Diagonalisation

Diagonalisation
Herv´ e Hocquard
Universit´ e de Bordeaux, France
6 septembre 2015

Introduction
Notations
Dans tout le chapitre, Ed´ esigne un espace vectoriel sur K
(K=Rou C)de dimension finie n.L(E)est l’espace vectoriel
des endomorphismes de Eet Mn(K)l’espace vectoriel des
matrices carr´ ees d’ordre n` a coefficients dans K.

Rappels : changement de base
D´ efinition
Soit fun endomorphisme de Eet B= (e1,e2, ..., en)une base
de E.On appelle matrice de fdans la base Bla matrice
A= (aij)o` uf(ej) = ∑n
i=1aijei.

Rappels : changement de base
D´ efinition
Soit fun endomorphisme de Eet B= (e1,e2, ..., en)une base
de E.On appelle matrice de fdans la base Bla matrice
A= (aij)o` uf(ej) = ∑n
i=1aijei.
Proposition
Soit V=∑n
i=1
α
ieiun ´
el´ ement de Eet Ala matrice de fdans la
base B.Alors W=f(V)⇐⇒ c W=Ab Vo` uc Wet b Vsont les
vecteurs colonnes des coordonn´ ees de Wet de Vdans la
base B.

Rappels : changement de base
D´ efinition
Soit B= (e1,e2, ..., en)et B′= (e′
1,e′ 2, ..., e′
n)deux bases de E.
On pose e′
j=∑n
i=1
α
ijei. Alors la matrice P= (
α
ij)s’appelle la
matrice de passage de la base B` a la base B′.C’est aussi la
matrice de IdE: (E,B′)→(E,B).