Examen Juin 2010 Electricité (avec corrigé)

Examen d’électricité (juin 2010)
Calculette, dictionnaire de langue et feuille A4 manuscrite autorisée.
Téléphone portable interdit.
Rendre les copies Radioactivité et Electricité sur des feuilles séparées.
Les 4 exercices d’électricité sont indépendants.
Données :
Nombre d’Avogadro : NA = 6.02×1023 mol-1
Constante diélectrique du vide : ε0 = 8.85×10-12 SI
Constante de Boltzmann : kB = 1.38×10-23 J/K
Equivalence °C et K : 25 °C = 298 K
Charge élémentaire : e = 1.60×10-19 C
Note totale sur 20 points.
Exercice 1 : le pouvoir des pointes
Exercice sur 5 points.
Comme vous l’avez fait dans le TP2 d’électricité, on place une pointe métallique et une
électrode rectangulaire dans de l’eau distillée. On applique une différence de potentiel de 3V
(tension continue) entre la pointe et l’électrode rectangulaire et on relève la forme des
équipotentielles à l’aide d’un voltmètre. On obtient les résultats donnés en annexe à la fin de
l’énoncé.
1. Tracez les lignes de champ électrique (à faire directement sur la feuille en annexe et
à rendre avec la copie). Où le champ est-il le plus intense ? (vous justifierez votre
réponse) (1.5 points)
Voir la feuille annexe en fin de correction.
Les lignes de champ sont des lignes imaginaires qui ont même direction et même sens que le
vecteur champ électrique. Pour les tracer à partir des équipotentielles, on utilise les propriétés
suivantes (qui découlent en réalité de la relation vue en cours entre le champ et le potentiel
r
électriques E = − gradV ) :
- les lignes de champ sont toujours perpendiculaires aux équipotentielles ;
- les lignes de champ sont orientées dans le sens des potentiels décroissants (ici de 3V
vers 0V).
Attention : les lignes de champ doivent être perpendiculaires à la surface des électrodes
(équipotentielles) et ne doivent pas entrer dans les électrodes (champ nul à l’intérieur, effet
cage de Faraday).
L’intensité du champ électrique en un point M peut s’estimer par la relation :
r ∆V
E =
∆L
où ∆V correspond à la variation de potentiel quand on se déplace d’une distance ∆L autour du
point M et le long de la ligne de champ passant par M (voir le travail effectué en TP).
1
Le champ électrique est donc le plus intense là où la chute de potentiel est la plus « rapide ».
Si les équipotentielles sont représentées à intervalle régulier, le champ est le plus intense là où
les équipotentielles sont les plus rapprochées. Ici, les équipotentielles sont représentes tous les
0.2V sauf près de la pointe ou elles sont représentées tous les 0.5V. Une estimation rapide du
champ à l’aide de la formule ci-dessus nous montre que le champ est le plus intense près de la
pointe, où le potentiel décroit de 0.5V en environ 4mm. Par comparaison, il décroit de
seulement 0.2V en environ 2cm près de la surface rectangulaire (voir la question 4).
2. Quels sont la direction et le sens du vecteur champ électrique au point A ? (0.5 point)
Pour connaitre la direction et le sens du vecteur champ électrique au point A, il suffit de tracer
la ligne de champ passant par A. Le champ électrique sera dirigé suivant la tangente à la ligne
de champ au point A et dans le sens de la ligne de champ (voir le dessin en annexe).
3. On place un ion de charge (-e) au point A. Quels sont la direction et le sens de la force
qui s’exerce sur cet ion ? Quelle sera sa trajectoire dans le liquide ? (1 point)
r
r
La relation entre la force et le champ électrique s’écrit F = QE où Q est la charge électrique
r
r
placée au point A. Pour un ion de charge Q = - e, F = −eE . La force a donc même direction
que le champ mais elle est de sens opposé (voir le dessin en annexe).
L’ion se déplacera en première approximation le long de la ligne de champ, ici vers
l’électrode rectangulaire +3V.
En effectuant des mesures de tension le long de l’axe de symétrie (droite parallèle à (Oy) et
passant par la pointe), on obtient les résultats suivants :
y (cm)
9,0
12,9 14,9 16,7 18,4 19,9 21,2 22,3 23,2 23,8 24,6 25,0
V (V)
3,00 2,60 2,40 2,20 2,00 1,80 1,60 1,40 1,20 1,00 0,50 0,00
Les valeurs y = 9 cm et y = 25 cm correspondent respectivement aux positions de l’électrode
rectangulaire et de la pointe.
4. Estimez à l'aide de ces mesures l'intensité du champ électrique au voisinage de la
pointe (vous justifierez votre réponse). (1 point)
D’après la formule de la question 2,
r ∆V
E =
∆L
L’axe de symétrie passant par la pointe et parallèle à (Oy) est une ligne de champ. On peut
r
donc utiliser directement les mesures V(y) pour estimer E en différents point de l’axe :
r
V ( y1 ) − V ( y2 )
E( y) =
y1 − y2
l’estimation étant d’autant plus précise que y1 et y2 sont proches de y.
Si on veut estimer le champ au voisinage de la pointe, on choisira y1 = 25cm et y2 = 24.6cm.
Cela donne :
r
0 − 0 .5
0 .5
E ( po int e) ≅
=
= 1.25V / cm = 125V / m
25 − 24.6 0.4
2
5. Même question au voisinage de l’électrode rectangulaire. Conclure. (1 point)
Si on veut estimer le champ au voisinage de l’électrode rectangulaire, on choisira y1 = 9cm et
y2 = 12.9cm. Cela donne :
r
3.00 − 2.60 0.40
E (élec − rect ) ≅
=
= 0.103V / cm = 10.3V / m
9 − 12.9
3 .9
Notre estimation montre que le champ est plus de 10 fois plus intense près de la pointe que
près de l’électrode rectangulaire.
Exercice 2 : conductivité d’un acide faible
Exercice sur 4 points.
L’acide acétique (CH3CO2H) est un acide faible, c'est-à-dire qu’il se dissocie partiellement en
solution suivant l’équation chimique suivante :
(1)
CH3CO2H + H2O ⇔ CH3CO2- + H3O+
A l’aide d’une cellule de conductimétrie, on mesure dans une solution d’acide acétique une
conductance :
G = 1.97x10-4 Ω−1 (Τ=25°C).
1. La constante de cellule k est de 4cm. Quelle est la conductivité de la solution ? (on
rappelle que G = kσ) (1 point)
On a :
σ=
G
.
k
k = 4cm = 4x10-2 m. Donc
σ=
1.97 × 10 −4
= 4.93 × 10 − 3 Ω −1.m −1
−2
4 × 10
Remarque : si on laisse k en cm, on obtient σ = 4.93 × 10 −5 Ω −1.cm −1 .
2. Connaissant la mobilité des ions H3O+ (µ+ = 362x10-9 m2s-1V-1) et CH3CO2- (µ- =
- 42x10-9 m2s-1V-1) dans l’eau à 25°C, en déduire la concentration en mol/l des ions
CH3CO2- de la solution. On supposera que l’approximation des très faibles
concentrations où les interactions entre les ions sont négligées est ici valable, et que
les seuls ions présents sont issus de la réaction de dissociation (1). (2 points)
La relation entre la concentration en ions, la mobilité et la conductivité s’écrit (si il y a deux
types d’ions + et -)
σ = C+Q+ µ + + C−Q− µ −
Ici, les ions présents dans la solution (on néglige les ions OH- produits par autoprotolyse de
l’eau) sont les ions H30+ et CH3CO2- issus de la réaction (1). Ils sont donc en concentration
égale C = C+ = C-.
3
Q+ = +e et Q- = -e, donc
σ = Ce( µ + − µ − ) et C =
σ
e( µ + − µ − )
L’application numérique donne :
C=
4.93 × 10−3
= 7.63 × 1022 ions / m3
−19
−9
−9
1.6 × 10 × (362 × 10 + 42 × 10 )
Attention : la concentration est une concentration en ions par m3, et pas en mol/l !
Pour l’obtenir en mol/l, il suffit de dire que 1mol contient 6.0 x 1023 ions (nombre
d’Avogadro). Donc
C = 7.63 × 10 22 /(6.02 × 10 23 ) = 0.127 mol / m 3 = 1.27 × 10 −4 mol / l .
3. Sachant qu’on avait mis au départ 10-3 mol/l d’acide acétique dans la solution, en
déduire le degré de dissociation α de l’acide donné par :
−
[CH 3CO2 ]
α=
(1 point)
−
[CH 3CO2 ] + [CH 3CO2 H ]
[
−
]
D’après la question précédente, on sait que C = CH 3CO2 = 1.27 × 10−4 mol / l .
[
]
On sait également d’après la réaction (1) que CH 3CO2 + [CH 3CO2 H ] = 10−3 mol / l .
−
−
[CH 3CO2 ]
1.27 × 10−4
=
= 0.127 = 12.7% .
Donc α =
−
10 −3
[CH 3CO2 ] + [CH 3CO2 H ]
Exercice 3 : Electrophorèse des hémoglobines A et S
Exercice sur 6 points.
L’hémoglobine est une protéine qui existe sous différentes formes dans le sang. Nous nous
intéresserons ici à sa forme normale notée Hg-A et à une forme anormale notée Hg-S qui
caractérise plusieurs maladies héréditaires (comme les thalassémies et la drépanocytose). En
solution dans un liquide, ces deux protéines ont des tailles et des masses très proches et elles
ont donc sensiblement le même coefficient de diffusion D. Par contre, elles portent des
charges QA et QS différentes.
Nous réalisons l’expérience suivante. Nous remplissons une cuve rectangulaire avec une
solution de pH = 8.6 (la valeur du pH détermine les valeurs de QA et QS mais ne jouera aucun
rôle dans la suite de l’exercice). Nous plongeons dans cette cuve deux électrodes
rectangulaires (en gris) séparées de 10cm et entre lesquelles nous appliquons une différence
de potentiel de 100V (tension continue), comme indiqué sur la figure ci-dessous. Puis nous
plaçons au même instant, une protéine Hg-A au point O1 et une protéine Hg-S au point O2, à
égale distance des deux électrodes. Pour cette solution, les charges sont :
QA= -14e et QS= - 11e.
4
On rappelle qu’on a la relation suivante entre la mobilité et le coefficient de diffusion d’un
ion, Q étant la charge de l’ion :
QD
µ=
k BT
y
+100V
10cm
FA
FS
O1
O2
O
E
E
0V
1. En supposant le champ électrique uniforme (on néglige les effets de bord), quels sont
l’intensité, la direction et le sens du champ électrique entre les électrodes ? (1 point)
Le champ électrique entre les électrodes est perpendiculaire aux électrodes (suivant l’axe
(Oy), voir le dessin ci-dessus) et dirigé de l’électrode 100V vers l’électrode 0V. Si on
néglige les effets de bord, il est uniforme (même vecteur partout) et son intensité vaut :
r ∆V
100
E =
=
= 1000V / m
∆L 10 × 10− 2
2. Dans quelle direction va se déplacer la protéine Hg-A ? La protéine Hg-S (vous
justifierez votre réponse) ? (1 point)
La protéine Hg-A est chargée négativement (Q = -14e). Donc La force électrique qui s’exerce
r
r
sur elle ( F = QE ) a donc même direction que le champ mais elle est de sens opposé. La
protéine se déplacera donc suivant l’axe (Oy), vers l’électrode 100V.
De même pour la protéine Hg-S car elle est également chargée négativement. La force
exercée sur Hg-S sera moins intense que celle exercée sur Hg-A (charge plus faible en valeur
absolue).
3. Calculer les mobilités des protéines Hg-A et Hg-S. La température sera choisie égale à
25°C (298K) et on prendra D = 6.7×10 -11 m2.s-1 (1 point)
5
Pour calculer les mobilités µA et µS des deux protéines, j’utilise la relation entre D, T et µ
rappelée dans l’énoncé :
QD
µ=
k BT
Pour la protéine Hg-A, cela donne :
QA D − 14 × 1.6 × 10−19 × 6.7 × 10 −11
µA =
=
= −3.65 × 10 −8 m 2 s −1V −1 .
− 23
k BT
1.38 × 10 × 298
µS =
QS D − 11× 1.6 × 10 −19 × 6.7 ×10 −11
=
= −2.87 × 10 −8 m 2 s −1V −1
k BT
1.38 ×10 − 23 × 298
4. Déduire des questions 1 et 3 les vitesses de migration des deux protéines. (1 point)
Par définition de la mobilité, la vitesse de migration s’écrit :
r
r
v = µE
Donc :
r
r
v A = µ A E = 3.65 × 10 −8 × 1000 = 3.65 × 10 −5 m.s −1 = 36.5µm.s −1 .
r
r
vS = µ S E = 2.87 × 10−8 × 1000 = 2.87 × 10 −5 m.s −1 = 28.7 µm.s −1
5. Au bout de combien de temps, la protéine Hg-A se trouve-t-elle à 2cm de sa position
initiale ? Quelle est alors la distance parcourue par la protéine Hg-S ? (1 point)
Si on néglige le temps mis pour atteindre la vitesse de migration (qui est très court), la
protéine Hg-A se déplace à vitesse constante vA. Donc LA = vAtA , et tA = LA/vA.
D’où t A =
2 × 10−2
= 548s .
3.65 × 10− 5
La protéine Hg-S aura pendant ce temps parcouru la distance LS = vStS, soit
LS = 2.87 × 10 −5 × 548 = 1.57cm .
6. Quelle est la distance typique parcourue par les protéines Hg-A et Hg-S pendant ce
temps par diffusion (on supposera une diffusion à 3 dimensions) ? Comparer cette
distance à l’écart entre les distances parcourues par les protéines obtenues à la
question 5. Conclure. (1 point)
La distance typique parcourue par diffusion à 3 dimensions est L = 6 Dt .
Le coefficient de diffusion étant le même pour les deux protéines Hg-A et Hg-S, elles auront
parcouru la même distance L pendant 548s, donnée par
L = 6 × 6.7 × 10−11 × 548 = 0.47mm .
Cette distance (qui peut être parcourue dans une direction quelconque autour du point de
départ de la protéine) est donc beaucoup plus petite que la distance parcourue par les protéines
par migration (suivant l’axe (Oy), vers l’électrode 100V). En observant les protéines environ
6
550s après leur dépôt aux points O1 et O2, on pourra donc bien les distinguer : la protéine HgA qui porte la charge la plus grande en valeur absolue sera plus loin que la protéine Hg-S (un
demi mm d’écart environ d’après notre estimation).
Cette technique est très utile pour séparer ou identifier des protéines de charges différentes.
Pour une réalisation concrète de ce type d’expérience, vous pouvez regarder le site suivant :
http://www.snv.jussieu.fr/bmedia/ATP/bioch7.htm et les pages associées.
Exercice 4 : liaisons électrostatiques
Exercice sur 5 points.
En utilisant le principe de superposition, calculez l’énergie électrostatique entre le système de
charges A et l’ion B de charge (-e) dans les trois cas représentés ci-dessous.
Vous donnerez le résultat en eV et vous le comparerez à l’énergie d’agitation thermique kBT à
25°C.
Vous préciserez dans chacun des cas s’il s’agit ou non d’une liaison électrostatique (1.5
points pour les cas 1 et 2, 2 points pour le cas 3)
10Å
B1
A1
+e
Cas 1
-e
2Å
9Å
A2
Cas 2
B2
+e
-e
2Å
2Å
-e
8Å
A3
Cas 3
B3
-e
+2e
-e
-e
7
Pour un système de charge, l’énergie électrostatique U s’obtient en sommant sur toutes les
QQ
paires de charge (Qi, Qj) l’énergie U i j = i j :
4πε 0 rij
U=
∑
pairesij
Qi Q j
4πε 0 rij
Cas 1.
( + e) × ( − e)
− (1.6 × 10 −19 ) 2
=
= −2.30 × 10 −19 J .
−10
−12
−10
4πε 0 (10 × 10 ) 4 × π × 8.85 × 10 × 10 × 10
Pour avoir le résultat en eV, il suffit de diviser U par e.
− 2.30 × 10 −19
U1 =
= −1.44eV .
1.6 × 10 −19
L’énergie est négative, donc il s’agit d’une liaison électrostatique (il faut fournir de l’énergie
pour séparer les charges).
U1 =
Cas 2.
( + e) × ( − e)
( −e ) × ( −e )
+
= 4.65 × 10 − 20 J = 0.290eV .
−10
−10
4πε 0 (11 × 10 ) 4πε 0 (9 × 10 )
L’énergie est positive donc il ne s’agit pas d’une énergie électrostatique.
Attention : on calcule ici l’énergie électrostatique entre le système de charge A2 (constitué par
une charge +e et une charge –e) et une charge –e, donc on ne doit pas compter l’interaction
« interne » entre les deux charges de A2. Nous avons déjà rencontré ce problème quand nous
avons calculé en TD l’énergie électrostatique entre deux dipôles (exercice sur l’ADN) : nous
n’avions pas compté l’énergie interne aux dipôles !
U2 =
Cas 3.
( − e ) × ( − e)
( + 2e ) × ( − e )
( − e) × ( − e )
+
+
= 1.92 × 10− 20 J = 0.120eV .
−10
−10
−10
4πε 0 (12 × 10 ) 4πε 0 (10 × 10 ) 4πε 0 (8 × 10 )
Comme précédemment, on ne compte pas l’énergie électrostatique interne au système de
charges A3, constitué ici par 3 charges (-e, +2e et –e).
L’énergie est positive donc il ne s’agit pas d’une liaison électrostatique (si rien ne les force à
rester dans leurs positions, le système de charge A3 et la charge B3 vont se séparer).
U3 =
L’énergie d’agitation thermique kBT vaut à la température de 298K :
k BT = 1.38 × 10 −23 × 298 = 4.11 × 10 −21 J = 0.026eV .
Cette énergie est donc toujours inférieure aux énergies électrostatiques calculées ci-dessus.
On remarquera que U 1 > U 2 > U 3 .
8
Numéro d’anonymat
ANNEXE à l’exercice 1, à rendre avec la copie d’examen
(écrire le numéro d’anonymat sur la feuille)
Ne pas inscrire votre NOM
Attention : les équipotentielles sont espacées de 0.2V, sauf près de la pointe où seule
l’équipotentielle 0.5V a été représentée.
E
F
9