Théorie analytique des nombres: la fonction ζ.

Th´ eorie analytique des nombres:
la fonction ζ.
Pierre Rouchon
Centre Automatique et Syst` emes
Mines ParisTech
[email protected]
Novembre 2010
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Plan
1Fonctions g ´
en´ eratrices
Jean Dieudonn´ e dans l’Encyclopeadia Universalis
Exemples
2La fonction ζ
Produit Eulerien
Prolongement analytique de ζ
R´ epartition des nombres premiers
Le th´ eor` eme de la progression arithm´ etique
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Quelques r´ ef´ erences
Excellent r´ esum´ e dans le premier chapitre du cours ENST de
Z´ emor.
“Que sais-je” sur les nombres premiers (un ´ eclairage probabiliste
ainsi qu’une preuve ´ el´ ementaire mais assez difficile du th´ eor` eme
des nombres premiers).
Excellent livre de vulgarisation de Jean-Paul Delahaye sur les
nombres premiers aux ´ editions Belin.
l’Encyclopeadia Universalis comporte d’excellents articles sur des
sujets connexes.
Le livre classique dˆ u` a Hardy et Wright.
Les carnets de Ramanujan . . .
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Jean Dieudonn´ e dans l’Encyclopeadia Universalis
“ Ce qu’on appelle la th´ eorie analytique des nombres ne peut pas ˆ etre
consid´ er´ e comme une th´ eorie math ´ ematique au sens usuel qu’on donne ` a
ces mots, c’est-` a-dire un syst` eme organis´ e de d´ efinitions et de th´ eor` emes
g´ en´ eraux accompagn´ e d’applications ` a des exemples importants. Il s’agit au
contraire ici presque exclusivement de probl` emes particuliers qui se posent
en arithm ´ etique et qui, pour la plupart, consistent ` a´ etudier l’allure ` a l’infini de
certaines fonctions d ´ efinies par des conditions de nature arithm ´ etique : par
exemple le nombre π(x)de nombres premiers p≤xou le nombre U(n)des
solutions de l’´ equation (x1)2+ (x2)2=nen nombres entiers (x1,x2). Depuis
1830, on a imagin´ e, pour r´ esoudre ces questions, des m´ ethodes d’une
extraordinaire ing´ eniosit´ e qui consistent ` aassocier aux fonctions
arithm ´ etiques ´ etudi´ ees des fonctions analytiques auxquelles on peut
appliquer la th´ eorie de Cauchy ou l’analyse harmonique ; mais, malgr´ e les
succ` es spectaculaires obtenus par ces m´ ethodes, on ne peut dire que l’on en
comprenne vraiment les raisons profondes. ”
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Exemples de fonctions g´ en´ eratrices
La m´ ethode consiste ` a associer ` a une suite d’entiers an(d´ efinis
par une construction arithm´ etique (nombre de solutions d’une
´
equation d´ ependant de n, cardinal d’un certain ensemble d’entiers
plus petits que n, ...)) une s´ erie formelle.
Le plus simple est de consid´ erer la s´ erie
S(X) = X
n≥0
anXn
mais il faut ˆ etre souvent plus malin comme nous le verrons avec
les nombres premiers pn.
Suite ` a des manipulations astucieuses on propose une autre
´
ecriture de cette s ´ erie que l’on manipule alors avec les r ` egles
usuelles de calcul sur les fonctions de la variable complexe
(d´ eriv ´ ee, r´ esidu, int´ egrale de Cauchy, ...).
Les informations sur les an, pour des grands indices nsont reli´ ees
aux singularit ´ es de la fonction analytique attach ´ ee ` a la s´ erie S.
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