Concepts de base de probabilités - Marie

Concepts de base de probabilités
Chapitre 1
Expérience Aléatoire
Une expérience aléatoire (notée E ) est une expérience dont on
connaît tous les résultats possibles mais dont on ne peut
prévoir le résultat avec certitude. On est dans un univers
incertain ou risqué.
Exemple 1 : Le lancer d'un dé (on sait que le résultat sera un
entier compris entre 1 et 6 mais on ne connaît pas le résultat à
l'avance)
Exemple 2: La réalisation de la conjoncture économique pour
l'année à venir. On sait qu'on sera en situation de croissance
ou de récession avec probabilités respectives p et 1-p.
Chapitre 1
Expérience Aléatoire
L'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire
est appelé l'univers (noté Ω)
Exemple 1 : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Exemple 2: Ω = {”croissance ”, ”recession”}
Pour des expériences aléatoires un peu plus complexes, on
utilisera la notion de produit cartésien:
Lancer deux fois de suite d'un dé. L'espace des possibles
associé à un lancer est L = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. L'expérience
produit un couple de résultats (2 lancers), c'est-à-dire un
élément du produit cartésien L × L . L'univers de l'expérience
est donc {1, 2, 3, 4, 5, 6}2 .
Réalisation de la conjoncture économique pour chacune des
deux années à venir. L'univers de l'expérience est
{”croissance ”, ”recession”} × {”croissance ”, ”recession”} =
{("croissance","recession"), ("recession", "croissance"),
("croissance", "croissance"), ("recession", "recession")}
A noter :
parfois l'univers ne peut pas se formuler sous forme
d'un produit cartésien.
Chapitre 1
Evénements
Soit une expérience aléatoire E et son univers Ω. On appelle
événement un sous-ensemble de de Ω, c'est-à-dire un
sous-ensemble de tous les résultats possibles.
On appelle événement élémentaire (noté ω ) les ensembles
réduits à un seul élément.
Ensemble P(Ω) des parties de Ω: ensemble constitué de tous
les sous-ensembles (parties) de Ω
Soit A un événement de Ω, Soit ω le résultat de l'expérience:
A se réalise ⇐⇒ ω ∈ A
A=Ω se réalise toujours. On l'appelle événement certain.
Dans le cas du lancer de dé, c'est l'événement {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A=∅ ne se réalise jamais. On l'appelle événement impossible.
Chapitre 1
Evénements (2)
Complémentaire de A: événement constitué des résultats
élémentaires de Ω qui ne sont pas dans A. Soit ω le résultat de
l'expérience:
A = {ω ∈ Ω, ω ∈/ A} (A se réalise ssi A ne se réalise pas)
Réunion de A et B: événement constitué des résultats
élémentaires de Ω qui appartiennent à A ou à B (ou aux 2).
Soit ω le résultat de l'expérience:
A ∪ B = {ω ∈ Ω, ω ∈ Aou ω ∈ B }
A ∪ B se réalise ssi A se réalise ou B se réalise: "A ou B"
Intersection de A et B: événement constitué des résultats
élémentaires de Ω qui appartiennent à la fois à A et à B. Soit
ω le résultat de l'expérience:
A ∩ B = {ω ∈ Ω, ω ∈ Aet ω ∈ B }
A ∩ B se réalise ssi A se réalise et B se réalise: "A et B"
Chapitre 1
Evénements (3)
Inclusion: A est inclus dans B ssi tout élément de A appartient
à B:
A ⊂ B ⇐⇒ (ω ∈ A ⇒ ω ∈ B )
Si A est réalisé, alors B est réalisé
Exemple l'événement "Le lancer de dé donne un résultat égal à
2 ou 4" est inclus dans l'évenement "Le lancer de dé donne un
résultat pair"
Disjonction ou incompatibilité: A et B sont disjoints ssi A et B
n'ont pas d'éléments communs:
A et B disjoints ⇐⇒ A ∩ B = ∅
Exemple: les événements "Le lancer de dé donne un résultat
pair" et "Le lancer de dé donne un résultat impair" sont
disjoints
Chapitre 1
Evénements (4)
Soient A1 , A2 , ..., An n évenements. On dit que (A1 , A2 , ..., An )
constitue un système complet d'événements si ils forment une
partition de Ω:
Ils sont deux à deux incompatibles: ∀p 6=Sq , A ∩ A = ∅
Leur réunion est l'événement certain Ω :
=1 A = Ω
p
q
n
p
Chapitre 1
p
Probabilité
Probabilité= fonction permettant de "mesurer" la chance de
réalisation d'un événement de P(Ω)
Une probabilité est une application P: P(Ω) → [0, 1]
satisfaisant les 3 axiomes suivants:
0 ≤ P (A) ≤ 1∀A ∈ P(Ω)
P (Ω)
S =1
P
P ( ∈N A ) = ∈N P (A ), ∀(A ) ∈N ensemble dénombrable
d'événements disjoints
i
i
i
i
i
i
Opérations sur les probabilités:
P (∅) = 0
P (A) = 1 − P (A)
P (A) ≤ P (B ) si A ⊂ B
P (AS ∪ B ) =PP (A) + P (B ) − P (A ∩ B )
P ( A ) ≤ P (A )
0 ≤ P (A ) ≤ 1
i
i
i
Chapitre 1
Probabilité (2)
Axiome des probabilités totales: Soit (Ai )1≤i ≤n un système
complet d'événements:P
∀B ∈ P(Ω), P (B ) =
n P (B ∩ A )
i
i =1
P (B ) = P (B ∩ A) + P (B ∩ A)
Chapitre 1
Construction pratique d'une probabilité
On suppose que l'ensemble des événements possibles est ni
ou dénombrable. On note Ω = {ω1 , ..., ωn , ...} l'ensemble des
résultats possibles
On dénit la probabilité pi de chaque événement élémentaire
ωi . On a alorsP
une suite de nombres (p1 , ..., pn , ...) tels que
0 ≤ pi ≤ 1 et ni=1 pi = 1
La probabilité
P d'un événement quelconque A est donnée par:
P (A) =
ωi ∈A
pi
Chapitre 1
Construction pratique d'une probabilité (2)
Dans le cas particulier d'un univers équiprobable (cas par
exemple du lancer d'un dé non pipé), on a pour tout ωi , pi = p
Lorsque l'univers est ni, on a pour tout ωi , pi = p = card1(Ω) ,
où on note card (Ω), le cardinal de Ω càd le nombre d'éléments
qui le compose (soit 6 dans l'exemple du lancer de dé)
Alors, pour un événement quelconque A, on a:
card (A)
P (A) = card
(Ω)
Soit, intuitivement: P (A) =
Nombre de cas favorables
Nombre de cas possibles
Chapitre 1
Probabilité conditionnelle et indépendance
Probabilité conditionnelle de A sachant B:
P (A/B ) = PP(A(∩BB) ) Proabilité que A se réalise sachant que B
se réalise
Deux événements A et B sont dits indépendants ssi:
P (A ∩ B ) = P (A) × P (B )
P (A/B ) = P (A)
P (B /A) = P (B )
Autrement dit, A est dit indépendant de B si notre pronostic
sur l'événement A n'est aecté par aucune information
concernant B, ni par l'absence d'information concernant B
Formule de Bayes: Soit (Ai )1≤i ≤n un système complet
d'événements,
P (B /A )
P (Aj /B ) = P (PA(B∩)B ) = P P=1(AP (∩BB∩)A ) = P P=1(AP ()×
B /A )×P (A )
j
j
j
n
i
j
n
i
Chapitre 1
i
i
i
Formules de dénombrement
Arrangement: Apn = (n−n!p)! Nombre de manières de choisir p
éléments parmi n quand l'ordre est important
Ex: A23 = 6 car il existe 6 manières de choisir 2 éléments parmi
3 "avec ordre": (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2)
Permutation: Ann = n! Cas particulier d'arrangement: nombre
de manières de choisir n éléments parmi n quand l'ordre
importe
Ex: A33 = 6 car il existe 6 manières de choisir 3 éléments parmi
3 "avec ordre" (ou de classer 3 éléments): (1,2,3), (1,3,2),
(2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1)
Combinaison: Cnp = p!(nn−! p)! Nombre de manières de choisir p
éléments parmi n quand l'ordre n'est pas important
Ex: C32 = 3 car il existe 3 manières de choisir 2 éléments parmi
3 "sans ordre": (1,2), (1,3), (2,3). (2,1), (3,1) et (2,3) sont
respectivement indissociables de (1,2), (1,3) et (2,3).
Il est logique de constater que Apn ≥ Cnp
Chapitre 1