7 Sur la figure ci-contre, on veut construire un point M appartenant à

S
SÉRIE ÉRIE 1 : 1 : C CERCLES ERCLES
7 Sur la figure ci-contre, on veut construire un
point M appartenant à la droite (d) tel que le
triangle AMB soit rectangle en M.
a. Complète et code ce schéma à main levée.
b. Analyse de la figure à construire :
AMB est rectangle en M donc le triangle AMB est
inscrit dans le cercle de diamètre [AB] donc M
appartient au cercle de diamètre [AB].
Ainsi, M est un point d'intersection de ce cercle et
de la droite (d).
c. Complète la construction et place le point M.
Combien de choix as-tu pour placer le point M ?
Il y a deux choix possibles pour placer le point M.
d. Étant donnés une droite (d) et deux points A et
B n'appartenant pas à cette droite, peut-on
toujours construire un point M appartenant à (d)
tel que AMB soit rectangle en M ? Réfléchis à
toutes les situations possibles en t'aidant de
schémas.
On ne peut pas construire le point M lorsque le
cercle de diamètre [AB] ne coupe pas la droite (d).
8 [HF] est un diamètre du cercle.
U appartient à ce cercle et est tel
que
UHF
= 72°.
On veut calculer la mesure de
UFH
.
a. Quelle est la nature du triangle
UHF ? Justifie.
Je sais que [HF] est un diamètre du cercle
circonscrit au triangle HFU
Or si un triangle est inscrit dans un cercle de
diamètre l'un de ses côtés alors ce triangle est
rectangle et admet ce diamètre pour hypoténuse.
Donc le triangle UHF est rectangle en U.
b. Déduis-en la mesure de
UFH
. Justifie.
Les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont
complémentaires,
donc
UFH
= 90° –
UHF
= 90° – 72°
donc
UFH
= 18°.
9 Triangles rectangles ?
a. Ci-contre, O est le centre du
cercle. Les points I, J et K sont sur
le cercle.
Le triangle IJK est-il rectangle ?
Si IJK était rectangle alors son cercle circonscrit
aurait pour diamètre son hypoténuse : le centre
de son cercle appartiendrait à l'un de ses côtés.
Or O est le centre du cercle circonscrit au triangle
IJK, mais O n'appartient à aucun des côtés du
triangle donc IJK n'est pas rectangle
b. Ci-contre, [YS] est un diamètre
du cercle et YS > NS > YN.
Explique pourquoi le triangle NYS
ne peut pas être rectangle.
Si NYS était rectangle, alors son
cercle circonscrit aurait pour diamètre son
hypoténuse soit [YS] – puisque [YS] est le plus
grand côté – et le point N se trouverait sur ce
cercle. Mais N n'appartient pas à ce cercle.
Donc le triangle NYS n'est pas rectangle.
TRIANGLE RECTANGLE : CHAPITRE G1
U
H
F
O
I J
K
A
B
(d)
M1
M2
AB
(d)
M
A
B
(d) N
SY