Activité 1 : Nombres premiers
Problème 1 : Crible d’Eratosthène
On cherche tous les nombres premiers inférieurs à 100 en utilisant la méthode historique
d’Eratosthène :
On construit un tableau de tous les nombres entiers de 1 à 100.
On barre le nombre 1 car il n'est pas premier ;
On entoure le nombre 2 puis on barre tous les multiples de 2 autres que 2 ;
On passe au nombre qui suit 2 et qui n'est pas barré, c’est-à-dire 3, on l'entoure et on barre
tous les multiples de 3 autres que 3 lui-même ;
On continue ainsi avec les nombres suivants.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
1. Montrer que les nombres entourés sont des nombres premiers.
2. Montrer que lorsqu’on barre k, le suivant non barré est supérieur à
k2
.
3. Montrer qu’après avoir entouré 11, les nombres non barrés restants sont tous premiers.
4. Pour lister les nombres premiers inférieurs à 250, pourquoi suffit-il de barrer dans la liste les
multiples des nombres premiers inférieurs à 15 ?
5. Si l’on souhaite lister les nombres premiers inférieurs à l 000, jusqu’à quel nombre premier p faut-il
barrer les multiples ?
Problème 2 : Les nombres de Carmichael
Propriété
Un entier
est un nombre de Carmichael si, et seulement si :
il est le produit d’au moins trois nombres premiers impairs ;
il est tel que, pour chaque diviseur premier p de n, l’entier
p1
divise
n1
.
Exemples
30 =2×3×5
;
21=1
et 1 divise 29 ;
31=2
mais 2 ne divise pas 29, donc 30 n’est pas un
nombre de Carmichael.
561 =3×11 ×17
;
31=2
et 2 divise 560 ;
11 1=10
et 10 divise 560 ;
17 1=16
et 16
divise 560 ; donc 561 est un nombre de Carmichael.
1. Les nombres premiers sont-ils des nombres de Carmichael ?
2. Décomposer 1729 puis 2695 en produit de facteurs premiers.
3. Les nombres 1729 et 2695 sont-ils des nombres de Carmichael ?
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