Cours de Probabilités et Statistiques - Cours-info

Probabilités et statistique
Christophe Guyeux
Jean-François Couchot
guyeux[arobase]iut[moins]bm[point]univ[moins]fcomte[point]fr couchot[arobase]iut[moins]bm[point]univ[moins]fcom
14 septembre 2009

Table des matières
I Probabilités 2
1 Eléments d’analyse combinatoire 3
I Quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.1 La factorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
I.2 Les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II Dénombrement : les permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
II.1 Permutation sans répétition d’objets discernables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
II.2 Permutation avec répétition d’objets discernables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
III Dénombrement : les arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
III.1 Arrangements sans répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
III.2 Arrangements avec répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
IV Dénombrement : les combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
IV.1 Combinaisons et arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
IV.2 Combinaison sans répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
IV.3 Combinaison avec répétition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
V Propriétés des arrangements et des combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
V.1 Valeurs remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
V.2 Formules remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
VI Pascal et Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
VI.1 Le triangle de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
VI.2 Le binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
VII Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Probabilités 13
I Notions d’expérience aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
II Vocabulaire des événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
III Définition d’une probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
IV Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
V Evénements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
VI Probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3 Les variables aléatoires discrètes 20
I Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
II Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
III Espérance mathématique, variance et écart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
IV Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
V Espérance d’une fonction quelconque de Y,g(Y). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
VI Principales probabilités de vad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
VI.1 Loi de bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
VI.2 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
VI.3 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1

Première partie
Probabilités
2

Chapitre 1
Eléments d’analyse combinatoire
I Quelques rappels
I.1 La factorielle
Définition 1.1. Factorielle n, noté n !, est le nombre égal à
– 0 ! = 1,
– n ! = 1*2*3*...*(n-1)*n.
Exemple 1.2. 4 ! = 1*2*3*4 = 24.
Exemple 1.3. 6 ! = 1*2*3*4*5*6 = 720.
Remarque 1.4. On peut encore définir ce nombre par récurrence :
– 0 ! = 1,
– n ! = n*(n-1) !.
Remarque 1.5. (2n) ! = 1*2*3*...*(n-1)*n*(n+1)*...*(2n-1)*(2n), ce qui n’est pas égal à 2 n !
Exercice 1.6. Calculez 7 !
Exercice 1.7. Exprimez simplement (n+1) !-n !
Exercice 1.8. Exprimez simplement le produit des nombres pairs jusqu’à 2n, et le produit des nombres impairs
jusqu’à 2n+1.
I.2 Les ensembles
Soit E un ensemble, et A et B deux parties de E (c’est-à-dire deux sous-ensembles de E.)
E
A
B
Fig. 1.1 – Parties d’un ensemble
Définition 1.9 (cardinal). On appelle cardinal d’un ensemble son nombre d’éléments.
Notation : On note card(E) le cardinal de l’ensemble E.
3

I.2.1 Réunion d’ensembles
Définition 1.11 (Réunion). On note A∪Bl’ensemble, appelé réunion de A et B, constitué des éléments
appartenant à A ou à B.
E
A
B
A U B
Fig. 1.2 – Réunion d’ensembles
I.2.2 Intersection d’ensembles
Définition 1.12 (Intersection). On note A∩Bl’ensemble, appelé intersection de A et B, constitué des élé-
ments appartenant à A et à B.
E
A
B
Fig. 1.3 – Intersection d’ensembles
I.2.3 Relation entre cardinalités
Propriété 1.13. card(A∪B) = card(A) + card(B)−card(A∩B)
I.2.4 Ensemble complémentaire
Définition 1.14 (Complémentaire). On note CA
El’ensemble, appelé complémentaire de A dans E, constitué
des éléments appartenant à E, mais pas à A.
Notation : On note encore Aquand il n’y a pas d’ambiguité.
Exercice 1.16. On considère les ensembles A={1; 2; 3; 4; 5; 6},B={1; 3; 4; 5}, et C={4}.
Calculez toutes les unions, et toutes les intersections possibles. Quels sont les complémentaires de B, C dans A?
Exercice 1.17. On se place sur l’ensemble Ndes entiers naturels.
1. Quel est le complémentaire de l’ensemble des entiers pairs ? des entiers impairs ? de l’ensemble {0; 1; 2}?
4