 1269
1643
450
− 1643










0
632
1643
313
− 1643
136
1643
248
3445
616
− 3445
333
1643
184
− 1643
23
1643
31
689
77
− 689
412
− 1643
0
0
−1
0
604
1643
9
− 1643
6026
3445
3813
3445
392
1643
9
− 53
237
1643
1566
1643
− 2118
1643
125
53
1839
1643
429
− 1643


1
− 53


284

1643 

0 

2767 
3445 
0
48
53
9
53
3351
3445
Autrement dit la nouvelle base est formée par le vecteur correspondant à la première colonne
de P , ses 3 transformés successifs par F , puis le vecteur correspondant à la 5-ème colonne de P
et son transformé par F . On vérifie que l’on a bien P −1 F P = G.
Avec notre méthode, après quelques calculs nous obtenons
L F C = A8

0 0 5
0
0
0





= 




0 0 0
0
0
5
2
0 0 0
0
0 1 0
0 0 0
4 4
u −
− 25
0
− 12
− u2
1 0 0
0



0 


0 


0 
0
0
8
25
u2 −
4
25
0
1
2
0


0 0 5
0
0
0





= 




0 0 0
0
0
5
2
1 0 0
0
0
0




4
4
2
0 0 0
0
− 25 (u + 2u + 1) 0 


0 1 0
0
0
0 


0 0 0 − 12 (1 + u2 )
0
0 
avec L = V8 et
L−1 = W8

1
0
0
9
0





= 




0
1
0
u
0
1
14
0
1
0
8
1
5
u+
8
5
4
25
u3 −
3
25
0
1
0
u2 +
4
25
0
− 25
u2
0
−
2
5
u−
43
25
0 −1
1
5
41 + u


6u + 4 

− 51 u
58 



0
0


1
40 
0
1
Exprimée sur la base (w1 , . . . , w6 ) de Q[u]6 formée par les colonnes de W8 l’endomorphisme
ψ = uIn − ϕ est représenté par la matrice A8 , donc l’image de ψ est égale à
Q[u] w1 ⊕ Q[u] w2 ⊕ (u4 + 2u2 + 1)Q[u] w3 ⊕ Q[u] w4 ⊕ (u2 + 1)Q[u] w5 ⊕ Q[u] w6 .
74
6. Application : structure d’un endomorphisme
Or l’espace vectoriel Q6 vu comme Q[u]-module via l’action ϕ est isomorphe à Coker ψ. Donc,
après subsitution de F à u les vecteurs w1 , w2 , w4 , w6 doivent être nuls, tandis que les vecteurs
w3 et w5 sont évalués non nuls, et
(w3 , ϕ(w3 ), ϕ2 (w3 ), ϕ3 (w3 ), w5 , ϕ(w5 ))
doit être une base de Q6 par rapport à laquelle l’endomorphisme ϕ est en forme réduite de
Frobenius pour les polynômes (u2 + 1)2 et u2 + 1. C’est ce qui est vérifié par le calcul.
Les pages qui suivent donnent un autre calcul pour la même matrice F dans lequel on
essaie d’éviter l’apparition de dénominateurs dans les matrices de passage, d’où l’utilisation de
la procédure iBzCol. Mais le succès n’est pas complet.
Enfin les dernières pages traitent un exemple plus simple, avec une matrice nilpotente, pour
laquelle les formes de Frobenius et de Jordan coı̈ncient.
> restart: with(linalg):
Warning, the protected names norm and trace have been redefined and
unprotected
> pivotcolonne:= proc(A,m,n) local nl, nc,A1, piv, j; nl:=rowdim(A);
nc:=coldim(A);
A1:=matrix(nl,nc,0); A1:=copyinto(A,A1,1,1); piv:=A[m,n];
for j to nc do if j<>n then A1:=addcol(A1,n,j,-A[m,j]/piv)
fi od; A1:=map(expand,A1);
RETURN(A1); end;
pivotlc:= (A,V,W,m,n)-> pivotligne(pivotcolonne(A,m,n),V,W,m,n);
pivotcolonne := proc(A, m, n)
local nl, nc, A1, piv, j;
nl := rowdim(A); nc := coldim(A); A1 := matrix(nl, nc, 0); A1 := copyinto(A, A1, 1, 1); piv := A[m, n];
for j to nc do
if j <> n then A1 := addcol(A1, n, j, - (A[m, j])/(piv)) end if;
end do;
A1 := map(expand, A1); RETURN(A1);
end proc;
pivotlc := (A, V, W, m, n) ® pivotligne(pivotcolonne(A, m, n), V, W, m, n)
> quopivcol:= proc(A,m,n1,n2,u) local q; q:=-quo(A[m,n1], A[m,n2], u);
map(expand,addcol(A,n2,n1,q)) end;
quopivcol := proc(A, m, n1, n2, u)
local q;
q := -quo(A[m, n1], A[m, n2], u); map(expand, addcol(A, n2, n1, q));
end proc;
6.3. Exemples
> pivotligne:= proc(A,V,W,m,n) local nl, nc,A1,V1,W1, piv, i;
nl:=rowdim(A); nc:=coldim(A); A1:=matrix(nl,nc,0);
A1:=copyinto(A,A1,1,1); piv:=A[m,n]; V1:=matrix(nl,nl,0);
V1:=copyinto(V,V1,1,1); W1:=matrix(nl,nl,0); W1:=copyinto(W,W1,1,1);
for i to nl
do if i<>m then
A1:=addrow(A1,m,i,-A[i,n]/piv);
V1:=addrow(V1,m,i,-A[i,n]/piv);
W1:=addcol(W1,i,m,A[i,n]/piv);
fi od;
RETURN(A1,V1,W1); end;
pivotligne := proc(A, V, W, m, n)
local nl, nc, A1, V1, W1, piv, i;
nl := rowdim(A); nc := coldim(A); A1 := matrix(nl, nc, 0); A1 := copyinto(A, A1, 1, 1); piv := A[m, n];
V1 := matrix(nl, nl, 0); V1 := copyinto(V, V1, 1, 1); W1 := matrix(nl, nl, 0); W1 := copyinto(W, W1, 1, 1)
; for i to nl do
if i <> m then
A1 := addrow(A1, m, i, - (A[i, n])/(piv)); V1 := addrow(V1, m, i, - (A[i, n])/(piv)); W1 :=
addcol(W1, i, m, (A[i, n])/(piv));
end if;
end do;
RETURN(A1, V1, W1);
end proc;
> quopivli:= proc(A,V,W,n,m1,m2,u) local q,A1,V1,W1; q:=-quo(A[m1,n],
A[m2,n], u);
A1:=map(expand,addrow(A,m2,m1,q)); V1:=map(expand,addrow(V,m2,m1,q));
W1:=map(expand,addcol(W,m1,m2,-q)); RETURN(A1,V1,W1);
end;
quopivli := proc(A, V, W, n, m1, m2, u)
local q, A1, V1, W1;
q := -quo(A[m1, n], A[m2, n], u); A1 := map(expand, addrow(A, m2, m1, q)); V1 := map(expand,
addrow(V, m2, m1, q)); W1 := map(expand, addcol(W, m1, m2, -q)); RETURN(A1, V1, W1);
end proc;
> iBzCol:= proc(A,m,n1,n2) local i,nl,a,b,s,t,g,Bz,A1;
nl:=rowdim(A); a:=A[m,n1]; b:=A[m,n2];
igcdex(a,b,'s','t'): s; t; g:=s*a+t*b; a:=a/g; b:=b/g;
Bz:=diag(seq(1,i=1..nl-2),matrix(2,2,[[s,-b],[t,a]]));
if nl>n2 then A1:=swapcol(A,nl,n2) else A1:=A fi;
if nl>n1+1 then A1:=swapcol(A1,nl-1,n1) else A1:=A1 fi;
RETURN(evalm(Bz),evalm(A1.Bz));
end;
iBzCol := proc(A, m, n1, n2)
local i, nl, a, b, s, t, g, Bz, A1;
nl := rowdim(A); a := A[m, n1]; b := A[m, n2]; igcdex(a, b, 's', 't'); s; t; g := s*a + t*b; a := (a)/(g); b :=
(b)/(g); Bz := diag(seq(1, i = (1 .. nl - 2)), matrix(2, 2, [[s, -b], [t, a]])); if n2 < nl then
A1 := swapcol(A, nl, n2)
else
A1 := A
end if;
if n1 + 1 < nl then A1 := swapcol(A1, nl - 1, n1) else A1 := A1 end if;
RETURN(evalm(Bz), evalm(`.`(A1, Bz)));
end proc;
> BzCol:= proc(A,m,n1,n2,u) local i,nl,a,b,s,t,g,Bz,A1;
nl:=rowdim(A); a:=A[m,n1]; b:=A[m,n2];
gcdex(a,b,u,'s','t'): s; t; g:=s*a+t*b; a:=expand(normal(a/g));
b:=expand(normal(b/g));
Bz:=diag(seq(1,i=1..nl-2),matrix(2,2,[[s,-b],[t,a]]));
if nl>n2 then A1:=swapcol(A,nl,n2) else A1:=A fi;
if nl>n1+1 then A1:=swapcol(A1,nl-1,n1) else A1:=A1 fi;
RETURN(evalm(Bz),map(expand,evalm(A1.Bz)));
end;
BzCol := proc(A, m, n1, n2, u)
local i, nl, a, b, s, t, g, Bz, A1;
nl := rowdim(A); a := A[m, n1]; b := A[m, n2]; gcdex(a, b, u, 's', 't'); s; t; g := s*a + t*b; a := expand(
normal((a)/(g))); b := expand(normal((b)/(g))); Bz := diag(seq(1, i = (1 .. nl - 2)),
matrix(2, 2, [[s, -b], [t, a]])); if n2 < nl then A1 := swapcol(A, nl, n2) else A1 := A end if;
if n1 + 1 < nl then A1 := swapcol(A1, nl - 1, n1) else A1 := A1 end if;
RETURN(evalm(Bz), map(expand, evalm(`.`(A1, Bz))));
end proc;
75
>
od;
> p:=x^2+1: p2:=p^2:
G:=diag (companion(p2,x),companion(p,x));
T1:=evalm(transpose(Pass(6)).Pass(6)):
T2:=evalm(T1^(-1)):
F:=evalm(T1.G.T2):
0
0
-1
0
0ù
é 0
ê
ú
ê 1
ú
0
0
0
0
0
ê
ú
ê
ú
ê 0
1
0
-2
0
0ú
ú
G := ê
ê
ú
0
1
0
0
0ú
ê 0
ê
ú
ê 0
0
0
0
0
-1ú
ê
ú
ê
ú
0
0
0
1
0û
ë 0
> F:=Matrix(6, 6, {(1, 1) = 13, (1, 2) = -9, (1, 3) = -5, (1, 4) = -13,
(1, 5) = -3, (1, 6) = -6, (2, 1) = -4, (2, 2) = 0, (2, 3) = 0, (2, 4)
= 10, (2, 5) = 3, (2, 6) = 5, (3, 1) = 26, (3, 2) = -14, (3, 3) = -8,
(3, 4) = -36, (3, 5) = -9, (3, 6) = -18, (4, 1) = 6, (4, 2) = -1, (4,
3) = 0, (4, 4) = -8, (4, 5) = -4, (4, 6) = -2, (5, 1) = 8, (5, 2) =
-8, (5, 3) = -5, (5, 4) = -8, (5, 5) = 0, (5, 6) = -6, (6, 1) = -7,
(6, 2) = 1, (6, 3) = 0, (6, 4) = 10, (6, 5) = 5, (6, 6) = 3});
-9
-5
-13
-3
-6ù
é 13
ê
ú
ê -4
0
0
10
3
5úú
ê
ê
ú
ê 26
-14
-8
-36
-9
-18ú
ú
F := ê
ê
ú
-1
0
-8
-4
-2ú
ê 6
ê
ú
ê 8
-8
-5
-8
0
-6ú
ê
ú
ê
ú
-7
1
0
10
5
3
ë
û
> H:=frobenius(F,'P'); print(P); print( evalm(P^(-1)));
print(evalm(P^(-1).F.P));
0
0
-1
0
0ù
é 0
ê
ú
ê 1
0
0
0
0
0úú
ê
ê
ú
ê 0
1
0
-2
0
0ú
ú
H := ê
ê
ú
0
1
0
0
0ú
ê 0
ê
ú
ê 0
0
0
0
0
-1ú
ê
ú
ê
ú
0
0
0
0
1
0
ë
û
6. Application : structure d’un endomorphisme
# le vecteur V a pour coeffs des polynomes en u
# on l'évalue en remplaçant u par la matrice F
# par exemple avec
#
V = [2+3*u,1+u,u^2] = (2+3*u) e1 + (1+u) e2 + u^2 e3
# le resultat sera (2I+3F)(e1) + (I+F)(e2) + F^2(e3)
# où e1, e2, e3 est la base canonique
EvalMatVectPol:= proc(F,V,u) local nl, i, j, Vb, V1, P;
nl:=rowdim(F); V1:=vector(nl,0);
for i to nl do
P:= V[i]; Vb:= vector(nl,0); Vb[i]:=1;
V1:= evalm(V1 + EvalPolMatVect(F,P,Vb,u))
od;
RETURN(evalm(V1)); end;
EvalMatVectPol := proc(F, V, u)
local nl, i, j, Vb, V1, P;
nl := rowdim(F); V1 := vector(nl, 0); for i to nl do
P := V[i]; Vb := vector(nl, 0); Vb[i] := 1; V1 := evalm(V1 + EvalPolMatVect(F, P, Vb, u));
end do;
RETURN(evalm(V1));
end proc;
> `mod` := mods:
Pass:= n -> map(x-> x mod 3,randmatrix(n,n,unimodular));
Pass := n ® map(x ® x mod 3, randmatrix(n, n, unimodular))
76
> EvalPolMatVect:= proc(F,P,V,u) local j, d, Ve, V1;
d:=degree(P,u); Ve:= V; V1:=evalm(coeff(P,u,0)*Ve);
for j to d do Ve:=evalm(F.Ve); V1:=evalm(V1+coeff(P,u,j)*Ve)
RETURN(evalm(V1)); end;
EvalPolMatVect := proc(F, P, V, u)
local j, d, Ve, V1;
d := degree(P, u); Ve := V; V1 := evalm(coeff(P, u, 0)*Ve); for j to d do
Ve := evalm(`.`(F, Ve)); V1 := evalm(V1 + coeff(P, u, j)*Ve);
end do;
RETURN(evalm(V1));
end proc;
1323
1643
17889
1643
24965
1643
-12960
1643
-320
1643
-405
1643
-5652
1643
-4524
1643
31940
1643
-405
1643
1566
1643
35811
1643
37866
1643
-71957
1643
1566
1643
-2118
1643
6109
1643
28406
1643
-1180
1643
-2118
1643
125
53
384
53
-125
53
-384
53
125
53
1839
1643
-5954
1643
-28127
1643
1025
1643
1839
1643
é
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
1
-2049
1643
-1269
1643
-450
1643
392
1643
0
632
1643
333
1643
-412
1643
-9
53
0
-313
1643
-184
1643
604
1643
237
1643
0
136
1643
23
1643
-9
1643
0
-1
248
3445
31
689
6026
3445
48
53
0
-616
3445
-77
689
3813
3445
9
53
é
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
0
0
0
-1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
-2
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0ù
ú
0úú
ú
0ú
ú
ú
0ú
ú
-1ú
ú
ú
0û
-3470ù
ú
1643 ú
ú
920 úú
1643ú
ú
ú
-6907ú
1643 úú
ú
-3749ú
ú
1643 ú
ú
-40úú
53 ú
ú
ú
5547ú
1643úû
-429 ù
ú
1643ú
ú
-1 úú
53ú
ú
ú
284 ú
1643úú
ú
ú
0ú
ú
ú
2767úú
3445ú
ú
ú
3351ú
3445úû
> U:=diag(seq(u,i=1..6)): A:=evalm(U-F); V:=diag(seq(1,i=1..6)): W:=V:
9
5
13
3
6 ù
é u - 13
ê
ú
ê 4
ú
u
0
-10
-3
-5
ê
ú
ê
ú
ê -26
14
u+8
36
9
18 ú
ú
A := ê
ê
ú
1
0
u+8
4
2 ú
ê -6
ê
ú
ê -8
8
5
8
u
6 ú
ê
ú
ê
ú
7
-1
0
-10
-5
u
3
ë
û
6.3. Exemples
é
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
> B1:=pivotlc(A,V,W,4,2): A1:=B1[1]: V1:=B1[2]: W1:=B1[3]: print(A1);
0
5
-9 u - 59
-33
-12 ù
é 41 + u
ê
ú
ê
ú
2
0
0
-u - 8 u - 10
-4 u - 3
-2 u - 5ú
ê 6u+4
ê
ú
ê 58
0
u+8
-14 u - 76
-47
-10 ú
ê
ú
ê
ú
0
1
0
0
0
0 ú
ê
ê
ú
ê 40
0
5
-8 u - 56
-32 + u
-10 úú
ê
ê
ú
ë
1
0
0
u-2
-1
-1 + u û
> B2:=pivotlc(A1,V1,W1,6,1): A2:=B2[1]: V2:=B2[2]: W2:=B2[3]: print(A2);
2
2
é 0
0
5
-48 u - u + 23
u+8
29 - 40 u - u ùú
ê
ê
ú
2
2 ú
ê 0
0
0
-7 u - 2
2u+1
-1 - 6 u
ê
ú
ê
ú
0
u+8
-72 u + 40
11
48 - 58 u ú
ê 0
ê
ú
ê 0
ú
1
0
0
0
0
ê
ú
ê
ú
ê 0
0
5
-48 u + 24
u+8
30 - 40 u ú
ê
ú
ê
ú
1
0
0
0
0
0
ë
û
77
> B3:=pivotlc(A2,V2,W2,1,3): A3:=B3[1]: V3:=B3[2]: W3:=B3[3]: print(A3);
é 0
ù
0
5
0
0
0
ê
ú
ê
ú
2
2
ê 0
ú
0
0
-7 u - 2
2u+1
-1 - 6 u
ê
ú
ê
ú
56 2 1
1 3 16
1 2 16
9
1
8 48 2 1 3 ú
ê 0
u
+
u
+
u
+
u
u
u
+
+
u
+
u
0
0
ê
5
5
5
5
5
5
5
5
5 5
5 ú
ê
ú
ê
ú
ê 0
ú
1
0
0
0
0
ê
ú
ê
ú
2
2
u
+
1
u
+
1
ê 0
ú
0
0
0
ê
ú
ê 1
ú
0
0
0
0
0
ë
û
ù
ú
ú
-5
ú
ú
2
ú
ú
2 3 3 2 2
43 ú
- u +
u - u+ ú
5
10
5
10 ú
ú
ú
0
ú
ú
2
ú
u +1
ú
ú
0
û
0
0
2u+1
-
1 2 16
9
u u5
5
5
0
0
0
> A7:=quopivcol(A6,5,5,4,u);
0
5
0
é 0
ê
ê
ê 0
0
0
0
ê
ê
ê
1 3 1 2 1
1
ê 0
0
0
u u +
u10
10
10
10
A7 := êê
ê
ê 0
1
0
0
ê
ê
1 1 2
ê 0
- - u
0
0
ê
2 2
ê
ê
ë 1
0
0
0
0
0
-
4 4 8 2 4
u u 25
25
25
0
0
0
0ù
ú
-5ú
ú
2ú
ú
ú
0 úú
ú
ú
0ú
ú
ú
0 úú
ú
ú
0û
78
> A4:=quopivcol(A3,2,6,5,u);
0
5
0
é 0
ê
ê
2
ê 0
0
0
-7 u - 2
ê
ê
ê
56 2 1
1 3 16
ê
0
0
u + u+ u +
A4 := ê 0
5
5
5
5
ê
ê
ê 0
1
0
0
ê
ê
2
ê 0
0
0
u +1
ê
ê
0
0
0
ë 1
> B5:=pivotlc(A4,V3,W3,2,6): A5:=B5[1]: V5:=B5[2]: W5:=B5[3]: print(A5);
-5ù
é
é
ê [0, 0, 5, 0, 0, 0], ê 0, 0, 0, 0, 0, ú ,
2û
ë
ë
28 5 21 4 41 3 27 2 13
6
8 4 2 3 2 2 2
2 ù
é
u +
u u +
u- ,u +
u - u +
u - , 0ú ,
ê 0, 0, 0, u 25
25
25
25
25
25 25
25
5
25
25 û
ë
14 4 13 2 1 4 3 4
2 2 2 ù
é
ù
u u + , u + u + u + , 0ú , [1, 0, 0, 0, 0, 0]ú
[0, 1, 0, 0, 0, 0], ê 0, 0, 0, 5
5
5
5
5
5
5
ë
û
û
0
0
-
8 4 2 3 2 2 2
2
u +
u - u +
u25
25
5
25
25
0
4 3 4
2 2 2
u + u+ u +
5
5
5
5
0
0ù
ú
-5ú
ú
2ú
ú
ú
0 úú
ú
ú
0ú
ú
ú
0 úú
ú
ú
0û
> gcd(A8[5,4],A8[3,5]);
2
u +1
> print(W8); expand(det(W8));
é
1
0
ê
ê
0
1
ê
ê
ê 1
8
4 3 3 2 4
43
u u +
uê u+
5
25
25
25
25
ê 5
ê
ê
0
0
ê
ê
ê
2 2 2
- u 1
ê
5
5
ê
ê
ê
0
0
ë
0
9
0
0
u
0
1
14
0
1
0
0
8
1
0
-1
0
1
-
1
1
u+
5
5
41 + u ù
ú
ú
6 u + 4ú
ú
ú
58 ú
ú
ú
ú
0 ú
ú
ú
40 ú
ú
ú
1 úû
6. Application : structure d’un endomorphisme
> A6:=quopivcol(A5,5,4,5,u);
0
5
0
é 0
ê
ê
ê 0
0
0
0
ê
ê
ê
1 3 1 2 1
1
ê 0
0
0
u u +
u10
10
10
10
A6 := êê
ê
ê 0
1
0
0
ê
ê
1 1 2
ê 0
- - u
0
0
ê
2 2
ê
ê
ë 1
0
0
0
> B8:=quopivli(A7,V5,W5,4,3,5,u): A8:=B8[1]: V8:=B8[2]: W8:=B8[3]:
print(A8);
0
5
0
0
0ù
é 0
ê
ú
ê
-5ú
ê 0
ú
0
0
0
0
ê
2ú
ê
ú
ê
ú
4
8
4
4
2
ê 0
ú
0
0
0
u
u
0
ê
ú
25
25
25
ê
ú
ê
ú
ê 0
1
0
0
0
0ú
ê
ú
ê
ú
1
1
2
ê 0
- - u
0
0
0
0 úú
ê
2 2
ê
ú
ê
ú
ë 1
0
0
0
0
0û
> C:=k->EvalMatVectPol(F,col(W8,k),u):
print(C(1),C(2),C(3),C(4),C(5),C(6));
AUTRE TRAITEMENT POSSIBLE À PARTIR
> q5:=EvalMatVectPol(F,col(W8,5),u): q1:=EvalMatVectPol(F,col(W8,3),u):
q2:=evalm(F.q1): q3:=evalm(F.q2): q4:=evalm(F.q3): q6:=evalm(F.q5):
Q:=transpose(matrix(6,6,[q1,q2,q3,q4,q5,q6]));
é 0
-5
-10
0
1
-2ù
ê
ú
ê 0
ú
0
5
-10
0
2
ê
ú
ê
ú
ê
9
-32ú
-8
-21
18
ê 1
ú
5
5 ú
Q := ê
ê
ú
ê 0
ú
0
-10
-5
0
-2
ê
ú
ê
ú
ê 0
-5
0
5
2
-1ú
ê
ú
ê
ú
0
10
5
0
3û
ë 0
> Q1:=evalm(Q^(-1)); Q1FQ:=evalm(Q1.F.Q);
41
12
é -7
1
ê
25
25
ê 5
ê
ê -2
-2
16
ê
0
25
25
ê 5
ê
ê
1
-8
0
Q1 := êê 0
25
25
ê
ê
-2
1
ê
0
ê 0
25
25
ê
ê
ê -1
0
0
2
ê
ê
0
0
1
ë 0
é
ê
ê
ê
ê
ê
Q1FQ := ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
-1
5
1
5
0
0
1
0
0
0
0
-1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
-2
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
9ù
ú
25ú
ú
7ú
ú
25ú
ú
ú
-6 ú
25ú
ú
ú
2ú
ú
25ú
ú
1ú
ú
ú
1û
0ù
ú
0úú
ú
0ú
ú
ú
0ú
ú
-1ú
ú
ú
0û
A2
>
print(A2);
é
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
2
0
0
5
-48 u - u + 23
u+8
0
0
0
-7 u - 2
2
2u+1
0
0
u+8
-72 u + 40
11
0
1
0
0
0
0
0
5
-48 u + 24
u+8
1
0
0
0
0
> A3:=quopivcol(A2,3,6,3,u);
2
é 0
0
5
-48 u - u + 23
ê
ê
2
ê 0
0
0
-7 u - 2
ê
ê
0
u+8
-72 u + 40
A3 := êê 0
ê 0
1
0
0
ê
ê
ê 0
0
5
-48 u + 24
ê
ê
0
0
0
ë 1
> BZ:=iBzCol(A3,3,5,6)[1];
é 1
ê
ê 0
ê
ê
ê 0
BZ := ê
ê
ê 0
ê
ê 0
ê
ê
ë 0
2
29 - 40 u - u ùú
ú
2 ú
-1 - 6 u
ú
ú
48 - 58 u ú
ú
ú
0
ú
ú
30 - 40 u ú
ú
ú
0
û
2
319 - 40 u - u ùú
ú
2
ú
-1 - 6 u
ú
ú
512
ú
ú
ú
0
ú
ú
320 - 40 u ú
ú
ú
0
û
u+8
2u+1
11
0
u+8
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
-93
0
0
0
2
0ù
ú
0úú
ú
0ú
ú
ú
0ú
ú
-512ú
ú
ú
11û
-106 - 173 u - 2 u
2
-95 - 186 u - 12 u
2
1
0
-104 - 173 u
0
2
-587 - 952 u - 11 u ùú
ú
2
-523 - 1024 u - 66 u ú
ú
ú
0
ú
ú
ú
0
ú
ú
ú
-576 - 952 u
ú
ú
0
û
79
> A4:=iBzCol(A3,3,5,6)[2];
2
é 0
0
5
-48 u - u + 23
ê
ê
2
ê 0
0
0
-7 u - 2
ê
ê
0
u+8
-72 u + 40
A4 := êê 0
ê 0
1
0
0
ê
ê
ê 0
0
5
-48 u + 24
ê
ê
0
0
0
ë 1
6.3. Exemples
9
é
ù
[0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 1, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0], ê 1, 0, , 0, 2, 0ú , [0, 0, 0, 0, 0, 0]
5
ë
û
DE
> B5:=pivotlc(A4,V2,W2,3,5): A5:=B5[1]: V5:=B5[2]: W5:=B5[3]:
A5:=swapcol(A5,4,5): print(A5);
3
2
3
2
[[0, 0, 853 + 1490 u + 189 u + 2 u , 0, -760 u - 12377 u - 144 u + 4263, -587 - 952 u - 11 u ],
2
3
2
3
2
[0, 0, 760 + 1583 u + 282 u + 12 u , 0, 600 u - 12919 u - 864 u + 3798, -523 - 1024 u - 66 u ],
[0, 0, 0, 1, 0, 0], [0, 1, 0, 0, 0, 0],
2
2
[0, 0, 837 + 1488 u + 173 u , 0, -616 u - 12456 u + 4184, -576 - 952 u], [1, 0, 0, 0, 0, 0]]
> B6:=BzCol(A5,5,5,6,u): print(B6[1]); A6:=B6[2]: print(A6);
é 1
ù
0
0
0
0
0
ê
ú
ê
ú
1
0
0
0
0
ê 0
ú
ê
ú
ê 0
ú
0
1
0
0
0
ê
ú
ê
ú
0
0
1
0
0
ê 0
ú
ê
ú
ê
ú
-14161
ê 0
ú
0
0
0
576 + 952 u
ê
ú
44392
ê
ú
ê
ú
102941 185283
2
ê 0
ú
+
u
0
0
0
-616
u
12456
u
+
4184
ê
ú
44392
44392
ë
û
ù
2
[0, 0, 0, 1, 0, 0], [0, 1, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 837 + 1488 u + 173 u , 0, 1, 0], [1, 0, 0, 0, 0, 0]ú
û
>
B7:=pivotlc(A6,V5,W5,5,5): A7:=B7[1]: V7:=B7[2]: W7:=B7[3]:
A7:=swapcol(A7,3,5): print(A7);
43144 680389
1831462 2 10638671 3 493998 4 185283 5
é é
uu u u u ,
ê ê 0, 0, 0, 0, 179
1432
5549
22196
5549
44392
ë ë
ù é
2
3
4
-960 u - 592 u - 960 u - 72 u - 520ú , ê 0, 0, 0, 0,
û ë
387635 680389
11677901 2 22203757 3 11339117 4 555849 5
uu u u u ,
1432
1432
22196
44392
44392
22196
ù
2
3
4
-952 u - 1016 u - 952 u - 432 u - 584ú , [0, 0, 0, 1, 0, 0], [0, 1, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 1, 0, 0, 0],
û
ù
[1, 0, 0, 0, 0, 0]ú
û
2
[0, 0, 0, 0, 129 - 18 u, 72 u + 960 u + 520],
85627 9915
185283 2 185283 3 493998 2 680389
43144 ù ù
é
+
u+
u ,u u uê 0, 0, 0, 0, ú ú
1432
11456
177568
44392
5549
1432
179 û û
ë
é
ê
ê
ê
ê
ê
ê
A8 := ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
2
0
0
0
0
u +1
0
0
0
0
7 1
7 2 1 3
+ u+ u + u
8 4
8
4
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
ù
ú
ú
2
4ú
-2 u - 1 - u ú
ú
ú
ú
0
ú
ú
0
ú
ú
ú
0
ú
ú
0
û
0
> gcd(A8[1,5],A8[2,5]);
2
u +1
> B9:=quopivli(A8,V7,W7,5,2,1,u): A9:=B9[1]: V9:=B9[2]: W9:=B9[3]:
print(A9);
2
é 0
ù
0
0
0
u +1
0
ê
ú
ê
ú
2
4
ê 0
0
0
0
0
-2 u - 1 - u ú
ê
ú
ê
ú
0
0
1
0
0
ê 0
ú
ê
ú
ê 0
ú
1
0
0
0
0
ê
ú
ê
ú
ê 0
ú
0
1
0
0
0
ê
ú
ê
ú
0
0
0
0
0
ë 1
û
> print(W9); expand(det(W9));
7253 1071
1704 2 1071 3
é é
ù
2
+
u+
u +
u , 41 + uú ,
ê ê 1, 0, -106 - 173 u - 2 u , 9,
5549 44392
5549
44392
ë ë
û
7
54665 11975
10273 2 3213 3
é 1
ù
2
+
u+
u +
u , 6 u + 4ú ,
ê u + , 1, -95 - 186 u - 12 u , u,
8
44392 44392
44392
22196
ë 4
û
ù
[0, 0, 1, 14, 0, 58], [0, 0, 0, 1, 0, 0], [0, 0, -104 - 173 u, 8, 1, 40], [0, 0, 0, -1, 0, 1]ú
û
1
> C:=k->EvalMatVectPol(F,col(W9,k),u):
print(C(1),C(2),C(3),C(4),C(5),C(6));
1ù
é -5 7 -7 -1
ê , , , , -2, ú , [0, 1, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0, 0]
4
8
2
4
4û
ë
6. Application : structure d’un endomorphisme
7253 1071
1704 2 1071 3
é é
2
3
+
u+
u +
u ,
ê ê 0, 0, 853 + 1490 u + 189 u + 2 u , 0,
5549
44392
5549
44392
ë ë
ù é
2
3
4
2
3
-960 u - 592 u - 960 u - 72 u - 520ú , ê 0, 0, 760 + 1583 u + 282 u + 12 u , 0,
û ë
54665 11975
10273 2 3213 3
ù
2
3
4
+
u+
u +
u , -952 u - 1016 u - 952 u - 432 u - 584 ú ,
44392 44392
44392
22196
û
é
ê [1, 0, 0, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 1, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 1, 0, 0],
ë
80
2
> B8:=BzCol(A7,1,5,6,u): print(B8[1]); A8:=B8[2];
> Q1:=evalm(Q^(-1)); Q1FQ:=evalm(Q1.F.Q);
39
3
é -7
1
ê
64
8
ê 8
ê
ê -1
1
3
ê
0
32
8
ê 4
ê
ê
-1
-1
0
Q1 := êê 0
64
8
ê
ê
1
ê
0
0
ê 0
32
ê
ê
ê 1
0
0
-2
ê
ê
0
0
-1
ë 0
é
ê
ê
ê
ê
ê
Q1FQ := ê
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
-3
32
5
64
1
32
-3
64
-1
0
0
0
0
-1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
-2
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
9ù
ú
32ú
ú
3ú
ú
16ú
ú
ú
-3 ú
32ú
ú
ú
1ú
ú
16ú
ú
-1ú
ú
ú
-1û
0ù
ú
0úú
ú
0ú
ú
ú
0ú
ú
-1ú
ú
ú
0û
DEUXIEME
EXEMPLE
>
G:=diag (companion(x^3,x),companion(x^2,x));
0
0
0
é 0
ê
ê 1
0
0
0
ê
G := êê 0
1
0
0
ê
ê 0
0
0
0
ê
ê
ë 0
0
0
1
6.3. Exemples
> q5:=EvalMatVectPol(F,col(W9,1),u): q1:=EvalMatVectPol(F,col(W9,2),u):
q2:=evalm(F.q1): q3:=evalm(F.q2): q4:=evalm(F.q3): q6:=evalm(F.q5):
Q:=transpose(matrix(6,6,[q1,q2,q3,q4,q5,q6]));
é
-5
9ù
-9
-16
1
ê 0
ú
4
8ú
ê
ê
ú
ê
7
-9ú
ê 1
ú
0
7
-16
ê
8
4ú
ê
ú
ê
ú
-7
23
ê 0
ú
-14
-32
30
ê
2
4 úú
Q := ê
ê
ú
ê
-1
9ú
-1
-16
-7
ê 0
ú
4
8ú
ê
ê
ú
ê 0
-8
0
8
-2
1úú
ê
ê
ú
ê
1
-17ú
1
16
7
ê 0
ú
4
8 û
ë
0ù
ú
0ú
ú
ú
0ú
ú
0úú
ú
0û
> T1:=evalm(transpose(Pass(5)).Pass(5).transpose(Pass(5)).Pass(5)):
T2:=evalm(T1^(-1));
0
2
-1
1ù
é -1
ê
ú
ê -4
4
-4
7
5ú
ê
ú
ú
T2 := êê -1
1
-1
2
1ú
ê
ú
ê -2
ú
3
-4
5
3
ê
ú
ê
ú
ë -2
2
-2
4
3û
> F:=evalm(T1.G.T2);
é
ê
ê
ê
F := êê
ê
ê
ê
ê
ë
-9
14
-22
27
-13
16
-22
31
-12
15
-20
28
-9
11
-14
20
6
-5
4
-9
13ù
ú
17ú
ú
ú
16ú
ú
12úú
ú
-7û
> F := matrix([[-9, 14, -22, 27, 13], [-13, 16, -22, 31, 17], [-12, 15,
-20, 28, 16], [-9, 11, -14, 20, 12], [6, -5, 4, -9, -7]]);
14
-22
27
13ù
é -9
ê
ú
ê -13
16
-22
31
17ú
ê
ú
ú
F := êê -12
15
-20
28
16ú
ê
ú
ê -9
11
-14
20
12úú
ê
ê
ú
ë 6
-5
4
-9
-7û
81
> B1:=iBzCol(A,1,2,5): Bz:=B1[1]
é 1
ê
ê 0
ê
Bz := êê 0
ê
ê 0
ê
ê
ë 0
1
0
0
0
1
0
0
0
-1
0
0
1
0ù
ú
0ú
ú
ú
0ú
ú
13úú
ú
-14û
-27
22
1
-31
22
-1 - u
-28
u + 20
-1
u - 20
14
-1
9
-4
2+u
0
ù
ú
30 + 13 u ú
ú
ú
29
ú
ú
ú
25
ú
ú
-33 - 14 uû
> B2:=pivotlc(A1,V,W,1,4): A2:=evalm(B2[1]); V2:=B2[2]: W2:=B2[3]:
0
0
0
1
0
é
ù
ê
ú
ê
ú
2
-58 - 27 u
44 + 22 u
0
30 + 13 u ú
ê 10 u + u + 22
ê
ú
ú
A2 := ê
u + 21
-55
42 + u
0
29
ê
ú
ê
ú
u + 18
-47 + u
36
0
25
ê
ú
ê
ú
ê
ú
2
63 + 27 u
-48 - 22 u
0
-33 - 14 uû
ë -11 u - u - 24
> B3:=iBzCol(A2,3,2,5): Bz:=B3[1] ;
0
é 1
ê
ê 0
1
ê
Bz := êê 0
0
ê
ê 0
0
ê
ê
ë 0
0
A3:=B3[2]:
0
0
0
0
1
0
0
10
0
19
0ù
ú
0ú
ú
ú
0ú
ú
-29úú
ú
-55û
> B5:=BzCol(A4,2,3,5,u): print(B5[1]); A5:=B5[2];
0
0
0
0
é 1
ù
ê
ú
ê 0
ú
1
0
0
0
ê
ú
ê
ú
ê 0
ú
0
1
0
0
ê
ú
ê
ú
-289
ê 0
ú
0
0
-32 - 68 u
ê
ú
160
ê
ú
ê
ú
8391 391
ê
2ú
+
u
0
0
0
464
+
998
u
+
23
u
ê
ú
320 640
ë
û
0
é
ê
ê
2
ê 503 u + 24 u + 232
ê
ê
0
A5 := êê
ê
2
ê -214 u - 10 u - 87
ê
ê
ê
ê -98 u - 5 u 2 - 87
ë
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
-
3 7
221 2
u+
u
8 64
640
0
0
-
3 25
459 2
+
uu
8 64
640
0
ù
ú
ú
0
ú
ú
ú
0
ú
ú
2
3ú
2 u + 13 u ú
ú
ú
2
3ú
2 u - 27 u ú
û
> B6:=pivotlc(A5,V4,W4,2,4): A6:=evalm(B6[1]); V6:=B6[2]: W6:=B6[3]:
0
1
0
0
0
é
ù
ê
ú
ê
ú
0
0
0
1
0
ê
ú
ê
ú
ê
ú
0
0
1
0
0
ú
A6 := êê
ú
2
3
ê - 8351 u 2 - 109483 u 3 - 663 u 4
0
0
0
2 u + 13 u ú
ê
ú
320
640
80
ê
ú
ê
ú
8351
224877
1377
ê
2
3
4
2
3ú
u +
u +
u
0
0
0
2 u - 27 u ú
ê 640
80
ë 320
û
6. Application : structure d’un endomorphisme
é u+9
ê
ê 13
ê
A1 := êê 12
ê
ê 9
ê
ê
ë -6
; A1:=B1[2];
0
0
0
> B4:=pivotlc(A3,V2,W2,3,4): A4:=evalm(B4[1]); V4:=B4[2]: W4:=B4[3]:
é
ù
0
1
0
0
0
ê
ú
ê
ú
2
2
ê 503 u + 24 u + 232
0
464 + 998 u + 23 u
0
32 + 68 uú
ê
ú
ú
A4 := êê
0
0
0
1
0
ú
ê
ú
ê
ú
2
2
0
-174 - 425 u - 10 u
0
-12 - 29 uú
ê -214 u - 10 u - 87
ê
ú
ê
ú
2
2
0
-174 - 193 u - 4 u
0
-12 - 13 uû
ë -98 u - 5 u - 87
82
> U:=diag(seq(u,i=1..5)): A:=evalm(U-F); V:=diag(seq(1,i=1..5)): W:=V:
-14
22
-27
-13 ù
é u+9
ê
ú
ê 13
u - 16
22
-31
-17 ú
ê
ú
ú
A := êê 12
-15
u + 20
-28
-16 ú
ê
ú
ê 9
-11
14
u - 20
-12 úú
ê
ê
ú
ë -6
5
-4
9
u + 7û
é
ê
ê
ê
ê
A7 := ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
u
2
0
0
0
u
2
0 ù
ú
0 ú
ú
ú
0 ú
ú
ú
0 ú
ú
3ú
-u û
> B8:=quopivli(A7,V6,W6,4,5,4,u): A8:=evalm(B8[1]); V8:=B8[2]:
W8:=evalm(B8[3]);
1
0
0
0 ù
é 0
ê
ú
ê 1
0
0
0
0 ú
ê
ú
ê
ú
0
0
1
0
0
ú
A8 := ê
ê
ú
ê
ú
2
0
0
0
u
0
ê
ú
ê
ú
ê
3ú
0
0
0
-u û
ë 0
é
ê
ê -1 - u
ê
ê
ê -1
W8 := êê
ê -1
ê
ê
ê
ê
ê 2+u
ë
1
0
0
0
1
-10 - 23 u
0
0
1
0
-
3 7
221 2
u+
u
8 64
640
5 + 10 u
1
-
3 25
459 2
+
uu
8 64
640
3+4u
1
0ù
ú
0úú
ú
0ú
ú
ú
0ú
ú
ú
ú
ú
1ú
û
> C:=k->EvalMatVectPol(F,col(W8,k),u): print(C(1),C(2),C(3),C(4),C(5));
[0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 1, 1], [0, 0, 0, 0, 1]
> q4:=EvalMatVectPol(F,col(W8,4),u): q1:=EvalMatVectPol(F,col(W8,5),u):
q2:=evalm(F.q1): q3:=evalm(F.q2): q5:=evalm(F.q4):
> Q:=transpose(matrix(5,5,[q1,q2,q3,q4,q5]));
13
2
0
é 0
ê
ê 0
17
4
0
ê
ê
Q := ê 0
16
3
0
ê
ê 0
12
2
1
ê
ê
ë 1
-7
-2
1
> Q1:=evalm(Q^(-1)); Q1FQ:=evalm(Q1.F.Q);
é -1
0
2
ê
ê
-1
ê -1
1
ê 2
2
ê
ê
ê -5
17
-7
Q1 := êê 16
16
8
ê
ê 1
3
-5
ê
ê 8
8
4
ê
ê
7
-9
ê 13
ê 64
64
32
ë
é
ê
ê
ê
Q1FQ := êê
ê
ê
ê
ê
ë
40ù
ú
48ú
ú
ú
44ú
ú
32úú
ú
-16û
-1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
6.3. Exemples
> B7:=BzCol(A6,4,1,5,u): print(B7[1]); A7:=B7[2];
0
0
0
0
é 1
ù
ê
ú
ê 0
ú
1
0
0
0
ê
ú
ê
ú
ê 0
ú
0
1
0
0
ê
ú
ê
ú
0
0
40
-13 u - 2
ê 0
ú
ê
ú
ê
8359 51
8351 109483
663 2ú
0
0
+
u
uu ú
ê 0
16
2
320
640
80
ë
û
1ù
ú
ú
0úú
ú
ú
ú
0ú
ú
ú
ú
0ú
ú
ú
ú
ú
0ú
û
0ù
ú
0ú
ú
ú
0ú
ú
0úú
ú
0û
83
> H:=frobenius(F,'P'): print(P,evalm(P^(-1))); # calcul par la procedure
Maple
227
308ù é
é
-2
-9
1
0
-2
1
-1ù
ê -8
ú
ú
9
9 ú ê
ê
ê
ú
ê
ú ê
1
4
-8
4ú
ê -104
247
-104
364ú ê 0
3
9
9
9úú
ê
ú
-4
9
9
9 ú êê
ê 9
ú
ê
ú ê
ú
-4
13
ê
ú ê 0
0
0ú
-32
76
-32
112
ê
ú ,ê
-3
3
9
ú
ê 3
3
3
3 ú ê
ú
ê
ú ê
3
6
8úú
ê
ú ê
-1
0
164
245ú ê
ê
7
7
7ú
-2
-7
ê -7
ú
ú
9
9 ú ê
ê
ê
ú
ê
ú ê
-31
-214
8
-115ú
ê 16
-65
16
-119ú ê 0
ê
ú
2
147
441
9
441 úû
ë
3
9
3
9 û ë
7. Anneaux et modules nœthériens
Ce chapitre est de nature essentiellement épistémologique et ne constitue qu’une introduction
bien faible pour un sujet très important mais, malheureusement, très problématique.
7.1
Définition
Théorème 7.1.1 Pour un A-module M les propriétés suivantes sont équivalentes.
1. Tout sous-module de M est de type fini.
2. Toute suite infinie croissante (au sens large) de sous-modules de type fini de M a deux
termes consecutifs égaux.
Démonstration. On reprend presque mot à mot la démonstration du théorème 3.2.2 donnée dans
le cas des idéaux quand les idéaux de type fini sont principaux.
1. ⇒ 2. Soit N1 ⊆ N2 ⊆ · · · ⊆ Nn ⊆ · · · une suite infinie de sous-modules de type fini, croissante
au sens large. Considérons la réunion N de tous ces sous-modules. Il est clair que c’est un sousmodule. Par hypothèse on a N = hb1 , . . . , b` i pour des bj ∈ N . Il existe donc un indice k tel que
Nk contienne ces bj . Mais alors pour tout r > 0
hb1 , . . . , b` i ⊆ Nk ⊆ Nk+r ⊆ N = hb1 , . . . , b` i ,
i.e. Nk = Nk+r = N = hb1 , . . . , b` i
En particulier Nk = Nk+1 .
2. ⇒ 1. Il est absurde d’avoir une suite infinie strictement croissante d’idéaux de type fini.
Soit N un sous-module arbitraire et cherchons à construire un système générateur fini pour N .
Si N = 0 alors N = h0i. Sinon soit x1 6= 0 dans N . Si N = hx1 i, c’est OK. Sinon il existe
x2 ∈ N \ hN1 i. Soit N2 = hx1 , x2 i. Si N = N2 , c’est OK. Sinon il existe x3 ∈ N \ N2 . Soit
N3 = hx1 , x2 , x3 i. etc. . . On construit ainsi une suite strictement croissante de sous-modules de
type fini h0i ( hN1 i ( hN2 i ( hN3 i · · · Comme elle doit s’arrêter, on obtient N = hNk i pour un
certain k.
2
Définition 7.1.2 Un A-module M est dit nœthérien s’il satisfait les propriétés équivalentes
du théorème 7.1.1. Un anneau A est dit nœthérien s’il est nœthérien comme A-module.
7.2
Discussion
Il est clair qu’un anneau principal n’est rien d’autre qu’un anneau de Bezout nœthérien.
La définition 7.1.2 est la première définition (hormis celle des anneaux principaux, de même
nature) que nous rencontrons en algèbre et qui ne soit pas de nature élémentaire. La lectrice
pourra en effet vérifier que toutes les définitions qui ont précédé sont élémentaires au sens
qu’elles utilisent uniquement des quantifications ∀x, ou ∃y, dans lesquels les variables quantifiées
représentent des éléments de la structure algébrique considérée.
Dans les deux variantes 1. et 2. pour la définition de la nœthérianité on voit au contraire
que l’on utilise une quantification nettement plus délicate.
La première porte sur l’ensemble de tous les sous-modules du module M , c’est-à-dire essentiellement sur l’ensemble P(M ) de toutes les parties de M .
86
7. Anneaux et modules nœthériens
La seconde variante porte sur l’ensemble des suites infinies croissantes de sous-modules de
type fini. Dans ce second cas, on voit que l’on quantifie essentiellement sur l’ensemble des suites
infinies d’éléments du module, que l’on note M N . On dit qu’il s’agit de définitions (( au second
ordre )), car les ensembles quantifiés sont de nature moins élémentaire que l’ensemble concerné
par la définition.
En fait la quantification sur P(M ) est nettement plus problématique que celle portant sur
M N . Il est en effet impossible de donner une signification algorithmique concrète à la première
quantification.
Prenons l’exemple de l’anneau Z. Il est clair que Z est nœthérien au sens de la variante 2.
car une suite infinie d’entiers décroissante pour la divisibilité qui démarre avec un entier n > 0
contient 2 termes consécutifs égaux avant l’indice n. Et si la suite commence avec 0, ou bien le
deuxième terme est aussi égal à 0, ou bien il est égal à un entier n > 0, et on est ramené au cas
précédent.
Par contre supposons qu’on ait un idéal I, non pas arbitraire, ce qui ferait un peu trop mal
à la tête, mais pour lequel on dispose d’un test explicite (( n ∈ I ? )). Si I contient un entier
N > 0, on peut s’en assurer en testant si N ∈ I et ensuite on peut trouver le générateur de I en
testant tous les diviseurs de N . Par contre si I = {0}, on ne peut pas s’en assurer au moyen d’un
nombre fini de réponses au test. Car il reste toujours la possibilité que I soit égal à N Z pour un
entier N plus grand que tous ceux qui ont déjà été testés. Ainsi, bien que l’idéal I ne soit pas
trop compliqué (on dispose d’un test d’appartenance à I), il n’y a pas d’algorithme général qui
puisse déterminer le générateur de I.
Ceci justifie que du point de vue algorithmique on préfère la deuxième variante de la définition de nœthérianité.
Lorsque l’on peut se baser sur cette variante, cela garantit un certain contenu algorithmique
concret aux résultats obtenus.
C’est d’ailleurs ce que nous avons fait précédemment pour le cas des anneaux principaux.
En effet, les théorèmes avant la section 5.5 concernent plutôt les modules de présentation finie
que les modules de type fini, ce qui leur garantit un contenu algorithmique.
7.3
Propriétés élémentaires
Lemme 7.3.1
1. Soit M un A-module et N un sous-module. Les propriétés suivantes sont équivalentes.
(a) M est nœthérien.
(b) N et M/N sont nœthériens.
2. Le produit direct d’un nombre fini de A-modules nœthériens est nœthérien.
Démonstration. 1. L’implication a) ⇒ b) est immédiate.
b) ⇒ a) Soit P un sous-module de M . On a P/(P ∩ N ) ' (P + N )/N . Comme (P + N )/N
est un sous-module de M/N , il est engendré par un nombre fini l’éléments x1 , . . . , xk . On peut
prendre chaque xi dans P . Soit maintenant un nombre fini de générateurs pour P ∩ N (qui
est un sous-module de N ). Nous les appelons xk+1 , . . . , xn . Montrons que P est engendré par
x1 , . . . , xn . Pour cela soit x un élément arbitraire
P de P , il s’écrit modulo P ∩ N comme une
combinaison linéaire de x1 , . . . , xk . Ainsi x = ki=1 ai xi + y pour des ai ∈ A et un y ∈ P ∩ N .
Donc x est bien une combinaison linéaire de x1 , . . . , xn .
2. Il suffit de le montrer pour le produit de deux modules nœthériens M et N . Or M s’identifie à
un sous-module M1 de M ×N via l’injection M → M ×N, x 7→ (x, 0) et le quotient (M ×N )/M1
est isomorphe à N . On conclut donc par le point 1. puisque M1 et (M × N )/M1 sont nœthériens.
2
Théorème 7.3.2 Soit A un anneau nœthérien et M un module de type fini.
7.4. Discussion, suite
87
1. M est nœthérien.
2. M est de présentation finie.
Démonstration. 1. Puisque A est nœthérien, An est un A-module nœthérien par le lemme 7.3.1.
Or tout module de type fini est isomorphe à un quotient d’un module An .
2. On écrit M ' An /P . Comme An est nœthérien, P est de type fini. Cela signifie que M est
de présentation finie.
2
Théorème 7.3.3 Un anneau nœthérien est cohérent, c’est-à-dire que le noyau de toute matrice
est un module de type fini.
Démonstration. En effet le noyau d’une matrice est un sous-module d’un module An , qui est
nœthérien.
2
7.4
Discussion, suite
Contrairement à la plupart des théorèmes de ce cours les théorèmes 7.3.2 et 7.3.3 n’ont aucun
contenu algorithmique.
L’hypothèse du premier théorème est trop vaguement définie (un module de type fini arbitraire) pour pouvoir être traitée par une procédure algorithmique.
Le théorème 7.3.3 pourrait a priori avoir un contenu algorithmique, mais on n’en connaı̂t pas
de démonstration constructive. Et l’on a de bonnes raisons de penser qu’il ne peut pas exister
de démonstration constructive de ce théorème.
Supposons qu’un module P ⊆ An soit décrit de manière aussi simple que l’intersection de
deux sous-module de type fini :
P = G ∩ H = Im A ∩ Im B,
où les matrices A et B sont données.
Eh bien on peut démontrer il n’existe aucune procédure algorithmique générale (pouvant faire
l’objet d’un programme d’ordinateur) pour calculer un système générateur fini de P à partir des
matrices A et B sous la seule hypothèse que l’anneau A vérifie explicitement la variante 2. pour
la nœthérianité.
De la même manière, on n’a pas accès à la cohérence de manière explicite à partir de la
nœthérianité.
Ceci signifie que la nœthérianité toute seule n’est pas une notion vraiment pertinente. C’est
seulement lorsqu’elle est couplée avec la cohérence que la nœthérianité permet d’obtenir des
résultats intéressants avec des preuves de nature algorithmique. D’ailleurs, bien souvent dans ce
cas, seule la cohérence est utilisée.
8. Solution, ou esquisse de solution,
des exercices
8.1
Arithmétique de base
g
t −v
a
donc t = a1 =
=
Exercice 1.2.1 On inverse la matrice et on obtient
0
−s u
b
et s = −b1 = − gb .
a
g
Exercice 1.2.2 On suppose que l’on commence avec a > b > 0. À chaque étape, le coefficient
bi est au moins divisé par 2 en valeur absolue. Le nombre d’étapes est donc majoré par dln2 (b)e.
Exercice 1.2.3
Algorithme 8.1.1 Algorithme de calcul du pgcd et d’une relation de Bezout.
Entrée : Deux entiers naturels a et b, > 0.
Sortie : Leur pgcd g ainsi que deux entiers relatifs u et v vérifiant ua + vb = g.
Variables locales : a0 , b0 , b00 , u0 , u00 , v 0 , v 00 : entiers relatifs ;
Début
# initialisation
a0 ← a ; b0 ← b ; u ← 1 ; v ← 0 ; u0 ← 0 ; v 0 ← 1 ;
a0
a
u v
1 0
# c’est-à-dire
←
et
←
b0
b
u0 v 0
0 1
# boucle
Tant que b0 6= 0 faire
(q, b00 ) ← quotient et reste de la division de a0 par b0 ;
a0 ← b0 ; b0 ← b00 ;
u00 ← u − qu0 ; u ← u0 ; u0 ← u00 ;
v 00 ← v − qv 0 ; v← v 0 ; v 0 ← v 00 ; a0
0 1
a0
u v
0
# c’est-à-dire
←
et
←
0
0
0
0
b
1 −q
b
u v
1
fin tant que ;
# fin de boucle
g ← a0 ; Retourner g, u, v
Fin.
1
−q
u
u0
v
v0
Exercice 1.3.1 (système de congruences simultanées)
1. Si on a deux solutions x et y alors x − y est multiple des ni donc de leur ppcm.
Inversement si n est ce ppcm, à partir d’une solution x, tout y ≡ x mod n est une autre solution.
2. Examinons les choses progressivement, avec un anneau commutatif B au lieu de Z.
Tout d’abord pour r = 2 le système de congruences x ≡ a1 mod J1 , x ≡ a2 mod J2 n’admet de
solution que si a1 − a2 ≡ 0 mod J1 + J2 , c’est-à-dire a1 − a2 ∈ J1 + J2 . Et cette condition est
90
8. Solution des exercices
manifestement suffisante. En outre l’unicité est assurée modulo J1 ∩ J2 .
Voyons le cas r = 3, avec un système de congruences
x ≡ ai mod Ji , 1 6 i 6 3.
Les conditions ai − aj ∈ Ji + Jj sont évidemment nécessaires. D’après le cas r = 2 on a une
solution x12 pour les deux premières congruences, unique modulo J1 ∩ J2 . Pour avoir la solution
des 3 concruences, la condition nécessaire et suffisante est donc que
x12 − a3 ∈ (J1 ∩ J2 ) + J3 .
Or ce que nous savons c’est que
x12 − a3 ∈ (J1 + J3 ) ∩ (J2 + J3 )
(parce que x12 − a1 ∈ J1 , x12 − a2 ∈ J2 , a1 − a3 ∈ (J1 + J3 ) et a2 − a3 ∈ (J2 + J3 )).
On sera donc assuré d’avoir une solution si les idéaux de B obéissent à la règle de distributivité
suivante (l’inclusion non demandée est évidente)
(J1 + J3 ) ∩ (J2 + J3 ) = (J1 ∩ J2 ) + J3
(∗)
Le lecteur pourra vérifier que cette condition est non seulement suffisante mais également nécessaire pour la solution générale du système de 3 congruences simultanées.
L’anneau Z vérifie cette condition, qui signifie la distributivité du pgcd par rapport au ppcm.
Enfin pour l’anneau Z on peut terminer la preuve par récurrence sur r, le passage de r > 2 à
r + 1 est similaire au passage de r = 2 à r = 3, déjà traité.
3. Le théorème des restes chinois sur un anneau commutatif arbitraire B dit qu’une solution
existe à un système de congruences simultanées x ≡ ai mod Ji dès que les idéaux Ji sont deux
à deux étrangers (i.e. Ji + Jj = h1i pour tous i 6= j).
Le théorème des restes chinois est donc à la fois plus général (un anneau commutatif A arbitraire)
et moins général (idéaux étrangers).
Note. Les anneaux qui satisfont la règle (∗) ci-dessus sont appelés les anneaux arithmétiques.
Exercice 1.4.1 1. L’algorithme d’Euclide donne
385 = 1 × 357 + 28, 357 = 12 × 28 + 21, 28 = 1 × 21 + 7, 21 = 3 × 7 + 0
et donc pgcd(385, 357) = 7, avec 385 = 7 × 55 et 357 = 7 × 51.
2. On obtient successivement
7 = 28 − 21 = 28 − (357 − 12 × 28) = 13 × 28 − 357 =
13 × (385 − 357) − 357 = 13 × 385 − 14 × 357.
d’où une solution u = 13, v = −14.
3. L’équation 385x + 357y = 0 équivaut à 55x + 51y = 0, et puisque pgcd(55, 51) = 1, la solution
générale est
x = 51m
y = −55m
où m ∈ Z est un paramètre.
4. Comme pgcd(385, 357) = 7, l’équation 385x+357y = c n’admet de solution que si c ≡ 0 mod 7.
Si cette condition est réalisée, posons c0 = c/7 ∈ Z. L’équation équivaut alors à 55x + 51y = c0 .
Puisque 13 × 55 − 14 × 51 = 1, une solution particulière de l’équation est alors donnée par
x = 13c0 , y = −14c0 . En conséquence la solution générale de l’équation est donnée par
x = 13c0 + 51m
y = −14c0 − 55m
avec un paramètre libre m ∈ Z
5. On veut résoudre l’équation 385x + 357y + 15z = e. D’après la question précédente, il faut
d’abord résoudre la congruence e−15z ≡ 0 mod 7, que l’on peut voir comme l’équation e−15z =
8.1. Arithmétique de base
91
7c0 avec les inconnues z et c0 . Puisque pgcd(15, 7) = 1 on sait qu’il y a toujours une solution
et que la solution générale dépend d’une paramètre libre dans Z. Cela donne modulo 7, z = e.
On pose donc z = 7n + e, ce qui donne pour c0 : c0 = −15n − 2e avec n arbitraire dans Z. En
combinant ceci avec le point précédent, on obtient la solution générale suivante
x = −(13 × 15)n + 51m − 26e
y = (14 × 15)n − 55m + 48e
z = 7n + e
avec deux paramètres libres m, n ∈ Z
Exercice 1.4.2 On a 36 ∧ 21 = 3, avec par exemple la relation de Bezout 3 × 36 − 5 × 21 = 3.
Ainsi, l’équation 36x + 21y = a n’a de solution que lorsque a ≡ 0 mod 3.
Dans ce cas on écrit a = 3a0 et l’équation est équivalente à 12x + 7y = a0 .
Puisque 3 × 12 − 5 × 7 = 1 cette dernière équation admet comme solution particulière
(x, y) = a0 (3, −5) = (3a0 , −5a0 ).
La solution de l’équation générale est donc celle de
12(x − 3a0 ) + 7(y + 5a0 ) = 0
et puisque 12 ∧ 7 = 1, on obtient en utilisant le lemme de Gauss la solution générale sous la
forme
x = 3a0 + 7m
x − 3a0 = 7m
, i.e.
m ∈ Z,
0
y = −5a0 − 12m
y + 5a = −12m
où m est un paramètre prenant une valeur arbitraire dans Z.
Exercice 1.4.3 On considère la matrice du système linéaire et on lui fait subir des transformations élémentaires sur les lignes, qui remplacent chaque fois le système par un système
équivalent, sans modifier les inconnues.
−1
0
14 35
5 11
10 a
4 b
2 −2 a − 3b
21 6 5a − 14b
L1 ← L1 − 3L2
−1
5
2 −2 a − 3b
11 4
b
L2 ← L2 + 5L1
Le système linéaire admet donc une solution si et seulement si l’équation 21y + 6z = 5a − 14b
admet une solution. Puisque 21 ∧ 6 = 3, cela équivaut à
5a − 14b ≡ 0 mod 3,
i.e. a − b ≡ 0 mod 3.
Exercice 1.4.4 On procède comme pour l’exercice 1.4.1.
1. et 2. pgcd(159, 24) = 3 avec 3 = (−3) × 159 + 20 × 24 , 159 = 3 × 53 et 24 = 3 × 8 .
3. Solution dans Z de l’équation 159x + 24y = c. L’équation admet une solution si et seulement
si c ≡ 0 mod 3. Dans ce cas-là, en posant c0 = c/3, la solution générale est donnée par :
x = −8m − 3c0
y = 53m + 20c0
où m est un paramètre libre dans Z.
4. Équation 159x + 24y + 106z = c. On peut appliquer la question précédente. On doit avoir
−106z + c ≡ 0 mod 3, ce qui donne z ≡ c mod 3. On pose donc z = −3n + c, de sorte que
(c − 106z)/3 = −35c + 106n. D’où la solution générale
x = −8m − 3(−35c + 106n)
= −8m − 318n + 105c
y = 53m + 20(−35c + 106n) = 53m + 2120n − 700c
z = −3n + c
où m et n sont des paramètres libres dans Z.
92
8. Solution des exercices
Exercice 1.4.5 Une matrice A ∈ GLn (Z) est de déterminant ±1 (car le déterminant doit être
inversible dans Z). Le théorème 1.4.1 ramène la matrice A à une forme diagonale D par des
manipulations élémentaires de lignes ou de colonnes. Comme ces manipulations ne changent
pas le déterminant ou le multiplient par −1, on a aussi det(D) = ±1 et donc tous les éléments
sur la diagonale de D sont aussi égaux à ±1. En résumé on obtient LAC = D où L et C
sont des produits de matrices correspondant à des manipulations élémentaires de lignes et de
colonnes. Ceci donne A = C −1 L−1 In et D est donc obtenue en appliquant à In une succession
de manipulations élémentaires de lignes.
Il nous reste à règler deux questions :
1. Comment éviter les manipulations d’échange de lignes ou de colonnes dans le théorème 1.4.1 ?
2. Comment remplacer des −1 par des 1 sur la diagonale de D en utilisant uniquement des
manipulations élémentaires sans échange de lignes ou de colonnes ?
1. La solution est donnée comme suit :
[a, b]
C1 ← C1 −C2
−−−→
[a − b, b]
C2 ← C2 +C1
−−−→
[a − b, a]
C1 ← C1 −C2
−−−→
[−b, a]
On peut donc réaliser un échange de colonnes (ou de lignes), à condition de changer le signe de
l’une des deux, en utilisant uniquement les manipulations
élémentaires du premier type. Notons
0 −1
que cela correspond au produit par une matrice
(ou une matrice du même style lorsque
1 0
n > 2, que la lectrice explicitera).
2. Le carré de la matrice précédente donne −I2 . On peut donc remplacer deux coefficients −1
sur la diagonale de D par deux coefficients 1. Si det A = 1 et si on a réalisé le théorème 1.4.1
conformément au point 1., on a det D = 1, et donc il y a un nombre pair de −1 sur la diagonale
de D.
8.2. Rappels sur les groupes abéliens et les anneaux commutatifs
8.2
93
Rappels sur les groupes abéliens et les anneaux commutatifs
Exercice 2.1.1 On sait que tout sous-groupe de Z est de la forme nZ, pour un unique n ∈ N.
En outre cette bijection de l’ensemble des sous-groupes de Z vers N transforme intersection,
somme et produit en ppcm, pgcd et produit.
On en déduit qu’il y a une bijection entre les sous-groupes de Z/nZ et les diviseurs
de n. Au
diviseur d de n on fait correspondre le sous groupe d(Z/nZ), qui est isomorphe à Z ( nd Z) . Enfin
cette bijection transforme intersection et somme en ppcm et pgcd.
Exercice 2.1.2 1. En composant la projection canonique Z → Z/nZ avec un homomorphisme ϕ : Z/nZ → G on obtient un élément de HomGroupes (Z, G), qui est caractérisé par l’image
de 1 (fait 2.1.5). On en déduit par le théorème de factorisation qu’un homomorphisme de Z/nZ
dans G est complètement déterminé par l’image de 1, qui est n’importe quel élément x de G
vérifiant nx = 0 (c’est-à-dire un élément d’ordre fini divisant n). Notons ϕx l’homomorphisme
p 7→ px correspondant. Alors x 7→ ϕx est un isomorphisme de Gn = { x ∈ G | nx = 0 } sur
HomGroupes (Z/nZ, G).
2. Les éléments de Z/mZ dont l’ordre divise n sont ceux dont l’ordre divise g = pgcd(m, n). Si
m1 = m/g, on obtient donc un isomorphisme
m1 (Z/mZ) −→ HomGroupes (Z/nZ, Z/mZ),
x 7−→ (p 7→ px)
En outre m1 (Z/mZ) ' Z/gZ. En particulier ce groupe est nul si et seulement si g = 1.
Exercice 2.2.1 1. et 2. D’après l’exercice 2.1.2, on a un isomorphisme de groupes
Z/nZ −→ HomGroupes (Z/nZ, Z/nZ),
x 7−→ (p 7→ px).
On vérifie immédiatement que c’est aussi un morphisme pour les deux lois × et ◦ . C’est donc
un isomorphisme d’anneaux. On obtient par restriction un isomorphisme entre les deux groupes
des inversibles, c’est-à-dire (Z/nZ)× et AutGroupes (Z/nZ)
3. Les groupes (Z/4Z)× = {±1}, (Z/7Z)× , (Z/11Z)× , d’ordres 2, 6, 10 sont respectivement
engendrés par π4 (−1), π7 (3) et π11 (2).
4. On a 308 = 4 × 7 × 11, d’où l’isomorphisme
Z/308Z −→ Z/4Z × Z/7Z × Z/11Z×,
x = π308 (x) 7−→ (π4 (x), π7 (x), π11 (x))
correspondant au système fondamental d’idempotents orthogonaux (77, 176, 56).
4. On en déduit les isomorphismes
(Z/308Z)× ' (Z/4Z)× × (Z/7Z)× × (Z/11Z)× ' C2 × C6 × C10 .
En tant que sous-groupes de (Z/308Z)× les 3 facteurs ci-dessus sont engendrés respectivement
par 77 × (−1), 176 × 3 et 56 × 2.
On a aussi une décomposition standard C30 × C2 × C2 donné par des isomorphismes
C2 × C6 × C10 ' C2 × C2 × C3 × C2 × C5 ' C30 × C2 × C2 .
Exercice 2.2.2 Tout d’abord on vérifie facilement que A1 + I est un sous-anneau de A. On
considère alors le morphisme d’anneaux ϕ : A1 → (A1 + I)/I obtenu en composant l’injection
naturelle A1 → A1 + I et la projection canonique A1 + I → (A1 + I)/I. Il est clair que ϕ est
surjective car tout élément de A1 +I est congru modulo I à un élément de A1 . Donc le théorème
de factorisation donne un isomorphisme
∼
ψ : A1 / Ker ϕ −→
(A1 + I)/I
qui factorise ϕ. Enfin Ker ϕ = { x ∈ A1 | x ≡ 0 mod I } = A1 ∩ I.
94
8. Solution des exercices
Exercice 2.2.3 1. On a 22 =B 2, donc 2 =B 0. Et pour tout x, 2x = x + x = 0, donc x = −x.
Si x est régulier alors l’égalité x(1 − x) = 0 montre que x = 1. A fortiori, 1 est le seul élément
inversible : B× = {1}. Donc si B 6= 0 est intègre, B est le corps {0, 1} ' F2 .
2. La relation x 4 y est clairement une relation de préordre dans tout anneau. Dans une algèbre de Boole on doit montrer l’antisymétrie. Si x 4 y, il existe z tel que x = yz, donc
xy = y 2 z = yz = x, autrement dit on peut prendre z = x et l’on a
x 4 y ⇐⇒ xy = x
Si x 4 y et y 4 x, on a donc x = xy = y. Cela donne aussi que 0 est élément minimum et 1
élément maximum.
3. Avertissement : Il faut faire attention qu’ici les notions de ppcm et pgcd sont utilisées dans le
cadre d’un anneau non intègre. Donc le fait que ppcm(x, y) = xy n’implique plus pgcd(x, y) = 1.
Montrons que xy = ppcm(x, y). L’élément xy est clairement multiple de x et y. Si z 4 x et
z 4 y, alors z = zx et z = zy donc z = z(xy). Ainsi hxi ∩ hyi = hxyi.
Montrons que u = x + y + xy = pgcd(x, y). On a ux = x2 + 2xy = x donc u divise x. De même
u divise y. Comme u ∈ hx, yi, cela donne hui = hx, yi. Enfin si v divise x et y, il divise tout
élément de hx, yi donc il divise u.
4. On a x(1 + x) = x + x = 0 et x ∨ (1 + x) = x + 1 + x + x(1 + x) = 1. Réciproquement si
xx0 = 0 et x ∨ x0 = 1, alors x + x0 = x + x0 + xx0 = x ∨ x0 = 1 donc x0 = 1 + x.
5. On doit d’abord montrer que la loi ⊕ est interne. On note que a ⊕ b = (a − b)2 , on veut
montrer que (a ⊕ b)2 = a ⊕ b. Il suffit de voir que (a − b)3 = a − b. Cela résulte du développement
du binôme puisque a et b sont idempotents. On a immédiatement 0 ⊕ x = x et x ⊕ x = 0. La
loi ⊕ est clairement commutative et la loi × distributive sur ⊕. Il reste à vérifier l’associativité
de ⊕. On trouve (a ⊕ b) ⊕ c = a + b + c − 2(ab + bc + ca) + 4abc. Puisque cette expression est
symétrique, on conclut en utilisant la commutativité.
Exercice 2.2.4 1. Si x ∈ aA, alors il existe y ∈ A tel que x = ay. Alors ax = a2 y = ay = x
(parce que a est idempotent). Le reste suit sans difficulté.
2. L’inclusion abA ⊆ aA ∩ bA est immédiate. Réciproquement si x ∈ aA ∩ bA, par le point 1.
on obtient x = bx = abx.
3. On a immédiatement a ∨ b ∈ aA + bA, donc (a ∨ b)A ⊆ aA + bA. Réciproquement a(a ∨ b) =
a(a + b − ab) = a2 + ab − a2 = a + ab − ab = a, et de même b = b(a ∨ b), donc aA + bA ⊆ (a ∨ b)A.
Pour la fin de la question, on note que si ha, bi = hgi dans un anneau arbitraire A, et si x ∈ A,
alors x divise g si et seulement si x divise a et b.
4. Schéma de la démonstration. On montre d’abord le résultat lorsque ab = 0. Ensuite dans la
situation générale, on note a0 = 1 − a et b0 = 1 − b. On a alors un système fondamental d’idempotents orthogonaux ab, ab0 , a0 b, a0 b0 et en appliquant le cas particulier précédent on voit que
A/hai ' A/habi × A/hab0 i ,
A/hbi ' A/habi × A/ha0 bi
et
A/ha ∨ bi ' A/habi × A/hab0 i × A/ha0 bi .
En conclusion les deux anneaux considérés sont isomorphes à
A/habi × A/hab0 i × A/ha0 bi × A/habi .
Exercice 2.2.5 (lemme de l’idéal de type fini idempotent)
On considère un système générateur (a1 , . . . aq ) de I et le vecteur colonne a = t[ a1 · · · aq ].
Puisque aj ∈ I 2 pour j ∈ J1..qK, il y a une matrice C ∈ Mq (I) telle que a = C a, donc
(Iq − C) a = 0 et det(Iq − C) a = 0. On a det(Iq − C) = 1 − e avec e ∈ I et (1 − e)I = 0. Donc
pour tout x ∈ I, x = ex ce qui donne I = hei avec e2 = e. L’unicité de e résulte de ce que si
y ∈ hei, alors y = ex = e2 x = ey ; donc si hei = hf i avec e et f idempotents, f = ef = e.
8.3. Systèmes linéaires sur un anneau principal
8.3
95
Systèmes linéaires sur un anneau principal
Exercice 3.3.1 Tout mineur d’ordre r + 1 de la matrice A est une combinaison linéaire de
mineurs d’ordre r à coefficients dans l’idéal D1 (A) : il suffit par exemple de développer le déterminant selon la première ligne.
Exercice 3.3.2 (idéaux déterminantiels d’une matrice de projection sur un anneau arbitraire)
Puisque F 2 = F on obtient Dr (F ) ⊆ Dr (F )2 (par le corollaire 3.3.6). Comme l’inclusion I 2 = I
est satisfaite pour tout idéal, on obtient Dr (F ) = Dr (F )2 . En conséquence Dr (F ) est engendré
par un idempotent (voir l’exercice 2.2.5).
Exercice 3.3.3 (matrices de projection sur un anneau principal)
1. Voir après le point 2.
2. On est sur un anneau principal. On démontre que la matrice P est équivalente à une matrice
Ik,n . Comme l’anneau est intègre, les seuls idempotents sont 0 et 1. D’après l’exercice 3.3.2 les
idéaux déterminantiels de P sont donc égaux à 0 ou h1i.
Soit k le rang de la matrice sur le corps des fractions de A, que nous notons K. On a
DK,1 (P ) = · · · = DK,k (P ) = h1i, puis DK,k+r = 0 pour r > 0.
Puisque les idéaux déterminantiels de la matrice sur A sont égaux à h1i ou 0, on obtient
DA,1 (P ) = · · · = DA,k (P ) = h1i, puis DA,k+r = 0 pour tout r > 0. On a une forme réduite de
Smith pour P .
D
0
0
0
L·P ·C =
avec
D = Diag(a1 , . . . , ak ) et
a1 | a2 | · · · | ak , ak 6= 0
Puisque les idéaux déterminantiels de P et L · P · C sont égaux, on voit que les ai sont dans A×
pour i = 1, . . . , k. Il est alors clair que la matrice est équivalente à Ik,n .
1. Sur Z on peut obtenir la forme de Smith uniquement par des manipulations élémentaires
de lignes et de colonnes. On peut en outre
sepasser des échanges de lignes ou colonnes en
a
b
;
peut être obtenue comme suit
remarquant que la transformation
b
−a
a L1 ← L1 +L2 a + b L2 ← L2 −L1 a + b L1 ← L1 +L2 b
−−−−→
−−−−→
−−−−→
.
b
b
−a
−a
On obtient alors une réduite de Smith avec des ai = ±1. Si le rang de la matrice sur Q est n, P
est
régulière
et
puisque
P (In − P ) = 0 on a P = In . Sinon il suffit de voir que l’on peut produire
−1 0
1 0
;
, essentiellement de la même façon que ce que l’on vient de faire.
0 0
0 0
3. L’argument ici est indépendant du point 2. et donne un résultat plus fort. Par contre l’argument du point 2. s’applique sur un anneau intègre arbitraire dès que la matrice admet une
forme réduite de Smith.
On sait que Ker P et Im P sont en somme directe (parce que P 2 = P ). Mais puisque l’on est sur
un anneau principal, l’image et le noyau d’une matrice arbitraire sont libres. En prenant une
base de Im P suivie d’une base de Ker P on obtient donc une base de An , et sur cette base, la
matrice de l’endomorphisme est égale à Ik,n .
Exercice 3.4.1 Supposons tout d’abord que la matrice A est en forme réduite de Smith.
D
0
0
0
avec
et que B = t[ b1 b2 · · · bm ].
D = Diag(a1 , . . . , ak ) et
a1 | a2 | · · · | ak , ak 6= 0
96
8. Solution des exercices
On a D1 (A) = ha1 i, D2 (A) = ha1 a2 i, D3 (A) = ha1 a2 a3 i, etc. . . Supposons que Dr (A) =
Dr ([ A B ]) pour tout r ∈ J1..mK.
Puisque b1 ∈ D1 ([ A B ]) on doit avoir b1 ∈ ha1 i c’est-à-dire a1 | b1 .
Puisque a1 b2 ∈ D2 ([ A B ]) on doit avoir a1 b2 ∈ ha1 a2 i c’est-à-dire a2 | b2 .
Ainsi de suite jusqu’à ak | bk .
Ensuite pour k < ` 6 m, on a a1 · · · ak b` ∈ Dr+1 ([ A B ]) = 0, donc b` = 0. On voit donc que le
vecteur B remplit les conditions de compatibilité requises pour que le système linéaire AX = B
ait une solution.
Passons ensuite au cas d’une matrice arbitraire A. On a une réduite de Smith ∆ = LAC avec L
et C inversibles.
Le système linéaire AX = B admet une solution dans A si et seulement si le système linéaire ∆Y = LB admet une solution dans A. D’après ce qu’on vient de voir le système linéaire
∆Y = LB admet une solution si Dr (∆) = Dr ([ ∆ LB ]), c’est-à-dire Dr (LAC) = Dr ([ LAC LB ])
pour tout r ∈ J1..mK. Or
[ LAC LB ] = L [ A B ] C 0
avec
C0 =
C
0
0
1
,
donc C 0 inversible. Finalement puisque Dr (LAC) = Dr (A) et Dr (L [ A B ] C 0 ) = Dr ([ A B ]), on
obtient que la condition (( Dr (A) = Dr ([ A B ]) pour tout r )) implique que le système linéaire
admet une solution.
8.4. Modules sur un anneau commutatif
8.4
97
Modules sur un anneau commutatif
Exercice 4.4.1 (isomorphismes (( naturels )) entre C7 ×C10 et C70 )
1) Il y a bijection entre le treillis des sous-groupes de Cn et le treillis des diviseurs de n. Avec
n = 70
C 70
C 35
C 14
C 10
C7
C5
C2
Le treillis des sous groupes de C70 .
2) On trouve u = 3, v = −2 : 1 = 21 − 20.
3) On a xy = (xy)21−20 avec (xy)21 = y (car x7 = 1 et y 21 = y puisque 21 ≡ 1 modulo 10)
(xy)−20 = x (car y 10 = 1 et x−20 = x puisque −20 ≡ 1 modulo 7) donc α−1 (z) = (z −20 , z 21 ).
4) L’application m 7→ m
e peut être obtenue comme suit : on a les projections canoniques π7 :
Z → Z/7Z, m 7→ m
e et π70 : Z → Z/70Z, m 7→ m. Comme le noyau de la seconde est contenu
dans le noyau de la première, le théorème de factorisation nous dit qu’il existe un unique homomorphisme ψ : Z/70Z → Z/7Z qui vérifie ψ ◦ π70 = π7 , cela signifie exactement que ψ(m) = m.
e
Et ψ est surjective parce que π7 est surjective.
Il est clair que λ est un homomorphisme. Pour voir que c’est un isomorphisme il suffit de montrer
qu’il est injectif (les deux groupes ont le même nombre d’éléments). Or si m = π70 (m) est dans
◦
◦
le noyau de λ, π7 (m) = m
e =e
0 et π10 (m) = m = 0, c’est-à-dire m est multiple de 7 et 10 donc
de 70, ce qui donne m = 0.
◦
◦
◦
1, 0) et λ(21) = (e
0, 1) donc, pour deux entiers m et n, λ(−20n + 21m) = (e
n, m).
On a λ(−20) = (e
◦
Donc λ−1 (e
n, m) = −20n + 21m. On remarque d’ailleurs que n
e 7→ −20n est bien défini de Z/7Z
◦
vers Z/70Z. De même, m 7→ 21m est bien défini de Z/10Z vers Z/70Z.
5) Pour comparer les deux méthodes il faut choisir des isomorphismes θn : µn → Z/nZ. Prenons
par exemple, ce qui semble assez naturel θn défini par θn (e2iπ/n ) = πn (1) : on envoie le générateur
ζn = e2iπ/n sur le générateur πn (1).
On peut se demander, si, via ces isomorphismes θn , les isomorphismes α et λ se correspondent.
Cela nous amène donc à comparer, pour (x, y) ∈ µ7 × µ10 , (θ7 (x), θ10 (y)) et λ(θ70 (α(x, y))).
◦
10m , y = ζ n = ζ 7n , α(x, y) = ζ 10m+7n ,
Or si (θ7 (x), θ10 (y)) = (m,
e n), alors x = ζ7m = ζ70
10
70
70
◦
g
θ70 (α(x, y)) = 10m + 7n et λ(θ70 (α(x, y))) = λ(10m + 7n) = (10m, 7n).
La conclusion est que α et λ ne se correspondent pas via les isomorphismes θn .
µ7 × µ10
θ7 × θ10
Z/7Z × Z/10Z
α
λ
−1
/ µ70
θ70
/ Z/70Z
Le diagramme ne commute pas !
2
Commentaire (( philosophique )) : bien que les deux familles (µn )n∈N et (Z/nZ)n∈N contiennent
chacune un exemplaire unique de chaque groupe cyclique, elles sont très dissemblables, car les
isomorphismes canoniques du type α dans la première famille ne correspondent pas de façon
naturelle aux isomorphismes canoniques du type λ dans la deuxième famille. Cette dissemblance
98
8. Solution des exercices
est confirmée par le fait que dans la famille (µn )n∈N ce sont les injections du type µn → µkn
qui sont naturelles, tandis que dans la famille (Z/nZ)n∈N ce sont plutôt les projections du type
Z/nkZ → Z/nZ.
Exercice 4.4.2 (modules projectifs de type fini)
1. Si P ⊕ Q ' An on considère la matrice F de l’endomorphisme
πP,Q : An → An , x + y 7→ x (x ∈ P, y ∈ Q).
Cet endomorphisme est appelé la projection1 sur P parallèlement à Q. Alors il est clair
que F 2 = F et Im F ' P . Réciproquement, pour toute matrice idempotente F ∈ Mn (A), on a
An = Ker(F ) ⊕ Im(F ) et F est la matrice de la projection sur Ker(F ) parallèlement à Im(F ).
2a) Pour F = Ik,n le calcul, immédiat, donne RF (1 + X) = (1 + X)k donc RF (X) = X k .
2b) On a
RF ((1 + X)(1 + Y )) = RF (1 + X + Y + XY )
det(In + XF + Y F + XY F ) = det(In + XF + Y F + XY F 2 )
det(In + XF ) det(In + Y F ) = RF (1 + X)RF (1 + Y ).
= det(In + (X + Y + XY )F )
= det((In + XF ) + (In + Y F ))
Donc RF (XY ) = RF (X)RF (Y ). Par ailleurs RF (1) = RF (1 + 0) = det(In + 0F ) = det(In ) = 1.
2c) Le calcul est immédiat.
2d) Supposons que P ⊕ Q ' An et P ⊕ Q0 ' Am , ce qui donne une matrice de projection
F ∈ Mn (A) et une matrice de projection G ∈ Mm (A) avec Im F ' P ' Im G. Alors
P ⊕ Q ⊕ P ⊕ Q0 ' Am+n
Il y a un automorphisme linéaire σ de Am+n , de matrice S, qui échange les deux composantes
P dans la somme directe ci-dessus en laissant les autres composantes fixes point par point. On
a σ 2 = σ.
0
0
0
F
et G1 =
, la matrice F1 correspond à la projection sur le premier
Si F1 =
0
0
0 G
facteur direct P parallèlement à Q ⊕ P ⊕ Q0 , et la matrice F1 correspond à la projection sur le
deuxième facteur direct P parallèlement à P ⊕ Q ⊕ Q0 . On a donc SF1 S −1 = G1 . On obtient
alors S(Im+n + XF1 )S −1 = Im+n + XG1 , donc
det(In + XF ) = det(Im+n + XF1 ) = det(Im+n + XG1 ) = det(Im + XG),
c’est-à-dire RF (1 + X) = RF1 (1 + X) = RG1 (1 + X) = RG (1 + X).
Exercice 4.4.3 (vecteurs unimodulaires)
1. ⇒ 2. Dire que x est sans torsion revient à dire que l’application A-linéaire a 7→ ax, A → Ax
est un isomorphisme, donc que Ax est libre de rang 1 avec pour base (x).
1. ⇒ 3. Si M = Ax ⊕ N , avec x sans torsion, ont définit une forme linéaire α : M → A en
posant pour z ∈ M , α(z) = α(ax + y) = a où y ∈ N . L’application α est bien définie parce que
l’on a une somme directe et parce que x est sans torsion. Elle est clairement linéaire et α(x) = 1.
3. ⇒ 1. On pose N = Ker α. Tout z ∈ M s’écrit z = α(z)x + y, et un calcul immédiat donne
y ∈ Ker α. Montrons que N ∩ Ax = {0} : si α(ax) = 0, alors a = aα(x) = α(ax) = 0 donc a = 0
et ax = 0. Enfin x est sans torsion : si ax = 0 alors 0 = α(ax) = aα(x) = a.
2. ⇒ 1. Supposons le module Ax libre de rang 1, de base (x1 ) avec x1 = ux. Il existe un v ∈ A
tel que x = vx1 , donc x1 = uvx1 et puisque x1 est une base, uv = 1. Donc u est inversible, x
est une base de Ax, et x est sans torsion.
Lorsque α(x) = 1 avec α ∈ M ∗ , on considère l’élément x∗ de (M ∗ )∗ défini par x∗ (θ) = θ(x). On
a donc x∗ (α) = 1, et donc α est un vecteur unimodulaire de M ∗ .
1. En fait, il y a une petite ambiguité concernant la (( bonne )) définition : la projection doit-elle être considérée
comme une application A-linéaire de An sur P , ou comme un endomorphisme de An ? Nous préférons le second
choix.
8.4. Modules sur un anneau commutatif
Exercice 4.5.1 1.
a b C1 ← C1 +(1−a)C0 a + b − ab b C2 ← C2 −bC1 a ∨ b
a 0
−−−−→
−−−−→
;
b − ab
b
b − ab
0 b
0 b
99
a∨b
0
;
0
ab
0
ab
2. Les transformations élémentaires considérées produisent un automorphisme du A-module
A × A qui envoie le sous-module aA × bB sur le sous-module (a ∨ b)A × (a ∧ b)B.
3. On considère le système fondamental d’idempotents orthogonaux (ab, ab0 , a0 b, a0 b0 ) (voir le
corrigé page 94 de l’exercice 2.2.4). Il donne un isomorphisme d’anneaux
a
7−→ (1, 0, 1, 0)
b
7−→ (1, 1, 0, 0)
σ
A −−→ A/habi × A/ha0 bi × A/hab0 i × A/ha0 b0 i ,
ab
7−→ (1, 0, 0, 0)
a ∨ b 7−→ (1, 1, 1, 0)
De même B = A × A est isomorphe à un produit C de 8 anneaux, et par cet isomorphisme, que
nous notons σ × σ, on obtient la correspondance
aA × bA
7−→ (1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0)C
σ × σ : .
abA × (a ∨ b)A 7−→ (1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0)C
Il y a un automorphisme θ de l’anneau B qui échange la composante A/hab0 i du premier facteur
A avec celle du deuxième facteur A : la copie cet automorphisme dans C, à savoir
θ0 = (σ × σ) ◦ θ ◦ (σ × σ)−1 ,
opère sur les 8 éléments du système fondamental d’idempotents orthogonaux associé au produit,
il sont tous fixes, à l’exception de (0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0) et (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0), qui sont échangés.
Alors θ0 envoie (1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0) sur (1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0), et donc θ envoie aA × bA sur abA ×
(a ∨ b)A.
Exercice 4.5.2 (surjections scindées)
1a) Considérons une surjection scindée. Soient ϕ : M → P et ψ : P → M des applications
linéaires telles que ϕ ◦ ψ = IdP . On pose N = Im ψ et K = Ker ϕ. Un élément arbitraire z ∈ M
s’écrit z = ψ(ϕ(z)) + y et le calcul donne ϕ(y) = ϕ(z) − (ϕψϕ)(z) = ϕ(z) − ϕ(z) = 0, donc
y ∈ N et M = N + K. Si x = ψ(x0 ) ∈ N ∩ K alors 0 = ϕ(x) = x0 donc x = 0. Ainsi M = N ⊕ K.
Alors l’application linéaire ϕ|N = N → P est l’isomorphisme linéaire réciproque de ψ : P → N .
1b) Considérons une surjection ϕ : M → P avec M = Ker ϕ ⊕ N pour un certain sous-module
N de M . On voit facilement que la restriction ϕ1 de ϕ à N est à la fois injective et surjective.
On définit ψ comme l’isomorphisme réciproque de ϕ1 et l’on obtient ϕ ◦ ψ = IdP , c’est-à-dire
que la surjection est scindée.
2a) L’homomorphisme naturel de groupes Z/100Z → Z/10Z a pour noyau 10Z/100Z ' Z/10Z.
D’après le point 1., s’il s’agissait d’une surjection scindée on aurait Z/100Z ' Z/10Z × Z/10Z,
ce qui n’est pas le cas car tous les éléments du membre de droite ont un ordre divisant 10.
2b) L’homomorphisme naturel de groupes Z/100Z → Z/4Z a pour noyau 4Z/100Z ' Z/25Z. Le
noyau est en facteur direct car Z/100Z ' 4Z/100Z ⊕ 25Z/100Z par le théorème chinois. Donc
la surjection est scindée.
2c) Si a divise b 6= 0 dans un anneau principal A, disons b = ac, on a une application linéaire
surjective ϕ : A/hbi → A/hai donnée par x 7→ x
e pour tout x ∈ A. On a Ker ϕ = aA/hbi ' A/hci.
Si cette surjection est scindée on doit avoir A/hbi = A/hai × A/hci. Or dans ce module tout
élément est annulé par a ∨ c (le ppcm). Si la surjection est scindée on doit donc avoir (a∨ c) 1 = 0
dans A/hbi, c’est-à-dire b | a ∨ c. Ceci implique a ∧ c = 1. Réciproquement si a ∧ c = 1, on a
A/haci = A/hai × A/hci par le théorème chinois et la surjection est scindée.
3. Soit A = K1 ×· · ·×Kr un produit fini de corps et P un A-module de type fini. Soit e1 , . . . , er le
système fondamental d’idempotents orthogonaux de A correspondant à ce produit et Pi = ei P .
On a P = P1 ⊕ · · · ⊕ Pr où chaque Pi est muni (via sa structure de A-module) d’une structure de
Ki -espace vectoriel. Les Pi sont de type fini comme Ki -espaces vectoriels donc ce sont des espaces
100
8. Solution des exercices
vectoriels de dimensions finies. Soit ϕ : M → P une application A-linéaire surjective. On veut
montrer qu’elle est scindée. On a de la même manière des décompositions M = M1 ⊕ · · · ⊕ Mr
et ϕ = ϕ1 ⊕ · · · ⊕ ϕr , chaque ϕi est une application linéaire surjective Mi → Pi . Il suffit de
montrer que chaque ϕi est scindée. Si (ai,1 , . . . , ai,ni ) est une base de Pi , il existe des bk ∈ Mi
telsPque ϕi (bk ) =
Pai,k . On définit alors une application Ki -linéaire ψi : Pi → Mi en posant
ψi ( k γk ai,k ) = k γk bk , et l’on vérifie que ψi ◦ ϕi = IdPi .
Exercice 4.5.3 (réduction d’un module, modulo un idéal)
1. Tout d’abord la loi externe proposée est bien définie : si a = c alors pour n’importe quel
◦
◦
x ∈ M , ax = cx car ax − cx = (a − c)x ∈ IM .
La vérification des axiomes d’une loi externe pour (B/I, M/IM ) découle alors immédiatement
du fait qu’ils sont vérifiés pour (B, M ).
2.
élément arbitraire
P Si M est libre sur B de base E = (e1 , . . . , en ), unP
P de IM s’écrit sous forme
a
e
avec
les
a
∈
I.
Donc
deux
éléments
x
=
x
e
,
et
y
=
i
i i i
i i i
i yi ei de M sont congrus
modulo IM si et seulement si pour tout i, xi = yi . Ainsi tout élément de M/IM s’écrit de
P ◦
manière unique sous forme i ξi ei avec des ξi ∈ C.
◦
3. Soit P un sous-B-module de M . Il faut faire attention, pour un x ∈ P la notation x est sujette
à erreur, car on peut considérer la classe de x modulo IP dans P , ou la classe de x modulo IM
◦
dans M . Nous réservons la notation x pour la classe de x modulo IM dans M . L’application
obtenue en composant l’injection P → M etnla surjection
o M → M/IM a pour noyau le B-mo◦
dule N = IM ∩ P qui contient IP . Si P1 = x | x ∈ P ⊆ M/IM , on obtient par le théorème
de factorisation une application surjective naturelle P/IP → P/N ' P1 . La condition pour
identifier P/IP au sous-module P1 de M est que N = IP , c’est-à-dire IM ∩ P = IP .
Voici un cas simple où cela ne marche pas. On prend B = Z, I = 3Z, M = Q, P = Z. Alors
M/IM est le F3 -espace vectoriel nul tandis que P/IP ' F3 est de dimension 1.
4. Même raisonnement qu’au point 2.
◦
5. Si x est un générateur de M on a M = Bx avec AnnB (x) = J, donc M/IM = C x et tout
◦
◦
◦
élément de I + J annule x. Inversement si ax = 0 alors ax = 0 et ax ∈ Ix, donc ax = cx
◦
pour un c ∈ I, donc a − c ∈ J de sorte que a ∈ I + J. Ainsi AnnC (x) = I + J, de sorte que
M/IM ' B/(I + J).
6. On considère un anneau principal A. Si a ∈ A∗ et
M = A/ha1 i ⊕ · · · ⊕ A/hak i ⊕ Ar ,
(r, k ∈ N)
avec a1 | a2 | · · · | ak (c’est-à-dire hak i ⊆ · · · ⊆ ha1 i) on obtient en appliquant les points 4. et 5.
M/aM ' A/hb1 i ⊕ · · · ⊕ A/hbk i ⊕ (A/hai)r ,
avec hbi i = hai , ai et hai ⊆ hbk i ⊆ · · · ⊆ hb1 i. Si a = ai pour un certain i cela donne
M/aM ' A/ha1 i ⊕ · · · ⊕ A/hai−1 i ⊕ (A/hai)r+k−i+1 .
Exercice 4.7.1 1a) Notons ep l’élément de M dont toutes les coordonnées sont nulles, sauf celle
correspondant
au nombre premier p, égale à à 1 (modulo p). Un élément arbitraire x de MQs’écrit
P
p∈P xp ep , où P est une partie finie de P, avec les xp ∈ N. Alors mx = 0 avec m =
p∈P p.
Donc, x est de torsion.
1b) Soit m ∈ AnnZ (M ), alors pour tout p ∈ P on a l’égalité mep = 0, donc p divise m. Donc
m = 0.
2. Un élément arbitraire x de A est une suite infinie (xp )p∈P , avec pour tout p, xp ∈ Fp . Posons
2
2
yp = 0 si xp = 0 et yp = x−1
p sinon. Alors x y = x et y x = y. En effet, dans un corps K
arbitraire, les égalités u2 v = u et v 2 u = v sont vérifiées dans les deux cas suivants
8.4. Modules sur un anneau commutatif
101
– u=v=0
– u 6= 0 et v = u−1 .
Cette remarque prouve aussi l’unicité de v lorsque lorsque u est donné.
Exercice 4.8.1 Pour x ∈ A notons x la classe de x modulo a dans le module M = A/aA. On
a donc e = 1 et la structure de A-module de M est donnée par x y = xy, avec x = xe = x1. Un
sous-module monogène de M est de la forme hxi = xA ⊆ M . Son image réciproque dans A par
la projection canonique
x 7→ x, A → M
est l’idéal aA + xA de A.
En tant que A-module, hxi est alors isomorphe à
(aA + xA)/aA ' xA/(xA ∩ aA).
On a les équivalences
hxi ⊆ hyi ⇐⇒ x ∈ aA + yA ⇐⇒ aA + xA ⊆ aA + yA.
Lorsque c’est le cas on a l’isomorphisme classique
hyi / hxi ' (aA + yA)/(aA + xA).
Exercice 4.8.2 On sait que les sous-A-modules de A (i.e. les idéaux de A) sont tous de la
forme aA, et que l’idéal aA détermine de manière unique la classe de a dans A/A× (la classe
de a modulo l’association).
En outre cette bijection de l’ensemble des sous-A-modules de A vers A/A× transforme intersection, somme et produit en ppcm, pgcd et produit.
On en déduit qu’il y a une bijection entre les sous-A-modules de A/hai et les diviseurs de a
(vus dans A/A× ). Au diviseur b de
a on fait correspondre le sous-A-module b(A/hai), qui est
isomorphe à bA/aA ou encore à A ab . Enfin cette bijection transforme intersection et somme
en ppcm et pgcd.
Exercice 4.8.3 Dans la solution du point 1. on peut prendre pour A un anneau arbitraire.
Par contre pour le point 2. il faut supposer A principal.
1. En composant la projection canonique A → A/hai avec une application A-linéaire ϕ :
A/hai → M on obtient un élément de LA (A, M ), qui est caractérisé par l’image de 1. On
en déduit par le théorème de factorisation qu’une application A-linéaire de A/hai dans M est
complètement déterminée par l’image de 1, qui est n’importe quel élément x de M vérifiant
ax = 0 (on note (0 : a)M,A ou (0 : a)M ce sous-module de M ). Notons ϕx l’homomorphisme
b 7→ bx correspondant. Alors x 7→ ϕx est un isomorphisme de (0 : a)M sur LA (A/hai , M ).
2. Supposons d’abord a, b 6= 0. Les éléments de A/hbi annulés par a sont ceux annulés par
g = pgcd(b, a). Si b1 = b/g, on obtient donc un isomorphisme
b1 (A/hbi) −→ LA (A/hai , A/hbi),
x 7−→ (y 7→ yx)
En outre b1 (A/hbi) ' A/hgi. En particulier ce groupe est nul si et seulement si g = 1.
Si a = 0, alors LA (A/hai , A/hbi) = LA (A, A/hbi) ' A/hbi (nul si et seulement si b ∈ A× ).
Si a 6= 0 et b = 0, alors LA (A/hai , A/hbi) = LA (A/hai , A) = {0} .
Exercice 4.8.4 Il n’est pas nécessaire de supposer que A est un anneau principal.
On peut appliquer le point 1. de l’exercice 4.8.3 avec le module M = A/hai. Tout élément de M
est annulé par a, donc (0 : a)M = M . Ainsi l’application A-linéaire z 7→ ϕz est un isomorphisme
du A-module A/hai sur le A-module LA (A/hai , A/hai) = EndA (A/hai). Avec précisément
ϕx (y) = yx = yx pour x, y ∈ A/hai .
En fait cet isomorphisme de A-modules est aussi un isomorphisme d’anneaux puisque
ϕx ◦ ϕy = ϕxy .
102
8. Solution des exercices
Exercice 4.10.1 (réduction d’un module, modulo un idéal, 2)
1. Vérification immédiate.
2. Regardons N comme un B-module. Si a ∈ I et x ∈ M alors ψ(ax) = aψ(x) = aψ(x) =
0ψ(x) = 0. Ainsi, IM ⊆ Ker ψ, et par le théorème de factorisation pour les applications B-linéaires, il existe une unique application B-linéaire θ : M/IM → N telle que θ ◦ π = ψ. Il reste à
vérifier que θ est en fait une application C-linéaire, ce qui résulte immédiatement des définitions.
3. Clair, comme pour n’importe quel quotient de M .
4. Notons A = (aij )i∈J1..mK,j∈J1..nK ∈ Mm,n (A). Les n colonnes de la matrice A représentent des
relations entre les gi dans M :
Pm
i=1 aij gi = 0
Dans le C-module M/IM on a donc les relations
Pm
◦
i=1 aij gi = 0.
◦
Intuitivement, il ne peut pas y avoir de nouvelles relations introduites entre les gi quand on
passe de M à M/IM . Mais il faut le justifier.
Soit donc
Pm
◦
(∗)
i=1 bi gi = 0
◦
une relation entre les gi dans le C-module M/IM . Nous voulons montrer que le vecteur colonne
des bi est une combinaison P
linéaire (dans C) des colonnes de la matrice A.
m
La
relation
(∗)
signifie
que
i=1 bi gi ∈ IM , et cela implique qu’il existe c1 , . . . , cm ∈ I tels que
Pm
Pm
t
i=1 bi gi =
i=1 ci gi dans M . Autrement dit le vecteur colonne C := [ b1 − c1 · · · bm − cm ]
est une combinaison linéaire (dans B), C = AX des colonnes de la matrice A. Donc le vecteur
colonne C = t[ b1 · · · bm ] est égal à la combinaison linéaire (dans C) A X des colonnes de la
matrice A.
8.5. Modules de présentation finie sur les anneaux principaux
8.5
103
Modules de présentation finie sur les anneaux principaux
Exercice 5.2.1 Dans l’exemple on a

1

L A C13 = A13 = 0
0
obtenu, avec L et C13 inversibles



−24 0 17
0 0 0
3 0 0  avec L =  55 2 −35 
14 5
0
0 0 0
−1
−1
Cela donne A = L−1 A13 C13
. Comme l’image de L−1 A13 C13
est la même que celle de L−1 A13 ,
3
une base de Z adaptée au sous-Z-module Im A, est donnée par les colonnes de L−1 . On a


−175 −85
34
L−1 =  490
238 −95 
−247 −120 48

 

−175
−85
La base correspondante de Im A est ( 490  , 3  238 ).
−247
−120
−1
Notons que l’on peut calculer L au cours de l’algorithme de la manière suivante. On remarque
que
L = · · · V 3 V 2 V 1 I3 ,
où les Vi correspondent aux transformations de



1 0 0
1



V1 := 0 1 0 , V2 := 0
−1 0 1
0
lignes successives. Dans


0 −3
1 0


1 0 , V3 := 0 1
0 1
2 0
l’exemple c’est

0
0,...
1
Alors L−1 = I3 V1−1 V2−1 V3−1 · · · et cette matrice peut être obenue à partir de la matrice I3 en lui
faisant subir successivement les manipulations de colonnes correspondant à la multiplication à
droite par les matrices Vi−1 , avec






1 0 0
1 0 3
1 0 0
V1−1 :=  0 1 0  , V2−1 :=  0 1 0  , V3−1 :=  0 1 0  , . . .
−2 0 1
0 0 1
1 0 1
Ainsi lorsque l’on fait une manipulation de lignes (( Li ← Li + aLj )) dans l’algorithme, on doit
faire en parallèle la manipulation de colonnes suivante pour calculer L−1 : (( Cj ← Cj − aCi . ))
Exercice 5.2.2
Dans l’exemple page 6 on a obtenu, avec

1 0 0
L A C13 = A13 =  0 3 0
0 0 0
L et C13 inversibles


0 133
0
1 8
0  avec C13 = 
 0 266
0
0 1
−83
−4
−165
0

−265
−13 

−530 
−2
−1
Cela donne A = L−1 A13 C13
et

t
−1
A = t C13
−1
−1
−1
· tA13 · tL
1
0
=
0
0
0
3
0
0

0
0
.
0
0
−1
Comme l’image de t C13 · tA13 · tL est la même que celle de t C13 · tA13 , une base de Z4
−1
adaptée au sous-Z-module Im tA, est donnée par les colonnes de t C13 .
Pour calculer l’inverse de C13 , on peut procéder comme indiqué dans l’exercice 5.2.1 : à chaque
fois que la matrice C est modifiée par une transformation de colonnes, on modifie son inverse
104
8. Solution des exercices
−1
par la transformation de lignes (( opposée )). En fait on a déjà donné la matrice W13 = C13
pour
décrire le changement d’inconnues :


487 1 −245 391
 −330 0 166 −265 
.
C13−1 = 
 −2 0
1
0 
−165 0
83
−133

 
 
 

487
−330
−2
−165
 1   0   0   0 
 
 
 

Une base adaptée est donc (v1 , v2 , v3 , v4 ) = (
 −245  ,  166  ,  1  ,  83 ) et la base
391
−265
0
−133
t
correspondante de Im A est (v1 , 3v2 ).
Exercice 5.3.1 On se reporte à la solution de l’exercice 5.2.1. On a donc
Coker A ' Z/3Z ⊕ Z,
et les éléments correspondant à chacun des deux termes de cette somme directe sont les classes
modulo Im A des 2-èmes et 3-èmes vecteurs colonnes de L−1 .
Exercice 5.3.2 On se reporte à la solution de l’exercice 5.2.2. On a
Coker tA ' Z/3Z ⊕ Z ⊕ Z,
et les éléments correspondant à chacun des termes de cette somme directe sont les classes modulo
Im tA de v2 , v3 et v4 .
Exercice 5.3.3
1. On a 500 = 22 53 . Un groupe abélien d’ordre 500 est somme directe de son unique sous-groupe
d’ordre 4 et de son unique sous groupe d’ordre 125.
Il y a 2 structures possibles pour un groupe d’abélien d’ordre 4 : Z/4Z et Z/2Z × Z/2Z
Il y a 3 structures possibles pour un groupe d’abélien d’ordre 125 : Z/125Z et Z/25Z × Z/5Z et
Z/5Z × Z/5Z × Z/5Z.
Cela fait donc 6 structures possibles de groupes abéliens d’ordre 500.
– Z/4Z × Z/125Z ' Z/500Z
– Z/4Z × Z/25Z × Z/5Z ' Z/100Z × Z/5Z
– Z/4Z × Z/5Z × Z/5Z × Z/5Z ' Z/20Z × Z/5Z × Z/5Z
– Z/2Z × Z/2Z × Z/125Z ' Z/250Z × Z/2Z
– Z/2Z × Z/2Z × Z/25Z × Z/5Z ' Z/50Z × Z/10Z
– Z/2Z × Z/2Z × Z/5Z × Z/5Z × Z/5Z ' Z/10Z × Z/10Z × Z/5Z
2. On a 32 = 25 , et 5 peut s’écrire sous les formes suivantes :
5, 4 + 1, 3 + 2, 3 + 1 + 1, 2 + 2 + 1, 2 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1 + 1,
(les entiers, tous > 0 sont écrits en ordre décroissant dans la somme). Cela correspond aux 7
structures possibles de groupes abéliens d’ordre 32 :
– 5 : Z/32Z
– 4+1 : Z/16Z × Z/2Z
– 3+2 : Z/8Z × Z/4Z
– 3+1+1 : Z/8Z × Z/2Z × Z/2Z
– 2+2+1 : Z/4Z × Z/4Z × Z/2Z
– 2+1+1+1 : Z/4Z × Z/2Z × Z/2Z × Z/2Z
– 1+1+1+1+1 : Z/2Z × Z/2Z × Z/2Z × Z/2Z × Z/2Z
2. On a 800 = 25 52 . Cela fait 7 structures possibles pour le sous-groupe d’ordre 32 et 2 structures
possibles pour le sous-groupe d’ordre 25, donc 14 structures distinctes en tout.
8.5. Modules de présentation finie sur les anneaux principaux
105
Exercice 5.3.4 Un module de torsion M de type fini non nul sur un anneau principal est
isomorphe à un module A/ha1 i ⊕ · · · ⊕ A/hak i avec les ai 6= 0, 1. Si l’on impose comme dans
le corollaire 5.3.3
ha1i ⊇ · · · ⊇ hak i alors les idéaux hai i sont entièrement déterminés par M .
Si ha1 · · · ak i = p5 q 3 avec p et q irréductibles non associés, le nombre de structures possibles
pour M se détermine par la même méthode que dans l’exercice 5.3.3.
En posant a = p5 q 3 , Mp = (0 : p5 )M et Mq = (0 : q 3 )M on a aM = 0 et une relation de Bezout
entre p5 et q 3 montre que M = Mp ⊕Mq (on peut voir ceci comme un cas particulier du théorème
des restes chinois si on considère la structure d’anneaux de A/hai).
De manière générale
si l’on est dans le cas où O(N
) = hπ m i pour un élément irréductible π,
Lk
P
on aura N ' i=1 A/hπ mi i avec les contraintes ki=1 mi = m et m1 6 · · · 6 mk . Le nombre
de structures possibles correspond alors au nombre de manières d’écrire m comme une somme
d’entiers > 0 en ordre décroissant.
En notant que
3=1+1+1=2+1=3
et
5=1+1+1+1+1=2+1+1+1=2+2+1=3+1+1=3+2=4+1=5
on obtient 3 structures possibles pour Mq
– A/hqi
×
A/hqi × A/hqi
– A
q 2 × A/hqi
– A q3
et 7 structures possibles pour Mp :
– A/hpi
×
A/hpi × A/hpi × A/hpi × A/hpi
– A
p2 × A/hpi
2×
A/hpi × A/hpi
2
– A
p × A p × A/hpi
– A
p3 × A/hpi
×
A/hpi
– A
p3 × A p2
– A
p4 × A/hpi
– A p5
Ce qui fera 3 × 7 = 21 structures possibles pour M :
– A/hpqi
×
A/hpqi × A/hpqi × A/hpi × A/hpi
– A
pq 2 × A/hpqi × A/hpi × A/hpi × A/hpi
– A
pq 3 × A/hpi × A/hpi × A/hpi × A/hpi
– A
p2 q × A/hpqi × A/hpqi × A/hpi
– A
p2 q 2 × A/hpqi × A/hpi × A/hpi
– A
p2 q 3 × A/hpi
×
A/hpi × A/hpi
– A
p2 q × A p2 q × A/hpqi
– A
p2 q 2 × A
p2 q × A/hpi
– A
p2 q 3 × A p2 × A/hpi
– A
p3 q × A/hpqi × A/hpqi
– A
p3 q 2 × A/hpqi × A/hpi
– A
p3 q 3 × A/hpi
2 ×
A/hpi
3
– A
p q × A p q × A/hqi
– A
p3 q 2 × A
p2 q
– A
p3 q 3 × A p2
– A
p4 q × A/hpqi × A/hqi
– A
p4 q 2 × A/hpqi
– A
p4 q 3 × A/hpi
– A
p5 q × A/hqi × A/hqi
– A
p5 q 2 × A/hqi
– A p5 q 3
106
8. Solution des exercices
Exercice 5.3.5 On a un A-module
M = Ar ⊕ A/ha1 i ⊕ · · · ⊕ A/hak i ,
(r, k ∈ N)
avec des éléments a1 , . . . , ak de A∗ \ A× et a1 | a2 | · · · | ak .
1. On en déduit que M/a1 M ' A/ha1 i k+r (exercice 4.5.3, point 6.). Par ailleurs on sait d’une
part qu’un module libre de rang ` sur un anneau non nul ne peut pas être engendré par ` − 1
éléments (corollaire 4.2.6) et d’autre part que tout système générateur du A-module M donne
par passage au quotient un système générateur du A/ha1 i-module M/a1 M . Ceci montre que M
ne peut pas être engendré par k + r − 1 éléments.
2. On note K = Frac A le corps des fractions. Dans la suite on écrit tout élément de M sous la
forme x = y + z = π1 (x) + π2 (x), avec
y = π1 (x) ∈ Ar et z = π2 (x) ∈ T(M ) = A/ha1 i ⊕ · · · ⊕ A/hak i .
On considère alors un système x1 , . . . , xr+1 de r + 1 éléments de M . Les éléments correspondants
r ⊆ Kr sont linéairement dépendants sur K. On en déduit une relation de dépeny1 , . . . , yr+1 ∈ A
Pr+1
dance linéaire i=1 γi yi = 0 avec les γi ∈ A non tous nuls. Chaque zi ∈ T(M ) est annulé par
ak =: a. On en déduit la relation de dépendance linéaire
Pr+1
Pr+1
Pr+1
i=1 γi zi = 0 + 0 = 0
i=1 γi yi + a
i=1 aγi xi = a
avec les aγi non tous nuls. Ainsi r est bien le nombre maximum d’éléments A-linéairement
indépendants dans M .
Exercice 5.3.6
1. Un élément (x, ye) ∈ Z/pZ × Z/p2 Z est d’ordre p2 si et seulement si ye est d’ordre p2 . Cela fait
p2 − p = p(p − 1) possibilités pour ye. Il y a donc p2 (p − 1) = p3 − p2 éléments d’ordre p2 dans H.
2. Comme tout élément de H est d’ordre p2 , p ou 1, et |H| = p3 , on obtient p2 − 1 éléments
d’ordre p dans H. Comme chaque sous-groupe d’ordre p de H est cyclique et contient p − 1
éléments d’ordre p, et comme deux tels sous-groupes sont d’intersection réduite à 0, on obtient
qu’il y a p + 1 sous-groupes d’ordre p, tous isomorphes à Z/pZ.
3. Un endomorphisme ϕ : H → H est défini par ϕ(1) et ϕ(e
1). Il vérifie alors
ϕ(x, ye) = xϕ(1) + yϕ(e
1).
Pour que ceci soit bien défini, la seule contrainte à satisfaire est que pϕ(1) = 0, ce qui laisse p2
possibilités pour ϕ(1). On obtient donc en tout p2 × p3 = p5 endomorphismes de H.
4. Pour que ϕ soit un automorphisme de H, on doit rajouter les contraintes suivantes :
– ϕ(e
1) est d’ordre p2 ,
D
E
– ϕ(1) est d’ordre p et ϕ(1) ∈
/ ϕ(e
1) .
D
E
Cela fait p3 −p2 possibilités pour ϕ(e
1). Concernant ϕ(1), on note que dans le sous-groupe ϕ(e
1)
il y a p − 1 éléments d’ordre p, donc il reste (p2 − 1) − (p − 1) = p2 − p possibilités pour ϕ(1).
Le groupe des automorphismes de H contient donc (p3 − p2 )(p2 − p) = p3 (p − 1)2 éléments.
5. Le treillis des sous-groupes de G = Z/5Z × Z/25Z
On note tout d’abord qu’un groupe Z/5Z × Z/5Z est un espace vectoriel de dimension 2 sur F5 .
Ses sous-groupes sont les sous-espaces vectoriels, il y en a donc 6 de dimension 1, isomorphes à
Z/5Z.
8.5. Modules de présentation finie sur les anneaux principaux
107
Dans le dessin ci-contre, tous les sous-groupes de G sont représentés
par des points. Les points plus gros représentent des sous-groupes
caractéristiques de G, c’est-à-dire invariants par tout automorphisme de G. Sur la ligne du bas il y a le groupe nul. Sur la deuxième
ligne à partir du bas il y a les sous-groupes isomorphes à Z/5Z. Le
sous-groupe caractéristique est le groupe 5G, engendré par (0, e
5).
Sur la ligne du haut, il y a G. Sur la deuxième ligne à partir du haut
il y a les sous-groupes d’ordre 25. Le sous-groupe caractéristique
est formé par les éléments dont l’ordre divise 5. Il est isomorphe
à Z/5Z × Z/5Z, engendré par (1, e
0) et (0, e
5). Les 5 autres sousgroupes d’ordre 25 sont cycliques, isomorphes à Z/25Z, chacun est
engendré par un élément (i, e
1) avec les 5 valeurs possibles pour i.
Ces 5 sous-groupes cycliques d’ordre 25 ont le même sous-groupe
d’ordre 5, ègal à 5G.
Exercice 5.3.7 (réduction de matrice sur un anneau de Bezout)
1. Si la matrice F est nulle il n’y a rien à faire. Sinon, si la première colonne est nulle, par
échange de deux colonnes, on ramène une colonne non nulle en première position. On peut donc
supposer la première colonne non nulle.
Par manipulations
de Bezout sur les lignes, on peut alors ramener la première colonne à la
 
g
0

forme 
 ... , où g 6= 0 est le pgcd des coefficients de la première colonne. On a donc une première
0
réduction
g
0
L1 · F · P1 =
.
0 F1
Il reste à recommencer avec la matrice F1 le même type de manipualtions. On aboutit ainsi à
L·F ·P =
T
G
0
0
avec
T triangulaire supérieure à coefficients diagonaux 6= 0
2. Maintenant on traite la matrice
T
G
par manipulation de colonnes et permutations de lignes. Cela permet, comme au point 1. de
ramener cette matrice à la forme
T0
avec
0
T 0 triangulaire supérieure à coefficients diagonaux 6= 0
3. Quitte à faire des changements de base convenables, on peut donc supposer que F est de la
forme
F =
T0
0
0
0
avec
T 0 triangulaire supérieure à coefficients diagonaux 6= 0
On a alors clairement les résultats suivants :
a) Le module Ker F est engendré par les n − k derniers vecteurs de la base canonique de An ,
avec pour supplémentaire le module engendré par les k premiers vecteurs de cette base.
b) Le module Im F est engendré par les colonnes de T 0 , qui sont linéairement indépendantes.
C’est donc un A-module libre de rang k.
108
8. Solution des exercices
c) Notons P et N sont les sous-A-modules de Am engendrés respectivement par les k premiers
vecteurs et les m − k derniers vecteurs de la base canonique de Am . On note Te0 la matrice
cotransposée de T 0 . Puisque Te0 · T 0 = det(T 0 ) Ik on a
vP ⊆ Im T 0 ⊆ P
avec v = det T 0 6= 0.
On en déduit que M = Coker F ' (P/ Im T 0 ) ⊕ N avec pour sous-module de torsion T(M ) =
P/ Im T 0 . Notons pour terminer que vT(M ) = 0 et N est libre de rang m − k.
d) Ici il faut faire attention, car on parle de la matrice d’un endomorphisme, et non de celle
d’une application A-linéaire générale. On sait donc seulement que la matrice F est équivalente
(et non pas semblable) à une matrice carrée de la forme
T0
0
G=
avec
0
T 0 triangulaire supérieure à coefficients diagonaux 6= 0.
0
Puisque F 2 = F , les idéaux déterminantiels de F sont engendrés par des idempotents (exercice
3.3.2). Puisque l’anneau est intègre, 1 et 0 sont les seuls idempotents. Les idéaux déterminantiels
de F sont donc égaux à h1i ou 0. Or
Dk (F ) = Dk (G) = Dk (T 0 ) = h det(T 0 ) i =
6 0.
Donc h det(T 0 ) i = h1i, i.e. det(T 0 ) ∈ A× , et T 0 est inversible. On en déduit que la matrice F
est équivalente à Ik,n . Comme F 2 = F on a An = Ker(F ) ⊕ Im(F ). Puisque F est équivalente
à Ik,n son noyau et son image sont libres de rangs respectifs n − k et k. Cela montre que F est
semblable à Ik,n .
Exercice 5.4.1 On considère le A-module
M = Ar ⊕ A/ha1 i ⊕ · · · ⊕ A/hak i ,
(r, k ∈ N)
avec des éléments a1 , . . . , ak de A∗ \ A× et a1 | a2 | · · · | ak . Alors
LA (M, A) = LA (Ar , A) ⊕ LA (A/ha1 i , A) ⊕ · · · ⊕ LA (A/hak i , A) ' Ar
car LA (A/hai , A) = 0 si a 6= 0.
Exercice 5.4.2 On a LZ (Q, Z) = 0. En effet si α ∈ LZ (Q, Z) et α(1) = m 6= 0, alors
2mα(1/2m) = α(1) = m d’où α(1/2m) = 1/2 ce qui est absurde.
Exercice 5.4.3 Il suffit de traiter le casQM = A/ha1 i⊕· · ·⊕A/har i et N = A/hb1 i⊕· · ·⊕A/hbs i
(ai , bj ∈ A \ A× ). Alors LA (M, N ) ' i∈J1..rK,j∈J1..sK LA (A/hai i , A/hbj i). On se reporte alors
à l’exercice 4.8.3.
8.6. Application : structure d’un endomorphisme
8.6
109
Application : structure d’un endomorphisme
Exercice 6.1.1
Exercice 6.1.2 On note pour commencer que, en appliquant les définitions, on obtient
(XIn − A) ◦ ϕ = 0
et ϕ est l’identité sur An .
1. Montrons que Im(XIn − A) ∩ An = 0. Soit x ∈ Im(XIn − A) ∩ An ; on applique ϕ à x et on
obtient ϕ(x) = x = 0.
Montrons que A[X]n = Im(XIn − A) + An . Il suffit de voir que X k ei ∈ Im(XIn − A) + An pour
k > 0 et i ∈ J1..nK. Si k = 0 c’est clair, pour k > 0 on écrit :
X
X j A`
X k In − Ak = (XIn − A)
j+`=k−1
En appliquant cette égalité à ei , on a X k ei − Ak ei ∈ Im(XIn − A) donc
X k ei ∈ Im(XIn − A) + Ak ei ⊆ Im(XIn − A) + An .
2. Soit y ∈ Ker ϕ. On écrit y = z + w avec z ∈ Im(XIn − A) et w ∈ An . Donc 0 = ϕ(y) =
ϕ(z) + ϕ(w) = 0 + w et y = z ∈ Im(XIn − A).
Le lecteur pourra comparer avec la démonstration du théorème 6.1.2, laquelle n’utilise pas le fait
que K est un corps ; il verra que les deux démonstrations disent essentiellement la même chose,
mais que celle proposée en exercice est plus abstraite, et d’apparence plus facile : la difficulté
est de poser les bonnes définitions et les bonnes questions (merci à Claude Quitté).
110
8. Solution des exercices
Index des notations
Jk..`K
P`
[k, . . . , `], liste des entiers de k à ` (vide si k > `)
ensemble des listes extraites de J1..`K (en ordre croissant)
Pk,`
sous-ensemble des listes à k éléments
Z/nZ
groupe cyclique à n éléments, quotient de Z
Z/nZ
anneau quotient de Z, correspondant aux calculs modulo n
Fp ' Z/pZ
p est un nombre premier, corps fini à p éléments
A/I
anneau quotient de A, correspondant aux calculs modulo l’idéal I
Mm,n (A)
(ou Am×n ) matrices à m lignes et n colonnes à coefficients dans A
Mn (A)
Mn,n (A)
GLn (A)
groupe des matrices inversibles
SLn (A)
groupe des matrices de déterminant 1
Ker(ϕ)
ϕ−1 (0) ⊆ E : noyau du morphisme ϕ : E → F
Im(ϕ)
image du morphisme ϕ : E → F
Coker(ϕ)
F/ Im(ϕ) : conoyau du morphisme ϕ : E → F
Diag(a1 , . . . , an )
matrice diagonale de Mn (A) avec ai en position (i, i)
HomGroupes (G, H) groupe des morphismes du groupe abélien G vers le groupe abélien H
EndGroupes (G)
anneau des endomorphismes du groupe abélien G
AutGroupes (G)
groupe des automorphismes du groupe abélien G
e
B
Fα,β
comatrice (ou matrice cotransposée) de B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
matrice extraite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
Ik,n
matrice de projection standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
LA (M, N )
A-module d’applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
EndA (M )
LA (M, M ), anneau des endomorphismes du A-module M . . . . . . . . . . .
44
ME,F (ϕ)
matrice de l’application linéaire ϕ sur les bases E et F . . . . . . . . . . . . . .
46
rgA (M )
(ou rg(M )) rang d’un A-module libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
(0 : x)A,M
ou (0 : x) : idéal annulateur de x (x ∈ M ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
AnnA (M )
= Ann(M ) = (0 : M ) = (0 : M )A : idéal annulateur du module M . . .
55
(N : P )A,M
ou (N : P ) : idéal transporteur de P dans N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Ik,q,m
matrice simple standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
Index des termes
algèbre de Boole, 26
anneau, 18
de Bezout, 33
factoriel, 28
intègre, 19
nœthérien, 85
nul (ou trivial), 18
principal, 33
quotient (par un idéal), 21
annulateur, 55
application linéaire
entre modules, 44
application transposée, 54
associés
éléments , 27
association, 27
base
d’un groupe abélien, 62
d’un module, 45
base adaptée, 62
base canonique, 44
Binet-Cauchy
formule de — , 39
comatrice, 31
comaximaux
éléments — dans un anneau, 3
idéaux — dans un anneau, 22
combinaison linéaire
d’éléments d’un module, 45
conoyau
d’une application linéaire, 57
coordonnée, 51
corps, 18
de présentation finie
groupe abélien —, 64
module —, 57
diviseur de zéro, 19
diviseurs élémentaires
d’un module, 64
domaine d’intégrité, 19
élément de torsion
dans un module, 54
équivalentes
matrices —, 47
étrangers
éléments — dans un anneau, 3
facteur direct
sous-module —, 50
facteurs invariants
d’un sous-module de type fini d’un module libre de rang fini sur un anneau
principal, 62
fidèle
module —, 55
forme de Frobenius, 69
forme linéaire, 54
forme réduite de Smith, 38
groupe des unités, 18
groupe quotient, 16
homomorphisme
de groupes, 12
idéal
d’un anneau, 21
de type fini, 22
principal, 22
idéal
maximal, 26
premier, 26
idéal annulateur, 54
idéaux déterminantiels
d’une application linéaire, 39
d’une matrice, 38
idempotent, 11
élément — dans un anneau, 24
image
d’une application linéaire, 45
invariants de similitude
d’un endomorphisme d’un espace vectoriel, 70
irréductible
élément —, 27
isomorphisme
114
Index des termes
de groupes, 12
de modules, 44
linéairement indépendants
éléments — dans un module, 45
manipulation élémentaire, 5
manipulation de Bezout, 35
matrice
d’une application linéaire sur des bases,
46
d’une base sur une autre, 47
de projection, 39
de projection standard, 40
matrice compagne, 68
matrice cotransposée, 31
matrice de Bezout, 35
matrice de présentation
pour un module M , 58
matrice diagonale par blocs, 69
maximal
idéal —, 26
mineur
d’une matrice, 38
module, 43
de torsion, 54
cyclique, 55
de présentation finie, 57
de type fini, 45
dual, 54
monogène, 55
nœthérien, 85
projectif de type fini, 51
quotient, 52
sur un anneau, 43
monogène
module —, 55
monoı̈de, 11
morphisme
d’anneaux, 18
de groupes, 12
de modules, 44
nœthérien
anneau —, 85
module —, 85
noyau
d’une application linéaire, 45
pgcd, 28
ppcm, 28
premier
élément —, 27
idéal —, 26
produit
d’une famille de modules, 50
de deux idéaux, 22
projectif de type fini
module —, 51
projection
sur un sous-module parallèlement à un
autre, 98
projection canonique
d’un ensemble sur un ensemble quotient,
15
propre
idéal —, 22
régulier
élément — dans un anneau, 19
relation de Bezout, 3
sans torsion, 54
scindée
application linéaire surjective, 47
semblables
endomorphismes —, 70
matrices —, 47
Smith
forme réduite de —, 38
réduction de —, 38
somme
d’une famille de sous-modules, 50
de sous-modules, 50
somme directe
d’une famille de sous-modules, 50
externe d’une famille de module, 50
sous-modules en —, 50
somme directe interne, 50
sous-anneau, 19
sous-module, 45
engendré par une partie, 45
sous-module de torsion, 54
système complet d’invariants, 64
système générateur
d’un module, 45
système fondamental d’idempotents orthogonaux, 24
torsion, 54
transporteur, 55
transposée, 54
treillis, 51
unimodulaire, 52
unité
dans un anneau, 18

modules sur les anneaux principaux - Henri Lombardi

Documents connexes

Produits

Soutien

modules sur les anneaux principaux - Henri Lombardi

Documents connexes

Ajouter ce document à la (aux) collections

Ajouter ce document à enregistré

Suggérez-nous comment améliorer StudyLib