Activité 1

Activité 1 : Nombres premiers
Problème 1 : Crible d’Eratosthène
On cherche tous les nombres premiers inférieurs à 100 en utilisant la méthode historique
d’Eratosthène :
• On construit un tableau de tous les nombres entiers de 1 à 100.
• On barre le nombre 1 car il n'est pas premier ;
• On entoure le nombre 2 puis on barre tous les multiples de 2 autres que 2 ;
• On passe au nombre qui suit 2 et qui n'est pas barré, c’est-à-dire 3, on l'entoure et on barre
tous les multiples de 3 autres que 3 lui-même ;
• On continue ainsi avec les nombres suivants.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
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25
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28
29
30
31
32
33
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35
36
37
38
39
40
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44
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48
49
50
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52
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54
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56
57
58
59
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63
64
65
66
67
68
69
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74
75
76
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78
79
80
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82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
1. Montrer que les nombres entourés sont des nombres premiers.
2. Montrer que lorsqu’on barre k, le suivant non barré est supérieur à
k2
.
3. Montrer qu’après avoir entouré 11, les nombres non barrés restants sont tous premiers.
4. Pour lister les nombres premiers inférieurs à 250, pourquoi suffit-il de barrer dans la liste les
multiples des nombres premiers inférieurs à 15 ?
5. Si l’on souhaite lister les nombres premiers inférieurs à l 000, jusqu’à quel nombre premier p faut-il
barrer les multiples ?
Problème 2 : Les nombres de Carmichael
Propriété
Un entier
n≥3
est un nombre de Carmichael si, et seulement si :
• il est le produit d’au moins trois nombres premiers impairs ;
• il est tel que, pour chaque diviseur premier p de n, l’entier
p−1
divise
n−1
.
Exemples
•
30 =2×3×5
;
2−1=1
et 1 divise 29 ;
3−1=2
mais 2 ne divise pas 29, donc 30 n’est pas un
nombre de Carmichael.
•
561 =3×11 ×17
;
3−1=2
et 2 divise 560 ;
11 −1=10
et 10 divise 560 ;
17 −1=16
et 16
divise 560 ; donc 561 est un nombre de Carmichael.
1. Les nombres premiers sont-ils des nombres de Carmichael ?
2. Décomposer 1729 puis 2695 en produit de facteurs premiers.
3. Les nombres 1729 et 2695 sont-ils des nombres de Carmichael ?