MATRICES 1

10-10- 2010
J.F.C.
p. 1
MATRICES 1
Exercice 1
Matrice de passage.
B, B 0 et B 00 sont trois bases d’un espace vectoriel E sur K.
Pas (B, B 00 ) = Pas (B, B 0 ) × Pas (B 0 , B 00 )
Exercice 2 Caractérisation des matrices de rang 1.
 
c1
 c2 

Q1. C = 
 ...  est une matrice non nulle de Mn,1 (K) et L = (`1 `2 · · · `n ) une matrice non nulle de M1,n (K).
cn
Ecrire la matrice A = CL et montrer, en raisonnant sur les colonnes, qu’elle est de rang 1.
Q2. Enoncer et démontrer une réciproque.
Exercice 3
Formule d’inversion de Pascal.
HEC 1998
Q1. n est un élément de N. a) Vérifier rapidement que l’application ϕ de Rn [X] dans lui-même définie par :
∀P ∈ Rn [X], ϕ(P (X)) = P (X + 1)
est un automorphisme de Rn [X]. Déterminer ϕ−1 .
b) Déterminer la matrice M de ϕ dans la base canonique (1, X, . . . , X n ) de Rn [X].
c) Déterminer M −1 .
Q2. n est un élément de N. On suppose que (a0 , a1 , . . . , an ) et (b0 , b1 , . . . , bn ) appartiennent à Rn+1 et vérifient :
∀j ∈ [[0, n]], bj =
j
X
k
Cj ak .
k=0
a) Trouver un lien entre les deux matrices lignes (a0 , a1 , . . . , an ), (b0 , b1 , . . . , bn ) et M .
b) En déduire, pour tout j dans [[0, n]], l’expression de aj en fonction des nombres b0 , ..., bj .
Q3. Retouver le nombre de surjections d’un ensemble de p éléments dans un ensemble de n éléments.
Exercice 4
Base duale. Transposée.
Q1. B = (e1 , e2 , . . . , ep ) est une base de E espace vectoriel de dimension p sur K. E ∗ est l’espace vectoriel des formes
linéaires sur E. Pour tout i dans [[1, p]], e∗i est la forme linéaire sur E définie par :
1 si k = i
∗
∀k ∈ [[1, p]], ei (ek ) =
0 si k 6= i
Q1. Montrer que B ∗ = (e∗1 , e∗2 , · · · , e∗p ) est une base de E ∗ .
Q2. E 0 est un espace vectoriel de dimension n sur K et B 0 = (e01 , e02 , . . . , e0n ) en est une base.
u est une application linéaire de E dans E 0 et A = M (u, B, B 0 ).
Pour tout f dans E 0∗ on pose : ϕ(f ) = f ◦ u.
J.F.C.
p. 2
a) Montrer que ϕ est une application linéaire de E 0∗ dans E ∗ et que M (ϕ, B 0∗ , B ∗ ) = t A.
b) Montrer que u et ϕ ont même rang
(construire, si possible, une base (t1 , t2 , . . . , tp ) de E telle que u(t1 ), u(t2 ), , . . . , u(tr ) soit une base de Im u et
(tr+1 , tr+2 , . . . , tp ) une base de Ker u, compléter u(t1 ), u(t2 ), . . . , u(tr ) ... et déterminer Ker ϕ ).
Que dire alors pour A et t A ?
Exercice 5
Pseudo-inverse d’une matrice ESCP 98
n est un élément de [[2, +∞[[ et E = Mn (K).
Soit A une matrice de E de rang p. On appelle pseudo-inverse de A tout élément X de E tel que :
AXA = A, XAX = X et AX = XA
0
. Calculer A2 . A admet-elle un pseudo-inverse ?
0
0 1
0
Q2. Même chose avec A =
.
0 0
Q1. Ici A =
1
0
Q3. On suppose A inversible. Déterminer l’ensemble des pseudo-inverses de A.
Q4. X et X 0 sont deux pseudo-inverses de A. En partant de AXAX 0 , montrer que AX 0 = XA, puis que X = X 0 .
Conclusion ?
Q5. On note f l’endomorphisme de Kn de matrice A dans la base canonique B de Kn .
a) On suppose que X est un pseudo-inverse de A. On note g l’endomorphisme de Kn de matrice X dans la base
canonique B de Kn .
Montrer que Im g = Im f et Ker g = Ker f et que Kn = Im f ⊕ Ker f .
b) Réciproquement on suppose que Kn = Im f ⊕ Ker f . Montrer que A possède un pseudo-inverse.
Exercice 6
Tout matrice de Mn (K) possède au moins un polynôme annulateur non nul.
Exercice 7
Polynôme minimal
A est une matrice de Mn (K).
1. Si P est un polynôme annulateur non nul de A, de degré minimal, l’ensemble des polynômes annulateurs de A est
l’ensemble des multiples de P .
2. A possède un polynôme annulateur unitaire et un seul tel que l’ensemble des polynômes annulateurs de A soit
l’ensemble des multiples de ce polynôme.
Exercice 8
Rang d’une matrice
Soit A une matrice de Mn,p (K) de rang r non nul. Montrer qu’à deux petits abus près :
Ir
Or,p−r
−1
∃(P, Q) ∈ Glp (K) × Gln (K), Q AP =
On−r,r On−r,p−r
Ir est la matrice indentité de Mr (K), Or,p−r , On−r,r et On−r,p−r sont les matrices nulles de Mr,p−r (K), Mn−r,r (K)
et Mn−r,p−r (K).
Exercice 9
Les matrices au service d’un grand classique d’analyse
ESSEC 1992
J.F.C.
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n est un élément de [[2, +∞[[. f est une application de classe C n de R dans R. On suppose que f et f (n) sont bornées
sur R.
On pose M0 = Sup |f (x)| et Mn = Sup |f (n) (x)|. On se propose de montrer que, pour tout élément k de [[1, n − 1]],
x∈R
x∈R
f (k) est bornée.
h1 , h2 , ..., hn−1 sont n − 1 réels non nuls et deux à deux distincts.


h1
h21
hn−1
1
·
·
·
 1!
2!
(n − 1)! 


2

 h2
h2
hn−1
2


···
 1!
2!
(n − 1)! 
Q1. Montrer que Hn−1 = 
 est une matrice inversible de Mn−1 (R).

 .
..
..
..

 .
.
.
.

 .
n−1 
 hn−1 h2
h
n−1
n−1
···
1!
2!
(n − 1)!
 F (x) 
 f 0 (x) 
1
 F2 (x) 
 f 00 (x) 


.
=
H
Q2. Pour tout réel x on pose : 
..
..
n−1 



.
.
Fn−1 (x)
f n−1 (x)
a) Soit x un réel et k un élément de [[1, n − 1]]. En majorant |f (x + hk ) − f (x) − Fk (x)| avec l’inégalité de TaylorLagrange, établir que :
|hk |n
|Fk (x)| 6 2M0 +
Mn
n!
b) En déduire que, pour tout élément k de [[1, n − 1]], f (k) est bornée.
Exercice 10
Matrice à diagonale strictement dominante.
A = (aij ) est un élément de Mn (R) tel que :
∀i ∈ [[1, n]],
n
X
|aij | < |aii |
j=1
j6=i

x1
 x2 

Montrer que A est inversible (prendre X = 
 ...  tel que AX=0 et considérer : |xi0 | = Max(|x1 |, |x2 | · · · , |xn |)).

xn
Exercice 11
Ensemble des matrices qui commutent avec une matrice diagonale.
D est une matrices diagonale de Mn (K) dont les éléments de la diagonale sont deux à deux distincts.
Q1. Montrer que l’ensemble S des matrices de Mn (K) qui commutent avec D est le sous-espace vectoriel des matrices
diagonales de Mn (K).
Q2. Montrer que (In , D, D2 , . . . , Dn−1 ) est une base de S.
Exercice 12
Pratique du produit matriciel.
(Eij )(i,j)∈[[1,n]]2 est la base canonique de Mn (K).
Q1. Soit A = (aij ) un élément de Mn (K). Soient p et q deux éléments de [[1, n]].
a) Calculer AEpq et Epq A.
b) Soient r et s deux éléments de [[1, n]]. Calculer Epq Ers (on peut utiliser a)).
J.F.C.
Q2. Application 1
p. 4
C est l’ensemble des éléments de Mn (K) qui commutent avec tous les éléments de Mn (K).
a) Montrer que C contient la droite vectorielle engendrée par In .
b) Utiliser Q1 a) pour montrer l’inclusion inverse.
Q3. Application 2
E = Mn (K) et S est l’ensemble des formes linéaires f sur E vérifiant
∀(A, B) ∈ E 2 , f (AB) = f (BA).
a) f0 est l’application qui à tout élément de E associe sa trace. Montrer que S contient la droite vectorielle engendrée
par f0 .
b) Utiliser Q1 b) pour montrer l’inclusion inverse.
Exercice 13
Opérations élémentaires sur les lignes d’une matrice.
Dans cet exercice si M est un élément de Mn (K) et si i est un élément de [[1, n]], nous noterons Li (M ) la ième ligne
de M .
(Eij )(i,j)∈[[1,n]]2 est la base canonique de Mn (K).
Q1. Soit A = (aij ) un élément de Mn (K). Soient p et q deux éléments distincts de [[1, n]]. Calculer Epq A.
Q2. i et j sont deux éléments distincts de [[1, n]] et λ est un éléments de K. On note ϕ l’application de Mn (K) dans
lui même qui a une matrice A de Mn (K) associe la matrice déduite de A par l’opération Li ← Li + λ Lj .
a) Montrer que ϕ(In ) = In + λ Eij .
b) Montrer que ∀A ∈ Mn (K), ϕ(A) = ϕ(In ) A.
c) Montrer que In + λ Eij est inversible et d’inverse In − λ Eij .