Terminale S Spécialité Cours : PGCD

Terminale S Spécialité
Cours : PGCD - Théorème de Bézout. Théorème de Gauss.
A la fin de ce chapitre vous devez être capable de :
 connaître l’identité et le théorème de Bézout.
 savoir calculer les coefficients de Bézout par « descente »
ou par remontée de l’algorithme d’Euclide.
 connaître le théorème de Gauss et ses conséquences.
 savoir résoudre les équations diophantiennes du type :
ax + by = c.
 savoir obtenir et reconnaître une fraction irréductible (en
particulier lorsque le numérateur et le dénominateur sont
fonctions d’un entier naturel n).
I. Plus grand diviseur commun de deux entiers
a) PGCD de deux entiers naturels
Définition : Soit a et b deux entiers naturels non nuls, avec a ≥ b.
Un entier naturel qui divise à la fois a et b est appelé diviseur commun à a et b.
L’ensemble des diviseurs communs à a et b possède un plus grand élément que l’on nomme le
plus grand diviseur commun de a et b.
On le note PGCD(a ;b).


b) Algorithme d’Euclide
Lemme d’Euclide : Soit a, b, q et r des entiers naturels.
Si a = bq + r alors PGCD(a ;b) = PGCD(b ;r).
Démonstration
 Si d est un diviseur commun à a et b alors il divise aussi a et bq.
Il divise donc aussi r = a – bq
Donc d est un diviseur commun à b et r.
 Si d’ est un diviseur commun à b et r alors il divise aussi bq et r.
Il divise donc aussi a = bq + r
Donc d’ est un diviseur commun à a et b.
Conclusion : L’ensemble des diviseurs communs à a et b et l’ensemble des diviseurs communs à b et r ont
les mêmes éléments et donc le même plus grand élément.
On a donc bien PGCD(a ;b) = PGCD(b ;r).
Propriété : Soit a et b deux entiers naturels non nuls, avec a ≥ b.
On définit la suite (rn) d’entiers naturels de la façon suivante :
 r0 = b ;
 r1 est le reste de la division euclidienne de a par b ;
 Pour n ≥ 1 : si rn = 0, alors rn+1 = 0 ;
Si rn ≠ 0, alors rn+1 est le reste de la division euclidienne de rn-1 par rn
Alors il existe un entier p tel que rp ≠ 0 et, pour tout n > p, rn = 0.
On a alors rp = PGCD(a ;b) ;
Démonstration
La division euclidienne de a par b s’écrit a = bq1 + r1, avec 0 ≤ r1 < b.
 Si b|a, alors r1 = 0 et donc le processus s’arrête avec p = 0.
 Si b ne divise pas a, la division euclidienne de b par r1 s’écrit :
b = r1q2 + r2 avec 0 ≤ r2 < r1
Si r2 = 0, le processus s’arrête avec p = 1.
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Sinon : on suppose que pour tout entier n, rn ≠ 0, alors rn-1 = rnqn+1 + rn+1 avec 0 ≤ rn+1 < rn.
La suite (rn) est donc une suite d’entiers naturels strictement décroissante.
De plus, rn+1 < rn  rn+1  rn – 1 et rn ≤ rn-1 – 1  rn+1 ≤ rn-1 – 2
Par suite, rn+1 ≤ rn-2 – 3
Montrons, par récurrence, que rn+1 ≤ b – (n + 1).
Soit Pn la proposition : pour tout n entier naturel, rn+1 ≤ b – (n + 1)
Initialisation : P0 est vraie car : r1 < r0 ; donc r1  r0 – 1 soit r1  b - 1
Hérédité : Supposons Pn vraie.
rn+2 < rn+1
Donc rn+2 ≤ rn+1 - 1 ≤ r0 – (n + 1) – 1 en utilisant l'hypothèse de récurrence
Donc rn+2 ≤ r0 – (n + 2)
Soit rn+2 ≤ b – (n + 2)
Donc d’après le principe de récurrence, Pn est vraie pour tout n.
On a alors pour n = b, rb+1 ≤ b – (b + 1) ≤ -1, ce qui est absurde car rn  , pour tout n  .
Donc, la supposition rn ≠ 0 pour tout n était absurde.
Nécessairement, au bout d’un nombre fini de divisions (au maximum b), on obtiendra un reste nul.
Soit rp le dernier reste non nul.
Le lemme d’Euclide permet d’écrire :
PGCD(a ;b) = PGCD(b ;r1) = PGCD(r1;r2) = …. = PGCD(rp-2;rp-1) = PGCD(rp-1;rp) = rp
car rp+1 = 0 donc rp divise rp-1.
Finalement, on vient de prouver que l’algorithme d’Euclide permettait de déterminer le PGCD de a et
b : c’est le dernier reste non nul dans la succession des divisions euclidiennes définies par cet
algorithme.
Exemple : calculer le PGCD de 494 et 143.
Étapes
A
b
r
a = bq + r
1
494
143
65

494 = 143  3 + 65 (1ère étape)
2
143
65
13

143 = 65.  2 + 13 (2ème étape)
3
65
13
0

65 = 13  5 + 0 (3ème étape)
Donc PGCD(494 ; 143) = 13
c) PGCD de deux entiers relatifs
Définition : Soit a et b deux entiers relatifs non nuls.
Le plus grand diviseur commun à a et b est l’unique entier naturel δ vérifiant :
δ = PGCD(|a| ;|b|)
Remarque : Le lemme d'Euclide reste vrai pour des entiers relatifs.
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d) Propriétés du PGCD
Propriété :
Les diviseurs communs à deux entiers relatifs non nuls a et b sont les diviseurs du PGCD de a et b.
Démonstration
 Lorsque a  *, b  * et a > b, dans les divisions euclidiennes successives de l’algorithme d’Euclide,
les diviseurs communs à a et b sont les diviseurs communs à b et r 0, à r0 et r1, …, à rp-1 et rp.
Or rp divise rp-1, donc les diviseurs communs à rp-1 et rp sont ceux de rp ; c'est-à-dire de PGCD(a ;b).
 Lorsque a  * ou b  *, le résultat est identique car PGCD(a ;b) = PGCD(|a| ;|b|).
Propriétés : Soit a, b et k des entiers relatifs non nuls.


Si b divise a, alors PGCD(a ;b) = |b|
PGCD(ka ;kb) = |k| PGCD(a ;b)
Démonstration de : PGCD(ka ;kb) = k  PGCD(a ;b) dans le cas où a, b et k sont des entiers naturels.
Si a = bq + r avec 0 ≤ r < b, alors ka = kbq + kr avec 0 ≤ kr < kb (car k  ).
Donc kr est le reste de la division euclidienne de ka par kb d’après l’unicité de l’écriture.
Avec les notations utilisées dans la démonstration sur l’algorithme d’Euclide et en multipliant chaque
membre des égalités par k, on obtient :
PGCD(ka ;kb) = PGCD(kb ;kr0) = … = krp = kPGCD(a ;b)
Conséquence :
a b  1
Si k est un entier naturel non nul, diviseur commun à a et b, alors : PGCD ;  = PGCD(a ;b)
k k  k
a
b
Démonstration : Ceci découle de la propriété précédente en écrivant a = k et b = k .
k
k
e) Nombres premiers entre eux
Définition :
Dire que deux entiers relatifs non nuls a et b sont premiers entre eux signifie que PGCD(a ;b) = 1.
Exemple : 45 et 34 sont premiers entre eux car leur seul diviseur commun positif est 1.
Propriété : quotient de deux entiers par leur PGCD
Soit a et b deux entiers relatifs non nuls.
Soit d le PGCD de a et b.
Alors il existe deux entiers relatifs a’ et b’ premiers entre eux tels que a=da’ et b=db’.
Démonstration
d = PGCD(a ;b) : donc d divise a et d divise b.
Il existe donc deux entiers relatifs a’ et b’ tels que a = da’ et b = db’.
d = PGCD(a ;b) = PGCD(da’ ;db’) = dPGCD(a’ ;b’)
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D’où PGCD(a’ ;b’) = 1 car d ≠ 0.
II. Théorème de Bézout.
Théorème de Bézout : Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement si il
existe des entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1.
Démonstration :

On suppose a et b premiers entre eux ; donc leur PGCD est 1.
Ainsi, au moins l’un des deux nombres a ou b est non nul, par exemple a.
Soit E l’ensemble des entiers naturels de la forme au + bv, avec u et v entiers.
Cet ensemble n’est pas vide, car il contient a (avec u = 1 et v = 0) et –a (avec u = -1 et v = 0).
E contient a et –a, et l’ un de ces deux entiers est strictement positif, donc E contient au moins
un entier strictement positif.
Soit  le plus petit d’entre eux ; il existe ainsi u0 et v0 entiers tels que :
 = au0 + bv0.
La division euclidienne de a par  s’écrit : a = q + r, avec 0 ≤ r < .
D’où : r = a - q = a – (au0 + bv0)q = a(1 – qu0) + b(-v0q).
Ainsi, r appartient à E car il est de la forme au + bv avec u et v entiers (u = 1 – qu0 et v = -v0q) .
Comme  est le plus petit élément strictement positif de E, l’inégalité 0 ≤ r <  montre que r est
nul, d’où a = q et  divise a.
On montre de même que  divise b, d’où  = 1 car a et b sont premiers entre eux : il existe bien
deux entiers u0 et v0 tels que au0 + bv0 = 1.

S’il existe des entiers u et v tels que au + bv = 1, alors si d est le PGCD de a et b, il divise a et b,
donc au + bv, c'est-à-dire 1 : ainsi, d vaut 1, et a et b sont premiers entre eux.
Exemple : a = 4 et b = 9 sont premiers entre eux et on a par exemple :
4  (- 2) + 9  1 = 1 ou 4  7 + 9  (- 3) = 1 ou 4  97 + 9  (- 43) = 1.
Les couples (-2 ;1) ; (7 ;-3) et (97 ;-43) sont tous des couples (u ; v) vérifiant l’égalité
4u + 9v = 1.
Remarques :
 Ce théorème est un théorème d’existence. Il n’y a pas unicité du couple (u ; v) tel que au + bv = 1
lorsque a et b sont premiers entre eux.
 Pour tout entier n, (n + 1)  1 – n  1 = 1, donc deux entiers consécutifs n et n + 1 sont toujours
premiers entre eux.
Détermination pratique de u et v.
Comment trouver u et v entiers relatifs tels que au + bv = 1 quand a et b sont premiers entre eux ?
 Un examen rapide des plus petits multiples de a et b peut permettre de conclure.
Exemple :
a = 7 et b = 17. Sachant que 5  7 = 35 et 2  17 = 34,
on a 1 = 35 – 34 = 5  7 - 2  17 = 5  7 + (- 2)  17.
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Le couple (u ; v) = (5 ; - 2) convient.
 Sinon, on écrit l’algorithme d’Euclide pour a et b, puis on exprime pas à pas chacun des restes comme
combinaisons linéaires de a et de b, jusqu’au dernier reste non nul qui est PGCD(a ; b).
Si a et b sont premiers entre eux, on aura alors écrit 1 comme une combinaison linéaire au + bv.
Ce procédé permet d’exprimer PGCD(a ; b) comme combinaison linéaire de a et b, que a et b soient
premiers entre eux ou non.
Exemple : a =71 et b = 19
Algorithme d’Euclide
On isole les restes dans
un membre
On remonte l’algorithme à partir de l’avant
dernière étape
71 = 19  3 + 14
14 = 71 – 19  3
1=5–41
19 = 14  1 + 5
5 = 19 – 14  1
1 = 5 – (14 – 5  2)  1 = - 14 + 5  3
14 = 5  2 + 4
4 = 14 – 5  2
1 = – 14 + (19 – 14  1)  3 = 19  3 – 14  4
5=41+1
1=5–41
1 = 19  3 – (71 – 19  3)  4 = - 71  4 + 19  15
4=14+0
De 1 = - 71  4 + 19  15, on en déduit que 1 = au + bv, avec u = - 4 et v = 15.
Corollaire (Identité de Bézout) : Soit a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls.
Si d = PGCD(a ; b), alors il existe des entiers relatifs u et v tels que au + bv = d.
Démonstration
En effet, soit a et b deux entiers non nuls dont le PGCD est d. Soit les entiers a’ et b’ tels que a=da’ et b
= db’. Comme a’ et b’ sont premiers entre eux, il existe des entiers u et v tels que a’u + b’v = 1. En
multipliant les deux membres de cette égalité par d, on obtient :
ua’d + vb’d = d, d’où au + bv = d.
Remarque : contrairement au théorème de Bézout, la réciproque de cette propriété est fausse, si au +
bv = d, l’entier d n’est pas obligatoirement le pgcd de a et b.
Par exemple : 113 + (-1)11 = 2, et pourtant le PGCD de 13 et 11 n’est pas 2 mais 1.
Propriété :
Un nombre premier est premier avec tous les entiers qu’il ne divise pas.
Démonstration
Soit p un nombre premier et a un entier non divisible par p. On note d le PGCD de a et p ; comme d divise
p, alors d vaut 1 ou p, puisque p est premier. Or, d ne peut pas être égal à d car a n’est pas divisible par
p. d’où : d = 1.
Exemple : 17 est premier, donc premier avec tous les entiers sauf les multiples de 17.
Propriété :
Si un entier est premier avec deux entiers, alors il est premier avec leur produit.
Démonstration
Soit a un entier premier avec b et c : d’après le théorème de Bézout, il existe des entiers u et v tels que
au + bv = 1 et des entiers u’ et v’ tels que au’ + cv’ = 1.
En effectuant le produit membre à membre, on obtient :
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(au + bv)(au’ + cv’) = 1, soit : a²uu’ + acuv’ + abvu’ + bcvv’ = 1.
Ou encore : a(auu’ + cuv’ + bvu’) + bc(vv’) = 1
Comme auu’ + cuv’ + bvu’ et vv’ sont des entiers, le théorème de Bézout montre que a et bc sont premiers
entre eux.
Exemple : Soit n un entier. On a vu que n et n + 1 sont premiers entre eux ; de même, n – 1 et n sont
premiers entre eux. On en déduit que n et n² - 1 sont premiers entre eux (en effet, n² - 1 = (n + 1)(n –
1)).
III. Théorème de Gauss.
Théorème de Gauss : Soit a, b et c trois entiers non nuls.
Si a divise bc et si a et premier avec b alors a divise c.
Ce théorème est très utile pour résoudre les équations diophantiennes de la forme ax + by = c, avec x et
y entiers.
Démonstration
Si a est premier avec b, d’après le théorème de Bézout, il existe des entiers u et v tels que au + bv = 1.
En multipliant les deux membres de cette égalité par c, on obtient : acu + bcv = c.
Or, a divise acu et bc par hypothèse, donc a divise bcv : on en déduit que a divise acu + bcv, c'est-à-dire
c.
Exemple : Soit a et b deux entiers tels que 3a = 4b. Ici, 4 divise le produit 3a.
Les entiers 3 et 4 sont premiers entre eux, donc 4 divise a.
Corollaires :
 Si deux entiers a et b premiers entre eux divisent un entier c alors leur produit ab divise c.
 Si un nombre premier p divise un produit ab alors p divise a ou p divise b.
Démonstration
 Comme c est divisible par a et b, alors il existe des entiers k et k’ tels que c = ka = k’b.
Cette égalité montre que a divise k’b ; comme a et b sont premiers entre eux, le théorème de Gauss
assure que a divise k’. Donc il existe un entier q tel que k’ = qa.
On en déduit c = qab. Donc ab divise c.
 Soit p un nombre premier divisant le produit ab.
Si p divise a, la conclusion est assurée.
Si p ne divise pas a, alors a et p sont premiers entre eux ; comme p divise ab, alors p divise b d’après le
théorème de Gauss.
Exemples :
 Le nombre 1 573 875 est divisible par 5 (car le chiffre des unités est 5) et divisible par 9 (car 1 + 5 +
7 + 3 + 8 + 7 + 5 = 36 et 36  9 = 4).
Or 5 et 9 sont premiers entre eux, donc 1 573 875 est divisible par 5  9, c'est-à-dire 45.
 Le produit de trois entiers naturels consécutifs, n(n + 1)(n + 2), est divisible par 2 et par 3 ; 2 et 3
étant premiers entre eux alors ce produit est divisible par 6.
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