SÉRIE 1 : CERCLES 7 Sur la figure ci-contre, on veut construire un point M appartenant à la droite (d) tel que le triangle AMB soit rectangle en M. a. Complète et code ce schéma à main levée. 8 [HF] est un diamètre du cercle. U appartient à ce cercle et est tel que UHF = 72°. U On veut calculer la mesure de UFH . H a. Quelle est la nature du triangle UHF ? Justifie. M (d) B A F Je sais que [HF] est un diamètre du cercle b. Analyse de la figure à construire : circonscrit au triangle HFU AMB est rectangle en M donc le triangle AMB est Or si un triangle est inscrit dans un cercle de inscrit dans le cercle de diamètre [AB] donc M diamètre l'un de ses côtés alors ce triangle est appartient au cercle de diamètre [AB]. rectangle et admet ce diamètre pour hypoténuse. Ainsi, M est un point d'intersection de ce cercle et Donc le triangle UHF est rectangle en U. de la droite (d). b. Déduis-en la mesure de UFH . Justifie. c. Complète la construction et place le point M. (d) M2 M1 Les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires, donc UFH = 90° – UHF = 90° – 72° A donc UFH = 18°. B 9 Triangles rectangles ? Combien de choix as-tu pour placer le point M ? a. Ci-contre, O est le centre du I cercle. Les points I, J et K sont sur le cercle. Le triangle IJK est-il rectangle ? Il y a deux choix possibles pour placer le point M. Si IJK était rectangle alors son cercle circonscrit d. Étant donnés une droite (d) et deux points A et B n'appartenant pas à cette droite, peut-on toujours construire un point M appartenant à (d) tel que AMB soit rectangle en M ? Réfléchis à toutes les situations possibles en t'aidant de schémas. J O K aurait pour diamètre son hypoténuse : le centre de son cercle appartiendrait à l'un de ses côtés. Or O est le centre du cercle circonscrit au triangle IJK, mais O n'appartient à aucun des côtés du triangle donc IJK n'est pas rectangle (d) A B On ne peut pas construire le point M lorsque le cercle de diamètre [AB] ne coupe pas la droite (d). b. Ci-contre, [YS] est un diamètre N du cercle et YS > NS > YN. Explique pourquoi le triangle NYS ne peut pas être rectangle. Y S Si NYS était rectangle, alors son cercle circonscrit aurait pour diamètre son hypoténuse soit [YS] – puisque [YS] est le plus grand côté – et le point N se trouverait sur ce cercle. Mais N n'appartient pas à ce cercle. Donc le triangle NYS n'est pas rectangle. TRIANGLE RECTANGLE : CHAPITRE G1