arithmetiques

ARITHMETIQUES
3ème
Leçon 1
I. LE POINT SUR LES NOMBRES
✔ Les entiers naturels  sont les nombres qui peuvent s’écrire sans virgule.
þ Exemples : 0 ; 1 ; 2… mais aussi
4 ;
6
3
✔ Les nombres entiers relatifs  sont les nombres entiers positifs ou négatifs.
þ Exemples : -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ... et aussi
−24
sont des nombres entiers relatifs.
6
✔ Les nombres rationnels  sont les nombres qui peuvent s’écrire comme un quotient de deux entiers.
è Si la division tombe juste, on les appelle aussi " nombres décimaux D ".
3
= 1,5 est rationnel mais aussi décimal.
2
2
è Certains rationnels sont négatifs. Par exemple − ≈ −0, 6666...
3
Par exemple
✔ ATTENTION : Certains nombres n’entrent dans aucune de ces catégories. On dit qu’ils sont irrationnels.
þ Exemples :
2 ,π …
Conclusion :  est inclus dans  qui est inclus dans D qui est inclus dans  qui est inclus dans  .
On écrit :  ⊂  ⊂ D ⊂  ⊂ 
 est l’ensemble des nombres réels
Application : Un même nombre peut-il appartenir à plusieurs familles ?
II. DIVISIBILITE
a. Division euclidienne
Définition : Effectuer la division euclidienne de a par b, c’est trouver le quotient q et le reste r tels que :
a = b x q + r et 0 ≤ r < b
Exemple : division euclidienne de 249 par 22
A la main :
b. Diviseurs et multiples
Définition : Un nombre a est divisible par un nombre b lorsque le reste de la division euclidienne de a
par b est nul, c’est à dire lorsque le quotient de a par b est un nombre entier.
On dit aussi que b est un diviseur de a.
þ Critères de divisibilité : Un nombre entier est divisible :
- par 2, si son chiffre des unités est pair, (ex :
)
- par 5, si son chiffre des unités est 0 ou 5, (ex :
)
- par 10, si son chiffre des unités est 0, (ex :
)
- par 3, si la somme de ses chiffres est divisible par 3, (ex :
- par 9, si la somme de ses chiffres est divisible par 9. (ex :
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Applications :
60 est divisible par …
)
)
792 est divisible par …
ARITHMETIQUES
3ème
Leçon 2
þ Exemples : 18 est divisible par 6 car 18 = 6 x 3
On dit que 6 et 3 sont des diviseurs de 18 et que 18 est un multiple de 6 et de 3.
✔
✔
Citer 2 nombres qui ne sont pas des diviseurs de 16 :
Citer d’autres multiples de 6 :
Remarque : 1 est un diviseur de tout entier et chaque entier est divisible par lui-même.
c. Nombres premiers
Définition : Un nombre est premier lorsqu’il est divisible par exactement 2 nombres : 1 et par lui même.
þ Exemples : 2, 3, 5, 7, … Cette liste est infinie.
þ Remarque : 1 n’est pas premier car il ne possède qu’un seul diviseur : lui même.
þ Exercice : 12 est il premier ?
d. Diviseurs communs
✔
Compléter : 18 = 1 x … = 2 x … = 3 x …
✔
En déduire par ordre croissant la liste de tous les diviseurs de 18 :
✔
Puis celle de tous les diviseurs de 12 :
Définition : Un diviseur commun à a et b est un nombre entier qui divise à la fois a et b.
✔
En déduire par ordre croissant la liste de tous les diviseurs communs à 12 et à 18 :
Remarque : 1 est toujours un diviseur commun à a et b.
III. PGCD
Propriété : Parmi les diviseurs communs à a et b, l'un d'eux est plus grand que les autres.
On l'appelle le Plus Grand Commun Diviseur (en abrégé PGCD) et on le note PGCD (a ; b).
✔
Ainsi PGCD(12 ; 18) =
þ Ex 1 : Trouver le PGCD (56 ; 72)
Diviseurs de 56 :
Diviseurs de 72 :
Diviseurs communs à 56 et à 72 :
þ Ex 2 : Trouver le PGCD (15 ; 16)
Diviseurs de 15 :
Diviseurs de 16 :
Diviseurs communs à 15 et à 16 :
þ Ex 3 : Trouver le PGCD (54 ; 81)
Diviseurs de 54 :
Diviseurs de 81 :
Diviseurs communs à 54 et à 81 :
PGCD (56 ; 72) =
PGCD (15 ; 16) =
PGCD (54 ; 81) =
þ Ex 4 : Compléter mentalement ces cas particuliers :
a) PGCD (169 ; 169) =
b) PGCD (123 ; 246) =
c) PGCD (0 ; 127)
d) PGCD (1 ; 39) =
=
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3ème
ARITHMETIQUES
Leçon 3
Définition : Lorsque PGCD (a ; b) = 1, on dit que a et b sont premiers entre eux.
þ Exemples : 15 et 16 sont donc premiers entre eux car PGCD (15 ; 16) = 1
par contre 21 et 28 ne sont pas premiers entre eux car PGCD (21 ; 28) = 7
þ Ex 5 : Bob affirme mentalement que dans chacun des cas suivants, les entiers donnés ne sont pas
premiers entre eux. Essaie de trouver sa méthode.
a) 312 et 476
b) 345 et 1 644
Remarque : pour déterminer un PGCD, lorsqu’il s’agit de « petits nombres » comme précédemment, on peut
faire la liste des diviseurs, mais dans les cas plus compliqués on utilisera un autre procédé. Bientôt …
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