Géométrie Projective I. La droite projective

Préparation à l’agrégation externe de mathématiques
Université de Nice-Sophia-Antipolis
Année 2005-2006
Géométrie Projective
I. La droite projective
1. La droite projective ensembliste P1 (K).
Soit K un corps commutatif (non réduit à deux éléments, et le plus souvent égal à R ou C).
1.1. Définition de P1 (K).
Définition. L’ensemble P1 (K) = K ∪ {∞}, obtenu en ajoutant à K un élément ∞ est appelé la
droite projective ensembliste ou standard sur K.
Remarque.
En tant qu’ensemble, P1 (K) ne dépend pas du choix de l’élément ∞, puisque
K ∪ {∞} et K ∪ {∞0 } sont en bijection.
1.2. Homographies. Groupe projectif GP1 (K) de K.
Soient a, b, c, d ∈ K, c 6= 0, ad − bc 6= 0 et H la K-homographie :
H:
K \ {−d/c} → K \ {a/c}
ax + b
x 7→
cx + d
L’application H est une bijection. On peut prolonger en une application bijective P(H) : P 1 (K) →
P1 (K) en posant P(H)(−d/c) = ∞ et P(H)(∞) = a/c.
Si c = 0, H est affine et on peut poser P(H)(∞) = ∞, ce qui définit encore un prolongement
bijectif de H sur P1 (K), à valeurs dans P1 (K).
Définition.
Pour toute K-homographie H, l’application bijective P(H) : P 1 (K) → P1 (K)
définie ci-dessus est appelée homographie de la droite projective P 1 (K).
Exercice 1. Montrer que P1 (H) envoie ∞ sur ∞ ssi H est affine.
Remarque. L’exercice 1 montre comment les homographies de la droite projective sont les
équivalents des applications affines sur K : les homographies qui fixent ∞ ont des restrictions à
K(,→ P1 (K)) qui sont affines.
a b
Soit Gl2 (K) le groupe des matrices inversibles 2 × 2 sur K. Pour M =
∈ Gl2 (K), on
c d
note P1 (M ) l’homographie P1 (H), où H est la K-homographie définie ci-dessus. On vérifie facilement
que :
• L’application Gl2 (K) 3 M → P1 (M ) est surjective,
• Pour tout λ ∈ K∗ , P1 (λI2 ) = IdP1 (K) , P1 (M N ) = P1 (M ) ◦ P1 (N ) et P1 (M )−1 = P1 (M −1 ).
On en déduit que les homographies de la droite projective P 1 (K) forment un groupe, appelé le groupe
projectif de K. On le note GP1 (K). L’application Gl2 (K) 3 M 7→ P1 (M ) ∈ GP1 (K) est un morphisme
de groupes, de noyau K∗ · I2 , de sorte que GP1 (K) ' Gl2 (K)/K∗ · I2 .
2. La droite projective ensembliste P1 (D) d’une droite affine D.
Soit D une droite affine sur K.
Définition. On note P1 (D) l’ensemble D ∪ {∞D }. On l’appelle la droite projective ensembliste,
ou standard ou complétée de D.
Définition. Si D et D 0 sont deux droites affines sur K, on appelle homographie toute application
h : P1 (D) → P1 (D0 ) pour lesquelles existent des repères affines sur φ : D → K sur D et ψ : D 0 → K
sur D0 tels ψ ◦ h|D ◦ φ−1 : K → K soit une K homographie.
1
Exercice 2. Montrer que la définition ci-dessus ne dépend pas du choix des repères φ et ψ (Ind.
Un changement de repères affine est affine).
Montrer que l’ensemble des homographies de P1 (K) sur P1 (K) est un groupe, noté GP1 (D)
isomorphe à GP1 (K).
Exercice 3. Une homographie h : P 1 (D) → P1 (D0 ) envoie ∞D sur ∞D0 ssi h|D est affine (Ind.
ψ ◦ h|D ◦ φ−1 : K → K est une homographie qui est partout définie, donc une application affine).
L’exercice 3 montre que les homographies généralisent aux droites projectives les applications
affines, en ce sens que les homographies qui “fixent” ∞ (ie qui envoient ∞ D sur ∞D0 ), donnent par
restriction des applications affines.
3. Birapport.
Définition. Soient M, N, A, B quatre points d’une droite projective P 1 (D). On suppose D
munie d’une repère affine et on note x, y, s, t les coordonnées de M, N, A, B dans ce repère, lorsque
nos quatre points sont 6= ∞D . On définit le birapport [M, N, A, B] ∈ P1 (K) de M, N, A, B par :
x−s y−s
MA NA
• [M, N, A, B] =
:
=
:
, si M, N, A, B sont distincts dans D.
x−t y−t
MB NB
y−s
x−s
y−t
• [∞D , N, A, B] =
, [M, ∞D , A, B] =
, [M, N, ∞D , B] =
, [M, N, A, ∞D ] =
y−t
x−t
x−t
x−s
, lorsque les dénominateurs sont non nuls.
y−s
• [M, M, A, B] = [M, N, A, A] = 1, [A, N, A, B] = [M, N, A, N ] = 0, [M, A, A, B] =
[B, N, A, B] = ∞.
Remarque. La définition ci-dessus est indépendante du choix du repère affine sur D.
MA NA
x−s y−s
On peut définir le birapport [M, N, A, B] par
:
, en convenant que si
:
=
x−t y−t
MB NB
un des points est ∞D , son abscisse est le symbole ∞ et que 1/0 = ∞, (∞ − a)/(∞ − b) = 1, pour
tout a, b ∈ K.
Exercice 4. Montrer que [M, N, A, B] = [M, N, B, A]−1 = [A, B, M, N ].
Fixons maintenant N, A, B trois points distincts sur P 1 (D). L’application h : P1 (D) → P1 (K)
définie par h(M ) = [M, N, A, B] est une homographie, puisque l’abscisse de M (resp. de N, A, B)
dans un repère de D étant x (resp. y, s, t) (ou le symbole ∞ si M = ∞ D (resp. si N, A, B = ∞)),
x−s y−s
:
.
h(M ) est
x−t y−t
On voit de plus que toute homographie s’obtient comme un birapport M 7→ [M, N, A, B], pour
un choix convenable de N, A, B.
Exercice 5. Montrer que [M, N, A, B] = [M 0 , N, B, A] =⇒ M = M 0 .
Théorème 1. — Soient D et D 0 deux droites affines.
(i) Soient N, A, B trois points distincts sur P1 (D). L’application h : P1 (D) → P1 (K) définie par
h(M ) = [M, N, A, B] est l’unique homographie qui envoie (N, A, B) sur (1, 0, ∞).
(ii) Il existe une unique homographie qui envoie un triplet donné de P 1 (D) sur un triplet donné
de P1 (D0 ).
(iii) Deux quadruplets de P1 (D) et P1 (D0 ) respectivement se correspondent par une homographie
ssi ils ont le même birapport.
Preuve. (i) Soient h0 une autre homographie ayant cette propriété. Alors h 0 ◦ h−1 est une
homographie de P1 (K) qui fixe ∞ (il s’agit d’une application affine), et qui possède deux points fixes
(1 et 0). Il s’ensuit que h0 ◦ h−1 est l’identité de P1 (K).
(ii) Soit h : P1 (D) → P1 (K) l’homographie qui envoie le triplet (N, A, B) sur (1, 0, ∞),
h0 : P1 (D0 ) → P1 (K) l’homographie qui envoie le triplet (N 0 , A0 , B 0 ) sur (1, 0, ∞). L’homographie
h0−1 ◦ h envoie alors le le triplet (N, A, B) sur le triplet (N 0 , A0 , B 0 ). L’unicité résulte aussi de (i).
(iii) Par (ii), soit H l’homographie qui envoie le triplet (N, A, B) sur le triplet (N 0 , A0 , B 0 ). Avec
les notations qui précèdent, on a H = h0−1 ◦ h où h(M ) = [M, N, A, B], h0 (M 0 ) = [M 0 , N 0 , A0 , B 0 ].
On a ainsi H(M ) = M 0 ssi h(M ) = h0 (M 0 ) ssi [M, N, A, B] = [M 0 , N 0 , A0 , B 0 ].
2
2
On a vu qu’une homographie h : P1 (D) → P1 (K) est un birapport et qu’une homographie
conserve les birapports. On peut de plus tester une homographie par le birapport de ses images :
Théorème 2. (caractérisation des homographies via le birapport) — Une bijection f
de P1 (D) sur P1 (D0 ) est une homographie ssi elle conserve le birapport.
Preuve. Montrons qu’une homographie de P1 (D) sur P1 (D0 ) conserve le birapport. Ceci est
prouvé dans le Théorème 1.(iii). Mais on peut aussi remarquer que l’abscisse de f (M ) dans le repère
image par f d’un repère R de D est l’abscisse de M dans R (Il suffit de prouver cela pour les bijections
de P1 (K)).
Montrons maintenant que si f est une bijection de P 1 (D) sur P1 (D0 ) qui conserve le birapport,
f est une homographie. Soient N, A, B trois points distincts de D et N 0 , A0 , B 0 leurs images par f .
D’après le Théorème 1.(ii), il existe une unique homographie h qui envoie (N, A, B) sur (N 0 , A0 , B 0 ).
Comme h et f conservent le birapport, on a : [M, N, A, B] = [h(M ), N, A, B] = [f (M ), N, A, B], ce
qui impose f (M ) = h(M ).
2
4. Dictionnaire : Droites Affines, Applications Affines, Coordonnées / Droites
Projectives, Homographies, Birapports.
• Deux points O, A sur une droite affine D définissent une bijection affine de D sur K, la
OM
coordonnée de M dans le repère (O, A), par M 7→
.
OA
• Trois points N, A, B sur P1 (D) définissent une homographie de P1 (D) sur P1 (K) par M 7→
[M, N, A, B]. Lorsque B = ∞D , on obtient la coordonnée de M ∈ D dans (N, A), avec ∞ D de
coordonnée ∞. On peut donc dire que [M, N, A, B] ∈ P1 (D) est la coordonnée de M dans le
repère projectif (N, A, B). De plus le changeur de coordonnées de deux repères projectif (N, A, B) et
(N 0 , A0 , B 0 ) est une homographie de P1 (D).
5. La droite projective comme l’ensemble des droites vectorielles P(K2 ) de K2 .
Soit D une droite affine et P1 (D) la droite projective correspondante. Soit h : P1 (D) → P1 (K)
une homographie. On définit φh : K2 \{(0, 0)} → P1 (D) par : φh (x, y) = h−1 (x/y), avec la convention
habituelle x/0 = ∞. L’application φh est constante sur les droites vectorielles (épointées) de K2 et
définit une bijection de l’ensemble des droites vectorielles P(K 2 ) de K2 sur P1 (D).
Définition. On note l’ensemble des droites vectorielles de K2 par P(K2 ), on l’appelle l’espace
projectif de l’espace vectoriel K2 , P(K2 ) et P1 (K) sont en bijection. On dit que (x, y) ∈ K2 \ {(0, 0)}
est un système de coordonnées homogènes de h−1 (x/y) ∈ P1 (K).
5.1. Les homographies dans l’identification P(K2 ) ' P1 (D).
Soient P1 (D) et P1 (D0 ) deux droites projectives munies de repères projectifs, on note t, t 0 ∈ P1 (K)
respectivement les coordonnées dans ces repères. Si H est une homographie de P 1 (D) sur P1 (D0 ) qui
at + b
associe au point de coordonnée t le point de coordonnée t 0 , on a : t0 =
pour a, b, c, d ∈ K tels
ct + d
que ad − bc 6= 0.
Dans l’identification P(K2 ) ' P1 (D) que nous venons de mettre en évidence, nous avons t = x/y
et t0 = x0 /y 0 , ce qui donne :
(x0 , y 0 ) = (ax + by, cx + dy)
On a donc prouvé :
Une homographie H : P1 (D) → P1 (D0 ) qui s’ecrit dans un choix de
at + b
repères projectifs P1 (K) 3 t 7→
∈ P1 (K), correspond dans l’identification P(K2 ) ' P1 (D) à
ct + d
l’application de P(K2 ) dans P(K2 ) induite par l’isomorphisme linéaire (x, y) 7→ (ax + by, cx + dy) en
les coordonnées homogènes.
Proposition 3. —
5.2. Interprétation géométrique des coordonnées homogènes.
Dans K2 , soit la ∆ droite affine d’équation y = 1 et (x, y) ∈ K2 \ {(0, 0)}. La droite K · (x, y), de
pente x/y, qui correspond au point M (x/y) de P1 (D) de coordonnée projective x/y coupe ∆ en un
point unique (x/y, 1), que l’on identifie à K · (x, y) et au point M (x/y). Dans cette représentation, la
3
droite de pente x/∞ = 0, ie la droite Ox : {y = 0} correspont à M (∞ D ). On a ainsi P1 (D) = ∆∪{Ox}
et le point (x/y, 1) de ∆ est la droite de pente x/y.
∆
1
M(x/y)
∆
x/y
Ox
x/y
5.3. Le birapport dans l’identification P(K2 ) ' P1 (D).
Soient M, N, A, B ∈ P1 (D) distincts et P1 (D) étant munie d’un repère projectif, soient
(m), (n), (a), (b) les droites de K2 qui leur correspondent, x, y, s, t les coordonnées de M, N, A, B
x−s
y−s
dans notre repère projectif. On a alors : [M, N, A, B] =
:
. Si M, N, A, B désigne
x−t
y−t
encore, par abus de notation, les points de la droite ∆ en lesquels (m), (n), (a), (b) coupe ∆, on a
M (x, 1), N (y, 1), A(s, 1), B(t, 1) (en supposant qu’aucun des points M, N, A, B est ∞) et donc :
[M, N, A, B] =
~ , OA)
~
~ , OA)
~
det(OM
x−s y−s
det(ON
:
=
:
~
~
~
~
x−t y−t
det(OM , OB) det(ON , OB)
En particulier on voit, puisque le déterminant est bilinéaire, que [M, N, A, B] ne dépend pas des
points M, N, A, B choisis respectivement sur (m), (n), (a), (b). Il s’ensuit que [M, N, A, B] est attaché
seulement aux droites (m), (n), (a), (b) (lorsque celles-ci sont distinctes et concourantes en un point
O) et peut se calculer en coupant (m), (n), (a), (b) respectivement en M 0 , N 0 , A0 , B 0 , par une droite
quelconque L ne contenant pas O, de la façon suivante : on munit L d’un repère quelconque et on
calcule le birapport des points M 0 , N 0 , A0 , B 0 (dans ce repère).
Remarque. Le cas où t = ∞ se traite à part et ne contredit pas ce qui précède. On obtient en
~ , OA)
~
~ , OA)
~
det(ON
det(OM
MA
effet [M, N, A, B(∞)] =
:
=
, où ~e est un vecteur directeur de Ox.
~
~
NA
det(OM , ~e)
det(ON , ~e)
Par conséquent pour calculer le birapport de quatre droites distinctes concourantes, ou de quatre
points de la droite projective, on peut se contenter de couper trois des quatres droites en M, N, A
MA
par une droite parallèle à la quatrième, et calculer
.
NA
(m)
(n)
(m)
M
N
(a)
(b)
B’
A
B
N’
(n)
(a)
L
M
N
A
∆
A’
M’
O
O
(b)
5.3. Sensibilité de l’oeil au birapport.
Soient 3 bornes M, N, A, B situées sur une route rectiligne D et observées depuis un point O.
L’observateur humain est capable de reconnaı̂tre que les bornes ont les mêmes distances relatives sur
4
D que celles des bornes observées depuis un autre point O 0 (par exemples qu’elles sont équidistantes,
alors que les distances observées ne semblent pas les mêmes si l’observateur n’est pas sur la médiatrice
de [M A]). Autrement dit l’observateur estime que le birapport des droites (OM ), (ON ), (OA), ∞ D
est le même que celui des droites (O 0 M ), (O 0 N ), (O 0 A), ∞D .
N
M
A
O’
O
6. La droite projective comme compactifié d’Alexandrov de K = R ou C, topologie
de P1 (K) et de P(K2 ).
Dans cette section K = R ou C, on les munit de la topologie induite par une norme. L’ensemble
P1 (K) = K ∪ {∞} est muni d’une topologie de la façon suivante : une base d’ouverts de P 1 (K) est
constituée des ouverts de K et des complémentaires dans P1 (K) des boules fermées de K. L’espace
topologique ainsi obtenu est appelé le compactifié d’Alexandrov de K.
Exercice 6. (i)- Montrer que P1 (K) muni de cette topologie est un espace compact.
(ii)- Montrer qu’une application f : P1 (K) → (E, d) à valeurs dans un espace métrique (E, d)
est continue en ∞ ssi ∀ > 0, ∃A > 0 tel que : kxk > A =⇒ d(f (x), f (∞)) < .
(iii)- Montrer qu’une application f : (E, d) → P 1 (K) est continue en a, f (a) = ∞, ssi
∀B > 0, ∃r > 0 tel que : d(x, a) < r =⇒ kf (∞))k > B.
(iv)- En déduire que les homographies h : P1 (K) → P1 (K) sont des homéomorphismes.
L’exercice 6 justifie la notation du symbole ∞ pour P1 (H) comme dans la section 1.2, puisque
lim H(x) = ∞.
x→−c/d
Théorème 4. — P1 (R) est homéomorphe à S 1 , P1 (C) est homéomorphe à S 2 .
Preuve. • Soit S 1 le cercle unité de R2 , muni de la topologie induite par la topologie standard
de R2 et N = (0, 1) ∈ S 1 . On considère l’application f : P1 (R) → S 1 définie de la façon suivante :
la droite passant par N et coupant Ox ' R en M , coupe S 1 en un unique point P . On pose
f (M ) = P et f (∞) = N . On dit que f est la projection stéréographique de centre P , il s’agit
d’une bijection. On a : f (x) = (2x/(x2 + 1), (x2 − 1)/(x2 + 1)), f (∞) = (0, 1). Ce qui donne :
f −1 (α, β) = ((1 + β)/(1 − β))1/2 , f −1 (N ) = ∞. Ces expressions montrent (cf l’exercice 6) que f et
f −1 sont continues.
• Pour P1 (C) et S 2 , on procède de la même façon, avec la projection stéréographique de S 2 sur
C ' Oxy ⊂ R3 de centre (0, 0, 1).
2
N
N
P
P
Ox
M
M
Oxy
On a vu que P1 (K) s’identifie avec l’ensemble des droites vectorielles P(K 2 ) de K2 . On va munir
P(K ) d’une topologie (la topologie quotient) et montrer que P 1 (K) est homéomorphe à P(K2 ).
2
5
Définition.
Soit T un espace topologique, Q un ensemble et p : T → Q une application
surjective. Alors Q est (en bijection avec) le quotient de T par la relation d’équivalence t ∼ t 0 ssi
p(t) = p(t0 ). On définit une topologie sur Q par U ⊂ Q est un ouvert de Q ssi p −1 (U ) est un ouvert
de T . On appelle cette topologie la topologie quotient de T par p.
Exercice 7. Soient T un espace topologique et p : T → Q une application surjective. On munit
Q de la topologie quotient de T par p.
(i)- Soit A ⊂ T une partie de T . Montrer que si p est ouverte et si p(A) = Q ou p −1 (p(A)) = A
alors la topologie quotient de A par p|A sur p(A) est celle induite par Q sur p(A).
(ii)- Soit S un espace topologique et f : Q → S. Montrer que f est continue ssi f ◦ p : T → S
est continue.
(iii)- On suppose que S est un espace séparé. Montrer que s’il existe A ⊂ T compacte tel que
p(A) = Q, alors si f est bijective et continue, Q est compact et f est un homéomorphisme de Q sur
S.
On rappelle que P(K2 ) est l’ensemble des droites vectorielles de K2 . Soit p : K2 \{(0, 0)} → P(K2 )
la surjection canonique. On munit P(K2 ) de la topologie quotient de K2 \ {(0, 0)} par p. On a alors :
Théorème 5. — P1 (K) est homéomorphe à P(K2 ).
Preuve. Soit f : P(K2 ) → P1 (K), définie par f (M ) = x/y, où (x, y) sont les coordonnées
homogènes de M . Comme f ◦ p est (x, y) 7→ x/y, l’exercice 6 montre que f ◦ p est continue, et
l’exercice 7 montre que f est continue. Soit A = {x ∈ K2 ; kxk = 1}, A est compact et p(A) = P(K2 ).
De plus P1 (K) est séparé car homéomorphe à un espace métrique par le Théorème 3. D’après
l’exercice 7, P(K2 ) est compact et f est un homéomorphisme. 2
La composition des homéomorphismes des Théorèmes 4 et 5 fournit un homéomorphisme
φ : P(R2 ) → S 1 et ψ : P(C2 ) → S 2 . Par exemple :
φ(M ) = u = (sin(2t), cos(2t)), M = R · (cos(t), sin(t)).
M
S1
2t
u
t
Références. Claude Tisseron, Géométrie affines, projectives, euclidiennes. Hermann, 1983.
Jean-Claude Sidler, Géométrie projective : cours, problèmes classiques et exercices résolus.
Interéditions, 1993.
Jean Frenkel, Géométrie pour l’élève-professeur. Hermann, 1973.
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