détermination de l`équation séculaire de la terre

DÉTERMINATION DE L'ÉQUATION SÉCULAIRE DE LA TERRE
DANS LA THÉORIE D'ARRHENIUS
PAR
EMILE
SCHWOERER
Correspondant de l'Institut de France.
(COLMAR)
-s«se-
D'après la théorie d'ARRHENius, la lumière exerce sur les surfaces situées dans
son champ d'action une pression, dite pression de radiation, qui est due au choc
de cet agent, considéré comme un fluide fictif frappant normalement ces surfaces.
Ce fluide recevant une quantité de mouvement de la source.dont il émane, transporte cette quantité de mouvement à travers l'espace et la communique aux obstacles qu'il rencontre. Autrement dit, les corps qui reçoivent de la lumière, de la
chaleur rayonnante, sont comme repoussés par elles.
Il m'a semblé qu'il serait intéressant d'étudier l'action de cette pression sur le
mouvement de la Terre.
I. — RÉSULTATS DE L'ANALYSE.
On sait que la pression qu'exercent, .en tous sens, les atomes d'un gaz est en
raison inverse du volume et en raison directe de la température absolue. Si, donc,
nous désignons par D la distance moyenne inconnue des atomes correspondant à
un volume V a , on a, pour un autre volume V et pour la dislance atomique r, la'
relation
=<ï)
La combinaison de cette formule avec celle des gaz parfaits donne
/Ì92
É.
SCHWOERER.
équation qui nous montre que l'intensité de la répulsion calorifique, considérée
comme une force interalomique, est inversement proportionnelle au cube de la
distance des atomes, quelle qu'elle soit d'ailleurs. C'est ce que HIRN a développé
dès la première édition (1862) de son Exposition analytique et expérimentale de la
Théorie mécanique de la chaleur. On peut donc admettre que, si la chaleur agit aussi
répulsivement sur les corps se trouvant dans l'espace, cette répulsion suit la même
loi, mais que son intensité, à égalité de distance, dépend non de la masse des corps,
comme dans l'attraction nevvtonienne, mais de leur température et de leur surface.
La température spécifique des rayons solaires est, à toutes dislances, la même
que celle de la photosphère, et, pendant un temps limité, nous pouvons considérer
cette température comme invariable.
Gela posé, l'action totale du Soleil sur un corps M peut être exprimée par une
équation de la forme
P__o(2)-(.-,£
G désignant l'intensité de l'attraction rapportée à l'unité de masse et à la distance D,
r le rayon vecteur à l'instant dt, et
7) un coefficient égal à la valeur absolue du rapport de la répulsion et de l'attraction.
Soit ds l'élément de la trajectoire décrit par M pendant l'instant dt. La composante tangentielle de la force accélératrice est
d's
/D\V
D\dr
et, par conséquent,
fds\*
2G
C ~T*(
l r
D \ cfr
(lt)=-J »\ - >T)-
=
„ DV
G
D\
-^
Supposons que le point P où se trouve M, correspondant à la valeur D du rayon
vecteur, soit précisément le périhélie et mesurons les angles décrits à partir de ce
rayon vecteur. Soit V la vitesse en ce point. Il en résulte, pour la valeur de la
constante,
c = Vf — GD(2— r,),
DÉTERMINATION DE L ' É Q U A T I O N SÉCULAIRE DE LA TERRE.
^ 3
•et l'on a, par suite, pour la vitesse à une distance quelconque,
La force dont il s'agit étant centrale, nous avons, d'autre part, l'équation des
aires
dans laquelle G désigne le double de l'aire décrite dans l'unité de temps.
Éliminons dt entre les équations (i) et (2), posons
Vs=2aGD,
• et remarquons que
G = VD,
d'où
C* = 2aGD\
Il vient, en intégrant,
/
7)
f
i / 1 + -L — arc cos I
v
D(2a + 7)) — r
v
u
1
I
L'vK i+ £/-(' + i) + -J
*
et, par suite,
•(3)
w
cosfö V /r^u^ a+ ^":.
\ V
2a/
r(2z + n— 1)
L'équation polaire des courbes du second degré, rapportées à leur foyer, est
(4)
a(i -h e) — r
cos ô = •
er
et la courbe est une ellipse, une parabole ou une hyperbole, selon que l'excentricité e est
<,=
ou
>i.
4g4
E. SCHWOERER.
On voit que les seconds membres des équations (3) et (4) sont semblables etr.
qu'on peut poser
D(ax + 7)) = a(i
+e),
(2a + 7) — i) = e,
d'où
(5)
cos
(•\A^)=^
+ e) — r
er
Les premiers membres des équations (3) et (4) diffèrent, par contre, entre eux,
et d'autant plus que le radical de l'équation (3) est plus grand; en d'autres termes,
d'autant plus que la valeur de TJ est plus grande. Si, comme il en est dans le cas
particulier de nos planètes, la somme
(aa + 7]--i)
est très petite, le premier
excentrique; si, en même
représenter la courbe lieu
lentement autour du foyer
membre de l'équation (3) correspond à une ellipse peu
temps, le terme TJ est aussi très petit, nous pouvons
de M par une ellipse (fig. 1) dont le grand axe tourneO.
FlG.
I.
On voit, en effet, que les valeurs minima et maxima de r correspondent à.
c o s [ 0 i / i + —] = + i,
cos
(VI+ä)=-
DÉTERMINATION DE L ' É Q U A T I O N SÉCULAIRE DE LA TERRE.
l^QO
c'est-à-dire aux valeurs
N*
y/
2a
N représentant les demi révolutions de M autour du point de départ initial P.
Après une première et une deuxième demi révolution, on a :
y
aa
/
2a
après une troisième et une quatrième demi révolution, on a
3*
y
aa
la
4*
\A+-'
II. — APPLICATION AU MOUVEMENT DE LA TERRE.
Pour rendre ces résultats de l'analyse plus frappants, faisons-en une application
au mouvement de la Terre, en posant d'abord, arbitrairement,
vj r= o,oooo5,
c'est-à-dire en supposant la répulsion solaire égale au vingt-millième de l'attraction.
Nous avons ici
e = 0,01675 = (2a + vj — 1),
!IQ6
É.
SCHWOERER.
d'où
2a =
1,01670.
Notre equation générale (5) devient ainsi
, rn N
c o s (6 • 1 ,oooo2458o) =
a
' I ? Ol675
rr-z
r
,
o,oi675r
ce qui nous apprend qu'à chaque révolution sidérale complète, le périhélie avancerait de
X = 1296000" (1,000024589 — 1)
=
3i",8678,
et que, par sui le, en
»S*™
31,8678
=4o6
68f
soit
4- io4 ans,
il décrirait une circonférence complète.
Quelque faible que soit la valeur que nous avons arbitrairement adjugée à 7j,
elle dépasse cependant énormément celle qui résulterait de la répulsion solaire, si
celle-ci naissait d'une impulsion, comme il en serait dans l'hypothèse d'ARRHENius..
Examinons la question de ce point de vue.
La quantité moyenne de chaleur solaire reçue par la Terre s'élève, par seconde, à.
Q = (o,5S) calories,
S étant la section equatoriale de notre Terre en m*.
Le travail mécanique que représente cette quantité de chaleur est
EQ = (216S) kilogram m et re s.
Le rayonnement solaire se propageant avec une vitesse de
Y = 3 • io8 m. par sec,
DÉTERMINATION DE L ' É Q U A T I O N SÉCULAIRE DE LA TERRE.
£97
la pression totale exercée sur la Terre est, en kg,
p
i
= ^
=
o,72io-flS,
si la surface est absorbante, et
pa =
^=i,44io-
ß
S,
'si la surface est parfaitement réfléchissante.
En prenant la moyenne de ces nombres, on a
pm = 1 , 0 8 - 1 0 - 2
pour la valeur de la pression de radiation ou de la force motrice répulsive exercée
par le Soleil sur le globe terrestre.
En divisant cette valeur par la masse de la Terre, ou par
7'
et en remarquant que
S _
%W _
3
o
__3/
—
271 \
4V4~^ô7 5000*
il vient
8 , i - io~7
1
6366198-55oo*
pour la valeur de la force accélératrice répulsive, de la force motrice rapportée à
l'unité de masse.
D'autre part, la masse du Soleil étant 333432 fois celle de la Terre et la distance
moyenne de la Terre au Soleil étant 23439,2 rayons terrestres, on a
333432
Ti0
(23439,2)2
pour la valeur de l'attraction solaire rapportée aussi à l'unité de masse.
63
498
É. SCHWOERER.
Le rapport de ces deux nombres, ou la valeur de TJ, est
7J = 3,8i • io" 14 .
Introduisant cette valeur dans notre équation générale et effectuant les calculs,
on trouve pour l'accroissement annuel de la vitesse de la Terre :
X = 2",4-io- 8 .
Il en résulte pour l'augmentation de la longitude, le siècle étant pris pour unité,
A = -(2",4- io" 8 )(TOO«) 3 ,
ou
A =
1", 2 • i o - 4 > i a ,
n étant le nombre de siècles écoulés.
Telle est donc l'équation séculaire de la Terre dans la théorie d'ARRHENius.