Chap.4 – Induction : circuit mobile dans un champ permanent

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Chap.4 – Induction : circuit mobile dans un champ permanent
1. Circulation du champ électrique – Loi de Faraday
1.1. Changement de référentiel : transformation non-relativiste des champs
1.2. Le champ électrique n’est pas à circulation conservative – Force électromotrice
1.3. Loi de Faraday (circuit filiforme fermé)
1.4. Schéma équivalent d’un conducteur filiforme en présence d’induction
1.5. Exemple : Rail de Laplace
1.6. Loi de Lenz (loi de modération)
2. Force de Laplace – Couplage électromécanique
2.1. Force de Laplace élémentaire (rappel)
2.2. Résultante des forces de Laplace
2.3. Couple résultant des forces de Laplace
2.4. Travail des forces de Laplace – Conversion électromécanique de puissance
3. Applications au haut-parleur
3.1. Modélisation
3.2. Equations mécanique et électrique
3.3. Illustration de la conversion électromécanique de puissance
Intro : On peut distinguer deux situations extrêmes en induction. Soit le circuit est fixe et le champ magnétique
variable : c’est l’induction de Neumann. Soit le circuit est mobile et le champ magnétique est permanent (pas
nécessairement uniforme) : c’est l’induction de Lorentz. Dans le cas général (hors programme), ces deux aspects
doivent être pris en compte simultanément.
Dans le cas d’un circuit mobile, on va aussi s’intéresser au couplage électro-mécanique. En plus de l’aspect
électrique (fém induite), on étudie ici l’effet des forces de Laplace sur le mouvement du circuit.
1. Circulation du champ électrique – Loi de Faraday
1.1. Changement de référentiel : transformation non-relativiste des champs
Dans le référentiel R d’étude, le champ électromagnétique est supposé permanent. On se place dans le référentiel
R’ d’un conducteur en mouvement.
 La force de Lorentz et la charge électrique étant invariantes par changement de référentiel, en déduire
l’expression du champ électromagnétique dans le référentiel R’.
1.2. Le champ électrique n’est pas à circulation conservative – Force électromotrice
Le champ électrique n’est (toujours) pas un champ de gradient en régime variable.
Définition du champ électromoteur

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Définition fém
(en volts)
Contrairement au chapitre précédent, on peut généralement calculer le champ électromoteur, et cette définition
permet souvent en pratique de calculer la fém induite.
1.3. Loi de Faraday (circuit filiforme fermé)
Dans le cas particulier d’un circuit filiforme fermé, ou dont l’ouverture est étroite devant la longueur du circuit :
Loi de Faraday
où    est le flux du champ magnétique à travers le circuit
Dans le cas d’un circuit mobile dans un champ permanent, cette loi est admise. On notera que le circuit, s’il se
déforme, ne doit pas subir de discontinuités lors de sa déformation.
1.4. Schéma équivalent d’un conducteur filiforme en présence d’induction
Cas d’un circuit non-fermé
En présence d’un champ magnétique variable, entre deux points A et B du conducteur :
la fém  étant orientée en convention générateur.
La seule façon de calculer la fém est d’utiliser l’expression du champ électromoteur (ou la notion de « flux
coupé », mais hors programme).
Cas d’un circuit fermé
L’expression ci-dessus tient toujours, mais il est préférable de calculer la fém grâce à la loi de Faraday.
Rappel : Un schéma électrique est indispensable pour relier les tensions et les courants dans le circuit.
1.5. Exemple : Rail de Laplace
Un circuit fermé par une barre mobile (rail de Laplace) baigne dans un champ magnétique permanent et uniforme.
A   , la barre est lance avec une vitesse initiale 
.
 Déterminer la fém induite dans le circuit par le mouvement de la barre.

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1.6. Loi de Lenz (loi de modération)
En finissant l’étude de l’exemple du rail de Laplace, on montrera que cette loi de modération est encore valable.
Loi de Lenz
Les conséquences de l’induction tendent à s’opposer aux causes qui lui ont donné naissance.
2. Force de Laplace – Couplage électromécanique
On prend comme exemple concret l’étude du rail de Laplace.
2.1. Force de Laplace élémentaire (rappel)
 Rappeler avec des mots ce qu’est la force de Laplace.
 Donner l’expression de la force appliquée à une portion élémentaire d’un circuit filiforme
 Donner son expression dans le cas d’un conducteur tridimensionnel
2.2. Résultante des forces de Laplace
 En considérant un circuit rectangulaire, montrer que la résultante est nulle si le champ est uniforme.
 Montrer qu’en général la résultante n’est pas nulle.
 Dans le cas du rail de Laplace, exprimer la force résultante de Laplace exercée sur le rail en déplacement.
 Expliquer en quoi la direction et le sens de cette force est une illustration de la loi de Lenz.
2.3. Couple résultant des forces de Laplace
 Dans le cas d’un champ uniforme et vertical, donner l’expression du couple exercé sur un cadre rectangulaire
vertical, pouvant tourner sur lui-même par rapport à son axe central.
2.4. Travail des forces de Laplace – Conversion électromécanique de puissance
(Admis) Ce que l’on démontre dans le cas particulier du rail de Laplace est un résultat général. On néglige les
forces de frottements et la résistance du circuit.
 Déterminer la puissance mécanique reçue par la barre sous l’effet des forces de Laplace.
 Déterminer la puissance électrique fournie par la fém induite au circuit.
 Comparer les deux termes et conclure.

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3. Applications au haut-parleur
3.1. Modélisation
L’équipage mobile de masse m est constitué d’un
solénoïde de longueur totale l placé dans un champ B
radial et stationnaire, et solidaire d’une membrane. Il est
soumis :
 à son poids ;
 à une réaction du support normale au déplacement car
sans frottement sec ;
 à une force de rappel de la membrane, modélisée par
z
F = -k.z.u
;
 à une force de frottement fluide
z
u
dt
dz
f
;
traduisant l’émission sonore ;
3.2. Equations mécanique et électrique
 Déterminer l’EDiff vérifiée par 
Comment modéliser électriquement le bobinage en tenant compte des effets de l’induction ?
 Déterminer l’EDiff vérifiée par 
3.3. Illustration de la conversion électromécanique de puissance
 Effectuer deux bilans de puissance : le premier mécanique, le second électrique.
 Interpréter physiquement chacun des termes, et discuter à nouveau de la conversion électromécanique de
puissance
Notions clefs
Savoirs :
 Expression champ électromoteur et définition de la fém induite
 Loi de Faraday dans le cas d’un circuit filiforme
 Loi de Lenz
 Expression forces linéiques de Laplace
Savoirs faire :
 Savoir dessiner le schéma électrique équivalent d’un circuit en présence d’induction (fém !)
 Savoir orienter le courant, et la surface sous-tendue par le circuit de manière cohérente (tire-bouchon)
 Savoir orienter la fém en convention générateur dans le schéma élec équivalent pour utiliser les formules
 Savoir calculer la résultante des forces de Laplace sur un tronçon de conducteur (cas simples uniquement)
 Savoir calculer le moment résultant par rapport à un axe (‘couple’ si champ uniforme)
 Savoir faire deux bilans de puissance (méca et élec) et discuter de la conversion de puissance
électromécanique