Tutorat de mécanique quantique

Universit´e Claude Bernard-Lyon I Ecole Normale Sup´erieure de Lyon
UFR de Physique D´epartement des Sciences de la Mati`ere
Licence de Physique, Parcours Sciences de la
Mati`ere, Ann´ee 2010-2011
Tutorats de M´ecanique Quantique
FASCICULE

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Fonctionnement des tutorats
Les groupes de tutorats sont constitu´es au d´ebut du semestre. Les
´etudiants ne doivent en aucun cas naviguer d’un groupe de tutorat
`a un autre. Les s´eances durent une heure avec 7 ´el`eves environ (un
groupe) et non deux heures avec 14 ´el`eves.
Chaque groupe rencontre donc l’enseignant pendant une heure
chaque semaine. Le travail `a effectuer est donn´e en cours. Chaque
´etudiant doit pr´eparer les exercices, puis le groupe doit se r´eunir une
fois avant la s´eance de tutorat pour discuter et r´esoudre le maximum
de probl`emes entre ´etudiants.
La s´eance de tutorat doit ˆetre consacr´ee `a discuter les probl`emes
li´es au cours ou aux exercices. Il faut ´eviter que la s´eance de tutorat
ne d´erive vers une r´e´ecriture compl`ete au tableau d’une solution des
exercices de la part de l’enseignant.
La pr´esence en tutorat est obligatoire. A chaque s´eance, l’ensei-
gnant doit v´erifier la pr´esence de tous les ´etudiants et conserver une
information sur l’implication de chacun dans la pr´eparation et le
d´eroulement du tutorat. L’enseignant de tutorat est responsable du
suivi et ne doit pas h´esiter `a ” donner l’alerte ” pour les ´el`eves en
difficult´e, ou bien en cas d’absences non justifi´ees. Les enseignants
de tutorat doivent conserver les informations, s´eance par s´eance,
pour la discussion en jury en fin d’ann´ee.

Table des mati`eres
1 Introduction, ordres de grandeur et effets quantiques 5
S´election d’exercices tir´ee des examens ....................... 5
Temp´erature caract´eristique d’un oscillateur harmonique ............. 5
In´egalit´e d’Heisenberg (1926) ............................ 6
Effet photo´electrique ................................. 7
Energie et longueur d’onde de de Broglie ...................... 7
Mod`ele de Bohr (1913) ................................ 8
Acc´el´erateur de particules .............................. 8
Diffraction d’un faisceau de neutrons ........................ 8
2 Ondes de Mati`ere 10
S´election d’exercices tir´ee des examens ....................... 10
Dispersion, propagation ............................... 10
D´eplacement d’un paquet d’ondes .......................... 11
Effet tunnel ...................................... 13
Radioactivit´e α.................................... 13
Le deuton ....................................... 17
Particule libre dans une boite cubique ....................... 17
Potentiel en fonction delta .............................. 18
´
Etats quantiques d’une particule soumise au champ de pesanteur terrestre . . . 19
L’horloge `a ammoniac ................................ 21
Op´erateurs de translation et de rotation ...................... 23
Evolution d’une particule dans une boˆıte ...................... 23
3 Formalisme g´en´eral 25
S´election d’exercices tir´ee des examens ....................... 25
Exercice I `a VI : Alg`ebre ............................... 25
Exercice VII et VIII : ECOC ............................ 26
Mol´ecule de benz`ene ................................. 27
Propri´et´es d’un op´erateur unitaire .......................... 28
Th´eor`eme du viriel .................................. 29
Formule de Glauber .................................. 30
Th´eor`eme de Ehrenfest ................................ 30
3

TABLE DES MATI` ERES 4
Th´eor`eme de Hellmann-Feynman .......................... 31
Op´erateur d’´evolution ................................ 31
Oscillateur harmonique ................................ 32
´
Etats quasi-classiques de l’oscillateur harmonique ................. 34
Etats stationnaires d’un ´electron confin´e dans l’espace. .............. 35
4 Moments cin´etiques 38
S´election d’exercices tir´ee des examens ....................... 38
R´esonance magn´etique ................................ 38
R´esonance magn´etique nucl´eaire de deux protons en interaction dipolaire statique 39
Polarisation, Projecteur et Non-commutation ................... 42
Structure hyperfine .................................. 43
5 Perturbations et m´ethodes d’approximation 46
S´election d’exercices tir´ee des examens ....................... 46
M´ethode des variations appliqu´ee `a l’oscillateur harmonique ........... 46
6 Particules identiques 48
S´election d’exercices tir´ee des examens ....................... 48
Exercices I `a III : Exercices du Basdevant et Dalibard ............... 48
Densit´e d’´etats .................................... 48
7 Contrˆoles continus 50
7.1 Contrˆole continu de novembre 2003 ...................... 51
7.2 Contrˆole continu de novembre 2004 ...................... 53
7.3 Contrˆole continu de novembre 2005 ...................... 54
7.4 Contrˆole continu de novembre 2006 ...................... 56
7.5 Contrˆole continu de novembre 2007 ...................... 58
7.6 Contrˆole continu de novembre 2008 ...................... 61
7.7 Contrˆole continu de novembre 2009 ...................... 63
8 Examens 68
8.1 Examen de janvier 2004 ............................ 70
8.2 Examen de janvier 2005 ............................ 72
8.3 Examen de mai 2005 .............................. 74
8.4 Examen de janvier 2006 ............................ 76
8.5 Examen de janvier 2007 ............................ 78
8.6 Examen de janvier 2008 ............................ 80
8.7 Examen de janvier 2009 ............................ 83
8.8 Examen de janvier 2010 ............................ 87

Chapitre 1
Introduction, ordres de grandeur et
effets quantiques
Liste des exercices
S´election d’exercices tir´ee des examens ................ 5
Temp´erature caract´eristique d’un oscillateur harmonique ..... 5
In´egalit´e d’Heisenberg (1926) ...................... 6
Effet photo´electrique ............................ 7
Energie et longueur d’onde de de Broglie ............... 7
Mod`ele de Bohr (1913) .......................... 8
Acc´el´erateur de particules ........................ 8
Diffraction d’un faisceau de neutrons .................. 8
S´election d’exercices tir´ee des examens
•Contrˆole continu de novembre 2003 (7.1) : Recul d’un atome lors de l’´emission d’un
photon
•Contrˆole continu de novembre 2004 (7.2) :
?Longueur d’onde de de Broglie
?Hypoth`ese de Bohr appliqu´ee `a un potentiel en rk
•Contrˆole continu de novembre 2005 (7.3) :
?Effet photo´electrique sur les m´etaux
?Neutrons monocin´etiques
•Examen de janvier 2005 (8.2) : Effet de volume du noyau sur l’´etat fondamental d’un
ion hydrog´eno¨ıde
Exercice I : Temp´erature caract´eristique d’un oscillateur harmonique.
Nous verrons plus tard dans le cours que l’´energie d’un oscillateur harmonique quan-
tique ne peut prendre que des valeurs discr`etes :
=~ω(n+ 1/2), n = 0,1,2, ......., (1.1)
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