MATRICES 1

10-10- 2010 J.F.C. p. 1
MATRICES 1
Exercice 1 Matrice de passage.
B,B0et B00 sont trois bases d’un espace vectoriel Esur K.
Pas (B,B00) = Pas (B,B0)×Pas (B0,B00)
Exercice 2 Caract´erisation des matrices de rang 1.
Q1. C=
c1
c2
.
.
.
cn
est une matrice non nulle de Mn,1(K) et L= (`1`2· · · `n) une matrice non nulle de M1,n(K).
Ecrire la matrice A=CL et montrer, en raisonnant sur les colonnes, qu’elle est de rang 1.
Q2. Enoncer et d´emontrer une r´eciproque.
Exercice 3 Formule d’inversion de Pascal. HEC 1998
Q1. nest un ´el´ement de N. a) V´erifier rapidement que l’application ϕde Rn[X] dans lui-mˆeme d´efinie par :
∀P∈Rn[X], ϕ(P(X)) = P(X+ 1)
est un automorphisme de Rn[X]. D´eterminer ϕ−1.
b) D´eterminer la matrice Mde ϕdans la base canonique (1, X, . . . , Xn) de Rn[X].
c) D´eterminer M−1.
Q2. nest un ´el´ement de N. On suppose que (a0, a1, . . . , an) et (b0, b1, . . . , bn) appartiennent `a Rn+1 et v´erifient :
∀j∈[[0, n]], bj=
j
X
k=0
Ck
jak.
a) Trouver un lien entre les deux matrices lignes (a0, a1, . . . , an), (b0, b1, . . . , bn) et M.
b) En d´eduire, pour tout jdans [[0, n]], l’expression de ajen fonction des nombres b0, ..., bj.
Q3. Retouver le nombre de surjections d’un ensemble de p´el´ements dans un ensemble de n´el´ements.
Exercice 4 Base duale. Transpos´ee.
Q1. B= (e1, e2, . . . , ep) est une base de Eespace vectoriel de dimension psur K.E∗est l’espace vectoriel des formes
lin´eaires sur E. Pour tout idans [[1, p]], e∗
iest la forme lin´eaire sur Ed´efinie par :
∀k∈[[1, p]], e∗
i(ek) = 1 si k=i
0 si k6=i
Q1. Montrer que B∗= (e∗
1, e∗ 2,· · · , e∗
p) est une base de E∗.
Q2. E0est un espace vectoriel de dimension nsur Ket B0= (e0
1, e0 2, . . . , e0
n) en est une base.
uest une application lin´eaire de Edans E0et A=M(u, B,B0).
Pour tout fdans E0∗ on pose : ϕ(f) = f◦u.

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a) Montrer que ϕest une application lin´eaire de E0∗ dans E∗et que M(ϕ, B0∗,B∗) = tA.
b) Montrer que uet ϕont mˆeme rang
(construire, si possible, une base (t1, t2, . . . , tp) de Etelle que u(t1), u(t2), , . . . , u(tr)soit une base de Im uet
(tr+1, tr+2, . . . , tp) une base de Ker u, compl´eter u(t1), u(t2), . . . , u(tr)... et d´eterminer Ker ϕ).
Que dire alors pour Aet tA?
Exercice 5 Pseudo-inverse d’une matrice ESCP 98
nest un ´el´ement de [[2,+∞[[ et E=Mn(K).
Soit Aune matrice de Ede rang p. On appelle pseudo-inverse de Atout ´el´ement Xde Etel que :
AXA =A, XAX =Xet AX =XA
Q1. Ici A=1 0
0 0 . Calculer A2. A admet-elle un pseudo-inverse ?
Q2. Mˆeme chose avec A0=0 1
0 0 .
Q3. On suppose Ainversible. D´eterminer l’ensemble des pseudo-inverses de A.
Q4. Xet X0sont deux pseudo-inverses de A. En partant de AXAX0, montrer que AX0=XA, puis que X=X0.
Conclusion ?
Q5. On note fl’endomorphisme de Knde matrice Adans la base canonique Bde Kn.
a) On suppose que Xest un pseudo-inverse de A. On note gl’endomorphisme de Knde matrice Xdans la base
canonique Bde Kn.
Montrer que Im g= Im fet Ker g= Ker fet que Kn= Im f⊕Ker f.
b) R´eciproquement on suppose que Kn= Im f⊕Ker f. Montrer que Aposs`ede un pseudo-inverse.
Exercice 6 Tout matrice de Mn(K)poss`ede au moins un polynˆome annulateur non nul.
Exercice 7 Polynˆome minimal
Aest une matrice de Mn(K).
1. Si Pest un polynˆome annulateur non nul de A, de degr´e minimal, l’ensemble des polynˆomes annulateurs de Aest
l’ensemble des multiples de P.
2. Aposs`ede un polynˆome annulateur unitaire et un seul tel que l’ensemble des polynˆomes annulateurs de Asoit
l’ensemble des multiples de ce polynˆome.
Exercice 8 Rang d’une matrice
Soit Aune matrice de Mn,p(K) de rang rnon nul. Montrer qu’`a deux petits abus pr`es :
∃(P, Q)∈Glp(K)×Gln(K), Q−1AP =IrOr,p−r
On−r,r On−r,p−r
Irest la matrice indentit´e de Mr(K), Or,p−r,On−r,r et On−r,p−rsont les matrices nulles de Mr,p−r(K), Mn−r,r (K)
et Mn−r,p−r(K).
Exercice 9 Les matrices au service d’un grand classique d’analyse ESSEC 1992

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nest un ´el´ement de [[2,+∞[[. fest une application de classe Cnde Rdans R. On suppose que fet f(n)sont born´ees
sur R.
On pose M0= Sup
x∈R
|f(x)|et Mn= Sup
x∈R
|f(n)(x)|. On se propose de montrer que, pour tout ´el´ement kde [[1, n −1]],
f(k)est born´ee.
h1,h2, ..., hn−1sont n−1 r´eels non nuls et deux `a deux distincts.
Q1. Montrer que Hn−1=
h1
1!
h2
1
2! · · · hn−1
1
(n−1)!
h2
1!
h2
2
2! · · · hn−1
2
(n−1)!
.
.
..
.
.....
.
.
hn−1
1!
h2
n−1
2! · · · hn−1
n−1
(n−1)!
est une matrice inversible de Mn−1(R).
Q2. Pour tout r´eel xon pose : 
F1(x)
F2(x)
.
.
.
Fn−1(x)
=Hn−1
f0(x)
f00(x)
.
.
.
fn−1(x)
.
a) Soit xun r´eel et kun ´el´ement de [[1, n −1]]. En majorant |f(x+hk)−f(x)−Fk(x)|avec l’in´egalit´e de Taylor-
Lagrange, ´etablir que :
|Fk(x)|62M0+|hk|n
n!Mn
b) En d´eduire que, pour tout ´el´ement kde [[1, n −1]], f(k)est born´ee.
Exercice 10 Matrice `a diagonale strictement dominante.
A= (aij ) est un ´el´ement de Mn(R) tel que :
∀i∈[[1, n]],
n
X
j=1
j6=i
|aij |<|aii|
Montrer que Aest inversible (prendre X=
x1
x2
.
.
.
xn
tel que AX=0 et consid´erer : |xi0|= Max(|x1|,|x2| · · · ,|xn|)).
Exercice 11 Ensemble des matrices qui commutent avec une matrice diagonale.
Dest une matrices diagonale de Mn(K) dont les ´el´ements de la diagonale sont deux `a deux distincts.
Q1. Montrer que l’ensemble Sdes matrices de Mn(K) qui commutent avec Dest le sous-espace vectoriel des matrices
diagonales de Mn(K).
Q2. Montrer que (In, D, D2, . . . , Dn−1) est une base de S.
Exercice 12 Pratique du produit matriciel.
(Eij )(i,j)∈[[1,n]]2est la base canonique de Mn(K).
Q1. Soit A= (aij ) un ´el´ement de Mn(K). Soient pet qdeux ´el´ements de [[1, n]].
a) Calculer AEpq et EpqA.
b) Soient ret sdeux ´el´ements de [[1, n]]. Calculer Epq Ers (on peut utiliser a)).

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Q2. Application 1 Cest l’ensemble des ´el´ements de Mn(K) qui commutent avec tous les ´el´ements de Mn(K).
a) Montrer que Ccontient la droite vectorielle engendr´ee par In.
b) Utiliser Q1 a) pour montrer l’inclusion inverse.
Q3. Application 2 E=Mn(K) et Sest l’ensemble des formes lin´eaires fsur Ev´erifiant
∀(A, B)∈E2, f(AB) = f(BA).
a) f0est l’application qui `a tout ´el´ement de Eassocie sa trace. Montrer que Scontient la droite vectorielle engendr´ee
par f0.
b) Utiliser Q1 b) pour montrer l’inclusion inverse.
Exercice 13 Op´erations ´el´ementaires sur les lignes d’une matrice.
Dans cet exercice si Mest un ´el´ement de Mn(K) et si iest un ´el´ement de [[1, n]], nous noterons Li(M) la i`eme ligne
de M.
(Eij )(i,j)∈[[1,n]]2est la base canonique de Mn(K).
Q1. Soit A= (aij ) un ´el´ement de Mn(K). Soient pet qdeux ´el´ements distincts de [[1, n]]. Calculer Epq A.
Q2. iet jsont deux ´el´ements distincts de [[1, n]] et λest un ´el´ements de K. On note ϕl’application de Mn(K) dans
lui mˆeme qui a une matrice Ade Mn(K) associe la matrice d´eduite de Apar l’op´eration Li←Li+λ Lj.
a) Montrer que ϕ(In) = In+λ Eij .
b) Montrer que ∀A∈ Mn(K), ϕ(A) = ϕ(In)A.
c) Montrer que In+λ Eij est inversible et d’inverse In−λ Eij .