Formes réelles des algèbres semi

Séminaire "Sophus Lie"
F. B RUHAT
Formes réelles des algèbres semi-simples
Séminaire "Sophus Lie", tome 1 (1954-1955), exp. no 11 et 12, p. 1-15
<http://www.numdam.org/item?id=SSL_1954-1955__1__A15_0>
© Séminaire "Sophus Lie"
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11-01
Séminaire "Sophus LIE"
E.N.S., 1954/55.
Exposés
FORMES RÉELLES DES
(Exposés
SEMI-SIMPLES
8.2.55).
de F. BRUHAT des 1 et
Un certain nombre d’erreurs
Exposé
ALGÈBRES
exposés précédents.
Errata aux
Exposé n°9 :
n° 11 et 12
page 9-05
ligne 4
n° 10 :
sont
se
du haut lire
ligne 5
r
=
(Z ...)
-
du bas lire :
exposés précédents :
dans les
glissées
V.
est l’ensemble des vecteurs
’
v
E V
tels iue
H.v
/B(H)v
=
ligne 14
a
0 )".
>
.
Le rectificatif
1)
de la page 8 est alors
page_10~02 lignes 3
vant : "Etudions le
ni
cas
(ils correspondent
que
de
aux
~Q
+~ ~ soit plus
0 ." .
V
poids. Alors si
ajouter :
p(X)v
et
H ),
e.. ~
et
"avec
non
objet.
le texte par le sui-
à 5 du haut :
valeurs propres de
un
sans
)"
0
remplacer
irré-ductible. Les poids de
étant
V
il existe
un
en
nombre fi-
poids 0
donc
V~
(k-m)
12 du bas lire
ligne
=
10 du haut lire :
f..
=
-
~-(i+l)
-
E~S~_~0~0~ ligne
1 à 3 du haut :
remplacer
le texte
par le suivant
des racines positi-
simples détermine le système 2:
ves; en effet toute racine positive est soit simple soit de la forme
où 03B3 est une racine positive et 03B1 . est simple. En effet on a 03B2=03A3mi03B1i
avec
0 les ~( .
étant simples, donc ~~> =~m.&~.> > 0 si
p ~ 0 donc comme les m. sont positifs ou nuls, pour un i au moins on a
~~(~> > 0 . Appliquant la proposition 1, on voit que
"Le
TT
système
tel
s
page 10-02
page 10-03
"(avec
du bas lire :
des racines
~.
.
donc
p
~ G
on aurait -
et
y~O
~, ~ ~ -o~ . 1 est
et
03B1i =03B2- 03B3
une
Cette racine est
positive .
’
ne
serait pas
simple,
sinon
parmi les combinaisons linéaires. É mi « . i (;, i j 0) celles qui
sont de s racines. Appelons ordre m d ’ une te lle c ombinaison 1 ’ entier po s it if
Les combinaisons d ’ordre 1 sont les c£ . qui sont àes racines. Supposons
2m..
i
i
déterminées les racines d’ordre m . Les racines d’ordre n+1 sont de la forme
g
où 03B3 est une racine d ’ordre m . Il faut d,onc déterminer parmi les
g + À . i les combinaisons qui sont des racines. Or la 03B1i-série contenant £/ / ne
+
car
comprend que des racine.s positives si f /
g =
Cherchons
.
~
g
k03B1i
+
m+k
=
donc
j .$ m j .« . j
,§
£
rieure
si l’un des
+
donc
à 0
est d ’ordre
+
p
de la série est
--
-
--La
Il faut
m+k $
m
est
plus grand
ou
sont nuls
si
k g 0 . Donc la borne infé-
est
plus petit
1
que
g
=
et
ufi
m
de la démonstration de la
remplacer
suit:
=
1
Gomme
connu
si
et
sait SUi-
on
est racine
i
Première partie
comme
implique
mj
la
q
ceci
connaît les racines
connue car on
P + q = - 203B303B1i> 03B1i03B1i>
est> 0
m, J
Si tous les
positive.
g+
=
vant que
-
proposition
5 est
ou non.
incomplète.
Supposons Ù * TT’ w TT " E , 1 E j, . Soit £ ’ l’ensemble des r acines
0
positives de la forme X
z’ et soit r " défi;1 de manière analogue; Si « ’ E t’
à
G
Hj*
,
mi
E’ . Donc s.i « ’. e r ’
"
sont porpendiculaires Î d’,z§" >
" C T " cÀ ’ et 8
0 . 0r cg’ - «"
n ’ e st pas racine car d ’ - « " = 03A3
c £’
e £"
m , i « , - i éi
=
=
n , j p , j (d 1
mi,nj à ° )
près
et céci contredit la
lér proposition 1
p
+
q
=
définition d’Un
03B1’ ,03B1"> 03B1"03B1">
2
-
p,j
système
0 . Gomme
=
Mais
fondamental.
q
=
o
p
Il
ou
o
=
d’a-
et
’
d ’ + «"
n ’ est pas rac ine .
Or il est Clair que toute
racine positive est
de la
ci
’
1
=
1’
d’*£"
donc
w
’
Posons
car
Si
1’
C5 , ) É f ’
et
#
lj ’
, q" 1
d
É
*
°r
£,
*
>
ailleurs
0
+
cg ç jt
+(5
G
£’
(ll
est
tl’
/i
+
’
et d
-Q [
Î T’ : De plus
i~à
est S°lllÔe directe de
Ù
.
[ E , , 03B1] c 03B1
’
une
~~ ~ ’~’~’~ >
et
*
°
donc n’est pas
et
sous-algèbre.
donc [ ±03B1’, qj
~’
Ù#j:
sous-algèbre de
définie de manière analogue est
°1°
-’- d ’ CK Il n ’ e s t. pas une rac ine
E,, . Q "
C?.r
une
=
0
Enfin il est clair que
simple..
1.-
Normalisation d’une base
Pour
de
Weyl.
paragraphe encore, le corps de base est un corps algébriquement
clos de caractère stique 0
quelconque - ~ est une algèbre de Lie semi-simple
dont
te
j)
qu’on
ce
est
une
sous-algèbre
de Cartan. On
a
choisi
ait les relations suivantes
E03B1 ~ 0
03B1
dans
de
sor-
.
~)
’
.
~
L~.E~]= -H~
~~
EE~~] ~ ~ ~
et
~~ ~
=0
(4)
~~~~
On convient
N~~
que la
=
~~ 0
est
1
une
racine
.
sinon
,
=~(H)
0
de
E~,E_~~ =-
+j3 ~
0
n’est pas
une
racine. Les
formules
mon-
déterminée par les
On va
structure
un
certain nombre de relations nécessaires entre
relations qu’on démontre facilement être suffisantes
pour que les axiomes des algèbres de Lie soient
vérifiés par
un
N03B2,03B1 = - N03B1,03B2
o~
crochet donné
par suite do
Lemme
est
N~
~
apriori
par les formules
non
o . Si
Tout
d’abord
~+~+~=0 . Alors
nulles
Si l’on écrit l’identité de Jacobi relative
à
~~y=
(l) à (3).
l’anticommutativité.
sont 3 racines
Par ailleurs
démontrer
.
E
on a
03B1 E03B2 E03B
deux relations linéaires étaient
distinctes,
les 3 racines seraient
proportionnelles à l’une d’elles soit ~ par exemple,
mais alors, on a
donc
hypothèses.
ces
Ces deux relations
’« = .- ci
y=0
linéaires entre
03B1, 03B2,
a
N.=N=N
~
(~~
ou
~
(3=0
contrairement aux
n’étant pas distinctes,
on
sont 4 racines non nulles, dont les
Si
pas nulles et telles que 03B1 + 03B2 + y + 03B4 = 0 , on a
ot , ~ ~ , ~
Lemme 2.deux no sont
En effet
= - 03B4
+ 03B2 + 03B3
Reportant
f
0
1.1
03B1
03B2 + 03B3 ~
et
03B1 ,03B2 deux
contient 03B2
soient
que la
k
-série
03B1
qui
la dernière
03B2+k03B1
dans
théorème 1 de
l’Exposé
n°
est
1
et tonant
compte
N03B1 ,03B2+03B3 N03B4 ,03B1 -N03B1,03B4
=
de
=
E-03B4 ~ 0 ,
il vient
égalité résultant
rappelle
que
dont
) h’
donnés des
et
N
sont
E03B1 ~ 03B1
nulles de
=
03B2 ~
0
y sJ
+
/
0 . Supposons
_
k03B1
avec
de la
sous-algèbre
irréductible. On peut donc appliquer le 5) du
appliqué
le lemme
-
algèbres
en
de Lie
à
Si
-ce ,
résulte aussitôt.
semi-simples,
01
et
’ ,
respectivement des sous-algèbres de Cartan. On suppose
de sorte que les relations U.) à (4) soient vérifiées avec
O’I
applique
ce,t
représentation
-03B2
N
(resp.
Théorème 1.- Soit (r
telle que t03C6
03B1 +
con.tienne exactement les
du lemme 1
les constantes de structure
nés non
avec
10, d’où
Nous allons considérer deux
des
car
’0+0’ -
alors
q
{E03B1,E-03B1,H’03B1}
.
(6)
racines
étant de dimension 1, la
l’on
~~~
le
0 . lofais
dans l’identité de Jacobi
w
+d
VB
deux à
l’égalité (9) .
bien
p
~~
N
on a
sommes
.
~
(resp. ~/) désigne
l’ensemble des raci-
d’) .
une
application linéaire biunivoque
sur
0394 . Si l’on
vérifiant les conditions
pose
(l) ~ (~)
=
avec
de 0
sur
’0
trouver
,
les constantes
on
peut
de structure
N03B1’,03B2’
~=
Tout d’abord
près
k
p
==
p
+
est, une isométrie
1 de
l’Exposé précèdent
si
-série qui
q
Puisque 03C8
q
p*
=
p
proposition
20142014:2014
2
-
la
=
Q
q’t
autrement dit
= N03B1,03B2
est
donc -
~
de
on a
contient 03B2
se
isomorphisme linéaire
un
203B2,03B1> 03B1,03B1>
=
2
-
En effet d’a-
des 03B2 +k?(
compose
0394’t
de
A
sur
pour
on a
d’où l’on déduit facilement
03B2’,03B1’> 03B1’,03B1’>
que
où k
dépend
ne
pas do
et de même
03B1’,03B2’>
1
(o,~~~
si
0
et de
k
=
1,
d’un ordre
précédent
et
Supposons
choisis dos
03A3p l’ensemble
03B1’
appelons
(9)
la relation
Mais
on a
E’03B1,~
~~~+~
= k2
k
Donc
et
comme
qui démontre notre assertion.
ce
Munissons
chaque fois que
p.
03B3’03B1’>03B3’03B2’>
.
~
=
J
0
o~
lexicographique
~~p .
On
soit vérifiée pour
de
peut
une
ci.:}.0
des racines
pour 03B1 (:.
’
03A3p
de sorte que
d
décomposition
+ 03B2
=
p
0 et définissons
sorte que
E’p,E’- p’>
[E.
E’-p’
03A C3=0A3p {,-p}et de
E’03B2’]
~
est le suc es eur im é-diat de 03C1
E’03B ’ est donc défin
6
Posons
fois
chaque
N’
que
pour ~ ~ .
gE.~,
[E’,,E~]
Il faut
1
=
donc
plusieurs
03B3,03B4,03B3+03B4 ~ 03A3p
b) 03B3 + 03B4 = p 03B3, 03B4 ~03A3p . On
+ 03B2 = 03C1 .
nes
donc
sont
Alors
non
03B1-03B2
x,a
dans
-
conditions. Il faut
ces
1 . Si
cr
.
distinguer
cas ?
a)
03B1
N’t, ~
=
car
r , 8 , 1+ é
=
montrer que
(9)
vérifiant la relation
choisir
plus
l’Expose
dans
comme
6
alors
N’03B3,03B4
=
hypothèse
par
peut supposer
c>(
+ 03B2 + (-03B3) +("8)
nulles et
2-.p .
N03B3,03B4
On
dansdonc2 ,
peut
=
et les
0
car on a
appliquer
cette
par
de
décomposition
sommes
exemple
le lemme 2
récurrence
distincte de
deux à deux de
0
~~~
et
0} ’
ces
0
d’où
raci-
Mais les second membres de
d’ où
exemple,
Donc
comm e
N03B1,
isométrie donc
03B3+03B4
0
~, ~~
N o
~ ~’~~’ ~
N’,
=
o
on
=p.
= -f
03A3p
on a vu
que
Ne(
t
T
03B2 = N’03B1’,
,
est
une
lemme 3
c, .
N
a
.=N.~
et
"
y
~~
~
N ~~ g=N..,
6~~
-j(-,-6 ~ 03A3p (-03B3)
donc
+
(-S) =f)
par mite
")-
~,6= ~ ’,6d)
.
N-03B3, ^ ; N’-03B3’,-03B4’
et d’aprés le
,-’
03B3,03B1- 03B3 ~ 03A3 P
car on
construction
Mais
on a
~.
égaux
sont
D’autre pa.rt
1
y+o
Donc si
o)
N-03B3,03B1 = N’-03B3’ « , ,
~
donc finalement
égalités
ces
Enfin dos 3 racines
être é’-.lc à 1
dont la
somre
est
nulle,
si elles sont toutes trois dans
p
ramènent à b) et
~~~-(~+6)
c)
une
plus peut
au
Mais alors
ces cas se
le lemme 1.
Les racines positives
en
nombre fini le
théorème est démontré par
récurrence.
Corollaire 1 : Soit
LcK
un sous-corps
contenant les
et
N
o-l...
l’algèbre de Lie formée des combinaisons linéaires à coefficients dans L
Il existe alors une application f L-linéaire de
dans
E03B1
et H’03B1 .
prolongeant cp et qui
soit
homomorphisme
un
Les relations de structure
stable pour le
crochet;
même dimension
sur
~(E~) E~t .
=
(14)
f([H,H’]) = f(0)
de
(4)
Q,
sur
f
montrent tout de suite que
est
f
et
de
e~ bien définie par
=
0
01’
est
et ayant
f(H) =(D(H)j
f(H ~ ~ )
multiplicative
[f(H),f(H’)j
0
H ~ 0 03B1 ~ 0394
Corollaire
est définie
2
:
ci
du système des racines.
h’
car
est abélienne
.
En effet si
Dio
~
que
=
à
ét,nt somme directe des
oi
Reste à montrer que
pour
et
K
(1)
= [f(x),f(y)] (x,y ~ L).
des
CM
dans
on
~’
prend
L
=
à
un
isomorahisme près
K dans le corollaire
prolongeant
1,
on
nar
la donnée
définit
un
de h
isomorphis-
Corollaire 3 :
(1) à (4)
on
(17)
ainsi que
-~ est racine
en
un
F’-03B1
E.
do façon à
vérifier les relations
N,.=N~~
symétrie H ""~ -H
racines o(’t
-c~. D’après le corollaire 1,
Cb
prolongeant cette symétrie. Choisissons
même temps que
des
la
0( ,donc
il
=
do
automorphisme q?
de sorte que
Donc
les
normor
système
laisse invariant le
existe
peut
-03B1> = -1 ; 03C6
transforme
F03B1
en
F-03B1 . Mais d’après le théorème 1,
P -03B1 = 1 . Posons E03B1=P-1 203B1 F03B1 ;
F’-03B1 , F’03B1>= - 1 donc P03B1
Si l’on exprime maintenant
F-03B1= P1 203B1 F-03B1=P-1 2-03B1 F-03B1 = E-03B1 .
on a
=
,
f(E03B1)
alors
est
f
que
=
un
homomorphisme
donc si
0
K
est le corps des
Définition 1 :
base de
une
N03B1,03B2 = N03B1’,03B2’ = N-
= ? 03B1,03B1> q(1-p)
vertu du lemme 3
Remarquons qu’en
p ~
trouve de suite
on
complexes
formée d’une base
crL
H....H
à
E03B1 ~ tels qu N03B1, 2 = N-03B1, 2 (en plus de r lations (1)
une
0
q
car
0
ré-el.
est
N.
a,p
...
N
de
0
(4))
et de
s’appelle
base de Weyl de .
2.- Formes réelles des algèbres de Lie.
K
sera
le corps des
riel
sur
R
jusqu’à
exposé
la fin de cet
le corps
étant espace vectoriel
par restri’ction des scalaires.
sur
Définition 2.- Une sous-algèbre de Lie réelle
comme algèbre sur
R ) est dite forme réelle
de la
dit.
de
dans est
complexifiée
R0
si
=
dim
Tout élément de
(~L~ .
existe
part
avec
il résulte des
tout
x ~ 0
(considérée
0 de
si l’application canonique
un
isomorDhisme, autrement
de
sur
:
unique do la forme
involution or définie par
une
réelle
RéciproQuement :r soit
~~ R
désigne
R
est aussi espace vecto-
est donc de manière
Dans
des points fixes de c-
G
complexes.
C .
c~f
x ~ 03BB , donc une forme
(par l’isomorphisme
des
C
r
une
définit
(7f
of )
qui
propriétés
de
les
telle involution
équivaut
x.
a
à
une
x +
sur
x ~o"(x) ~
En effet
x
=
suivantes
et 0
l’ensemble
Alors si
Cj~ *
que
+cr(x))
de
y
6
x ,
s’écrit d’une manière et d’une seule sous la forme
cr
+
avec
=
involution
propriétés
iy
D’autre
y+iz
et il est immédiat
~-(x -or(x))
~(x +o-(x)) et
(y(x) = y - iz
y +iz
que
x =
est
(~ ~
car
donc
forme réelle de
une
sont dans
O~o ~
y=?(x +~(x))
adx
de
Killing de ~~ s’obtient
ady est un endomorphisme complexe
B
prend
comme
opérateur
des valeurs réelles
de
sur
est définie
négative.
compacte si la forme
dite
réellegi0
compacte de
de Lie réelle compacte.
gèbre
soit
Pour que
fit que la forme
négative
forme réelle
une
0 .
x ~
0
x
on a
(surC)
il
2)
Of~
directe de
somme
l) Soit
(r(x) y
=
engendré
- iz
ment si (T
ÉM
() M
c-
1 2i(x - cr(x)) ~
2) Puisque
Ot
==cr(x)
(où
0
par
et
x
(x) ==c-(x)
-
x
donc
et il est clair que
donc si
à
,
~01~
0 .
(T
a
est définie
0 .
de
entendre
soit
n
+u
’U}
x
conserve
(r(x)6. u
!.. +u
-u
a
.
=
x
cr
0
±u
car
=
y+iz
si
induit
cr(x)
1 .
6.
Alors
Réciproque-
engendré
o
et
par
0 .
u
opérateur R-linéaire
si
car
x
un
x
=
Of o =
est
car
6 M...
y,z
(T
u
j-(x)=~x).
u
y+iz
u
==
Qf
et
égalité car
+ 03C3(x))
~
x=O.De plus
1 2(x ± 03C3(x)) ~
En ef-
négative.
signifie
=
y
Comme
donc
x = -x ,
6
x
et il y
on
==
0
dont 10 carré est
=
0
al-
(r(~)= ~~ .
désignant les
commutent,
~
est
et u
et
directe de
x
donc
une
de
et il suffit que
faut
somme
et
commute
(T
=03C3
est
n
est
0
si
d .
complexe
Si deux involutions (r
points fixes
l’algèbre
sur
Pour Qu’un sous-espace
par
Qua-
il faut et il suf-
of~ ~
Réciproquement
= (T(x) donc
Etudions maintenant les involutions
4.- 1)
de
soit définie
+
=
et
Lemme
de
compacte
hermitienne B(x,03C3(y)) sur
compacte et
est
si 0
y-iz)
x
sont des formes bili-
Une forme
s’appelle forme réelle
qj!
).
~~
sur .
Définition 3.- Une algèbre de Lie réelle est
dratique B(x,x)
Lie complexe
si
a
=
égalité
0[ 0 donc
sur
(ceci
~f
C~ ~
donc
0
conserve
et donc
(~f~
néaires complexes
égales
de
ou
sur
qui
01
~is les deux membres de cette
de
Donc
q~ .
pour
=
z=~T(x-~(x)) .
par restriction de celle de
Donc
z
si
La forme de
même trace considère
fut
Réciproquement
=
e. Of
+cr(x))
;
+
1 2(x - 03C3(x))
donc u = +u + -u .
est
M
directe de
somme
0- est l’identité
est
0
il existe
+u
sur
et
et
et il
-1
Soit 0
forme réelle de
une
donc
l’involution associée
T
,
invariante
Cartan
(sous-espace Q-vectoriel engendré
même 0
et
sur
Or
et
sous-algèbre de
une
+u -u i +u i -u .
donc de
iu
u
directe de
somme
Théorème. 2.-
1)
Oj
.
par
t03C3
les
par
conserve
T
permute
les racines.
2) Si
base de
compacte, alors cr(H)
est
0
Weyl E03B1
=-H
telle pue
de
3) réciproquement étant
donnée
ciée à l’involution donnée
o-(H)
par
Weyl de ,
1) La dimension du sous-espace
égale à la multiplicité de 0 comme
dct(adx - 03BB.1) (-03BB)n +
Comme
racine du
est
une
fonction
un
x
...
régulier
x .
D’après l’Exposé
des éléments qui commutent à
n°
x
9,
une
=03B1(03C3H) .
On
0
va
est
semi-simple,
donc
et
suivant
montrer
03C3.H’03B1,H>
en
=
H’03B1,03C3.H>
résulte que
"1
~/~~=
03C3.E03B1 = 03C103B1 E03B1 .
rr
L’involution
03C3
comme
est
03C62
=
1)
h .
car
=
une
forme linéaire
une
racine et que
Soient
~r.E~ ~
choisis des
il existe
J
[03C3.H,03C3(y)]=
~-.h = h .
,H>
H~h
est bien invariante
donc
De
o-.H’
plus
=
H’- . Il
E~
03B1 tels que
des.
scalaires ?
avec
définie par la permutation des racines qu’elle inRéciproquement supposons nous donné un automorphisme (p
est bien
duit et par
(avec
.~-(y)~
= 03B1(03C3.H) = 03B1(H)
conserve
alors
donc
l’ensemble
de Cartan. Mais si
donc
=c((H)T(y) =~(rH)(y(y)
est
il faut et il suffit que
minima,
sous-algèbre
Définissons pour toute racine 03B1
sur h
adx
une
Pour que x soit
+
comme
est
==
de
puissance
est
E
et donc sr
polynôme non nulle
sur
pas (p ~ donc
(~~ contient un élément
qui n’annule
6.0~
+
une
=
asso-
polynôme caractéristique
que cette dimension soit
il existe
par cr .
annule par
(-03BB)n-103C61(x)
régulier, c’est-à-dire
~0 .
une
la forme réelle
(H~ ~ ~)
=-H
forme réelle compacte.
=
et il existe
=E .
base de
une
0
H 6
pour
de 0
tel que
(p
permute les racines et des scalaires
P .
A
existe-t-il
quelles conditions
~
donc
b)
c-~.H=~.H=H
c" 2
sur
il existe bien
et que
dim C = dim R0
soit
ce
multiplicatif
un
honomorphisme
t03C3.03B2>=03B1,03B2>
ou
c..
tion de
.~(r.H)E-
=
qui.
H
P, "> 0 .
pose
E’03B1=p’03B1
de ià que Si
V" .
E
==
pj
[E’03B1,E’03B2]l
base de Weyl de
.
E
=
=
03C1-1 2
ce
Donc
Si l’on pose
De
E’03B1,E’-03B1>
plus
H
0 .
est
soigne
=:
==
in-
directe
négative, im-
une
on aura
base de
donc
E~~=~~E~=~0
sans
ambiguité
=r -
E’.-
°n a
-~ ~ prenons
=
o"
6V~
0".E Pj, E
= -p’03B1 p’-03B1
E .
E’03B1+03B2
Mais si
x ~
la forme bermitienne est définie
e-st donc défini
E03B1 , on a
P
=
pour
donc
1
==
H~V~ .
pour
comme
~~~’B
c-
et
dans
h~
0
et n’est que la traduction de la définie
~
0
, N03B1 ,03B2 = N03B1,03B2 = N03B1 03B2 .
donc
p-1 203B1
ce
V~
donc
0
~~=~f~
=
0
per-
à
ou encore
=H,H>
=
(T
=
2) Supposons
compacte~
duit un opérateur Q-linéaire
de V~ et V" avec
=±
plique H
Weyl E03B1
E~.o-E~] ,
Or
métrique (cf. démonstration du théorème 1) soit
donc la 1ère égalité à démontrer équiH’.-
c~
’~
La 3e s’ écri t enfin
_
[eT
l’algèbre abélienne .
sur
sont
E03B1
traduit par
so
à -H~=~
La 2e s’écrit P
folle que
et les
=
mutant les racines conserve la
o-.E’
seule semi-linéaire 03C3
une
=
étant évidemment
vaut
et
application
une
linéairement indépendants. Que
O~E~.E~)
~O
équivaut à
1
=:
il =
pour
car
ce
03C6
avec
et tulle que
a)
.
qui coïncide
involution CT
une
et
étant un homomorphisme il résulte
(T
N’03B1,03B2
1
et est réel et si l’on
=
donc qUe
est
Une
vérifiées
c~ -
si l’on pose
3) Réciproquement
est
car
et donc
0 . Or soit
x =
donc
H
réels des
1)
sont
=
+ ~ ~d E~,~
ensemble des combinaisons linéaires à coefficients
R
et des
E~
appelée
est
pr
La forme
base de
la forme réelle normale associée à la
compacte associée à
mëe
(crE,
(T
forme compacte associée à la base de
pelée la
E
==
cr
elle
Weyl ;
.H
a une
=
H)
-
base
est apR
sur
for-
E03B1 + E-03B1 i(E03B1 - E-03B1) .
2)
on
Cartan de
. On
propriétés
par les
h
a)
b)
est
une
montre facilement
aux
passer
de Cartan de
suivantes ?
sous-algèbre abélienne
h
de
maximale
dans
1)
nous
avons
une
2)
U
involutif
cH u
que
de *
est
3)
somme
est
D’après
commutant à
Posons
h-
ar
invariante
par
est l’ enser,;ble des po&nts fixes d ’un
et
de Lie
l’involution associée.
u
0
pou-
de 0
o- .
automorphisme
tandis
=
"~~
sor~e
4, il suffira
invariante par
E
et d’une
directe
telle que
=|03C103B1 t
et
pj
compacte
est somme directe de
n
et
directe de
le lemme
o-
=0{
de , nous
Soit of une algèbre
forme réelle de
forme réelle
points fix:es
Cartan
une
complexe, 0
possède
pjf
complètement réductible.
est
0
Théorème 3.- (E. Carter Mostow, Iwasawa).
semi-simple
de 0 ;
déterminé les formes compactes
autres formes réelles
Maintenant que
vons
dont la
représentation adjointe
la
l’algèbre réelle 0
complexifiée est une sous-algèbre de
qu’une telle sous-algèbre est caractérisée
appelle sous-algèbre
sous-algèbre 0 ~ 0
une
.
(20)
est réel. Reste
~~~, M~_~
+ ~
à
.
Remarques :
des
(18)
les conditions
~~ ~ 1
base de
une
à démontrer
-~d
..
B(x~(x))
D’après le
cr
et
de démontrer
0
une
pour
qu’il
x ~
existe
0 .
C~ u
théorème 2, il existe
base de
~~ .
sous-:-algèbre résoluble
Weyl
de
g
une
sera
l’ensemble
sous-algèbre
une
avec
Il suffit de vérifier les relations
involution ’c
0"
(18)
de
.E03B1 o E- .
=
à
(20)
pour
c = -o),
3e
et
~f~ .
et
Les 2
à
équivaut
~~)
vertu du lemme
en
de la relation
sur h o
(20)
premières
sont évidentes et
Or
3)
on a
on
sait que
1~ jBj~= ~- ~~>( q(l-p)
bien
~i ~J~J .
et
N
N
=
c(. B
la
-01, - (3
=°~:> ~>
J,e>
)~
=
=
=
comme
Prenons le module
_~ .
Enfin
et -c
y
commutent
donc
démontrer le
3) de ce théorème, il nous faut tout d’abord modifier le
choix de la sous-algèbre de Cartan que nous persisterons
cependant à appeler
Soit
une sous-algèbre abélienne maxit) . On sait
male contenue
dans -u et soit h une sous-algèbre abélienne maximale de
u contenant -u . u est une sous-algèbre de Cartan, car les adH pour
H 6,
u sont antisymétriques par rapport à la forme quadratique définie positive - B(x,x) sur u , donc
ad u ost complètement réductible. Tout d’abord
montrons que
u est stable pour o- or si H ~ u H" 6 h" [H,H*]= 0
Pour
-u
[o-.H~.H*]
donc
de même de
H-j.He
H-03C3.H ~ -u
de
~.H"
or
s-.He
H" ~
donc c-.H
0
est la
en
est
-u don.c
complexifiée
0 = 0 = +u ~ i -u .
=
V+ ~ V- (cf.
V~
munissons *0
et
qu’une racine
si B.B
"
et il
forme des combinaisons linéaires rationnelles des
dant.
Pour
W"
est abélienne maximale dans
formée d’une base de
soit
commute à
u +u + -u et
Donc
.
sous-espace 0
ordonnée
V
-
-u . Mais -u
est stable par 03C3 , donc
de
=
il résulte du lemme 4 que
u
Le
=0
o(
plus haut).
soit
H....H
de l’ordre
soit telle que
Prenons
une
précédent
lexicographique
~ = -~ ,
il
H’
base
une
base
correspon-
et il suffit que
V+ . En effet V+ est sous-tendu sur Q par les H + o-. H
(H 6 0) et comme J:(H) =03B1((03C3H) =03B1(03C3 H) (car 03B1
prend des valeurs rationnelles
sur 0 ), 03B1 -03B1 équivant à 03B1 (H cr .H) 0 soit à o. nulle sur
V . Supposons maintenant c~ ~ o et o7 ~ -~ ~ n’est pas nulle sur V~ donc
o( soit nulle
sur
=
03B1(H1)
=
=
...
0
03B1(Hj) =03B1(03C3.Hj) =03B1(Hj)
= 03B1(Hi+1) > 0
~
=
donc
03B1 ~
~’~/B" u(-~’)
+
03B1(Hi+1) ~ 0
(car
0 . Le
Hj ~ V’’)
système
et
=
>G
est nul
pour j
puisque 03B1 ~ 0 .
i
des racines est donc
et
partagé
=
en
trois
Mais
Lemme 5.- Si 03B1 =-03B1 et x ~ 03B1
particulier o-.E~= E .
en
M"
=cr.H
Comme
V~
si
car
H
engendrée (sur R)
engendrée sur R
est
commute
à -u
y
=
cr(y)
=
par les
0
-u
y
=r(x) -
~ -03B1.
est nulle
et 03B1
x
y
-u .
somme
de
o’(x)
Or
commute à
y
V+ .
sur
h~
commute à
Mais
h
h"
donc
Hais alors
-u
donc
y -o’(y)
~ "~~
~"
est directe donc
=
u
est
y )
est in.variante par
et la
x +
donc
et
IH’
et
(car
y~~" 0’.y~Q~~
enfin
H
et
(cf. théorème 2)
sur 0
-1
=
donc
+ 03C3(x) ~ +u = 0
o-(x) =c(x)
’
~.
h".
Or
~ .
.
Pour achever de
-03B1.
03B1 ~ 2,’t
Si
pour r . D’autre
C
par
k - h
~n)c -~’
k
t
et la.
=
E.
sont stables
engendre
sur
que
’
est directe
somme
d’où
=0
de
sor~e
==0 )- 0 donc % et ’
étant stable par cr- eat
2h
~(n)
+n-
h~~y
~’
k
si
car
t
+
h
+
n
=
0
en
appliquant
on
=0 . Mais
est directe donc
h= n=0
et donc
0 .
=
Déplus
et
t
+~(n)
’t
=
Lt
o, ~ 03A3’ car 03B1,
part ’C(~)~ ~ ’ ~
~o = ~ ~ ~ o
Tout d’abord cette
trouve
démontrer le théorème. posons %
parles
d’après
0
y=x
est
engendré
+~-(x)
D’autre part si -0(6.~’
donc
y
est dans
t
+
ec~ . Si ~=-~k ,et
y ~ 03B1
~(y)~(~’~+~"~c~
Donc si
~=i ~~ ~~
+
on a
+%~ .
0 ih"
R
x
pour
le lemme 5. Si 03B1 ~ 03A3’
sur
x
+T(x)
coince
et
est dans
y~0
~
y~
y+~(y)~~ 0
=~~~?~
C.Q.F.D.
APPENDICE
Indiquons sommairement comment on déduit du théorème 3 un théorème de décomposition pour les groupes de Lie. Soient G ~
G,. , G les groupes adjoints
0.
algèbres
des
morphismes
Q~ ~
de 0 et
automorphismes
peut considérer
on
volution C~
dans
montre alors
sans
G
de
M
et que
G~
et
Gu
par
=
mal que
et
G,,
du groupe des
automorphismes
Donc
De même soit
N
Mais par
les matrices de
i ~
et que
ad
un
ble
connexe.
à la base de
en
N
K
elle est
(g,g’)
en
~
gg’
on
de
positive G . Soit K la composante
d’algèbre
et
et que d
.
i
+
~ .
Hr E ...
E-03B11 H1 ... est
réelle
leur
diagonale
(v+)
0 .
de Lie est
de Lie
pour toute
de
E
P ,
car
racine ~ ~
diagonale nulle. Mais alors l’exnonenN qui est donc un groupe résolusur
réduit à l’identité : en effet par rapport
de 0
est
G = K.N’
K
K
de
une
sont unitaires
le voit
peut être triandiagonale unitaire ne peut
matrice unitaire
matrice
une
comme on
ne
à 1.
c’est-à-dire que tout
la forme
sous
à
et
et
être
sans
e
s’identifie
Or
V~
diagonale,
démontrer que
~0 ’
G
E,,,
(cf. (21))
l’espace tangent
scmi-simple, donc
est la composanté
est
~f
compact dont l’algèbre
question les matrices
manière et d’une seule
à
groupe
homéomorphisme
être réelle et positive
va
un
par
en
On
res-
.sont d~s groupes linéaires
Gu
triangulaires
R
et
03C3
donc est fermé dans le groupe des
G0
base de
une
sur
tielle définit
explicitant
gulaire que si
et
’~ , On
compose de matrices à
se
simplement
G0
de même que
sont
engendré
est
C~f ~
de
points fixes
comme
de
le sous-groupe résoluble
rapport à
et de même pour
résulte que
en
G . On définit une in-
dans
~1
o
de
complexe
la forme hermitienne définie
conserve
G est compact
GO n G . C’est
l’unité de
adg
sont les
Gu
que toute dérivation est intérieure il
opérateurs linéaires
fermés et comme G
plongés
de manière uni-
la structure
conserve
donc sont fermés. Mais
pectivement dans G,
connexe
G
o
(sur C)
par linéarité
comme
?’
Comme les auto-
5f ~ ~ n ~
prolongent
se
u
des
en
que
(réelles) respectives
de Lie
g:
k.n
k ~. K
avec
s’identifie à
g 6
de
G
s’écrit d’une
n ~ N . En
effet,
même l’espace tangent en
l’espace tangent en (e, C ) à KxN s’identifie
facilement que l’application linéaire tangente à
dans
voit
G
donc par restriction
point (e,e)
l’application (k,n) ~ kn
x
G
-~
G
au
est donnée par
induit
au
point
(c~ , ~ )
~ ~
+ (~
(8,e)
~ 03B1 + 03B2 de
Celle-ci étant un isomor0
phisme, le théorème des fonctions implicites montre qu’il e xiste un voisinage
de e dans K ! un voisinage V de e
dans N tels que la restriction à
x
V
à
(03B1,03B2)
cation
U
e
de
donc des
l’application de
voisinages U1c- U
telles que
K
x
’~
N
c
dans
V
G
soit
un
homéomorphisme.
et des fonctions continues
kO
Il existe
nO
et
"
U
11-15
Soit
S
sinage
suite
== ~ k~ ... k~
et des fonctions continues
V(S)
c
k(S)
avec
formule
de
une
se
n~
V1
k~
k.
réduisant à
=
...
U..
et
On raisonne pour cela par
(23)
pour
p
=
n
E
Mais
donc
e
V(S)
E
la continuité de
n&
pour
0 . Puis si
S’
si
=
n~
voi-
telles que
p ~ cette
sur
== ~k~ ~ S
est
compact. Il existe
donc si
n
E
un
V(S) V~2
nombre fini de
et
=
b
k ~: K
...
n .
...
T’
une
On
~a
=
n~
connexe
T={n1 ...
montrer
suite
que
ng}
n(T).k
d’éléments de V-
et
~ K.N .C’est vrai si
q
1
=
puis
°
n(T’)
étant
K
-L
~0
n(T’).k
N
un
Mais alors
Soit maintenant
n(T)
construire
d’après l’unicité de le. décomposition (23)
V(S’) (voisinage assez petit do e ) d’après
Utilisons maintenant le fait que
suites telles que K
n.k~ K.N
k~
va
récurrence
et
pour
On
est
=
n~ n(T) .
n~
engendré
K.N .
Mais
par le
n~
K c K.N
voisinage
V
n(T’).k e
donc
de
K.N .
donc finalement
e
=
Il
pe de
G
n’y a plus
G , mais
est connexe.
N
=
(e) .
de difficulté à
démontrer que
qui est
L’unicité de la
un
voisinage
NK
=
de
KN
=
e
donc
H
est
H
décomposition résulte évidemment
°
un
=
G
de
sous-grou
puisque
ce
que