Notes de cours: Les équations di érentielles. I) Equations di

Notes de cours: Les équations diérentielles.
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Info: Il s'agit d'une ébauche, il manque démonstrations et exemples surement traités en CM
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I) Equations diérentielles linéaires du premier ordre.
Dénition:
Les équations diérentielles linéaires du premier ordre sont les équations de la forme
y 0 = f (t, y) = a(t)y + b(t) (E)
où a et b sont des applications dénies et continues sur un intervalle I de R.
On appelle a(t) et b(t) les coecients de l'équation (E).
Dénition:
Une équation linéaire
y 0 = a(t)y + b(t)
est dite homogène si b(t) = 0 ∀t ∈ I.
L'équation homogène associée à une équation linéaire (E) y 0 = a(t)y + b(t) est
y 0 = a(t)y (Eh )
Lemme:
Soient y1 et y2 deux solutions de (E), alors y0 = y1 − y2 est une solution de (Eh ).
Corollaire:
La solution générale de l'équation (E) s'obtient en ajoutant à la solution générale de (Eh ) une
solution particulière de l'équation (E).
Proposition:
Les solutions maximales de (Eh ) sur I sont les fonctions
y(t) = keA(t)
où k est une constante quelconque et A est une primitive de a sur I .
Théorème:
La solution générale de l'équation
(E) y 0 = a(t)y + b(t)
sur I est de la forme
y(t) = keA(t) + l(t)eA(t)
où k est une constante quelconque et l est une primitive xée de b(t)e−A(t) qu'il faut alors
calculer.
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Cas de seconds membres particuliers :
• Si b(t) = est :
On cherche une solution particulière de la forme:
y(t) = λest si s 6= a
y(t) = λxest si s = a
• Si b(t) est un polynôme de degré n, i.e b(t) = P (t):
On cherche une solution particulière de la forme y(t) = Q(t), où Q(t) est un polynôme
de degré:
n si a 6= 0
n + 1 si a = 0
• Si b(t) = est P (t) où P (t) est un polynôme de degré n:
On cherche une solution particulière sous la forme y(t) = est Q(t) où Q(t) est un polynôme
de degré
n si s 6= a
n + 1 si s = a
• Si b(x) = b1 (x) + b2 (x):
Soient y1 une solution particulière de (E1 ) : y 0 = a(x)y + b1 (x) et y2 une solution
particulière de (E2 ) : y 0 = a(x)y + b2 (x) alors y1 + y2 est une solution particulière de
(E) : y 0 = a(x)y + b(x).
II) Equations diérentielles linéaires du second ordre.
Dénition:
Les équations diérentielles linéaires du second ordre sont les équations de la forme
y 00 + a(x)y 0 + b(x)y = c(x) (E)
où a ,b et c sont des fonctions données dénies et continues sur un intervalle I de R, et y est
une fonction inconnue de la variable x, dénie sur I .
Proposition:
Pour tout x de I , il existe une et une seule solution maximale y telle que y(x0 ) = y0 et y 0 (x0 ) = y00
où y0 et y00 sont deux réels xés (conditions initiales).
Corollaire:
Si c(x)=0 pour tout x de I, alors l'ensemble des solutions de l'équation (E) est un espace
vectoriel de dimension 2.
Dénition:
Une équation linéaire du second ordre
y 00 + a(x)y 0 + b(x)y = c(x) (E)
est dite homogène si c(x) = 0 pour tout x de I .
L'équation homogène associée à une équation linéaire (E) est
y 00 + a(x)y 0 + b(x)y = 0 (Eh )
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Lemme:
Si y1 et y2 sont deux solutions de (E), alors y1 − y2 est une solution de (Eh ).
Conséquence:
Pour avoir toutes les solutions de (E), il sut de connaître toutes les solutions de (Eh ) et une
solution particulière de (E).
Dénition:
Une équation diérentielle linéaire du second ordre à coecients constants est une équation de
la forme
y 00 + ay 0 + by = c(x)
où a, b sont des constantes, et c est une fonction donnée dénie et continue sur un intervalle I
de R et y est une fonction inconnue de la variable x, dénie sur I .
On appelle équation caractéristique de (E) l'équation
r2 + ar + b = 0
Théorème:
Soit ∆ le discriminant de l'équation caractéristique de (E).
• Si ∆ > 0 (deux racines réelles distinctes r1 et r2 ) alors la solution générale de l'équation
homogène (Eh ) est donnée par
y(x) = α1 er1 x + α2 er2 x
où α1 et α2 sont deux réels quelconques.
• Si ∆ = 0 (une racine réelle double r0 ) alors la solution générale de l'équation homogène
(Eh ) est donnée par
y(x) = α1 er0 x + α2 xer0 x
où α1 et α2 sont deux réels quelconques.
• Si ∆ < 0 (deux racines complexes conjuguées r1 = u + iv et r2 = u − iv ) alors si v 6= 0 la
solution générale de l'équation homogène (Eh ) est donnée par
y(x) = eux (α1 cos vx + α2 sin vx)
où α1 et α2 sont deux réels quelconques.
Cas de seconds membres particuliers :
• Si c(x) = esx :
On cherche une solution particulière de la forme:
y(x) = λesx si s n'est pas une racine de l'équation caractéristique
y(x) = λxesx si s est une racine simple de l'équation caractéristique
y(x) = λx2 esx si s est une racine double de l'équation caractéristique
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• Si c(x) est un polynôme de degré n, i.e c(x) = P (x):
On cherche une solution particulière de la forme y(x) = Q(x), où Q(x) est un polynôme
de degré:
n si b 6= 0
n + 1 si b = 0 et a 6= 0
n + 2 si b = 0 et a = 0
• Si c(x) = esx P (x) où P (x) est un polynôme de degré n:
On cherche une solution particulière sous la forme y(x) = esx Q(x) où Q(x) est un
polynôme de degré
n si s n'est pas une racine de l'équation caractéristique
n + 1 si s est une racine simple de l'équation caractéristique
n + 2 si s est une racine double de l'équation caractéristique
• Si c(x) = c1 (x) + c2 (x):
Soient y1 une solution particulière de (E1 ) : y 00 a(x)y 0 + b(x)y = c1 (x) et y2 une solution
particulière de (E2 ) : y 00 a(x)y 0 + b(x)y = c2 (x) alors y1 + y2 est une solution particulière
de (E) : y 00 a(x)y 0 + b(x)y = c(x).
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