Th´
eorie analytique des nombres:
la fonction ζ.
Pierre Rouchon
Centre Automatique et Syst`
emes
Mines ParisTech
Novembre 2010
P.Rouchon (Mines ParisTech) Th´
eorie analytique des nombres: la fonction ζ. Novembre 2010 1 / 30
Plan
1Fonctions g ´
en´
eratrices
Jean Dieudonn´
e dans l’Encyclopeadia Universalis
Exemples
2La fonction ζ
Produit Eulerien
Prolongement analytique de ζ
R´
epartition des nombres premiers
Le th´
eor`
eme de la progression arithm´
etique
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Quelques r´
ef´
erences
Excellent r´
esum´
e dans le premier chapitre du cours ENST de
Z´
emor.
“Que sais-je” sur les nombres premiers (un ´
eclairage probabiliste
ainsi qu’une preuve ´
el´
ementaire mais assez difficile du th´
eor`
eme
des nombres premiers).
Excellent livre de vulgarisation de Jean-Paul Delahaye sur les
nombres premiers aux ´
editions Belin.
l’Encyclopeadia Universalis comporte d’excellents articles sur des
sujets connexes.
Le livre classique dˆ
u`
a Hardy et Wright.
Les carnets de Ramanujan . . .
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Jean Dieudonn´
e dans l’Encyclopeadia Universalis
“ Ce qu’on appelle la th´
eorie analytique des nombres ne peut pas ˆ
etre
consid´
er´
e comme une th´
eorie math ´
ematique au sens usuel qu’on donne `
a
ces mots, c’est-`
a-dire un syst`
eme organis´
e de d´
efinitions et de th´
eor`
emes
g´
en´
eraux accompagn´
e d’applications `
a des exemples importants. Il s’agit au
contraire ici presque exclusivement de probl`
emes particuliers qui se posent
en arithm ´
etique et qui, pour la plupart, consistent `
a´
etudier l’allure `
a l’infini de
certaines fonctions d ´
efinies par des conditions de nature arithm ´
etique : par
exemple le nombre π(x)de nombres premiers pxou le nombre U(n)des
solutions de l’´
equation (x1)2+ (x2)2=nen nombres entiers (x1,x2). Depuis
1830, on a imagin´
e, pour r´
esoudre ces questions, des m´
ethodes d’une
extraordinaire ing´
eniosit´
e qui consistent `
aassocier aux fonctions
arithm ´
etiques ´
etudi´
ees des fonctions analytiques auxquelles on peut
appliquer la th´
eorie de Cauchy ou l’analyse harmonique ; mais, malgr´
e les
succ`
es spectaculaires obtenus par ces m´
ethodes, on ne peut dire que l’on en
comprenne vraiment les raisons profondes. ”
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Exemples de fonctions g´
en´
eratrices
La m´
ethode consiste `
a associer `
a une suite d’entiers an(d´
efinis
par une construction arithm´
etique (nombre de solutions d’une
´
equation d´
ependant de n, cardinal d’un certain ensemble d’entiers
plus petits que n, ...)) une s´
erie formelle.
Le plus simple est de consid´
erer la s´
erie
S(X) = X
n0
anXn
mais il faut ˆ
etre souvent plus malin comme nous le verrons avec
les nombres premiers pn.
Suite `
a des manipulations astucieuses on propose une autre
´
ecriture de cette s ´
erie que l’on manipule alors avec les r `
egles
usuelles de calcul sur les fonctions de la variable complexe
(d´
eriv ´
ee, r´
esidu, int´
egrale de Cauchy, ...).
Les informations sur les an, pour des grands indices nsont reli´
ees
aux singularit ´
es de la fonction analytique attach ´
ee `
a la s´
erie S.
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