Chap 9 : Cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle Le cosinus sert à calculer un angle ou bien la longueur d’un côté d’un triangle rectangle. On l’utilise en construction (pente d’un terrain), en repérage (boussole, astronomie), … Une calculatrice « collège » avec la touche lcos est indispensable dans tout le chapitre. Elle doit être en MODE Degré. (D affiché en haut). On utilisera aussi le rapporteur. 1) Vocabulaire : Notations : hypoténuse e Hypoténus C B A côté adjacent à l’angle C L’hypoténuse d’un triangle rectangle est le côté le plus long, situé en face de l’angle droit. Le côté adjacent à un angle aigu est le côté qui « touche » l’angle et qui n’est pas l’hypoténuse. (un angle aigu est plus petit que 90°) Remarques : ● attention, pour l’angle B, le côté adjacent est AB et le côté opposé est AC. ● Il n’y a pas de côté adjacent pour l’angle A qui est droit. 2) cosinus d’un angle aigu : définition : Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle est égal au côté adjacent divisé par l’hypoténuse. Il se note cos. Exemple : B 5 3 cm C 4 cm 4 A Le triangle ABC est rectangle en A cos C = AC BC ( côté adjacent sur hypoténuse ) Remarques : ● Il faut toujours commencer par écrire que le triangle est rectangle, sinon il n’y a pas d’hypoténuse. ● Le cosinus d’un angle est toujours plus petit que 1 car c’est le résultat d’une division par un nombre plus grand (l’hypoténuse est le côté le plus long). ● Le cosinus d’un angle est aussi donné par la touche lcos de la calculatrice qui doit être en mode degré (D ou DEG affiché). cos 0° = 1 cos 30° ≃ 0,87 cos 60° = 0,5 Plus l’angle est grand, plus son cosinus est petit. ● Il faut connaître ABSOLUMENT PAR CŒUR la formule : lcosinus d’un angle = côté adjacent hypoténuse 3) Calcul d’un côté connaissant un angle et un côté : Rappel : Pour calculer un nombre qui manque dans une égalité de deux fractions, on multiplie les deux nombres en diagonale et on divise par le troisième nombre : 10 2 = 5 1 et 1 = Exemple : 5x2 10 B 6cm 30° C A Dans le triangle ABC rectangle en A tel que BC = 6cm et ACB = 30°, calculer la longueur AC. (on donnera sa valeur exacte puis sa valeur approchée arrondie au millimètre ) Le triangle ABC est rectangle en A. AC BC cos 30° AC = 1 6 cos ACB = lAC = 6cos 30° (valeur exacte ) lAC ≃ 5,2 cm (valeur approchée) Remarques : ● On écrit toujours le nombre AVANT le cosinus de l’angle. (6 x cos30 et pas cos30 x 6) ● On tape à la calculatrice « 6cos 30 l= » et on arrondit le résultat obtenu. Attention, on ne calcule JAMAIS séparément un nombre qui n’est pas exact. ● Si on cherche l’hypoténuse, le cosinus se retrouve au dénominateur dans la valeur exacte : BC = AC cos ACB ● Si on connaît deux côtés du triangle rectangle, le troisième peut se calculer avec le théorème de Pythagore. 4) Trouver un angle connaissant ses deux côtés : Exemple : B 5 C 3 4 A Donner la valeur approchée au degré près de l’angle ACB. Le triangle ABC est rectangle en A AC cos ACB = BC 4 cos ACB = 5 ACB ≃ 37° Sur la calculatrice on tape lseconde lcos (4 l: 5) = et on arrondit à l’unité le résultat obtenu. Mais ON N’ECRIT PAS sur sa feuille « seconde cos 4 : 5 = ». Remarque : la somme des angles d’un triangle est égale à 180°. On peut donc rapidement calculer B quand on connaît C : A + B + C = 180° donc B = 180 - A - C = 180 – 90 – 37 = 53° On peut aussi calculer B en utilisant son cosinus. Annexe : extrait du programme officiel : Triangle rectangle : cosinus d’un angle. - Utiliser dans un triangle rectangle la relation entre le cosinus d’un angle aigu et les longueurs des côtés adjacents. - Utiliser la calculatrice pour déterminer une valeur approchée : - du cosinus d’un angle aigu donné ; - de l’angle aigu dont le cosinus est donné.