3e - programme 2012 - mathématiques – ch.G2 - cours (D’après Sésamath – collection Mathenpoche – ch.G2) Page 1 sur 2 Ch.G2 : Trigonométrie 1 COSINUS, SINUS ET TANGENTE D'UN ANGLE AIGU 1.1 Définitions ex. 1 à 3 DÉFINITIONS 1 Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté adjacent à cet angle par la longueur de l'hypoténuse ; le sinus d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur de l'hypoténuse ; la tangente d'un angle aigu est le quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur du côté adjacent à cet angle. Exemple 1 : Le triangle COR est rectangle en R. Écris les formules donnant le cosinus et le sinus de l'angle COR, puis la formule donnant la tangente de l'angle OCR . Solution : Le triangle COR est rectangle en R donc : sin COR = côté opposé à COR hypoténuse RC sin COR = . CO cos COR = côté adjacent à COR hypoténuse RO cos COR = CO tan OCR = côté opposé à RCO côté adjacent à RCO RO tan OCR = . RC Remarques : Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont toujours compris entre 0 et 1. La tangente d'un angle aigu est un nombre strictement positif. 1.2 Calculer des longueurs ex. 4 à 8 Exemple 2 : Calculer une longueur L On considère un triangle LEO rectangle en E tel que LO = 5,4 cm et ELO = 62°. 4 5, a) Calcule la longueur du côté [OE] arrondie au millimètre. b) Puis, calcule la longueur du côté [EL] arrondie au millimètre. cm O 62° E Solution : a) Dans le triangle LEO rectangle en E, [LO] est l'hypoténuse ; [OE] est le côté opposé à l'angle ELO . sin ELO = côté opposé à ELO hypoténuse sin ELO = OE LO On cite les données de l'énoncé qui permettent de choisir la relation trigonométrique à utiliser. On doit utiliser le sinus de l'angle ELO. On écrit le sinus de l'angle connu. (La longueur cherchée doit apparaître dans le rapport.) OE = LO sin ELO On applique la règle des produits en croix. OE = 5,4 sin 62° On saisit 5,4 × OE 4,8 cm. H. Rorthais (Collège N.D. de l’Abbaye à Nantes) 62 à la calculatrice. OE est inférieure à LO. Le résultat est cohérent. 3e - programme 2012 - mathématiques – ch.G2 - cours (D’après Sésamath – collection Mathenpoche – ch.G2) Page 2 sur 2 b) Pour calculer la longueur du segment [EL], on peut utiliser deux méthodes différentes. Première méthode : On utilise le théorème de Pythagore dans le triangle LEO rectangle en E. LO2 = OE2 + EL2 5,42 4,82 + EL2 EL2 5,42 – 4,82 6,12 EL 6,12 donc EL 2,5 cm. Deuxième méthode : On utilise une deuxième relation trigonométrique. Dans le triangle LEO rectangle en E, On cite les données de l'énoncé qui permettent de [LO] est l'hypoténuse ; choisir la relation trigonométrique à utiliser. [EL] est le côté adjacent à l'angle ELO . On doit utiliser le cosinus de ELO. cos ELO = côté adjacent à ELO hypoténuse cos ELO = EL LO On écrit le cosinus de l'angle connu. (La longueur cherchée doit apparaître dans le rapport.) EL = LO cos ELO On applique la règle des produits en croix. EL = 5,4 cos 62° On saisit 5,4 EL 2,5 cm. EL est inférieure à LO. Le résultat est cohérent. 62 à la calculatrice. Exemple 3 : Calculer un angle F Soit FUN un triangle rectangle en U tel que : UN = 8,2 cm et UF = 5,5 cm. 5,5 cm Calcule la mesure de l'angle UNF arrondie au degré. Solution : Dans le triangle FUN rectangle en U, [FU] est le côté opposé à l'angle UNF ; [UN] est le côté adjacent à l'angle UNF . tan UNF = U N On cite les données de l'énoncé qui permettent de choisir la relation trigonométrique à utiliser. On doit utiliser la tangente de UNF . côté opposé à UNF côté adjacent à UNF UF tan UNF = UN 5,5 tan UNF = et UNF 34°. 8,2 On écrit la tangente de l'angle recherché. On saisit calculatrice. ou puis (5,5 ÷ 8,2) à la 2 RELATIONS TRIGONOMÉTRIQUES ex. 9 PROPRIÉTÉS Pour tout angle aigu A, (cos A)2 + (sin A)2 = 1 et tan A = sin A . cos A Remarque : La première formule peut aussi s'écrire cos2 A + sin2 A = 1. Exemple 4 : a) Calcule la valeur exacte de sin A sachant que A est un angle aigu tel que cos A = 0,8. b) Puis calcule la valeur exacte de tan A. Solution : a) cos2 A + sin2 A = 1, donc sin2 A = 1 – cos2 A = 1 – 0,82 = 1 – 0,64 = 0,36. Le sinus d'un angle aigu est un nombre positif, donc sin A = b) tan A = 8,2 cm sin A cos A = 0,6 = 0,75. 0,8 H. Rorthais (Collège N.D. de l’Abbaye à Nantes) 0,36 = 0,6.