25 à 31 - Département de mathématiques et de statistique

Exemple 4.4. Continuons l’exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a
alors les décompositions
HQ = He1 ⊕ He2 ⊕ He3 ⊕ He4 ⊕ HQ · e5
comme anneaux (avec centre Re1 ⊕ Re2 ⊕ Re3 ⊕ Re4 ⊕ Re5 ), et
HQ = He1 ⊕ He2 ⊕ He3 ⊕ He4 ⊕ HQ · e6 ⊕ HQ · e7
comme HQ-modules à gauches. Mais les deux derniers modules ne sont pas simples. Posons
e8 :=
1
1X
q[q] = (([1] − [−1] + i[i] − i[−i] + j[j] − j[−j] + k[k] − k[−k])) ;
8
8
q∈Q
e9 :=
e10 :=
e11 :=
1
(([1] − [−1] + i[i] − i[−i] − j[j] + j[−j] − k[k] + k[−k])) ;
8
1
(([1] − [−1] − i[i] + i[−i] − j[j] + j[−j] + k[k] − k[−k])) ;
8
1
(([1] − [−1] − i[i] + i[−i] + j[j] − j[−j] − k[k] + k[−k])) .
8
On a e6 = e8 + e9 ; e7 = e10 + e11 et
HQ = He1 ⊕ He2 ⊕ He3 ⊕ He4 ⊕ He8 ⊕ He9 ⊕ He10 ⊕ He11 ,
On a pour chaque q ∈ Q que
[q]e8 =
1 X −1
1X
r[qr] =
q r[q] = q −1 e8
8
8
r∈Q
q∈Q
et il suit facilement que e8 ei = ei e8 = 0, pour i = 1, 2, 3, 4, 9, 10, 11, e28 = e8 et HQ · e8 = He8 . Aussi
par un calcul direct
e9 = ie8 [i]; e10 = je8 [j]; e11 = ke8 [k]; e8 [−1] = −e8 .
Les HQ-modules He8 , He9 , He10 et He11 sont isomorphes (par exemple: He9 ' He8 : he9 =
hie8 [i] 7→ hie8 ). Donc on a cinq HQ-modules simples à isomorphisme près, chacun de dimension 1
sur H.
Soit V5 := H le HQ-module à gauche défini par
X
q∈Q
hq [q] · h0 :=
X
hq h0 q −1 (hq , h0 ∈ H).
q∈Q
Alors e8 ·1 = 1, e9 ·i = ie8 [i]·i = ie8 ·i(i)−1 = ie8 ·1 = i, e10 ·j = j, e11 ·k = k. HQe8 ' V5 : re8 7→ r·1,
R = EndHQ (V5 ) et EndR (V5 ) est de dimension 16 sur R, isomorphe à HQ · e5 .
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26
5. Le théorème de Wedderburn
Dans cette section on montre que si |G| ∈ k × alors l’anneau de groupe kG est isomorphe comme
anneau à un produit d’anneaux de la forme EndH (V ), où V est un espace vectoriel sur un corps
gauche H. Premièrement nous allons étudier un peu ces anneaux d’endomorphismes.
5.1. Anneaux d’endomorphismes d’un espace vectoriel. Fixons un corps gauche H et un espace vectoriel V sur H de dimension n. Fixons aussi une base e1 , . . . , en de V . L’ensemble EndH (V )
des endomorphismes H-linéaires de V est un anneau, avec la composition comme multiplication.
Si c ∈ C(H) (le centre de H), et η ∈ EndH (V ) alors cη, définie par
cη(v) = c · η(v) = η(c · v),
est aussi dans EndH (V ), et donc EndH (V ) est d’une façon naturelle un espace vectoriel sur le corps
C(H). Pour un h ∈ H nous définissons h ∗ η par
n
n
n
X
X
X
(h ∗ η)(
hi ei ) := η(
hi hei ) =
hi hη(ei ).
i=1
i=1
i=1
Cette définition dépend fortement du choix de base, mais pour c ∈ C(H) on a cη = c ∗ η. On voit
que h ∗ η ∈ EndH (V ),
h1 ∗ h2 ∗ η = (h1 h2 ) ∗ η, h ∗ (η1 + η2 ) = h ∗ (η1 ) + h ∗ (η2 ), 1H ∗ η = η,
pour h, h1 , h2 ∈ H et η, η1 , η2 ∈ EndH (V ). Ainsi EndH (V ) est un espace vectoriel sur H.
Considérons pour chaque 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n l’endomorphisme explicite Eij ∈ EndH (V ) défini
par
X
Eij (
hr er ) := hj ei .
r
Pour η ∈ EndH (V ) définissons la matrice de scalaires [η]ij ∈ H par
η(ej ) =
n
X
[η]ij ei .
i=1
Lemme 5.1. (i) Les Eij , 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n, forment une base pour EndH (V ) comme espace
vectoriel sur H. En particulier
X
η=
[η]ij ∗ Eij .
ij
(ii) Pour
h, h0
∈ H on a

(h0 h) ∗ E
is
(h ∗ Eij )(h0 ∗ Ers ) =
0
si j = r,
sinon.
(iii) 1 = E11 + E22 + . . . + Enn est l’identité de EndH (V ) et
(h ∗ 1)(h0 ∗ 1) = (h0 h) ∗ 1,
alors l’application H −
→ EndH (V ) : h 7→ h ∗ 1 est un anti-homomorphisme d’anneau.
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Preuve. (i) On comparant pour v =
P
hj ej les deux calculs
X
X
η(v) =
hj η(ej ) =
hj [η]ij ei
j
j
i,j
et


X
X
 [η]ij ∗ Eij  (v) =
Eij
ij
ij
=
X
!
X
hr [η]ij er
r
hj [η]ij ei
ij
on obtient η =
P
ij [η]ij
P
∗ Eij . Si ij hij ∗ Eij = 0, alors pour chaque r
X
X
X
0=
hij ∗ Eij (er ) =
Eij (hij er ) =
hir ei ,
ij
ij
i
donc hir = 0 pour chaque i et r. Donc les Eij font une base sur H.
(ii) et (iii) suivent des calculs directs.
On utilise le lemme dans la preuve de la proposition suivante.
Proposition 5.1. Soit H un corps gauche et V un H-espace vectoriel de dimension 1 ≤ n < ∞.
(i) Le centre de EndH (V ) est isomorphe au centre de H
C (EndH (V )) = {c · 1V ; c ∈ C(H)}.
(ii) EndH (V ) est un anneau simple, c.-à-d., l’anneau n’a pas d’idéal non-trivial.
(iii) V est le seul EndH (V )-module à gauche simple, à isomorphisme près.
Preuve. (i) Soit η ∈ EndH (V ) dans le centre. Alors pour chaque r on a Err η = ηErr et E1r η = ηE1r
et donc par le lemme
X
X
X
X
[η]rj ∗ Erj =
[η]ir Eir ,
[η]rj E1j =
[η]i1 Eir ,
j
i
j
i
et donc [eta]ij = 0 si i 6= j et [η]jj = [η]11 , donc η = h ∗ (E11 + . . . + Enn = h ∗ 1, pour h ∈ H. On
a aussi η(h0 ∗ 1) = (h0 1)η, donc hh0 = h0 h pour chaque h0 ∈ H, et donc h est dans le centre de H.
Par contre si η = c ∗ 1, alors pour chaque endomorphism η 0 et v ∈ V on a
(ηη 0 )(v) = (c ∗ 1)(η 0 )(v) = (c1)(η 0 (v)) = η 0 (cv) = η 0 η(v),
et donc η est dans le centre.
(ii) Soit I un idéal non-zéro de A et η ∈ I un élément non-zéro. Alors il existe un coefficient
[η]ij 6= 0. I est un idéal, alors
X
X
Eri ηEjr = [η]ij ∗
Err = [η]ij ∗ 1 ∈ I,
r
r
et aussi
1 = ([η]−1
ij ) ∗ 1)[η]ij ∗ 1 ∈ I.
Alors I = EndH (V ). Donc EndH (V ) est simple.
28
(iii) Premièrement on montre que V est simple. Soit 0 6= U ⊆ V un sous-module, et u =
P
hi ei ∈ U un élément non-zéro, disons hi 6= 0. Alors (h−1
i ) ∗ E1i (u) = e1 ∈ U . Alors aussi
Pi
P
j hj ∗ Ej1 (e1 ) =
j hj ej ∈ U , donc U = V .
Soit J l’annulateur J de e1 ∈ V dans EndH (V ). Alors l’application η 7→ η(e1 ) de EndH (V ) dans
V implique un isomorphisme de EndH (V )-modules à gauche EndH (V )/J ' V .
Posons E = E11 et E 0 = E22 + E33 + . . . + Enn . Donc
E 2 = E, (E 0 )2 = E 0 , EE 0 = E 0 E = 0, E + E 0 = 1.
Soit η(e1 ) = 0, alors η est dans
0 = η(e1 ) =
X
[η]ij ∗ Eij (e1 ) =
ij
X
Eij ([η]ij e1 ) =
X
ij
[η]i1 ei ,
i
donc [η]i1 = 0 pour chaque i. On a
ηE 0 =
X
[η]ij ∗ Eij
X
r>1
i≥1,j>1
Err =
X
[η]ij ∗ Eij = η.
i≥1,j>1
Soit M maintenant un EndH (V )-module à gauche simple, en particulier M 6= 0. On a que
EndH (V )EM ⊆ M est un sous module, donc EM = 0 ou EndH (V )EM = M , par la simplicité de
M . Supposons que EM = 0. Alors pour chaque i, j on a
Eij M = Ei1 EE1j M = 0,
alors
X
X
M = 1M = (
Eii )M =
Eii M = 0.
i
i
Une contradiction, donc il existe un m0 ∈ M , tel que m := Em0 6= 0. Alors Em = E 2 m0 = Em0 = m
et m = 1m = (E + E 0 )m = Em + E 0 m = m + E 0 m, donc E 0 m = 0. Soit η ∈ J, alors η = ηE 0 et
donc
ηm = ηE 0 m = 0
et J est contenu dans l’annulateur de m ∈ M dans EndH V . Par le théorème fondamental des
homomorphismes, l’homomorphisme de modules
EndH (V ) −
→ M : η 7→ η(m)
induit un homomorphisme non-zero
V ' EndH (V )/J −
→ M.
V et M étant simple, il suit que V et M sont isomorphes, par les mêmes arguments comme dans
le lemme de Schur.
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5.2. Wedderburn. Soit G un groupe fini et |G| ∈ k × , où k est un corps gauche. Le centre de
k est noté C. Nous savons maintenant qu’il existe un nombre fini s de classes d’isomorphisme de
kG-modules simples. Soient V1 , . . . , Vs ces kG-modules simples (à isomorphisme près). À chaque Vi
il y a une représentation associée ρi : G −
→ GL(Vi ) et par extension un homomorphisme d’anneau
ρi : kG −
→ End Vi . Par le lemme de Schur Hi := EndkG (Vi ) est un corps gauche contenant C.
On peut considérer Vi alternativement comme kG-module, et comme espace vectoriel sur le
corps gauche Hi . Si r ∈ kG, h ∈ Hi et v ∈ Vi , alors par la définition de Hi on a h(rv) = rh(v) =
ρi (r)(h(v)), donc ρi (r) ∈ EndHi Vi . Donc on obtient même un homomorphisme d’anneau
X
X
ag ρi (g).
ag [g] 7→
ρi : kG −
→ EndHi (Vi ) :
g
g
Le théorème de Wedderburn implique que c’est un épimorphisme, donc chaque Hi -endomorphisme
P
de Vi est de la forme g ag ρi (g), où les ag ∈ k. On montre même plus.
Théorème 5.1 (Wedderburn). On suppose |G| ∈ k × , k un corps gauche, et soient V1 , . . . , Vs les
kG-modules simples (à isomorphisme près). On supposera que la dimension de k comme un espace
vectoriel sur son centre est de dimension finie.
L’application
(ρ1 , ρ2 , . . . , ρs ) : kG −
→ EndH1 (V1 ) ⊕ EndH2 (V2 ) ⊕ . . . ⊕ EndHs (Vs )
est un isomorphisme d’anneau.
En particulier, kG est la somme directe d’un certain nombre d’algèbres de matrices sur des corps
gauches variables, chacun simple.
Preuve. Nous allons montrer que les deux côtés ont la même dimension comme espaces vectoriels
sur le centre C de k. Dans lemme 5.1 on a montré que EndHi (Vi ) est un espace vectoriel sur Hi de
dimension (dimHi Vi )2 , et comme C-espace la dimension est
(dimHi Vi )2 · dimC Hi =
(dimC Vi )2
.
dimC Hi
Par th. 4.4 les dimensions des deux C-espaces de l’homomorphisme (ρ1 , ρ2 , . . . , ρs ) sont égales !
Pour montrer le théorème de Wedderburn il suffit donc de montrer que l’application est injective.
Soit r ∈ kG dans le noyau de (ρ1 , ρ2 , . . . , ρs ), donc r est dans le noyau de chaque ρi . Alors r agit
trivialement dans chaque kG-module simple, donc par le théorème de Maschke r agit trivialement
dans chaque kG-module. En particulier, r agit trivialement sur kG, donc
r · [1G ] = 0.
Mais r · [1G ] = r, donc r = 0 et le noyau est trivial et l’application est injective.
Ce théorème dit qu’on peut voir l’anneau kG d’une autre manière totalement différente. Certains
propriétés de kG on voit plus facilement si on utilise l’isomorphisme de Wedderburn. L’anneau
EndHi (Vi ) est unitaire avec unité Ei = 1Vi . Le système d’éléments E1 , . . . , Es jouent un rôle
important dans l’anneau à droite, disons A, dans l’isomorphisme de Wedderburn. Les propriétés
sont
Ei2 = Ei ; Ei Ej = 0(i 6= j); 1 = E1 + . . . + Es ;
30
P
les Ei sont dans le centre de A; chaque idéal de A est engendré par un unique EJ := j∈J Ej ,
J ⊆ {1, 2, . . . , s}, en particulier A contient 2s idéaux; chaque sous-anneau AEi est simple; pour
chaque A-module à gauche M on a une décomposition
M = E1 M ⊕ E2 M ⊕ . . . ⊕ Es M
comme A-modules; les Vi sont les seuls A-modules simples; Ei Vj = 0 si i 6= j; Ei agit comme
P
l’identité sur Vi ; chaque élément du centre de A s’écrit uniquement comme si=1 ci Ei , où ci ∈ C(Hi ).
Toutes ces propriétés sont facile à montrer en utilisant prop.5.1.
Par l’isomorphisme du théorème de Wedderburn il existe un système d’éléments e1 , . . . , es dans
kG ayant exactement les mêmes proprit́és ! Tous ces éléments sont dans le centre de kG. On va
d’abord considérer le centre de l’anneau kG.
5.3. Classes de conjugaison et centre de kG. Il y a une description directe du centre de
l’anneau kG, si G est fini. Soit C ⊂ G une classe de conjugaison, donc
C = {gxg −1 ; g ∈ G},
où x ∈ C quelconque. On définit sa fonction caractéristique δC (ou [C]) par
(
1 si x ∈ C
δC (x) =
0 sinon.
ou
[C] :=
X
[x] ∈ kG.
x∈C
En particulier, si c ∈ C(G) (=le centre du groupe), alors C = {c} est une classe de conjugaison.
On verra que les [C]’s donnent une base du centre de kG comme espace vectoriel sur le centre C(k)
de k.
Si on considère kG comme un ensemble de fonctions sur G avec la convolution comme produit,
alors le centre de kG s’identifie à la collection des fonctions centrales
{f : G −
→ k; ∀x, g ∈ G : f (xg) = f (gx), f (G) ⊆ C(k)}.
Par exemple, si ρ : G −
→ GL(V ) est une représentation de dimension finie sur un corps k, la
fonction χ : G −
→ k : χ(g) := tr(ρ(g)) est une fonction centrale, dite le caractère de V .
Proposition 5.2. Soit G un groupe fini, et k un corps gauche avec centre C(k).
(i) Si C est une classe de conjugaison, alors [C] est dans le centre de kG.
(ii) Si C1 , . . . , Cc sont les classes de conjugaison de G, alors {[C1 ], [C2 ], . . . , [Cc ]} est une C(k)base du centre de kG.
Preuve. Pour chaque g ∈ G on a
[g][C] =
X
x∈C
[gx] =
X
[gxg −1 ][g] = [C][g],
x∈C
donc [C] commute avec les éléments de base de kG, et commute même avec tous les éléments de
kG; ou [C] est dans le centre de kG.
Si Ci 6= Cj , alors Ci et Cj sont disjoints. Donc [Ci ] et [Cj ] utilisent autres vecteurs de base [g].
Il suit que les [Ci ] sont linéairement indépendants sur k.
31
Soit c =
P
x∈G ax [x]
dans le centre de kG, donc pour chaque g ∈ G on a
X
X
c = [g −1 ]c[g] =
ax [g −1 xg] =
agxg−1 [x].
x∈G
x∈G
Donc les coefficients ax = agxg−1 sont constants sur chaque classe de conjugaison. Posons ai := ax ,
P
pour un x ∈ Ci . Alors c = ci=1 ai [Ci ] et c commute aussi avec les scalaires, donc les coefficients
ai sont dans le centree C(k), et donc les Ci font une base du centre de kG comme C(k)-espace
vectoriel.
Si |G| ∈ k × le théorème de Wedderburn donne une autre description du centre de kG.
5.4. Autre description du centre de kG. Si Vi est un kG-module simple et c ∈ C(kG), alors
l’application linéaire
µi,c : Vi −
→ Vi : w 7→ cw
commute avec l’opération de G, donc est par définition un élément du corps gauche Hi . Nous
montrons que µi,c est même dans le centre de Hi , alors
µi : C(kG) −
→ C(Hi ) : c 7→ µi,c .
Et aussi que
(µ1 , . . . , µs ) : C(kG) −
→ C(H1 ) ⊕ C(H2 ) ⊕ . . . ⊕ C(Hs )
est un isomorphisme d’anneaux.
Corollaire 5.1. Même hypothèses comme dans le théorème de Wedderburn, en particulier |G| ∈ k ×
et dimC(k) k < ∞.
L’application
(µ1 , . . . , µs ) : C(kG) −
→ C(H1 ) ⊕ C(H2 ) ⊕ . . . ⊕ C(Hs )
est un isomorphisme d’anneau.
Donc si c est le nombre de classes de conjugaison de G, et s le nombre de kG-modules simples
on a
s
X
c = dimC(k) C(kG) =
dimC(k) C(Hi ) ≥ s.
i=1
En particulier, le nombre des kG-modules simples (à isomorphisme près) est égal au nombre de
classes de conjugaison dans G si et seulement si C(Hi ) = C(k) pour chaque i.
Preuve du corollaire. Par le théorème de Wedderburn on obtient un isomorphisme d’anneau :
(ρ1 , ρ2 , . . . , ρc ) : kG −
→ EndH1 (V1 ) ⊕ EndH2 (V2 ) ⊕ . . . ⊕ EndHs (Vs ).
Par restriction on obtient un isomorphisme entre les centres. Par la prop 5.1, le centre de EndHi Vi
est C(Hi )1Vi .
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Département de mathématiques et de statistique, Université de Montréal, C.P. 6128, succursale
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