Nicolas JACON

Licence Math´ematiques 3`eme ann´ee
COURS DE THEORIE DES GROUPES
Nicolas JACON
Universit´e de Franche Comt´e

Table des mati`eres
1 Notions fondamentales sur les Groupes 3
1.1 Premi`eres d´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Homorphismes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Sous-groupes engendr´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Groupes quotients 18
2.1 Relations d’´equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Sous-groupes normaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Groupes quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Exemple fondamental : les groupes quotients de Z. . . . . . . 26
3 Th´eor`emes de Sylow 29
3.1 Actions de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 Th´eor`emes de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4 Groupes sym´etriques 37
4.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Permutations d’un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3 Signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5 Produits directs et Produits semi-directs 46
5.1 Produits directs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2 Produit semi-direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3 Compl´ement 1 : Produit semi-direct externe . . . . . . . . . . 50
5.4 Compl´ement 2 : Le groupe di´edral . . . . . . . . . . . . . . . . 52
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Chapitre 1
Notions fondamentales sur les
Groupes
1.1 Premi`eres d´efinitions
Rappellons tout d’abord qu’une loi de composition sur un ensemble Eest
la donn´ee d’une application :
∗:E×E→E
(x, y)7→ x∗y
D´efinition 1.1.1 Un groupe Gest un ensemble non vide muni d’une loi de
composition ∗:E×E→Ev´erifiant :
1. “∗” est associative, c’est `a dire :
∀(x, y, z)∈E3,(x∗y)∗z=x∗(y∗z).
2. “∗” admet un ´el´ement neutre eG, c’est `a dire :
∃eG∈G, ∀x∈G, eG∗x=x∗eG=x.
3. Tout ´el´ement xde Gadmet un inverse not´e x−1, c’est `a dire :
∀x∈E, ∃x−1∈E, x ∗x−1=x−1∗x=eG.
On dira de plus que le groupe (G, ∗) est commutatif (ou ab´elien) si la loi de
composition “ ∗” est commutative, c’est `a dire :
∀(x, y)∈E2, x ∗y=y∗x.
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1.1. Premi`eres d´efinitions
Par abus de notation, la plupart du temps, nous noterons Gau lieu de (G, ∗)
pour d´esigner un groupe. Il faut n´eanmoins bien avoir en tˆete que la structure
de groupe d´epend des deux donn´ees : celle de l’ensemble Get celle de la loi
de composition “ ∗”.
Remarquons que l’´el´ement neutre eGd’un groupe Gest unique ainsi que
l’inverse d’un ´el´ement. Traditionellement, la loi “ ∗” est souvent not´ee mul-
tiplicativement c’est `a dire qu’on remplace “ ∗” par “.” dans la d´efinition ci-
dessus (on omettra mˆeme parfois “.” de sorte que x.y sera not´e xy), l’´el´ement
neutre est alors parfois not´e 1. Cependant, dans le cas ou Gest commutatif
(et seulement dans ce cas !), on utilisera parfois une notation additive : on
remplace alors ∗par + dans la d´efinition ci-dessus, l’´el´ement neutre est alors
not´e 0 et l’inverse d’un ´el´ement x∈Gest not´e −x.
Exemple.
1. R(rep. Q) muni de l’addition est un groupe commutatif.
2. R∗(rep. Q∗) muni de la multiplication est un groupe commutatif.
3. Zmuni de l’addition est un groupe commutatif.
4. Z∗muni de la multiplication n’est pas un groupe, 2 (par exemple)
n’ayant pas d’inverse dans Z.
5. Soit E={1,··· , n}alors l’ensemble des bijections de Edans E, muni
de la loi de composition est un groupe (d’´element neutre l’identit´e), non
commutatif en g´en´eral, et appel´e groupe sym´etrique. On le note Sn.
6. L’ensemble GLn(R) des matrices carr´ees n×ninversibles `a coefficients
dans Ret muni de la multiplication est un groupe non commutatif en
g´en´eral. L’´el´ement neutre est la matrice identit´e.
7. L’ensemble Mn(R) des matrices carr´ees n×n`a coefficients dans Ret
muni de la multiplication n’est pas un groupe en g´en´eral (la matrice de
Mn(R) possedant tous ses coefficents nuls n’est pas inversible).
8. Plus g´en´eralement, si Vest un espace vectoriel sur un corps k(=Rou
C), l’ensemble des bijections lin´eaires GLk(V) muni de la composition
est un groupe, non commutatif en g´en´eral.
Parmi les exemples ci-dessus, le groupe Zposs`ede des propri´et´es parti-
culi`eres, entre autre une autre loi : la multiplication qui donne une structure
plus riche `a cet ensemble : c’est un anneau (cf le cours du 2`eme semestre).
Nous nous servirons dans la suite particuli`erement des propri´et´es suivantes
(il est ici tres important de les maˆıtriser).
–Zest muni de la division euclidienne c’est `a dire que pour tout n∈Z
et m∈Z∗, il existe q∈Zet r∈Ntel que 0 ≤r < |m|et tel que :
n=mq +r.
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1.1. Premi`eres d´efinitions
– Pour n∈Zet m∈Ztous les deux non nuls, on note pgcd(m, n), le
plus grand (au sens de la divisibilit´e) entier positif divisant met n.
C’est aussi l’entier positif cv´erifiant :
∀x∈Z, x|met x|n⇐⇒ x|c.
Si pgcd(m, n) = 1 alors on dit que met nsont premiers entre eux.
– Le th´eor`eme de Gauss : si aest premier avec bet divise bc alors il divise
c.
Revenons `a la structure de groupe. Donnons quelques r`egles et remarques
relatives aux calculs dans un groupe G.
– On a e−1
G=eGet pour tout x∈G, on a (x−1)−1=x.
– Pour tout (x, y, z)∈G3, on a :
xy =xz =⇒y=zet yx =zx =⇒y=z.
– Par la r`egle d’associativit´e, il est inutile de garder les parenth`eses
dans une expression. Ainsi, un produit quelconque d’´el´ements xi(i=
1,··· , n) de Gsera not´e x1x2···xn.
– Si xet ysont deux ´el´ements de Galors xyy−1x−1=eG. Il suit que
(xy)−1=y−1x−1qui est diff´erent de x−1y−1en g´en´eral (si le groupe
n’est pas commutatif).
– Pour x∈G, on notera xnl’´el´ement x···xx
|{z }
nfois
si n est positif avec comme
convention x0=eG. Pour nn´egatif, on note xn= (x−1)−n. On a alors
les regles de calculs :
xmxn=xm+net (xn)m=xmn.
D´efinition 1.1.2 On dit qu’un groupe Gest fini si il comporte un nombre
fini d’´el´ements. L’ordre de Gnot´e o(G) est par d´efinition le cardinal de G.
Si Gcomporte un nombre infini d’´el´ements, on dit que Gest d’ordre infini.
Exemple.
1. Le nombre de bijections de {1,··· , n}dans {1,··· , n}´etant ´egal `a n!,
on en d´eduit que le groupe sym´etrique Snest un groupe fini d’ordre
n!.
2. On consid`ere l’ensemble {0,1}muni d’une loi interne not´ee “+” et
d´efinie par 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1 et 1 + 1 = 0. Il est imm´ediat
de v´erifier qu’on obtient une structure de groupe commutatif d’ordre
2. Ce groupe sera not´e Z/2Zdans la suite.
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