25 à 31 - Département de mathématiques et de statistique

Exemple 4.4.Continuons l’exemple pr´ec´edent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a
alors les d´ecompositions
HQ=He1⊕He2⊕He3⊕He4⊕HQ·e5
comme anneaux (avec centre Re1⊕Re2⊕Re3⊕Re4⊕Re5), et
HQ=He1⊕He2⊕He3⊕He4⊕HQ·e6⊕HQ·e7
comme HQ-modules `a gauches. Mais les deux derniers modules ne sont pas simples. Posons
e8:= 1
8X
q∈Q
q[q] = 1
8(([1] −[−1]+i[i]−i[−i] + j[j]−j[−j] + k[k]−k[−k])) ;
e9:= 1
8(([1] −[−1]+i[i]−i[−i]−j[j] + j[−j]−k[k] + k[−k])) ;
e10 := 1
8(([1] −[−1] −i[i] + i[−i]−j[j] + j[−j] + k[k]−k[−k])) ;
e11 := 1
8(([1] −[−1] −i[i] + i[−i] + j[j]−j[−j]−k[k] + k[−k])) .
On a e6=e8+e9;e7=e10 +e11 et
HQ=He1⊕He2⊕He3⊕He4⊕He8⊕He9⊕He10 ⊕He11,
On a pour chaque q∈Qque
[q]e8=1
8X
r∈Q
r[qr] = 1
8X
q∈Q
q−1r[q] = q−1e8
et il suit facilement que e8ei=eie8= 0, pour i= 1,2,3,4,9,10,11, e2
8=e8et HQ·e8=He8.Aussi
par un calcul direct
e9=ie8[i]; e10 =je8[j]; e11 =ke8[k]; e8[−1] = −e8.
Les HQ-modules He8,He9,He10 et He11 sont isomorphes (par exemple: He9'He8:he9=
hie8[i]7→ hie8). Donc on a cinq HQ-modules simples `a isomorphisme pr`es, chacun de dimension 1
sur H.
Soit V5:= Hle HQ-module `a gauche d´efini par
X
q∈Q
hq[q]·h0:= X
q∈Q
hqh0q−1(hq, h0∈H).
Alors e8·1 = 1, e9·i=ie8[i]·i=ie8·i(i)−1=ie8·1 = i,e10·j=j,e11·k=k.HQe8'V5:re87→ r·1,
R= EndHQ(V5) et EndR(V5) est de dimension 16 sur R, isomorphe `a HQ·e5.
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5. Le th´ eor` eme de Wedderburn
Dans cette section on montre que si |G| ∈ k×alors l’anneau de groupe kG est isomorphe comme
anneau `a un produit d’anneaux de la forme EndH(V), o`u Vest un espace vectoriel sur un corps
gauche H. Premi`erement nous allons ´etudier un peu ces anneaux d’endomorphismes.
5.1. Anneaux d’endomorphismes d’un espace vectoriel. Fixons un corps gauche Het un es-
pace vectoriel Vsur Hde dimension n. Fixons aussi une base e1, . . . , ende V. L’ensemble EndH(V)
des endomorphismes H-lin´eaires de Vest un anneau, avec la composition comme multiplication.
Si c∈C(H) (le centre de H), et η∈EndH(V) alors cη, d´efinie par
cη(v) = c·η(v) = η(c·v),
est aussi dans EndH(V), et donc EndH(V) est d’une fa¸con naturelle un espace vectoriel sur le corps
C(H). Pour un h∈Hnous d´efinissons h∗ηpar
(h∗η)(
n
X
i=1
hiei):=η(
n
X
i=1
hihei) =
n
X
i=1
hihη(ei).
Cette d´efinition d´epend fortement du choix de base, mais pour c∈C(H) on a cη =c∗η. On voit
que h∗η∈EndH(V),
h1∗h2∗η= (h1h2)∗η, h ∗(η1+η2) = h∗(η1) + h∗(η2),1H∗η=η,
pour h, h1, h2∈Het η, η1, η2∈EndH(V). Ainsi EndH(V) est un espace vectoriel sur H.
Consid´erons pour chaque 1 ≤i≤n, 1 ≤j≤nl’endomorphisme explicite Eij ∈EndH(V) d´efini
par
Eij (X
r
hrer):=hjei.
Pour η∈EndH(V) d´efinissons la matrice de scalaires [η]ij ∈Hpar
η(ej) =
n
X
i=1
[η]ij ei.
Lemme 5.1. (i) Les Eij ,1≤i≤n,1≤j≤n, forment une base pour EndH(V)comme espace
vectoriel sur H. En particulier
η=X
ij
[η]ij ∗Eij .
(ii) Pour h, h0∈Hon a
(h∗Eij )(h0∗Ers) = 
(h0h)∗Eis si j=r,
0sinon.
(iii) 1=E11 +E22 +. . . +Enn est l’identit´e de EndH(V)et
(h∗1)(h0∗1) = (h0h)∗1,
alors l’application H−→ EndH(V) : h7→ h∗1est un anti-homomorphisme d’anneau.

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Preuve. (i) On comparant pour v=Pjhjejles deux calculs
η(v) = X
j
hjη(ej) = X
i,j
hj[η]ij ei
et
X
ij
[η]ij ∗Eij 
(v) = X
ij
Eij X
r
hr[η]ij er!
=X
ij
hj[η]ij ei
on obtient η=Pij [η]ij ∗Eij .Si Pij hij ∗Eij = 0, alors pour chaque r
0 = X
ij
hij ∗Eij (er) = X
ij
Eij (hij er) = X
i
hirei,
donc hir = 0 pour chaque iet r. Donc les Eij font une base sur H.
(ii) et (iii) suivent des calculs directs. 
On utilise le lemme dans la preuve de la proposition suivante.
Proposition 5.1. Soit Hun corps gauche et Vun H-espace vectoriel de dimension 1≤n < ∞.
(i) Le centre de EndH(V)est isomorphe au centre de H
C(EndH(V)) = {c·1V;c∈C(H)}.
(ii) EndH(V)est un anneau simple, c.-`a-d., l’anneau n’a pas d’id´eal non-trivial.
(iii) Vest le seul EndH(V)-module `a gauche simple, `a isomorphisme pr`es.
Preuve. (i) Soit η∈EndH(V) dans le centre. Alors pour chaque ron a Err η=ηErr et E1rη=ηE1r
et donc par le lemme
X
j
[η]rj ∗Erj =X
i
[η]irEir,X
j
[η]rj E1j=X
i
[η]i1Eir,
et donc [eta]ij = 0 si i6=jet [η]jj = [η]11, donc η=h∗(E11 +. . . +Enn =h∗1, pour h∈H. On
a aussi η(h0∗1)=(h01)η, donc hh0=h0hpour chaque h0∈H, et donc hest dans le centre de H.
Par contre si η=c∗1, alors pour chaque endomorphism η0et v∈Von a
(ηη0)(v) = (c∗1)(η0)(v) = (c1)(η0(v)) = η0(cv) = η0η(v),
et donc ηest dans le centre.
(ii) Soit Iun id´eal non-z´ero de Aet η∈Iun ´el´ement non-z´ero. Alors il existe un coefficient
[η]ij 6= 0. Iest un id´eal, alors
X
r
EriηEjr = [η]ij ∗X
r
Err = [η]ij ∗1∈I,
et aussi
1= ([η]−1
ij )∗1)[η]ij ∗1∈I.
Alors I= EndH(V). Donc EndH(V) est simple.

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(iii) Premi`erement on montre que Vest simple. Soit 0 6=U⊆Vun sous-module, et u=
Pihiei∈Uun ´el´ement non-z´ero, disons hi6= 0. Alors (h−1
i)∗E1i(u) = e1∈U. Alors aussi
Pjhj∗Ej1(e1) = Pjhjej∈U, donc U=V.
Soit Jl’annulateur Jde e1∈Vdans EndH(V). Alors l’application η7→ η(e1) de EndH(V) dans
Vimplique un isomorphisme de EndH(V)-modules `a gauche EndH(V)/J 'V.
Posons E=E11 et E0=E22 +E33 +. . . +Enn. Donc
E2=E, (E0)2=E0, EE0=E0E= 0, E +E0=1.
Soit η(e1) = 0, alors ηest dans
0 = η(e1) = X
ij
[η]ij ∗Eij (e1) = X
ij
Eij ([η]ij e1) = X
i
[η]i1ei,
donc [η]i1= 0 pour chaque i. On a
ηE0=X
i≥1,j>1
[η]ij ∗Eij X
r>1
Err =X
i≥1,j>1
[η]ij ∗Eij =η.
Soit Mmaintenant un EndH(V)-module `a gauche simple, en particulier M6= 0. On a que
EndH(V)EM ⊆Mest un sous module, donc EM = 0 ou EndH(V)EM =M, par la simplicit´e de
M. Supposons que EM = 0. Alors pour chaque i, j on a
Eij M=Ei1EE1jM= 0,
alors
M=1M= (X
i
Eii)M=X
i
EiiM= 0.
Une contradiction, donc il existe un m0∈M, tel que m:= Em06= 0. Alors Em =E2m0=Em0=m
et m=1m= (E+E0)m=Em +E0m=m+E0m, donc E0m= 0. Soit η∈J, alors η=ηE0et
donc
ηm =ηE0m= 0
et Jest contenu dans l’annulateur de m∈Mdans EndHV. Par le th´eor`eme fondamental des
homomorphismes, l’homomorphisme de modules
EndH(V)−→ M:η7→ η(m)
induit un homomorphisme non-zero
V'EndH(V)/J −→ M.
Vet M´etant simple, il suit que Vet Msont isomorphes, par les mˆemes arguments comme dans
le lemme de Schur. 

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5.2. Wedderburn. Soit Gun groupe fini et |G| ∈ k×, o`u kest un corps gauche. Le centre de
kest not´e C. Nous savons maintenant qu’il existe un nombre fini sde classes d’isomorphisme de
kG-modules simples. Soient V1, . . . , Vsces kG-modules simples (`a isomorphisme pr`es). ` A chaque Vi
il y a une repr´esentation associ´ee ρi:G−→ GL(Vi) et par extension un homomorphisme d’anneau
ρi:kG −→ End Vi. Par le lemme de Schur Hi:= EndkG(Vi) est un corps gauche contenant C.
On peut consid´erer Vialternativement comme kG-module, et comme espace vectoriel sur le
corps gauche Hi. Si r∈kG,h∈Hiet v∈Vi, alors par la d´efinition de Hion a h(rv) = rh(v) =
ρi(r)(h(v)), donc ρi(r)∈EndHiVi. Donc on obtient mˆeme un homomorphisme d’anneau
ρi:kG −→ EndHi(Vi) : X
g
ag[g]7→ X
g
agρi(g).
Le th´eor`eme de Wedderburn implique que c’est un ´epimorphisme, donc chaque Hi-endomorphisme
de Viest de la forme Pgagρi(g), o`u les ag∈k. On montre mˆeme plus.
Th´eor`eme 5.1 (Wedderburn).On suppose |G| ∈ k×,kun corps gauche, et soient V1, . . . , Vsles
kG-modules simples (`a isomorphisme pr`es). On supposera que la dimension de kcomme un espace
vectoriel sur son centre est de dimension finie.
L’application
(ρ1, ρ2, . . . , ρs) : kG −→ EndH1(V1)⊕EndH2(V2)⊕. . . ⊕EndHs(Vs)
est un isomorphisme d’anneau.
En particulier, kG est la somme directe d’un certain nombre d’alg`ebres de matrices sur des corps
gauches variables, chacun simple.
Preuve. Nous allons montrer que les deux cˆot´es ont la mˆeme dimension comme espaces vectoriels
sur le centre Cde k. Dans lemme 5.1 on a montr´e que EndHi(Vi) est un espace vectoriel sur Hide
dimension (dimHiVi)2, et comme C-espace la dimension est
(dimHiVi)2·dimCHi=(dimCVi)2
dimCHi
.
Par th. 4.4 les dimensions des deux C-espaces de l’homomorphisme (ρ1, ρ2, . . . , ρs) sont ´egales !
Pour montrer le th´eor`eme de Wedderburn il suffit donc de montrer que l’application est injective.
Soit r∈kG dans le noyau de (ρ1, ρ2, . . . , ρs), donc rest dans le noyau de chaque ρi. Alors ragit
trivialement dans chaque kG-module simple, donc par le th´eor`eme de Maschke ragit trivialement
dans chaque kG-module. En particulier, ragit trivialement sur kG, donc
r·[1G] = 0.
Mais r·[1G] = r, donc r= 0 et le noyau est trivial et l’application est injective. 
Ce th´eor`eme dit qu’on peut voir l’anneau kG d’une autre mani`ere totalement diff´erente. Certains
propri´et´es de kG on voit plus facilement si on utilise l’isomorphisme de Wedderburn. L’anneau
EndHi(Vi) est unitaire avec unit´e Ei=1Vi. Le syst`eme d’´el´ements E1, . . . , Esjouent un rˆole
important dans l’anneau `a droite, disons A, dans l’isomorphisme de Wedderburn. Les propri´et´es
sont
E2
i=Ei;EiEj= 0(i6=j); 1=E1+. . . +Es;