Chapitre XII – Lois de probabilité à densité 1 Loi à densité

Chapitre XII – Lois de probabilité à densité
1 Loi à densité
Définition 1. On dit qu’une variable aléatoire est continue si elle peut prendre toutes les valeurs d’un intervalle I de R.
Exemple 1. Soit X la variable aléatoire égale au temps de travail personnel quotidien (en heures) d’un(e) élève de terminale S.
→
X est une variable aléatoire continue définie sur [0; 6]. Elle peut prendre toutes les valeurs réelles entre 0 et 6.
→
Y la variable aléatoire égale au nombre de matières travaillées par jour est une variable aléatoire discrète.
Définition 2. On appelle fonction de densité sur un intervalle I une fonction f telle que :
1. f est continue et positive sur I ;
Z
2.
f (x) dx = 1.
I
Remarque. Une fonction de densité peut être définie sur tout intervalle I, par exemple : [a; b], R, [0; +∞[...
Si I = [a; b],
•
Z
f (x) dx =
I
Z
b
f (x) dx = 1
a
Si I est non borné comme [0; +∞[ ou R, on admet que
Z A
Z +∞
f (x) dx = 1
par exemple :
f (x) dx = lim
•
a
.
x2
Calculer la valeur de a tel que g soit une fonction de densité.
g est une fonction continue et positive si a > 0.
1
Exemple 2. Soit f la fonction définie sur [1; e] par f (x) = x .
Montrer que f est une fonction de densité.
Exemple 3. Soit g la fonction définie sur [1; 10] par g(x) =
La fonction f est continue et positive sur [1; e]
Z e
f (x) dx = [ln (x)]e1 = ln (e) − ln (1) = 1
•
f (x) dx=1,
I
A→+∞ 0
0
•
Z
On cherche la valeur de a > 0 telle que :
1
donc f est une fonction de densité sur [1 ; e].
donc g(x) =
10
sur [1; 10]
9 x2
Z
10
a
dx
x2 i
a 10
−
x 1
a
a
− +
10 1
a
1h
= 1
= 1
= 1
=
10
9
Définition 3. Soit X une variable aléatoire continue à valeur dans un intervalle I et f une fonction de densité sur I.
On dit que X suit la loi à densité f lorsque pour tout intervalle [a; b] inclus dans I :
Z b
P (X ∈ [a; b]) = P (a 6 X 6 b) =
f (x) dx = Aire sous la courbe de f entre a et b
a
On dit aussi que P est la loi de probabilité de densité de f.
Exemple 4. Soit X la variable aléatoire égale au temps de travail personnel quotidien (en heures) d’un élève de terminale S.
Z 6 X suit une loi à densité f définie sur [0 ; 6] par : f (x) =
f (x) dx
1
36
(6 x − x2). Vous pouvez le vérifier en étudier le signe de f (x) et en calculant
0
Calculer la probabilité qu’un élève travaille plus de 4 heures quotidiennes.
P (X > 4) = P (4 6 X 6 6) =
Z
4
6
f (x) dx =
Z
4
6
1
1
x3 6
1
64
1
7
=
(6 x − x2) dx =
3 x2 −
(108 − 72) −
48 −
=
≈ 0,2593
36
3
36
36
3
36
27
4
Tale S2
Chapitre XII – Lois de probabilité à densité
Guist’hau - 2014/2015
Proposition 1. Soit X une variable aléatoire continue suivant une loi à densité f sur l’intervalle I.
Pour tout a appartenant à I :
1. P (X = a) = 0.
2. P (X 6 a) = P (X < a).
3. P (X 6 a) = 1 − P (X > a).
4. Si A et B sont deux intervalle disjoints de I alors P (X ∈ A ∪ B) = P (X ∈ A) + P (X ∈ B).
Définition 4. Soit X une variable aléatoire continue suivant une loi à densité f sur l’intervalle [a; b].
On appelle espérance mathématique de X le nombre :
Z b
E(X) =
x f (x) dx
a
Remarque. L’espérance d’une variable aléatoire discrète continue s’interprète comme la moyenne des valeurs prises par
X lorsque l’expérience est répétée un grand nombre de fois.
Exemple 5. Reprendre l’exemple 4 et calculer le temps de travail personnel moyen d’un élève de terminale S.
E(X) =
Z
6
x × f (x) dx =
0
1
36
Z
6
0
(6 x2 − x3) dx =
108
1
x4 6
64
1
−0 =
= 3 heures
=
2 x3 −
2 × 63 −
36
4 0 36
4
36
2 Loi uniforme sur [α; β] : U [α; β]
1
β−α
Définition 5. On dit qu’une variable aléatoire continue X suit la loi uniforme
sur [α; β] si elle admet comme densité de probabilité la fonction f constante,
définie sur [α; β] par :
1
f (x) =
β −α
α
β
Exemple 6. Soit X la variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [3; 9]. Déterminer sa fonction de densité.
1
La fonction de densité de probabilité f de la loi de X est définie sur [3; 9] par : f (x) = 9 − 3 =
Proposition 2. Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [α; β].
Pour tout intervalle [a; b] inclus dans [α; β],
P (X ∈ [a; b]) = P (a 6 X 6 b) =
b−a
1
= longueur de [a; b] ×
β −α
β −α
1
6
faire un schéma si besoin...
1
β−α
α
a
Exemple 7. Soit X la variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [3; 9]. Calculer P (X > 7) et P (4 < X 6 7).
9−7 2
7−4 3
1
1
P (X > 7) =
= =
et P (4 < X 6 7) =
= =
6
6
6
6
3
2
Proposition 3. Si X est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur [α; β] alors son espérance
E(X) =
α+ β
2
Exemple 8. Soit X la variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle [3; 9]. Calculer l’espérance de X.
9 + 3 12
E(X) =
=
= 6 , la « valeur moyenne » de X sur [3; 9] est donc égale à 6.
2
2
2
b
β
Tale S2
Chapitre XII – Lois de probabilité à densité
Guist’hau - 2014/2015
3 Loi exponentielle de paramètre λ : E(λ)
Définition 6. On dit qu’une variable aléatoire continue X suit la loi exponentielle de paramètre λ, avec λ > 0, si elle admet comme densité de probabilité
la fonction f, définie sur [0; +∞[ par :
λ
f (x) = λ e−λx
0
Remarque. •
•
Pour λ > 0, on notera souvent fλ(x) = λ e−λ.
La fonction fλ: x
→
→
y = λe−λx
λe
−λx
est bien une fonction de densité sur [0; +∞[ car
fλ est continue et positive
Z A
−λA
et pour tout A > 0,
λ e−λx dx = [−e−λx]A
+ e0 = 1 − e−λA
0 = −e
Z
Z +∞
0
A
d’où
λ e−λx dx = lim
λ e−λx dx = 1
A→+∞ 0
0
Proposition 4. Pour tous réels positifs a et b tels que a 6 b,
P (X 6 a) = 1 − e−λa
P (X > a) = e−λa
P (a 6 X 6 b) = e−λa − e−λb
Exemple 9. La durée de vie d’une ampoule peut être modélisée par une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle.
Calculer le paramètre λ de cette loi sachant que P (X > 800) = 0,2. En donner un arrondi au millième.
ln (0,2)
e−800λ = 0,2
−800 λ = ln (0,2)
P (X > 800) = 0,2
λ=−
≈ 0,002
800
Proposition 5. Si X est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre λ alors son espérance
Z A
1
x λ e−λx dx
E(X) = = lim
A→+∞ 0
λ
Exemple 10. La durée d’attente (en min) pour obtenir un autographe du professeur de maths à la fin de son cours est une variable aléatoire T qui
suit la loi exponentielle de paramètre λ = 0,05.
1. Calculer, en minutes, le temps moyen d’attente pour obtenir un autographe.
1
1
= 20 , le temps d’attente moyen est donc de 20 minutes.
E(T ) = =
λ 0,05
2. Calculer, à 10−2 près, la probabilité d’attendre moins de 30 minutes et la probabilité d’attendre entre 10 et 30 minutes.
P (T < 30) = 1 − e −30λ = 1 − e−1,5 ≈ 0,78
P (10 < T < 30) = e−10λ − e−30λ = e−0,5 − e −1,5 ≈ 0,38
3. Un élève arrive au bureau du prof. Un panneau indique que le temps d’attente est d’au moins 10 minutes. Calculer à 10−2 près la
probabilité qu’il soit inférieur à 30 minutes.
P ((10 6 T ) ∩ (T < 30)) P (10 6 T < 30) e−10λ − e −30 λ
PT >10(T < 30) =
=
=
= 1 − e−20λ ≈ 0,63
P (T > 10)
P (T > 10)
e −10λ
Loi de durée de vie sans vieillissement
Définition 7. Une variable aléatoire X à valeurs dans [0 ; +∞[ suit une loi de vie sans vieillissement (ou sans
mémoire) lorsque, pour tous réels positifs t et h,
PX >t(X > t + h) = P (X > h)
Proposition 6. Soit X est une variable aléatoire.
vieillissement.
X suit une loi exponentielle si, et seulement si, X est sans
Exemple 11. La durée de vie (en heures) d’un certain type d’ampoules électriques est une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de
paramètre λ = 0,002. Calculer, à 10−3 près, la probabilité pour qu’une ampoule de ce type fonctionne encore au bout de 600 h sachant
qu’elle fonctionnait encore au bout de 500 h.
PT >500(T > 600) = PT >500 (T > 500 + 100) = P (T > 100) = e−100λ = e−0,2 ≈ 0,819
3