TS spécialité DM n° 1 ARITHMETIQUE : Divisibilité – Congruences

TS spécialité
DM n° 1
ARITHMETIQUE :
Divisibilité – Congruences
Pour le vendredi
05 Novembre 2010
Exercice 1 :
Trouver tous les couples d’entiers naturels dont la somme est un multiple du produit.
Exercice 2 :
Les mesures des côtés d’un triangle rectangle sont des entiers naturels a, b et c.
1. Montrer que l’un au moins des trois nombres a , b , c est pair.
2. Montrer que l’un au moins des trois nombres a, b et c est divisible par 3.
Exercice 3 : Pb de recherche : trouver des pistes …….
L’Objectif est de démontrer que pour tt entier naturel n, le nombre An = n4n+1 – (n+1)4n + 1 est divisible par 9.
Travail demandé : trouver des pistes de résolution…………….. et si possible une démonstration
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DM n° 1
ARITHMETIQUE :
Divisibilité – Congruences
Pour le vendredi
05 Novembre 2010
Exercice 1 :
Trouver tous les couples d’entiers naturels dont la somme est un multiple du produit.
Exercice 2 :
Les mesures des côtés d’un triangle rectangle sont des entiers naturels a, b et c.
1. Montrer que l’un au moins des trois nombres a , b , c est pair.
2. Montrer que l’un au moins des trois nombres a, b et c est divisible par 3.
Exercice 3 : Pb de recherche : trouver des pistes …….
L’Objectif est de démontrer que pour tt entier naturel n, le nombre An = n4n+1 – (n+1)4n + 1 est divisible par 9.
Travail demandé : trouver des pistes de résolution…………….. et si possible une démonstration
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DM n° 1
ARITHMETIQUE :
Divisibilité – Congruences
Pour le vendredi
05 Novembre 2010
Exercice 1 :
Trouver tous les couples d’entiers naturels dont la somme est un multiple du produit.
Exercice 2 :
Les mesures des côtés d’un triangle rectangle sont des entiers naturels a, b et c.
1. Montrer que l’un au moins des trois nombres a , b , c est pair.
2. Montrer que l’un au moins des trois nombres a, b et c est divisible par 3.
Exercice 3 : Pb de recherche : trouver des pistes …….
L’Objectif est de démontrer que pour tt entier naturel n, le nombre An = n4n+1 – (n+1)4n + 1 est divisible par 9.
Travail demandé : trouver des pistes de résolution…………….. et si possible une démonstration

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DM n° 1
ARITHMETIQUE :
Divisibilité – Congruences
Correction
Exercice 1 :
Soient n et p deux entiers naturels. Si (n + p) est un multiple de np alors il existe un entier naturel k tel que :
n + p = k (np) donc n = p (kn – 1) ou bien p = n (kp – 1). Donc p divise n et n divise p. Comme n et p sont des nombres
positifs, on en déduit que n = p. D’où l’égalité n + p = k (np) s’écrit 2n = kn² soit n(kn – 2 ) = 0 soit n = 0 ou kn = 2.
Bilan : n = p = 0 ou bien n = p = 1 et k = 2 ou bien n = p = 2 et k = 1
Il y a donc trois couples solutions : (0 ;0), (1 ;1), (2 ;2).
Exercice 2 :
Les mesures des côtés d’un triangle rectangle sont des entiers naturels a, b et c.
1. Montrer que l’un au moins des trois nombres a , b , c est pair.
On démontre la contraposée :
si a, b et c sont tous impairs alors a ≡ 1 [2] b ≡ 1 [2] c ≡ 1 [2]
Dans ce cas : a² ≡ 1 [2] b² ≡ 1 [2] c² ≡ 1 [2]
Donc la somme de deux d’entre eux est congrue à 2 soit 0 modulo 2 (est paire) et ne peut être égale au
troisième puisqu’il est congru à 1 modulo 2 (impair).
Conclusion : ils ne sont pas tous impairs ; l’un au moins est pair.
2. Montrer que l’un au moins des trois nombres a, b et c est divisible par 3.
On démontre la contraposée :
Si a, b et c ne sont pas divisibles par 3 alors par exemple a ≡ 1 [3] ou a ≡ 2 [3]
D’où a² ≡ 1 [3] ou a² ≡ 4 [3] ≡ 1 [3]
Il en est de même pour b² et c² : b² ≡ 1 [3] c² ≡ 1 [3]
La somme de deux de ces carrés est donc congrue à 2 modulo 3 et ne peut donc pas être égale au troisième
carré.
Conclusion : l’un au moins est divisible par 3.
Exercice 3 : Pb de recherche : Soit An = n4n+1 – (n+1)4n + 1
Première méthode : Montrer que n4n+1 – (n+1)4n + 1 ≡ 0 [9]
40 = 1 ≡ 1 [9] 41 = 4 ≡ 4 [9] 42 = 16 ≡ 7 [9] 43 = 64 ≡ 1 [9] 44 ≡ 4 [9]
On déduit : si n ≡ 0 [3] alors 4n ≡ 1 [9] et donc 4n+1 ≡ 4 [9]
si n ≡ 1 [3] alors 4n ≡ 4 [9] et donc 4n+1 ≡ 7 [9]
si n ≡ 2 [3] alors 4n ≡ 7 [9] et donc 4n+1 ≡ 1 [9]
Donc : si n ≡ 0 [3] alors 4n ≡ 1 [9] et 4n+1 ≡ 4 [9] d’où : An ≡ 0x4 – (1)x1 + 1 [9] donc An ≡ 0 [9]
si n ≡ 1 [3] alors 4n ≡ 4 [9] et 4n+1 ≡ 7 [9] d’où : An ≡ 1x7 – (2)x4 + 1 [9] donc An ≡ 0 [9]
si n ≡ 2 [3] alors 4n ≡ 7 [9] et 4n+1 ≡ 1 [9] d’où : An ≡ 2x1 – (3)x7 + 1 [9] donc An ≡ -18 [9] ≡ 0 [9]
Ainsi dans tous les cas : An ≡ 0 [9] et An est divisible par 9 pour toute valeur de n.
Seconde méthode : par récurrence :
Initialisation : si n = O alors A0 = 0 donc A0 est bien divisible par 9.
Hérédité : supposons que la propriété soit vraie pour un entier naturel n : An = n4n+1 – (n+1)4n + 1 est divisible par 9.
Montrons qu’elle est encore vraie au rang n+1 c’est-à-dire que An+1 = (n+1)4n+2 – (n+2)4n+1 + 1 est divisible par 9.
An+1 = (n+1)4n+2 – (n+2)4n+1 + 1 = n4n+2 + 4n+2 - (n+1)4n+1 - 4n+1 + 1 = n4n+1 x4 + 4n+2 - (n+1)4n x4 - 4n+1 + 1x4 - 3 = 4An + 4n+2- 4n+1- 3
=4An + 4n+1(4- 1) – 3 = 4An + 4n+1x 3 – 3 = 4An + 3(4n+1- 1)
Or An≡0[9] par hypothèse de récurrence
Et (voir méthode 1) : si n ≡ 0 [3] alors 4n+1 ≡ 4 [9] et 3(4n+1- 1) ≡ 9[9] ≡ 0 [9]
si n ≡ 1 [3] alors 4n+1 ≡ 7 [9] et 3(4n+1- 1) ≡ 18[9] ≡ 0 [9]
si n ≡ 2 [3] alors 4n+1 ≡ 1 [9] et 3(4n+1- 1) ≡ 0 [9]
Donc An+1 ≡ 0 [9] : Ainsi la propriété est héréditaire et vraie au rang n +1.
Conclusion : Par conséquent : Pour tout entier naturel n ,An est divisible par 9