Semaine 12 - Étienne Thibierge

Colles semaine 12, sujet A D’Arsonval, PSI?2016-2017
Induction et ferromagnétisme
Question de cours
Définir le champ d’aimantation d’un milieu magnétique et le champ d’excitation magnétique. Écrire les équations
de Maxwell dans un milieu magnétique.
Éléments de correction de l’exercice 0 :
Le programme indique qu’il faut passer par #” jlié =# ” rot # ” M
Exercice 1 : Treuil électromécanique
On modélise un treuil par un moteur linéaire, analogue à un dispositif de rails de Laplace séparés d’une distance a
plongés dans un champ magnétique #” Bet alimentés par un générateur de tension continue E. La tige mobile est reliée
à la masse m0à soulever par l’intermédiaire d’un câble inextensible et d’une poulie dont on néglige les frottements
d’axe. On note Rla résistance électrique du circuit, supposée indépendante de la position de la tige mobile. Ce circuit
est orienté dans le sens indiqué sur la figure.
x
y
z
E
m0
i
#”
B
a
#”
g
1 - Quel doit être le signe du courant iimposé par le générateur pour que le système puisse fonctionner en treuil,
c’est-à-dire puisse soulever la masse ? Déterminer la valeur minimale de Epermettant d’atteindre ce fonctionnement.
2 - Établir l’expression de la force de tension du câble en fonction de l’accélération ¨zde la masse. Quelle hypothèse
peut-on proposer pour simplifier l’expression obtenue ? On se place dans cette hypothèse par la suite.
3 - Établir les équations électrique et mécanique du système.
4 - En déduire l’expression de la vitesse vz(t)de la masse m0en supposant qu’elle est initialement immobile.
Déterminer la valeur limite de la vitesse de levage, notée V0.
5 - Établir et interpréter le bilan de puissance du système en régime permanent à vitesse V0.
Éléments de correction de l’exercice 1 :
1Pour que la masse soit soulevée, il faut que la force de Laplace subie par la tige soit dirigée selon −#” ex, ce qui
impose i > 0. La valeur minimale de Ecorrespond au cas où la norme de la force de Laplace est égale au poids
de m0, c’est-à-dire
m0g=iminaB =Emin
RaB d’où Emin =R m0g a B
2Loi de la quantité de mouvement appliquée à la masse m0:
m0
#”
a=m0
#”
g+#” Tsoit #” T=m0(#” a−#” g)donc Tz=m0(¨z+g)
Hypothèse : faible accélération, ¨zg(gest l’accélération d’une chute libre, c’est donc une forte accélération), donc
quel que soit le mouvement de la masse la norme de la tension du câble est égale à m0g.
3Équation mécanique : loi de la quantité de mouvement appliquée à la tige (masse m),
mdvx
dt=−iaB +m0g .
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Colles semaine 12, sujet A : Induction et ferromagnétisme D’Arsonval, PSI?2016-2017
Équation électrique : on raisonne sur le circuit équivalent, qui contient une fém eliée à l’induction. S=ax donc
φ=S#” B·#” n=−SB, donc
e=−dφ
dt=avxB .
Par la loi des mailles,
E+avxB=Ri
4Commençons par le vitesse vxde la tige mobile :
mdvx
dt=−aB E+avxB R+m0gsoit dvx dt+(aB)2 Rm vx=−aBE Rm +m0 mg
On pose τ=Rm/(aB)2, et on en déduit
vx(t) = Ae−t/τ +m0gR
(aB)2−E aB .
Vue la géométrie, la vitesse de la masse vzest de même norme mais de signe opposé par rapport à vx, donc
vz(t) = −Ae−t/τ −m0gR
(aB)2+E aB
En régime asymptotique on identifie la vitesse limite de levage,
V0=−m0gR
(aB)2+E aB .
et on écrit la solution sous la forme
vz(t) = V01−e−t/τ .
5En régime permanent à vitesse de la masse V0(et donc courant dans le circuit I0mais vitesse vx=−V0), les
équations électrique et mécanique deviennent respectivement
E= +aV0B+RI0et 0 = −I0aB +m0g
En multipliant comme d’habitude par I0et V0,
EI0= +aI0V0B+RI2
0et 0 = −I0aBV0+m0gV0
et en sommant ces deux équations
E I0=RI2
0+m0gV0.
Interprétation :
 EI0: puissance fournie par le générateur ;
 RI2
0: puissance dissipée par effet Joule ;
 m0gV0: variation d’énergie potentielle de la masse m0.
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Colles semaine 12, sujet B D’Arsonval, PSI?2016-2017
Induction et ferromagnétisme
Question de cours
Représenter l’allure des cycles d’hystérésis (H,M) et (H,B) d’un milieu ferromagnétique. Distinguer milieu dur
et milieu doux, citer des exemples de matériau et d’utilisation.
Éléments de correction de l’exercice 0 :
Dur : acier, ferrite, Neodyme Fer Bor, Alnico (aimants permanents). Doux : fer, cobalt, nickel pris seuls.
Exercice 1 : Principe de fonctionnement d’un générateur électrique [oral CCP]
x
#”
m0a
y
x
z
Un aimant de moment magnétique #” m0est placé dans le plan (Oxy). Un
système mécanique le met en rotation à vitesse angulaire ωconstante autour
de l’axe (Oz). Une spire circulaire de rayon aet de résistance Rest placée
sur l’axe (Ox)à distance xa.
Donnée : en coordonnées polaires d’axe colinéaire à #” m, un moment magnétique #” mplacé à l’origine crée en un point M
quelconque un champ magnétique
#”
B(M) = µ0m
4π r3(2 cos θ#”
ur+ sin θ#” uθ)
1 - Déterminer l’intensité idu courant induit dans la spire. En déduire la puissance électrique qu’elle reçoit.
2 - Exprimer le couple magnétique subi par l’aimant
3 - Quel puissance le système mécanique doit-il fournir à l’aimant pour maintenir la vitesse constante ? Conclure :
en quoi a-t-on modélisé un générateur électrique rudimentaire ?
Éléments de correction de l’exercice 1 :
1Comme la distance entre la spire et l’aimant est bien plus grande que le rayon de la spire, on peut considérer le
champ magnétique généré par l’aimant uniforme et vaut
#”
Ba(θ) = µ0m0
4π x3(2 cos θ#”
ur+ sin θ#” uθ)
en étant très vigilant à la définition de l’angle θservant à repérer la position de la spire, voir figure 1.
x
#”
m0
axe de
référence
θ < 0
#”
ur
#”
uθ
Figure 1 –Orientation relative de la spire par rapport à l’aimant. Comme dans l’expression du champ magnétique
donné par l’énoncé, les coordonnées utilisées sont les coordonnées polaires de centre Oet d’axe l’axe de l’aimant.
Compte tenu de l’orientation de la spire, spécifiée sur le schéma, le flux du champ magnétique au travers de la spire
vaut
φ=S#” Ba·#” ur=πa2×µ0m0
4π x3×2 cos θ=µ0m0a2 2x3cos θ
et on en déduit la force électromotrice induite dans la spire
e=−dφ
dt=−µ0m0a2 2x3−˙
θsin θ
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Colles semaine 12, sujet B : Induction et ferromagnétisme D’Arsonval, PSI?2016-2017
Si l’aimant tourne à vitesse angulaire ωconstante autour de l’axe z, alors compte tenu du schéma on a θ=−ωt (en
supposant θ= 0 àt= 0), donc ˙ θ=−ω, et alors
e= +µ0m0a2
2x3ωsin ωt
Faites très attention aux multiples signes et compensations de signe ! Et vérifiez qualitativement le signe
final : pour t= 0 l’aimant est dans l’axe de la spire, donc à t&0il s’en éloigne, donc le flux au travers
de la spire diminue, donc d’après la loi de Faraday e > 0. Ouf, c’est ce qu’on vient de trouver.
Le courant induit se détermine alors directement à partir de la loi d’Ohm, i=e/R, d’où
i=µ0m0a2ω
2x3Rsin ωt .
La spire étant simplement résistive, elle ne peut stocker d’énergie, et toute la puissance qu’elle reçoit est dissipée par
effet Joule. Ainsi, la puissance électrique reçue par la spire Pe=Ri2vaut
Pe=1
Rµ0m0a2ω 2x32
sin2ωt .
2Le champ créé par l’aimant n’exerce pas de couple sur l’aimant lui-même. On en déduit que le champ à l’origine
de ce couple est donc le champ magnétique induit par la spire. L’énoncé donne le champ créé par un moment
magnétique : il faut donc calculer le moment magnétique de la spire pour en déduire le champ qu’elle crée, en étant
particulièrement vigilant au repérage. Compte tenu de l’orientation du courant sur la figure 1, le moment magnétique
de la spire vaut
#”
msp =i πa2#” ux=π µ0m0a4ω
2x3Rsin ωt #”
ux
En coordonnées polaires d’axe #” uxet d’origine le centre de la spire (et donc pas O!), l’aimant a pour coordonnées
r=xet θ=π, si bien que #” ur=−#” uxet #” uθ=−#” uy. On en déduit que le champ magnétique créé en Oau niveau de
l’aimant par la spire vaut
#”
Bsp(O) = µ0msp
4π x3[2 cos π(−#”
ux) + sin π(−#” uy)]
soit
#”
Bsp(O) = µ0
4π x3×π µ0m0a4ω 2x3Rsin ωt ×2#”
ux
et ainsi
#”
Bsp(O) = µ2
0m0a4ω
4x6Rsin ωt #”
ux
Encore une fois, pensez à vérifier qualitativement les signes ! En connaissant le sens du courant induit
d’après la question précédente (i > 0pour t&0), on déduit de la règle de la main droite que #” Bsp doit
être porté par +#” ux. Compte tenu du fait que les calculs ne sont pas très sympathiques, ces vérifications
qualitatives font vraiment partie des compétences testées à l’oral du concours.
Finalement, le couple magnétique exercé par la spire sur l’aimant vaut
#”
Γ = #” m0∧
#”
Bsp(O)
Le plus sûr pour calculer le produit vectoriel est de décomposer les coordonnées de #” m0sur la base #” ux,#” uy. Comme
l’aimant tourne à vitesse angulaire ω(supposée) positive autour de #” uz, alors
#”
Γ = m0[cos(ωt)#” ux+ sin(ωt)#” uy]∧µ2
0m0a4ω
4x6Rsin ωt #”
ux
ce qui conduit à
#”
Γ = −µ2
0m2 0a4ω
4x6Rsin2ωt #”
uz
On vérifie encore et toujours le signe : le couple est porté par −#” uz, c’est-à-dire qu’il résiste au mouvement
de l’aimant. D’après la loi de Lenz, c’est complètement normal, puisque ce couple est d’origine inductive
... et que la cause de ce phénomène d’induction est le mouvement de l’aimant.
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Colles semaine 12, sujet B : Induction et ferromagnétisme D’Arsonval, PSI?2016-2017
3Pour maintenir la vitesse de rotation de l’aimant constante, le système mécanique doit fournir à l’aimant sous
forme d’un couple une puissance exactement opposée à la puissance dissipée par #” Γ. La puissance mécanique à fournir
vaut donc Pm=−Γω, d’où
Pm=µ2
0m2 0a4ω2
4x6Rsin2ωt .
On remarque qu’on a Pm=Pe, c’est-à-dire que toute la puissance mécanique fournie à l’aimant est transmise
à la spire sous forme de puissance électrique : on a bien modélisé un générateur électrique simplifié.
5/9 Étienne Thibierge, 7 décembre 2016, www.etienne-thibierge.fr