Chapitre 6 TRIANGLES : CONSTRUCTIBILITÉ ET ANGLES I/ Constructibilité 1°/ Inégalité triangulaire Propriété : Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés. AB<AC+CB AC<AB+BC BC<BA+AC Exemple : Soient trois points E, F et K tels que : EF = 7cm ; EK = 4 cm et FK = 15cm FK est plus grande que la somme EF + EK donc on ne peut pas construire le triangle. Propriétés : Soient A, B et C trois points Si BC = AB + AC alors, le point A appartient au segment [BC]. A, B et C sont alignés. Si le point A appartient à [BC] alors, BC = BA+AC. B 2°/ A C Somme des angles d’un triangle Propriété : La somme des mesures des angles d’un triangle est égale à 180°. Démonstration : Soit ABC un triangle. Soient D et E les milieux respectifs de [AB] et [BC]. F est le symétrique de C par rapport à D. G est le symétrique de A par rapport à E. Dans la symétrie par rapport à D : F est le symétrique de C et B est le symétrique de A (car D est le milieu de [AB]). Donc DBF et DAC sont symétriques par rapport à D. Comme la symétrie conserve les mesures d’angles DBF = DAC. De plus (FB) et (AC) sont symétriques par rapport à D. Donc (FB) et (AC) sont parallèles. Dans la symétrie par rapport à E : G est le symétrique de A et B est le symétrique de C (car E est le milieu de [BC]). Donc EBG et ECA sont symétriques par rapport à E. D’où :EBG = ECA De plus (AC) et (BG) sont symétriques par rapport à E Donc (AC) et (BG) sont parallèles. (FB) // (AC) et (BG) // (AC) donc (FB) // (BG). Comme B appartient à (FB) et à (BG) alors ces deux droites sont confondues. Donc FBG mesure 180°. On en conclut que : DBF + DBE + EBG = 180° Comme on a démontré que : DBF = DAC et EBG = ECA alors : DAC + DBE + ECA = 180°■ II/ Angles et triangles 1°/ Triangle isocèle Propriété : Si un triangle est isocèle alors, ses angles à la base ont la même mesure. Exemple : ABC est un triangle isocèle de sommet principal B, donc : BAC = BCA Propriété réciproque : Si deux angles d’un triangle ont la même mesure alors ce triangle est isocèle. Exemple : Dans le triangle ABC : BAC = ACB = 74° Donc ABC est un triangle isocèle en B. 2°/ Triangle rectangle Propriété : Si un triangle est rectangle alors, la somme de ses angles aigus est égale à 90°. B A Démonstration : C ABC est un triangle rectangle en A. Donc BAC = 90° Comme BAC + ACB + ABC = 180° alors : 90° + ACB + ABC = 180° ACB + ABC = 180° – 90° d’où ACB + ABC = 90°■ Propriété réciproque : Si la somme de deux angles d’un triangle est égale à 90° alors, ce triangle est rectangle. Exemple : Dans le triangle ABC : BAC + ACB = 59° + 31° BAC + ACB = 90° Donc le triangle ABC est rectangle en B. 3°/ Triangle rectangle isocèle Propriété : Si un triangle est rectangle isocèle alors, ses angles à la base mesurent 45°. Démonstration : ABC est un triangle rectangle en A donc : ACB + ABC = 90°. ABC est un triangle isocèle en A donc : ACB = ABC. Donc : 2 × ABC = 90° D’où : ABC = 90° : 2 Donc : ACB = ABC = 45° ■ Propriété réciproque : Si deux angles d’un triangle ont pour mesure 45° alors, ce triangle est rectangle isocèle. Exemple : Dans le triangle ABC : ACB = ABC = 45° Donc ABC est un triangle rectangle isocèle en A. 4°/ Triangle équilatéral Propriété : Si un triangle est équilatéral alors, chacun de ses angles mesure 60°. Propriété réciproque : Si un triangle a trois angles de même mesure 60° alors, il est équilatéral.