Chapitre XII – Lois de probabilité à densité 1 Loi à densité

Chapitre XII – Lois de probabilité à densité
1 Loi à densité
Définition 1. On dit qu’une variable aléatoire est continue si elle peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle Ide R.
Exemple 1. Soit Xla variable aléatoire égale au temps de travail personnel quotidien (en heures) d’un(e) élève de terminale S.
→Xest une variable aléatoire continue définie sur [0; 6]. Elle peut prendre toutes les valeurs réelles entre 0 et 6.
→Yla variable aléatoire égale au nombre de matières travaillées par jour est une variable aléatoire discrète.
Définition 2. On appelle fonction de densité sur un intervalle Iune fonction f telle que :
1. fest continue et positive sur I;
2. ZI
f(x) dx= 1.
Remarque. Une fonction de densité peut être définie sur tout intervalle I, par exemple : [a;b],R,[0; +∞[...
•Si I= [a;b],ZI
f(x) dx=Za
b
f(x) dx= 1
•Si Iest non borné comme [0; +∞[ou R, on admet que ZI
f(x) dx=1,
par exemple : Z0
+∞
f(x) dx=lim
A→+∞Z0
A
f(x) dx= 1
Exemple 2. Soit fla fonction définie sur [1; e] par f(x) = 1
x.
Montrer que fest une fonction de densité.
•La fonction fest continue et positive sur [1; e]
•Z1
e
f(x) dx= [ln (x)]1
e=ln (e) −ln (1) = 1
donc fest une fonction de densité sur [1; e].
Exemple 3. Soit gla fonction définie sur [1; 10]par g(x) = a
x2.
Calculer la valeur de atel que gsoit une fonction de densité.
gest une fonction continue et positive si a > 0.
On cherche la valeur de a > 0telle que : Z1
10 a
x2dx= 1
h−a
xi1
10 = 1
−a
10 +a 1= 1
a=10
9
donc g(x) = 10
9x2sur [1; 10]
Définition 3. Soit Xune variable aléatoire continue à valeur dans un intervalle Iet fune fonction de densité sur I.
On dit que Xsuit la loi à densité florsque pour tout intervalle [a;b]inclus dans I:
P(X∈[a;b]) = P(a6X6b) = Za
b
f(x) dx=Aire sous la courbe de fentre aet b
On dit aussi que Pest la loi de probabilité de densité de f.
Exemple 4. Soit Xla variable aléatoire égale au temps de travail personnel quotidien (en heures) d’un élève de terminale S.
Xsuit une loi à densité fdéfinie sur [0; 6] par : f(x) = 1
36 (6 x−x2).Vous pouvez le vérifier en étudier le signe de f(x)et en calculant
Z0
6
f(x) dx
Calculer la probabilité qu’un élève travaille plus de 4 heures quotidiennes.
P(X>4) =P(4 6X66) = Z4
6
f(x) dx=Z4
61
36 (6 x−x2) dx=1
36 3x2−x3
34
6
=1
36 (108 −72)−1
36 48 −64 3=7
27 ≈0,2593

Proposition 1. Soit Xune variable aléatoire continue suivant une loi à densité fsur l’intervalle I.
Pour tout aappartenant à I :
1. P(X=a) = 0.
2. P(X6a) = P(X < a).
3. P(X6a) = 1 −P(X>a).
4. Si Aet Bsont deux intervalle disjoints de Ialors P(X∈A∪B) = P(X∈A) + P(X∈B).
Définition 4. Soit Xune variable aléatoire continue suivant une loi à densité fsur l’intervalle [a;b].
On appelle espérance mathématique de Xle nombre :
E(X) = Za
b
x f(x) dx
Remarque. L’espérance d’une variable aléatoire discrète continue s’interprète comme la moyenne des valeurs prises par
Xlorsque l’expérience est répétée un grand nombre de fois.
Exemple 5. Reprendre l’exemple 4 et calculer le temps de travail personnel moyen d’un élève de terminale S.
E(X) = Z0
6
x×f(x) dx=1
36 Z0
6
(6 x2−x3) dx=1
362x3−x4
40
6
=1
36 2×63−64
4−0=108
36 =3heures
2 Loi uniforme sur [α;β]:U[α;β]
Définition 5. On dit qu’une variable aléatoire continue Xsuit la loi uniforme
sur [α;β]si elle admet comme densité de probabilité la fonction fconstante,
définie sur [α;β]par :
f(x) = 1
β−α
αβ
1
β−α
Exemple 6. Soit Xla variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [3; 9]. Déterminer sa fonction de densité.
La fonction de densité de probabilité fde la loi de Xest définie sur [3; 9] par : f(x) = 1
9−3=1
6faire un schéma si besoin...
Proposition 2. Soit Xune variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [α;β].
Pour tout intervalle [a;b]inclus dans [α;β],
P(X∈[a;b]) = P(a6X6b) = b−a
β−α=longueur de [a;b]×1 β−α
αβ ab
1
β−α
Exemple 7. Soit Xla variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [3; 9]. Calculer P(X > 7) et P(4 < X 67).
P(X > 7) = 9−7
6=2
6=1
3et P(4 < X 67) = 7−4
6=3 6=1
2
Proposition 3. Si Xest une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [α;β]alors son espérance
E(X) = α+β
2
Exemple 8. Soit Xla variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [3; 9]. Calculer l’espérance de X.
E(X) = 9 + 3
2=12 2=6, la « valeur moyenne » de Xsur [3; 9] est donc égale à 6.
Tale S2 Chapitre XII – Lois de probabilité à densité Guist’hau - 2014/2015
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3 Loi exponentielle de paramètre λ:E(λ)
Définition 6. On dit qu’une variable aléatoire continue Xsuit la loi exponen-
tielle de paramètre λ, avec λ > 0, si elle admet comme densité de probabilité
la fonction f, définie sur [0; +∞[par :
f(x) = λe−λx
0
λ
y=λe−λx
Remarque. •Pour λ > 0, on notera souvent fλ(x) = λe−λ.
•La fonction fλ:x λ e−λx est bien une fonction de densité sur [0; +∞[car
→fλest continue et positive
→et pour tout A > 0,Z0
A
λe−λx dx= [−e−λx]0
A=−e−λA + e0= 1 −e−λA
d’où Z0
+∞
λe−λx dx=lim
A→+∞Z0
A
λe−λx dx= 1
Proposition 4. Pour tous réels positifs aet btels que a6b,
P(X6a) = 1 −e−λa P(X > a) = e−λa P(a6X6b) = e−λa −e−λb
Exemple 9. La durée de vie d’une ampoule peut être modélisée par une variable aléatoire Xqui suit une loi exponentielle.
Calculer le paramètre λde cette loi sachant que P(X>800) = 0,2. En donner un arrondi au millième.
P(X>800) = 0,2 e−800 λ= 0,2 −800 λ=ln (0,2) λ=−ln (0,2)
800 ≈0,002
Proposition 5. Si Xest une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λalors son espérance
E(X) = 1
λ=lim
A→+∞Z0
A
x λ e−λx dx
Exemple 10. La durée d’attente (en min) pour obtenir un autographe du professeur de maths à la fin de son cours est une variable aléatoire Tqui
suit la loi exponentielle de paramètre λ= 0,05.
1. Calculer, en minutes, le temps moyen d’attente pour obtenir un autographe.
E(T) = 1
λ=1
0,05 =20 , le temps d’attente moyen est donc de 20 minutes.
2. Calculer, à 10−2près, la probabilité d’attendre moins de 30 minutes et la probabilité d’attendre entre 10 et 30 minutes.
P(T < 30) = 1 −e−30λ= 1 −e−1,5 ≈0,78
P(10 < T < 30) = e−10λ−e−30 λ= e−0,5 −e−1,5 ≈0,38
3. Un élève arrive au bureau du prof. Un panneau indique que le temps d’attente est d’au moins 10 minutes. Calculer à 10−2près la
probabilité qu’il soit inférieur à 30 minutes.
PT>10(T < 30) = P((10 6T)∩(T < 30))
P(T>10)=P(10 6T < 30)
P(T>10)=e−10 λ−e−30 λ
e−10 λ= 1 −e−20λ≈0,63
Loi de durée de vie sans vieillissement
Définition 7. Une variable aléatoire Xà valeurs dans [0 ; +∞[suit une loi de vie sans vieillissement (ou sans
mémoire) lorsque, pour tous réels positifs tet h,PX>t(X>t+h) = P(X>h)
Proposition 6. Soit Xest une variable aléatoire. Xsuit une loi exponentielle si, et seulement si, Xest sans
vieillissement.
Exemple 11. La durée de vie (en heures) d’un certain type d’ampoules électriques est une variable aléatoire Tqui suit une loi exponentielle de
paramètre λ= 0,002.Calculer, à 10−3près, la probabilité pour qu’une ampoule de ce type fonctionne encore au bout de 600 h sachant
qu’elle fonctionnait encore au bout de 500 h.
PT>500(T>600) = PT>500(T>500 +100) = P(T>100) = e−100 λ= e−0,2 ≈0,819
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