Problème : Homographies du plan complexe b = C ∪ {∞} l’ensemble étant égal au corps des complexes C auquel on adjoint un point On définit C que l’on note ∞. b les règles de calcul suivantes : On définit, sur C, − − − − ∀z ∀z ∀z ∀z ∈ C, z + ∞ = ∞, ∈ C? , z × ∞ = ∞, ∈ C? , z0 = ∞, z ∈ C? , ∞ = 0. Pour tout quadruplet v = (a, b, c, d) ∈ C4 , on note δ(v) = ad − bc. On pose E = {v ∈ C4 / δ(v) 6= 0}. Pour v ∈ E, on définit l’application b −→ C b hv : C az+b z 7→ cz+d z 7→ ∞ a z 7→ c si z ∈ C \ − dc si z = − dc si z = ∞. On appelle homographie du plan complexe toute application de la forme hv , avec v ∈ E. L’objectif de ce problème est de prouver diverses propriétés vérifiées par les homographies. Partie I : Le groupe des homographies 1. Identifier hv pour v = (1, 0, 0, 1) et v = (a, b, 0, d) avec a, d 6= 0. 2. Montrer que ∀u ∈ E, ∀λ ∈ C? , hλu = hu . 3. Soient u(a, b, c, d) et v = (a0 , b0 , c0 , d0 ) deux éléments de E. On pose u ⊗ v = (aa0 + bc0 , ab0 + bd0 , ca0 + dc0 , cb0 + dd0 ). Montrer que u ⊗ v ∈ E. 4. Montrer que hu ◦ hv = hu⊗v . Remarque : On fera le calcul dans le cas où l’infini n’intervient pas et on pourra admettre le résultat dans les autres cas. b et que h−1 5. En déduire que hu est une permutation de C u = hv avec v = (d, −b, −c, a). 6. Montrer que l’ensemble des homographies du plan complexe est un groupe pour la composition. Partie II : Quelques résultats géométriques à l’aide des nombres complexes 1. Soient ∆ une droite de C ne passant pas par 0, ω l’affixe de la projection orthogonale de 0 sur ∆ et z un complexe. Montrer que M (z) ∈ ∆ si, et seulement si, Re((z − ω)ω) = 0. 2. Soient Γ un cercle de C, u et v les affixes de deux points diamétralement opposés de Γ et z un complexe. Montrer que M (z) ∈ Γ si, et seulement si, Re((z − u)(z − v)) = 0. Partie III : Étude d’une homographie particulière 1 b tout sous-ensemble de C b de la forme ∆ ∪ {∞} où ∆ est une droite de C. On On appelle droite de C, b note alors ∆ une telle droite. b toute partie de C b qui est soit un cercle de C, soit une droite de C. b On appelle cercle de C Dans cette partie, on pose h = hv pour v = (0, 1, 1, 0). 1. Expliciter h. Que vaut h−1 ? b une droite de C b passant par 0. Montrer que h(∆) b est une droite de C b passant par 0. 2. Soit ∆ b 3. Soit Γ un cercle de C passant par 0. Montrer que h(Γ) est une droite de C. b une droite de C b ne passant par 0. Montrer que h(∆) b est un cercle de C qui passe par 0. 4. Soit ∆ 5. Soit Γ un cercle de C ne passant pas par 0. Montrer que h(Γ) est un cercle de C. 6. Quel résultat venez-vous de démontrer ? b et homographies Partie IV : Cercles de C b est une similitude directe de C b si h(∞) = ∞ et si h|C est une On dit qu’une homographie h de C similitude directe de C. 1. Expliquer pourquoi le résultat de la partie précédente se généralise aux similitudes directes de b C. b qui n’est pas une similitude directe s’écrit 2. Montrer qu’une homographie quelconque h de C b et de l’homographie h(0,1,1,0) . comme la composée de deux similitudes directes de C 3. Généraliser le résultat de la partie précédente à une homographie quelconque. * * * FIN DU SUJET * * * 2