Problème : Homographies du plan complexe On définit CC = C

Problème : Homographies du plan complexe
On définit b C=C∪ {∞} l’ensemble étant égal au corps des complexes Cauquel on adjoint un point
que l’on note ∞.
On définit, sur b C, les règles de calcul suivantes :
− ∀z∈C, z +∞=∞,
− ∀z∈C?, z × ∞ =∞,
− ∀z∈C?,z
0=∞,
− ∀z∈C?,z
∞= 0.
Pour tout quadruplet v= (a, b, c, d)∈C4, on note δ(v) = ad −bc.
On pose E={v∈C4/ δ(v)6= 0}.
Pour v∈E, on définit l’application
hv:b C−→ b C
z7→ az+b
cz+dsi z∈C\−d c
z7→ ∞ si z=−d
c
z7→ a
csi z=∞.
On appelle homographie du plan complexe toute application de la forme hv, avec v∈E.
L’objectif de ce problème est de prouver diverses propriétés vérifiées par les homographies.
Partie I : Le groupe des homographies
1. Identifier hvpour v= (1,0,0,1) et v= (a, b, 0, d)avec a, d 6= 0.
2. Montrer que
∀u∈E, ∀λ∈C?, hλu =hu.
3. Soient u(a, b, c, d)et v= (a0, b0, c0, d0)deux éléments de E. On pose
u⊗v= (aa0+bc0, ab0+bd0, ca0+dc0, cb0+dd0).
Montrer que u⊗v∈E.
4. Montrer que hu◦hv=hu⊗v.
Remarque : On fera le calcul dans le cas où l’infini n’intervient pas et on pourra admettre le
résultat dans les autres cas.
5. En déduire que huest une permutation de b Cet que h−1
u=hvavec v= (d, −b, −c, a).
6. Montrer que l’ensemble des homographies du plan complexe est un groupe pour la composition.
Partie II : Quelques résultats géométriques à l’aide des nombres complexes
1. Soient ∆une droite de Cne passant pas par 0,ωl’affixe de la projection orthogonale de 0sur
∆et zun complexe.
Montrer que M(z)∈∆si, et seulement si, Re((z−ω)ω) = 0.
2. Soient Γun cercle de C,uet vles affixes de deux points diamétralement opposés de Γet zun
complexe.
Montrer que M(z)∈Γsi, et seulement si, Re((z−u)(z−v)) = 0.
Partie III : Étude d’une homographie particulière
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On appelle droite de b C, tout sous-ensemble de b Cde la forme ∆∪ {∞} où ∆est une droite de C. On
note alors b ∆une telle droite.
On appelle cercle de b Ctoute partie de b Cqui est soit un cercle de C, soit une droite de b C.
Dans cette partie, on pose h=hvpour v= (0,1,1,0).
1. Expliciter h. Que vaut h−1?
2. Soit b ∆une droite de b Cpassant par 0. Montrer que h(b ∆) est une droite de b Cpassant par 0.
3. Soit Γun cercle de Cpassant par 0. Montrer que h(Γ) est une droite de b C.
4. Soit b ∆une droite de b Cne passant par 0. Montrer que h(b ∆) est un cercle de Cqui passe par 0.
5. Soit Γun cercle de Cne passant pas par 0. Montrer que h(Γ) est un cercle de C.
6. Quel résultat venez-vous de démontrer ?
Partie IV : Cercles de b Cet homographies
On dit qu’une homographie hde b Cest une similitude directe de b Csi h(∞) = ∞et si h|Cest une
similitude directe de C.
1. Expliquer pourquoi le résultat de la partie précédente se généralise aux similitudes directes de
b
C.
2. Montrer qu’une homographie quelconque hde b Cqui n’est pas une similitude directe s’écrit
comme la composée de deux similitudes directes de b Cet de l’homographie h(0,1,1,0).
3. Généraliser le résultat de la partie précédente à une homographie quelconque.
* * * FIN DU SUJET * * *
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