probabilités conditionnelles

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CHAPITRE 1
PROBABILITÉS
CONDITIONNELLES
I) Notions d’évènements et de probabilités (rappels )
1- Définitions
L’expérience aléatoire considérée dans cette partie est le lancé d’un dé équilibré.
- Une issue est un résultat possible de l’expérience aléatoire :
Exemple : Obtenir 5 est une issue
- L’univers Ωest constitué de toutes les issues possibles :
Exemple : Dans notre cas on a : Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
- Un évènement est une partie de l’univers
Exemple : Obtenir un nombre impair est un évènement formé par : {1;3;5}
- La Probabilité d’une issue est un nombre réel de l’intervalle [0;1]associé à l’issue
Exemple On a une chance sur six d’obtenir le nombre 5 lors de lancé d’un dé équilibré.
La probabilité d’obtenir 5 est 1
6
Définition
2- Probabilité d’un évènement
-La probabilité d’un évènement est la somme de toutes les probabilités associées aux issues qui le
réalisent.
Exemple :
Soit l’évènement A « Obtenir un nombre impair».
Cet évènement est constitué des issues : {1; 3; 5}.
La probabilité de l’évènement A est :
P(A) = 1
6+1 6+1 6=3 6=1 2
-On parle d’ équiprobabilité lorsque toutes les isuues de Ωont la même probabilité
Propriété
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A rendre le 18 Octobre 2013 Droite et milieu 4ème 2et 4
3- Opérations sur les évènements
- l’évènement contraire d’un évènement A est constitué de toutes les issues qui ne réalisent pas
A . on le note A
Exemple : l’évènement contraire de A« obtenir un nombre impair » est l’évènement A« Ne pas
obtenir un nombre impair » . Il est constitué des issues : {2;4;6}
- l’intersection des évènements A et B notée ATBest l’évènement formé des issues qui réalisent
à la fois A et B
Exemple
l’évènement qui réalise à la fois C : « un nombre impair » et D : « plus grand que 4 » est : CTD= 5
- l’union des évènements A et B notée ASBest l’évènement formé des issues qui réalisent A ou
B
Exemple
l’évènement qui réalise E : « un nombre impair » ou F : « un nombre pair » est : ESF=
{1; 2; 3; 4; 5; 6}
Définition
4- Quelques formules à retenir
-P(Ω) = 1 et P(φ)=0
-Dans une situation d’équiprobabilité, pour tout évènement A on a :
P(A) = nombre d0issues de A
nombre total d0issues Ω
-PA= 1 −P(A)
-P(ATB) = P(A) + P(B)−P(ATB)
Définition
II) Probabilité conditionnelle
1- Exemple d’introduction
Dans un lycée à bobigny, une étude sur 200 élèves, montre que 120 possèdent un smartphone et 24
ont un ordinateur et 10 ont un ordinateur et un smartphone.
Soit S l’évènement “ La personne possède un smartphone “
et O l’évènement “ La personne possède un ordinateur “
- Calculer p(S),p(O),p(STO),p(STO)
p(S)
- Parmi les personnes possédant un smartphone, quelle est probabilité qu’elles possèdent un ordina-
teur ?
Comparer ce dernier résultat à p(STO)
p(S)
Exemple
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2- Définition d’une probabilité conditionnelle
On considère deux évènements Aet Btel que P(A)6=0
La probabilité conditionnelle de B sachant A c’est à dire la probabilité de B sachant que A
est réalisé est le nombre noté PA(B)défini par : PA(B) = P(ATB)
P(A)
Définition
C et D désignent deux évènements de l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire tels que :
P(A)=0,75 ,P(B)=0,45 ,P(ATB)=0,3
Calculer PA(B)et PB(A)
Exemple
2- Propriétés
Soit A et B deux évènements tels que P(A)6= 0 On a :
-0≤PA(B)≤1
-PA(B) + PA(B) = 1
Dans une situation d’équiprobabilité on a :
PA(B) = nombre d0élements de B TA
nombre d0élements deA
-P(ATB) = P(A)×PA(B)avec P(A)6= 0
-P(ATB) = P(B)×PB(A)avec P(B)6= 0 .
Propriété
3- Utilisation d’un arbre pondéré
On peut construire un arbre pour obtenir le résultat de la prbobabilité de l’évènement ATBen
utilisant la formule :
P(ATB) = P(A)×PA(B)
La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités des branches qui le composent.
Définition
Donner la signification des valeurs 0,8 ; 0,7 ; 0,5 , Compléter cet arbre puis trouver la probabilité
de ATB
Exemple
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3- Formule des probabilités totales
Soit A et B deux évènements tel que P(A)6= 0 on a :
P(B)= P(ATB) + P(ATB)
Si A1,A2,A3réalisent une partition de ωalors :
P(B) = P(A1TB) + P(A2TB) + P(A3TB) = P(A1)×PA1(B) + P(A2)×PA2(B) + P(A3)
Définition
Exercice page 157 bordas 2013
Exemple
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