SPE MP* Mathématiques 2011-2012 Semaine du 28-11 au 3

SPE MP* Mathématiques
2011-2012
Semaine du 28-11 au 3-12-2011
Exercices 12
Déterminants :
1. Calculer les déterminants suivants :
a
a
a
1 0
1
1
0 1
,
a b c a a
b b c a b
c c c a b
2 2
2 2
2 2
sous forme d’un produit.
x a a
b x
a
b b x
(On pourra, dans le cas
ab
, introduire le déterminant
x y a y a y
b y x y
ay
b y b y x y
)
2. Calculer le déterminant de la matrice
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
1
1
1
n
n
n n n n
ab ab ab
a b a b a b
a b a b a b
.
3. Calculer le déterminant de l’endomorphisme u de
()
n
MR
défini par
()t u M M
.
4. Soient V1, V2, … , Vn n applications dérivables de
RI
dans
n
RI
et soit B la base canonique de
n
RI
. Montrer
que l’application
)(,),(),(det
:
21 xVxVxVx
RIRIf
nB 
est dérivable et calculer sa dérivée.
5. Soit P un polynôme de degré n à coefficients réels. Montrer que
( 1)
()
( 1) ( )
'
( 1) ' ''
( 2) '' ''' 0
00
n
n
nn
nP P P
n P P P
n P P
PP
est un
polynôme constant.
6. On pose
,
12
2 3 ( 1)
( 1) (2 1)
k k k
k k k
nk
k k k
n
n
D
n n n
.Calculer
D D D
1 1 2 1 3 1, , ,
, , .
Montrer que
D n
n,2 0 3  
et
que
D n k
n k,   0 1
.
Exos utilisant les déterminants :
7. Soit
EIR X
n
[ ]
.
a) Montrer que E est engendré par la famille des polynômes
( ) ,X h h IR
n
.
Soit
h
l’endomorphisme de E défini par
hP X P X h P E()( ) ( )   
et soit
U L E
h h h
( ) telsque  
.
b) Montrer que
Uh
est une sous-algèbre de L(E) et que
dim( ) 1 0
h
U n h   
.
c) Montrer que la famille d’endomorphismes
ii
P P i n: , ,...,
( )
01
est une base de
Uh
lorsque h est non
nul.

d) A tout endomorphisme de Uk , on associe la forme linéaire définie par
)1)(()( PP
. Montrer que
l'application est un isomorphisme de Uk sur E* et préciser la base antéduale de la base
ni
i...1
.
8. Soient A, B, C et D quatre points d’un espace affine de dimension 3. Montrer que les plans passant par deux de ces
points et par le milieu du segment joignant les deux autres sont concourants.
Systèmes linéaires
9. Résoudre
baxx
baxx
baxx
baxx
n
nn
1
1
23
12
.
Anneaux, arithmétique
10. Soit A un anneau.
 Soit a un élément de A ayant un unique inverse à droite. Montrer que a est inversible.
 En déduire qu’un anneau fini sans diviseur de 0 est un corps (non nécessairement commutatif).
11. On dit qu’un anneau A est un anneau de Boole si tout élément x de A vérifie x2 = x. Soit A un anneau de Boole.
 Montrer que tout élément x de A vérifie x + x = 0 et que A est commutatif.
 Montrer que
2
ZZ
est le seul corps de Boole à un isomorphisme près. Montrer que pour tout ensemble X,
l’anneau
2
X
ZZ
est un anneau de Boole.
 On suppose que A possède au moins trois éléments. Soit
0,1aA
. Montrer que les parties aA et (1 –
a)A sont stables pour l’addition et la multiplication et sont pour les lois induites des anneaux de Boole.
Montrer que l’application
(1 )
,(1 )
A aA a A
x ax a x
est un isomorphisme d’anneaux.
 Montrer que tout anneau de Boole fini est isomorphe à
2
r
ZZ
.
12. Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme
41k
.
13. Soit p un nombre premier et
0, 1kp
. Quelle est la classe de congruence de
1p
k
?
14. Soient p et q deux nombres premiers impairs tels que q divise 2p -1. Montrer que
12qp
.