Autour de la conjecture des idempotents

Mi 3
Autour de la conjecture des
idempotents
THÈSE
présentée à la faculté des sciences,
pour obtenir le grade de docteur es sciences,
par
Cédric Béguin
Institut de mathématiques
Rue Émile-Argand 13
2007 Neuchâtel (Suisse)

IMPRIMATUR POUR LA THÈSE
Autour de la conjecture des idempotents
de M. Cédric Béguin
UNIVERSITÉ DE NEUCHÂTEL
FACULTÉ DES SCIENCES
La Faculté des sciences de l'Université de
Neuchâtel sur le rapport des membres du jury,
M. A. Valette (directeur de thèse), U. Suter,
P. Jolissaint, P. de la Harpe (Genève) et
N. Higson (Uni. de Pennsylvanie USA)
autorise l'impression de la présente thèse.
Neuchâtel, le 27 mai 1999
Le doyen:
F. Stoeckli

«Nitens lux, horrenda procella, tenebris aeternis involuta»
Evariste Galois, 29 mai 1832.

Table des matières
Introduction 9
Historique de la conjecture des idempotents 9
Description du travail 11
Remerciements 13
1 Quelques rappels théoriques 15
Introduction 15
1.1 C*-algèbres de groupes 16
1.2 Idempotents et K-théorie des C*-algèbres 18
1.3 Conjecture des idempotents et conjecture de Baum-Connes . . 22
1.4 Groupes à un relateur 28
2 Une application de la conjecture des idempotents en analyse
harmonique 33
Introduction 33
2.1 Du spectre de la marche aléatoire sur H(TL) à l'opérateur de
Harper 37
2.2 Validité de la borne supérieure sur || Hg || 42
2.3 Puissances de Hg 47
5

6 TABLE DES MATIÈRES
3 K-théorie de la C*-algèbre de certains produits semi-directs
de groupes de Lie 55
Introduction 55
3.1 Théorie de Mackey et projections 56
3.2 La composante connexe du groupe des affinités de IR 58
3.3 Le groupe des affinités de R. 61
3.4 Une remarque sur un théorème de Baum et Connes 64
4 La conjecture de Baum-Connes pour les groupes à un rela-
teur 67
Introduction 67
4.1 Calcul de la K-théorie : Preuve de 4.0.1 70
4.1.1 Résultats préliminaires 70
4.1.2 Induction 75
4.1.3 Remarques et corollaire 81
4.2 Conjecture de Baum-Connes : Preuve de 4.0.2 82
4.2.1 Cas particulier 82
4.2.2 Induction 82
4.3 K-homologie : théorème 4.0.2 dans le cas sans torsion 83
4.4 Remarques finales 87
5 Formes faibles de moyennabilité pour les groupes à un rela-
teur 91
Introduction 91
5.1 Propriété de Haagerup 93