Mathématiques MP2 Matrices

Mathématiques MP2 Matrices Exercices 06
3: exercice simple ou classique, P: exercice plus difficile
CALCUL SUR LES MATRICES
Exercice 1 3
Soient
a=
1
1
1
1
b=
1
1
−1
−1
c=
1
−1
1
−1
d=
1
−1
−1
1
1) Montrer que B={a,b,c,d} est une base de M4,1(R).
2) Donner les coordonnées de x=
1
2
1
1
dans cette base B.
Exercice 2 3
Soit A=
100
011
101
. Déterminer Anpour n∈Npuis pour n∈Z.
Exercice 3
Soit J=
001
100
010
et soit C(J)={M∈M3(R)|M J =J M}.
1) Montrer que C(J) est un sous-espace vectoriel et en donner une base. L’ensemble
C(J) est appelé commutant de J.
2) Existe-t-il une inclusion entre C(J) et D(J)={Y∈M3(R)|Y2=J} ? Trouver D(J).
Exercice 4
Soit A,Bdeux matrices non nulles de Mn(K) telles que tr(A)tr(B)̸= 1. Résoudre le système
d’inconnues Xet Ydans Mn(K)
X=In+tr(Y)A
Y=In+tr(X)B
Exercice 5 (matrices de rang 1)
1) Montrer qu’une matrice A∈Mn(R) est de rang 1 si et seulement si il existe des vec-
teurs U,V∈Mn,1(R) non nuls tels que A=UtV.
2) On suppose que A=UtVavec U,V∈Mn,1(R) non nuls.
(a) Montrer que tr(A)=tU.V. En déduire Akpour k∈N.
(b) Déterminer ker A.
3) Soient A,B∈Mn(R) telles que rg (AB −B A)=1. Combien vaut (AB −B A)2?
MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES
Exercice 6 3
Soit Eun C-espace vectoriel de dimension 3 et soit (e1,e2,e3) une base de E. Soit Hle plan
d’équation x+y+z=0, et Dla droite x=y/2 =z/3.
1) Montrer que H⊕D=E.
2) Trouver la matrice de la projection sur Hparallèlement à D.
Exercice 7
Soit A=
2−1/2 −1/2
0 1/2 1/2
1−1/2 1/2
et B=
110
011
001
. Montrer que Aet Bsont semblables.
1 Année 2016/2017

Mathématiques MP2 Matrices Exercices 06
Exercice 8
Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie et u∈L(E) tel que Im u=keru.
1) Montrer que nest pair.
2) Montrer qu’il existe une base de Edans laquelle la matrice de uest sous la forme
0In/2
0 0 
3) Déterminer la dimension du commutant de u(l’ensemble des endomorphismes qui
commutent avec u).
Exercice 9
Soit Eun R-espace vectoriel de dimension 3n. Soit fun endomorphisme de Etel que
rg f=2net f3=0. Montrer que ker f=Im f2et trouver une base Btelle que la matrice
de fdans Bsoit 
0 0 0
In0 0
0In0
.
Exercice 10
Soit Eun espace vectoriel de dimension finie net f∈L(E) tel que f2=−IdE.
1) Montrer que (a,f(a)) est libre pour tout anon nul de E.
2) Montrer que nest un entier pair. On pose n=2p. On pose Vect(a,f(a)) =F(a) pour
tout anon nul de E.
3) Montrer l’existence de a1,..., apdans Etels que F(a1)⊕···⊕F(ap)=E.
4) Déduire des questions précédentes une base de Edans laquelle la matrice de fest
particulièrement simple.
Exercice 11 (Mines MP)
À quelle condition les matrices 1a
0 1et 1b 0 1sont-elles semblables ?
Exercice 12 (Mines MP)
Soit A,B∈M3(C) non nulles telles que A2=B2=0. Montrer que Aet Bsont semblables.
Exercice 13
Soit Eet Fdeux K-espaces vectoriels de dimension finie et Gun sous-espace de E. On note
U={u∈L(E,F),G⊂keru}.
1) Montrer que Uest un sous-espace vectoriel de L(E,F).
2) Déterminer la dimension de U:
•en raisonnant matriciellement dans une base bien choisie.
•en montrant que l’application φsuivante est un isomorphisme :
φ:U→L(H,F)
u7→ u|H
où Hest un supplémentaire de G.
OPÉRATIONS PAR BLOCS
Exercice 14 3
Soit M=A B
0Coù A∈GLn(K), B∈Mn,p(K) et C∈GLp(K). Montrer que Mest inversible
et déterminer son inverse.
Exercice 15
Soient Aet Bdans Mn(C) et M=A A
A B .
1) Déterminer le rang de Men fonction de Aet B.
2) Calculer M−1quand elle existe.
2 Année 2016/2017

Mathématiques MP2 Matrices Exercices 06
Exercice 16
1) Soit B∈Mn,p(K) et C∈Mp(K). Montrer que rg InB
0C=n+rg C.
2) Soit A∈Mn,p(K) et B∈Mp,n(K). Montrer que n+rg (Ip−B A)=p+rg (In−AB). On
pourra s’intéresser aux produits de la matrice M=IpB
A Inavec une matrice par
blocs bien choisies. En déduire que rg (In−AB)=n−p⇔B A =Ip.
EXERCICES GÉNÉRAUX
Exercice 17 3
Soit A∈Mn(R) de rang r. Montrer que Apeut s’écrire comme somme de rmatrices de rang
1.
Exercice 18
Soit A∈Mn(K). Montrer qu’il existe B∈Mn(K) non nulle telle que AB =B A =0 si, et seule-
ment si, An’est pas inversible.
Exercice 19 (Mines MP)
1) Soit n∈N∗. Montrer qu’il existe Pn∈R[X] tel que 1 +X−(Pn(X))2soit divisible par
Xn(utiliser un dl de x7→ p1+x).
2) Soit N∈Mn(R) nilpotente. Montrer qu’il existe B∈Mn(R) telle que B2=In+N.
Exercice 20
Soient A,Bdes matrices de Mn(R) telles qu’il existe n+1 réels distincts λ0,...,λntels que
A+λkBest nilpotente. Montrer que Aet Bsont nilpotentes.
Exercice 21
Soit ndans N∗et p1,p2,...,pmdes projecteurs non nuls de E=Rnvérifiant pi◦pj=0 pour
tout i̸= j.
1) On suppose m=n. Montrer que E=Im p1⊕···⊕Im pn.
2) Montrer que la famille (p1,p2,...,pm) est libre.
3) Soit pun projecteur de Rn. Déterminer la dimension du commutant de p(c’est-à-dire
l’ensemble des endomorphismes de Rncommutant avec p).
4) Trouver une partie libre de cardinal maximal, constituée de projecteurs de Rn.
Exercice 22 (Mines MP)
Soit a,b∈R∗. Soit Φ∈L(Mn(R)) défini par Φ(M)=aM +btM. Donner une condition né-
cessaire et suffisante pour que Φsoit injective. Calculer trΦet detΦ.
3 Année 2016/2017

Mathématiques MP2 Matrices Exercices 06
SOLUTIONS
Exercice 1
1) On montre au choix que la famille est libre ou génératrice :
•on considère α,βγ et δtels que αa+βb+γc+δd=0. On écrit le système associé
α+β+γ+δ=0
α+β−γ−δ=0
α−β+γ−δ=0
α−β−γ+δ=0
,
que l’on résout. On obtient des scalaires tous nuls. La famille est libre
•Pour montrer que la famille est génératrice de M4,1(R), le plus simple est de mon-
trer que les vecteurs engendrent un espace de dimension 4. Pour cela, on déter-
mine le rang de la famille de vecteurs, ou celui de la matrice associée. Par opéra-
tions élémentaires sur les colonnes (ou les lignes), on ne change pas le rang. On
effectue cela jusqu’à obtenir une famille échelonnée en colonnes (ou en lignes).
2) On résout le système αa+βb+γc+δd=x, soit de façon standard, soit en l’écrivant
matriciellement et en inversant la matrice (ce qui n’est pas vraiment plus simple).
Exercice 2
•On peut calculer les premières puissances et trouver une relation de récurrence. On
peut aussi décomposer Asous la forme A=I3+Bet on constante que B2=
000
100
000
et B3=0. Pour nÊ2, on a alors
(I3+B)n=I3+nB +n(n−1)
2B2+0=
1 0 0
n(n−1)
21n
n0 1
.
On vérifie que la formule est valable pour n=0 et n=1. Finalement on a Anpour tout
n∈N.
•On peut inverser cette matrice (par les moyens usuels). On peut imaginer que la for-
mule est encore vraie pour n=−moù m∈N. On pose B−n=
1 0 0
−n(−n−1)
21−n
−n0 1
,
on effectue le produit AB−npour constater qu’il vaut I3. Ainsi A−n=B−nsi n∈Net
l’expression est valable pour tout n∈Z.
Exercice 3
1) On vérifie rapidement que si Met Nsont da,s C(J) alors M+λNégalement (et aussi
M N ) donc C(J) est un sous-espace vectoriel de M3(R) (et même une sous-algèbre).
On prend une matrice Mavec 9 coefficients quelconques, on calcule les produits M J
et J M et on a égalité si et seulement si il existe a,b,c∈Rtels que
M=
a c b
b a c
c b a
=aI3+b J +c J2.
La famille (I3,J,J2) est une base de C(J).
2) Si Y2=Jalors Y J =Y3=JY donc D(J)⊂C(J). On cherche donc les éléments de D(J)
sous la forme Y=aI +bJ +c J 2. En utilisant la relation J2=I3, on a
Y2=(a2+2bc)I+(2ab +c2)J+(b2+2ac)J2
donc Y2=Jsi et seulement si a2+2bc =0,b2+2ac =0 et c2+2ab =1. En multi-
pliant la première équation par aet la seconde par b, on obtient a3=b3donc a=b. Si
a=b=0, il reste c2=1 d’où M=±J2. Sinon, on a a=b,a+2c=0 et c2+2a2=1 donc
a=b=−2cet 9c2=1. Cela donne M=±1
3(2I3+2J−J2). Si on écrit bien la résolution
des systèmes, le raisonnement est fait par équivalence. Sinon, on peut se contenter de
vérifier que les 4 matrices obtenues conviennent.
Exercice 4
Soit (X,Y) une solution. On a alors le système
tr(X)=n+tr(Y)tr(A)
tr(Y)=n+tr(X)tr(B)⇐⇒tr(X)−tr(Y)tr(A)=n −tr(X)tr(B)+tr(Y)=n
Le déterminant de ce système est 1 −tr(A)tr(B)̸= 0. Il admet donc une unique solution
tr(X)=n1+tr(A)
1−tr(A)tr(B)et tr(Y)=n1+tr(B) 1−tr(A)tr(B). On obtient alors
X=In+n1+tr(B)
1−tr(A)tr(B)Aet Y=In+n1+tr(A) 1−tr(A)tr(B)B.
On vérifie ensuite que ces matrices conviennent.
Exercice 5
4 Année 2016/2017

Mathématiques MP2 Matrices Exercices 06
1) Si Aest de rang 1, alors ses colonnes sont toutes proportionnelles à un même vecteur
Vnon nul de Mn,1(R). On a A=u1V u2V··· unV. On note Ule vecteur co-
lonne t(u1,...,un) et on a A=UtV. Réciproquement si A=UtV, on a rg (A)Érg (V)=
1. Le terme général de Aest ai j =uivj. L’un de ces termes au moins est non nul
puisque Uet Vsont des vecteurs non nuls.
2) (a) On a tr(A)=
n
k=1
akk =
n
k=1
ukvk=tUV - en fait on identifie la matrice tUV de taille
(1,1) à son seul coefficient. On a ainsi A2=Ut(V)UtV=U(tr(A)tV)=tr(A)A. Par
récurrence, on a Ak=(tr A)k−1Asi k∈N∗et A0=In.
(b) On sait qu’on obtient un hyperplan. On résout AX =0=U(tV X ). En écrivant
ce système, on obtient plusieurs fois une équation proportionnelle à V X =0. Le
noyau de Aest l’hyperplan d’équation V X =0.
3) On a tr(AB −B A)=0, donc (AB −B A)2=0.
Exercice 6
1) Un vecteur directeur de Dest (1,2,3). Ce vecteur n’est pas dans le plan Hdonc les
deux espaces sont supplémentaires (tout vecteur en dehors d’un hyperplan définit un
supplémentaire).
2) Soit u=(x,y,z) un vecteur de R3et v=(x′,y′,z′) sont image. On a v=p(u) si et seule-
ment si v∈Het v−u∈D, c’est-à-dire si et seulement s’il existe λ∈R,v−u=(λ,2λ,3λ)
et v∈H. On a donc x′=x+λ,y′=y+2λ,z′=z+3λet (x+y+z)+6λ=0. Cela donne
λ=−1
6(x+y+z) et enfin
x′=5x−y−z
6
y′=−2x+4y−2z
6
z′=−3x−3y+3z
6
cela se récrit
x′
y′
z′
=1
6
5−1−1
−2 4 −2
−3−3 3
x
y
z
.
et on obtient ainsi la matrice de la projection.
Exercice 9
Le but est de construire une base de vecteurs (e1,...,e3n) de Etelle que f(ei)=en+i,
f(en+i)=e2n+iet f(e2n+i)=0 pour i∈J1;nK. On doit tout d’abord étudier les dimensions
des différentes espaces entrant en jeu.
•On a f◦f2=0, donc Im f2⊂ker f. De même f2◦f=0 donne Im f⊂ker f2. On sait
que dimIm f=2npar hypothèse et dimker f=npar le théorème du rang. On en dé-
duit notamment dimker f2Ê2net dimIm f2Én. Le théorème du rang appliqué à f2
ne donne rien de plus.
•On a besoin des égalités. On peut par exemple montrer que dimker f2É2dimker f
(cas particulier de dimker(g◦f)Édimker f+dimker g- dans cette situation, on peut
considérer gla restriction de fà ker f2et appliquer le théorème du rang, en mon-
trant que Im g⊂ker f). Cela donne dimker f2É2n. Finalement on a ker f2=Im fde
dimension commune 2net Im f2=ker fde dimension n.
•On doit construire la famille de vecteurs. On a plusieurs possibilités. En voici une.
On commence par choisir une base de ker f: elle comporte nvecteurs qu’on note
e2n+1,...,e3n. Puisque Im f2=ker f, chacun de ces vecteurs est dans Im f2. Il existe
des vecteurs (e1,...,en) tels que f2(ei)=e2n+ipour i∈J1;nK. On pose alors en+1=
f(e1),...,e2n=f(en). En utilisant la définition des npremiers ek, on a f(en+k)=
f2(ek)=e2n+k(toujours avec 1 ÉkÉn). Si on prouve que la famille de vecteurs est
libre, on aura une base. Dans cette base, la matrice de fsera exactement celle qu’on
attend (tout est fait pour).
•Considérons une combinaison linéaire
(λ1e1+...+λnen)+(λn+1en+1+...+λ2ne2n)+(λ2n+1e2n+1+... +λ3ne3n)=0.
On peut la récrire
(λ1e1+...+λnen)+λn+1f(e1)+...+λ2nf(en)+
λ2n+1f2(e1+... +λ3nf2(en)=0.
On applique f2, il vient λ1e2n+1+... +λne3n=0. Puisque la famille est une base de
ker f, chaque scalaire est nul. On reprend la première relation avec ces coefficients
nuls. On applique fet on obtient de même λn+1=...=λ2n=0. Enfin les termes res-
tants donnent la valeur 0 pour les nderniers scalaires.
Exercice 10
1) Soit αet βdeux réels tels que αa+βf(a)=0. En appliquant f, on obtient αf(a)−βa=
0 Alors α(αa+βf(a))−β(αf(a)−βa)=(α2+β2)a=0, et puisque a̸=0, on en déduit
α2+β2=0, d’où α=β=0. Le système (a,f(a)) est donc libre.
2) Si f2=−Id, on a det f2=(det f)2=(−1)n, ce qui n’est possible que si nest pair.
5 Année 2016/2017