Structure des algèbres de Lie semi-simples

S ÉMINAIRE N. B OURBAKI
F RANÇOIS B RUHAT
Structure des algèbres de Lie semi-simples
Séminaire N. Bourbaki, 1954-1956, exp. no 107, p. 61-68
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Séminaire BOURBAKI
(Février 1955)
STRUCTURE DES
ALGÈBRES
DE LIE SEMI-SIMPLES
François BRUHAT
par
algèbres de Lie considérées sont des algèbres sur un corps de caractéristique zéro algébriquement clos, qui sera le corps des complexes à partir du n° 4
Les
Sous-algèbres
1.
k
Soit
de Cartan. Critères de Cartan.
algèbre
une
espace vectoriel
un
DÉFINITION
r
pour tout
x E
entier
n
la
avec
1. - Les
V~
a
=
0
pour tout
sont invariants
poids
a
V~
poids (si
un
le sous-espace des
~0Bdirecte des différents
dans
repré=
6
tels
V
qu’il
~0 ~) .
existe
un
x
B
par p ;
de la restriction
V~-.
est
un
de
poids
V" .
à
de
Enfin
P
V
si
est
algèbre de Lie quelconque et h une sous-algèbre nilpotente de
poids de la représentation adjointe de
dans 9’ est dit une "racine"
un
q
représentation de h
une
l’existence d’au moins
( P (x) ~ ~(x)) n
et c’est le seul
Soit 03B1
de
assure
somme
~:
et p
de dimension finie :
V( ,~.) (ou V~’)
PROPOSITION
V~~É
V
nilpotente
~t .
Le théorème de Lie
On notera
de Lie
1., - Une forme linéaire ~. sur K est dite un poids de la
’ s’il existe un élément a non nul de V tel que
sentation
une
~..
suivant
Soit
L1 l’ensemble
des racines
non
nulles :
on a
(proposition 1)
~. ~ ~ °‘ ~
PROPOSITION
en
particulier
~
est
une sous-
algèbre.
DEFINITION
2. - Une
Cartan de 9’
si
Il existe des
sous-algèbre nilpotente ~,
de
0[’
est
une
sous-algèbre
~= k.
sous-algèbres
de Cartan : prenons un
0)
c’est-à-dire tel que le sous-espace
à la valeur propre
0
PROPOSITION 3. - Si
Cartan
.
de
X
ad X
est
soit de
régulier,
61
régulier,
des éléments
de g appartenant
dimension la plus petite possible :
~~X ,
de
élément
0)
est
une
sous-algèbre
de
de
On obtient par
procédé
ce
toutes les
sous-algèbres
de Cartan
:
plus
précisément :
PROPOSITION 4
par
des
B
(Chevalley). -
sous-,algèbres
Deux
automorphisme intérieur appartenant au groupe engendré
dérivations intérieures nilpotentes
de
un
h , (ad X)2
X E
risation si
X
a
et
dans
H ~ [g03B1, g-03B1] : il
(X ~ tel
tels que
~(H)
que
[X , Y]
lemme).
que
symétrique
B(ad Z.X,Y) = - B(X,ad Z.Y) .
d’où par pola-
:
0[ suivant h,03B1~
Si
et
p
ne
0 ,
dépendant
sont deux entiers
q
et soit
de 03C6
(p~O ~.q)
que
=0,
(Démonstration :
le
conjuguées
exponentielles
la forme bilinéaire
nombre rationnel
~(H) .
r
=
un
[g-03B1, g03C6+p03B1]03C6,03B1=[g03B1,g03C6+q03B1]
g-03B1, ad X
g
la seule valeur propre
deux racines de
et 03C6
existe
et
ad
par les
~, :
Y ~.
LEMME 1. - Soient 03B1
Y E
sont
.
Rappelons qu’on appelle "forme de Killing" de
(X , Y) = Tr(ad X ad Y) . On vérifie facilement
Si
de Cartan de 03B1
considérons le sous-espace
et
ad Y
= ad H
conservant
dans
a
V
et
V =
+ka ;;
TrV(ad[X ,
la seule valeur propre
Y]) =
f(H)
si
X E
g03B1
et
0 . Or
+
kor(H) ,
d’où
On déduit du lemme 1 les "critères de Cartan" :
B
,
,
algèbre de Lie dont la forme de Killing est nulle est
résoluble. Si une algèbre de
Lie ~ ne contient aucun idéal résoluble, la
est non dégénérée et réciproquement : nous dirons que
forme de Killing
de 9
THEOREME 1. - Toute
y
est
semi-simple.
1
est dite
toute
algèbre
orthogonaux
"simple"
de Lie
(pour
si
dim ~ ~ 1
semi-simple
la forme de
est
et
somme
Killing).
n’a pas d’idéaux non triviaux :
directe d’idéaux simples deux à deux
si ~
algèbres semi-simples.
2. Structure des
désigne
Dé sormais g
semi-simple et h une sous-algèbre de
une
Cartan choisie
Pour toute racine
pour toutes. On pose r = dim" (rang de
0 dans
élément
un
0 , on choisit (arbitrairement pour l’instant)
tel que [H ,
cx(H) E« pour tout H ~ ~t . On posera pour simplifier
~).
une fois
E~~
E«~ =
~
B(X , Y) =X , Y > .
~«
0 . La restriction
orthogonal à
de la forme de Killing à ~ est non dégénérée ; il existe r racines linéairement indépendantes et tB est une sous-algèbre abélienne maximale.
PROPOSITION 5. -
X E
Si
Tr(ad
a
X ad
il est
Y)
et
=
0
orthogonal
est
y, ,
si
à ~
ad X ad Y
a+~~
( ~, ~ i~ ~ ~
La
forme de
a(H) ~ H
~ E« ~
,a ~)
H 1=
un
0
orthogonal
a(H’ ) ~
donc
et d’introduire
sur
d’identifier h
H’c E .
De
9~ ,
même,
[h~ ~J ’
et
scalaire
produit
un
g
pour toute racine
pour tout
0
=
racines linéairement
r
0
avec
toute racine s’annule
Killing permet
oc
dual
son
(on
posera
dual.
sur ce
une
orthogonal à Q~~
nul, c’est-à-dire
que
car
est
et pour
~ a . On
racine / 0 et soit
X~~ ~ ~~H ~ E~~ , X ~ = a(H) ~C E~ ~ X> , d’où :
~ on a H ,
(sinon il serait
X]= Ea’ X)> pr . Or Ea n’est pas orthogonal à
Soit
HE~
0
tB.
0 . Si alors
a+ ~+~ ~ àd’où
k
dans
donc nul. S’il n’existait pas
indépendantes, il existerait
donc tel que H , H’>
on a
~
envoie
~ Ea ,
racine 03C6 ,
X]= a
donc nul :
ce
est
que - ot
qui montre
racine),
en
particulier
donc il existe
:: le lemme 1 montre
d’où l’on déduit
03B1,03B1>~
PROPOSITION 6. - Pour toute racine
COROLLAIRE~ - Les sous-algèbres
de
K
2°
ad H
un
X
û"
dans
r « ~~ ~ a ~
0 . On
peut
a ~0,
Cartan h
a
de
deux conditions
1°
que
n’est pas
~~a
tel
pour toute
alors montrer que :
est de dimension 1 .
û
sont caractérisées par les
est abélienne maximale
est
semi-simple pour
PROPOSITION 7. - Soient
ex
et
tout
t~
(x ~ 0) et soit
plus grand) entier tel que 03C6
deux racines
(resp. q03C6,03B1) le plus petit (resp.
(resp. 03C6+ qa soit racine : alors
le
k03B1 est racine pour
p
+
pa
03C6,03B1 k q..
Le scalaire - 2
0-
-
03C6,03B1> 03B1,03B1>
sont les seules
est
un
entier
égal
à
+ q
p
.
Enfin
03B1 et
racines proportionnelles à y .
démonstration repose sur le lemme 1 : si ~ n’est pas un multiple entier
, on applique le lemme 1 au plus grand intervalle (p’ , q’) contenant
La
de
0
tel que
~+
k~ soit racine pour
puis à l’intervalle
q’ = q03C6,03B1 .
D’autre
résultat
2/c
si
=
qui
et
se
fait
en
p’
=
obtient - 2
p
et de
j/, "
ou
bien le
2c
et
et il suffit d’écarter le
appliquant
le lemme 1
racines
aux
c
p’+q’)
même
03C6= c03B1 , ou bien c est un entier
ce qui montre que dans tous les cas
précédent s’applique,
ce
(on
~.q’
donne
qui
ce
k
sont entiers:d’où
2 ,
p = - 1
c
~’) ~
p’ ~
et
cas
avec
q = 2 .
PROPOSITION 8. - Soient
et
o
deux
racines,
0 :
on a
~~ =~’
(propositions 2 et 6) qu’il suffit de montrer
[g03B1 , g03B2]= 0 , alors 03B1+03B2 n’est pas racine : supposons
le lemme 1 appliqué aux racines fi et 0~ et aux intervalles
montre que
0 , donc que (X+ ~ n’est
II est clair
=
que si
0
exemple ;
par
0)
(p..
~
racine.
pas
et
Nous pouvons résumer les résultats obtenus :
~
~
THEOREME 2. - A toute racine
un
élément
non
nul
non
~
tel que
E~
~
de j suivant
nulle 0(
et les
on
peut
associer
et que
E
l’on ait les relations de commutation suivanteso
pour
si
ex
+~
si
3.
Système
Soit
~.°
dee racines
H E h
n’est pas racine
a+~
est
une
racine
non
nulle,
avec
N
X~p ~ /
simples.
l’ensemble des combinaisons linéaires à coefficients rationnele
des racines :
on a
ex , oc> est donc rationnel, donc aussi
03B1,03B2> .
Si X E
h° , cx (X)
est
0
a(X)
entraîne
X ~ _ ~’
X ,
rationnel donc
=
pour toute racine
0
X.
oc, donc
PROPOSITION 9. - La restriction de la forme de
quadratique rationnelle définie positive
REMARQUE. - Si
est le corps des
K
X ~ X>
et
rationnel> 0
est
0
=
0 :
=
est
Killing
une
forme
dim Q h° dimK h .
et
=
complexes,
on
désignera plutôt
)r~
par
la propo-
:
l’ensemble des combinaisons linéaires à coefficients réels des
réel.
rationnel
en
sition 9 est évidemment encore valable
par
remplaçant
Introduisons
~°
sur
vectorielle sur Q :
THÉORÈME 3. - Il
base de ~, . Toute
structure d’ordre total
racine
une
de deux racines
somme
une
positive
sera
positives.
existe exactement
racines
r
signe. Le nombre a.. = 0 ; à savoir le plus grand entier tel que
est trivial par récurrence
E ni fi
de racines de même
i~j
pour
forment
une
et
est
d’où
la donnée du
0
ni sont des
(i~j) est un
203B1j,03B1i> 03B1i,03B1j>
ex. aij ai
soit racine.
le nombre de
partitions
+
=
sont linéairement
ai
une
où les
trivial que
et
qui forment
entier
de f
en somme
n’est pas
dj0 .-. od
Enfin
o. ~ aj ~ ~ 0
indépendants sur Q ,
donc
~1° (ou de h.).
base de
a..
sur
également
=
entraine que les
Les entiers
(ou
signe ; il
pour i ~ j ’
racine
simples 03B1i ,
~ ni
racine est de la forme
entiers tous de même
1 =
dite
compatible avec la structure
"simple" si elle n’est pas
système
les "entiers de Cartan"
appelés
sont
des racines
simples)
détermine le
Leur donnée
de 4 .
système
des racines
on a :
THEOREME
minent
3:’algèbre
D’autre part,
de
on
Lie ~
à
dit que le
sous-systèmes 1Î’
un
(ou
système
isomorphisme près.
4. - Les entiers de Cartan
système ~
le
des racines
des racines
simples
se
simples)
décompose
et si 1f’ et lT" sont
’fÎ" si
orthogonaux : fl simple est équivalent à 1f indécomposable.} résultat qui
à la base de la classification des algèbres simples par les méthodes de
deux
van
der WAERDEN
ou
un
DYNKIN.
élément de
en
et
4. Le groupe de Weyl-
Soit B
déter-
Î~° :t
la
symétrie’
S.
par
rapport à l’hyperplan
est
03BB, H>
si «
~
0
=
est
une
le groupe
est donnée par
H ~ H -
racine
Sa
S~ :
non
engendré
nulle,
par les
2 03B ,H> 03B ,03B > système
H . Par suite
le
conserve
les racines
comme
(proposition 7)
des racines. Soit
~° ~ ~
engendrent
représenté fidèlement comme groupe de permutations des racines, donc est
groupe fini appelé "groupe de Weyl"
On appelle "chambre de Weyl"
partie
maximale de l’ensemble obtenu
convexe
r~(H) = 0 : l’ensemble
hyperplans
est
une
chambre de
HE~°
des
avec
Weyl S
est
engendré
nulle est transformée d’une
non
~,°
retranchant de
ce. (H)
>0
un
une
les
1 ~i
pour
r
Weyl.
THEOREME 5. - Le groupe de
Toute racine
en
est
$est simplement
transitif
sur
par les
par
un
symétries S03B1i
S 6 5 .
(1ir) .
l’ensemble des chambres de Weyl.
La
proposition 4 montre que, pour tout automorphisme ~
de 9 , il existe
un automorphisme intérieur 03C3
tel que
laisse h. invariante, donc induise
sur
h° un élément du groupe T des rotations qui permutent les racines (remar-
que S ~
quons
THEOREME
point,
un
6. -
a.
Nous supposerons désormais que
Si
automorphisme de ~
un
exp(ad H)
il est de la forme
b. Tout
K
T).
une
automorphisme intérieur
rotation
de ?
et
aut0/ int 03B1
j3
est fini et est
est donc
du sous-groupe
distingué
~R
à
isomorphe
1,
dans
des rotations de
est
est
algèbre
de Lie
isomorphe à
semi-simple.
négative.
un
laissant fixe
7. - On peut choisir les
que N03B1,03B2 = N-03B1,-03B2.
gu
"compacte"
toujours
des éléments
Les constantes
de g
de la forme
comme
de g ,
est alors
si
sa
forme de
plongée
éléments E03B1
N03B1,03B2
suite,
de %
et
Weyl.
algèbre semi-simple complexe.
Killing
dite
chambre de
une
La forme de
sera
par
T/S .
est dite "forme réelle"
g.
~’o
de ~
sur
est induite par
automorphisme
réelle So
On considérera
THEOREME
invariante induit
qui est le produit semi-direct
C~
complexes :
point par
invariante
toute rotation
5. Formes réelles et formes compactes d’une
Une
laisse ~
h~
de 03B1 laissant k
induite par
est le corps des
H E
avec
réciproquement,
automorphisme intérieur ;
c. Toute rotation de
fl5 est
K
non
si
sa
complexifiée
dégénérée, 03B1o
Killing
est définie
dans
du théorème 6 de telle sorte
sont alors réelles et l’ensemble
~.
avec
de
est
complexe arbitraire,
N203B1 ,03B2 = 1 203B1,03B1>
dépend
compacte
compactes
(I .-
p03B2,03B1) ,
sont donnés par
les
E~ ,
donc sont déterminés
montre que l’on obtient par
on
ce
procédé
toutes les formes
de 9’ :
PROPOSITION 10. - Deux formes réelles compactes
automorphisme intérieur
Appelons "sous-algèbre
algèbre abélienne
pour
:
vérifiée.
ment
~’ 0
est
sont
est
t~
par
algèbre semi-simple réelle, une sousopérateurs ad H soient semi-simples
telle que les
compacte,
complexifiée
compacte u
Tout élément de
ho
maximale
si
La
conjuguées
sont
de ~ .
de Cartan" d’une
PROPOSITION 11. - Deux
réelle
signe près:van der
au
qu’on pouvait choisir ces signes d’une manière qui
système des racines, d’où une démonstration du théorème 4 .
que du
D’autre part,
choix des
ce
qn
WAERDEN a montré
un
forme réelle
une
~.
Signalons qu’avec
ne
et
imaginaire pur
de
cette dernière condition est
~o
est
une
sous-algèbre
automatique-
de Cartan
.
sous-algèbres de Cartan d’une algèbre de Lie semi-simple
conjuguées par un automorphisme intérieur
conjugué d’un élément de ~o par un automorphisme
intérieur
Remarquons que les deux assertions de la proposition 11 sont
pour une forme réelle non compacte.
Soit
lutif
une
~o
de 03B1
THÉORÈME
forme réelle arbitraire
défini par
8. -
+
go (03B8(U
iV)
de ~
U - iV
=
(E. Cartan-Mostow-Iwasawa) -
et
8
Il existe
8
et d’une
~ ~ ~’u
une
est
Killing)
de carré
l ;
soit
le sous-espace
1
est
forme
+
U
involutif
réelle
iV
0
de 9 ’
avec
d’une
inexactes
invo-
dans go) :
forme
compacte 03B1u
est l’ensemble
est la somme
sous-algèbre résoluble.
~u
+
V
Enfin
restreinte à
à la valeur propre
et
03B1o ~ 03B1u
.
général
semi-automorphisme
U
pour
de 03B1 globalement invariante par 8 . La sous-algèbre
des points fixes d’un automorphisme involutif
directe de
le
en
une
transformation orthogonale
(resp.
(resp. - 1) :
et
~’o
V~~.
forme compacte
la forme de
de 03B1u
correspondant
l’ensemble des éléments de la
Réciproquement
de 03B1u
d’où la classification des
(pour
à tout
correspond par
algèbres
de Lie
automorphisme
procédé une forme
simples réelles.
ce
D’autre part, le théorème 8 est à la base de la théorie des espaces do Riemann
symétriques, de la détermination des sous-groupes compacts maximaux des groupes
de
Lie,
et par suite des théorèmes ramenant
celle des groupes
simples compacts,
de dimension infinie des
algèbres
ou
l’homotopie
des groupes de Lie à
et enfin de la théorie des
groupes de Lie
68
représentations
semi-simples.