devoir 1 (hiver 2015) Alg`ebre II Le devoir est `a remettre au plus

devoir 1 (hiver 2015)
Alg`ebre II
Le devoir est `a remettre au plus tard lundi le 23 f´evrier avant 17h00. Vous pouvez faire
le devoir en ´equipe de 5 ou moins.
Exercice 1
(1) Soit Run anneau int`egre (donc commutatif) et soit f, g ∈R[x] des polynˆome
diff´erents de 0. Alors montrer que
deg(f g) = deg(f) + deg(g).(0.1)
(2) Donner un exemple d’un anneau commutatif R(n´ecessairement pas int`egre) pour
lequel il existe f, g ∈R[x] tels que deg(fg)<deg(f) + deg(g).
Exercice 2 Soit Aun anneau unitaire et Mn(A), l’anneau des matrices n×n`a entr´ees
dans A. On a une inclusion naturelle ι:A→Mn(A) donn´ee par a7→ aIno`u Inest la
matrice identit´e n×n. Le but de cet exercice est de montrer que
C(Mn(A)) = C(A)In:= {λIn:λ∈C(A)}.
On pose eij pour la matrice indicatrice n×nayant des z´eros partout sauf en ij o`u
l’entr´ee est l’´el´ement 1 ∈A. Remarquons que chaque ´el´ement a∈Mn(A) admet une
unique ´ecriture de la forme
a=X
1≤i,j≤n
aij eij avec aij ∈A.
Pour cet exercice vous pouvez prendre pour acquis (il s’agit de la d´efinition mˆeme de la
multiplication de matrices!) les r`egles du produit matriciel pour les eij , `a savoir que
eij ekℓ =δjkeiℓ
o`u δjk est le symbole de Kronecker. Noter que pour tout a∈A⊆Mn(A) on a que
aeij =eij a.
(1) Montrer que In=Pn
i=1 eii correspond bel et bien `a l’identit´e 1Ade Mn(A).
(2) Soit a=Pi,j aij eij ∈Mn(A) o`u aij ∈A. Soit ekℓ avec k6=ℓ. Calculer aekℓ et ekℓa.
En d´eduire que si aekℓ =ekℓa, alors aℓk = 0 (notez que les indices ket ℓont ´et´e
permut´es).
(3) En utilisant le (2) montrer que si a∈C(Mn(A)) alors aest une matrice diagonale.
(4) Soit d=d11e11 +. . . dnnenn ∈Mn(A) une matrice diagonale. Montrer que si deij =
eij d, alors dii =djj. En d´eduire qui si d∈C(Mn(A)) alors dest une matrice scalaire.
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(5) D´eduire que C(Mn(A)) = C(A)In.
Exercice 3 Soit Aun anneau unitaire pas n´ecessairement commutatif. Soit S⊆Aun
sous-ensemble non vide. On d´efinit le centralisateur de Scomme ´etant
C(S) := {a∈A:∀s∈S, as =sa}.
Montrer que que C(S) est un sous-anneau de A.
Exercice 4 Soit A∈Mn(C) et C(A) := C({A}) le centralisateur de la matrice A(ici
Aest une matrice et non un anneau). On pose
C[A] := (N
X
k=0
λkAk∈Mn(C) : λk∈C, N ∈Z≥1).
(0) Montrer que C[A] = Pn−1
k=0 λkAk∈Mn(C) : λk∈C,et donc que dimCC[A]≤n.
Notons que C(A)⊇C[A]. ` A partir de maintenant, on supposera que A∈Mn(C) est
une matrice ayant nvaleurs propres distinctes.
(1) Montrer qu’il existe un automorphisme d’anneaux ϕ:Mn(C)→Mn(C) tel que ϕ(A)
est une matrice diagonale Ddont les entr´ees correspondent aux valeurs propres de A.
(2) Conclure que ϕ(C(A)) = C(D).
(3) Montrer que C(D) = {B∈Mn(C) : Best une matrice diagonale}.
(4) Montrer que C(D) = C[D].
(5) Conclure que C(A) = C[A].
Exercice 5 Soit Aun anneau commutatif et I, J, K ⊆Atrois id´eaux.
(1) Montrer que I(J+K) = IJ +IK.
(2) Montrer que (IJ)K=I(JK).
Exercice 6 Est-ce que tout les id´eaux `a gauche de Mn(R) sont n´ecessairement de type
fini? Vous devez justifier votre r´eponse.
Exercice 7 Construire un isomorphisme d’anneaux explicite pour chaque paire d’anneaux
suivants:
(1) L’anneau quotient Q[x]/(x) et le corps Q.
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(2) L’anneau quotient Q[x, y]/(y) et l’anneau Q[x].
(3) L’anneau quotient R[x]/(x2+ 1) et C.
(4) L’anneau quotient C[x]/(x2+ 1) et l’anneau produit C×C.
Vous pouvez simplement ´ecrire l’application qui donne l’isomorphisme sans donner la jus-
tification qu’il s’agit bel et bien d’un isomorphisme.
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