Propagateurs. Quantification du champ

Séminaire Janet.
Mécanique analytique
et mécanique céleste
A NDRÉ L ICHNEROWICZ
Propagateurs. Quantification du champ
Séminaire Janet. Mécanique analytique et mécanique céleste, tome
exp. no 4, p. 1-17
3 (1959-1960),
<http://www.numdam.org/item?id=SJ_1959-1960__3__A4_0>
© Séminaire Janet. Mécanique analytique et mécanique céleste
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Séminaire JÀNET
4-01
(Mécanique analytique
3e année, 1959/60, n°
Mécanique céleste)
et
4
27 février
1960
PROPAGATEURS. QUANTIFICATION DU CHAMP
André LICHNEROWICZ
Le
problème
de la
champ électromagnétique
et du
champ gravitationnel en relativité générale se trouve étroitement lié, dans ma conception~
~ la notion de radiation L’étude de cette notion a conduit
et moi-même 8
considérer qu’en relativité générale, le iivrai champ gravitationnel est décrit
quantification
du
o
par le tenseur de courbure. Dans
0
une
première partie9
tions da champ correspondantes. Une seconde partie
o
étudierons les équaconsacrée à la quantifi-
nous
sera
champs électromagnétique et gravitationnel libres à l’approximation
linéaire La quantification rigoureuse en relativité générale du champ électromagnétique libre, celle du champ gravitationnel tout au moins dans un espace à
courbure constante repose sur la théorie des propagateurs tensoriels que j’analyserai dans la dernière partie. Il semble que ces propagateurs doivent joue~ dans
beaucoup de problèmes Dhvsiques de la relativité générale; un rôle essentiels
cation des
o
o
I. Le s
d
équations
1 Les
o
Sur
ao
l’espace-temps
métrique
de la
de Maxwell et les
V4
riemannienne de type
.
U
d’ordre
Si
U
où
d~
est à
équations
de la relativité
appelons produit scalaire
nous
é quations
de
~
générale~ supposé orienté
en
pt
support compact,
désigne l’élément
nous
o
d’Einsteino
hyperbolique
(T , u) x
champ
posons1
de volume riemannien.
et muni
normal
x E
4
de deux tenseurs
T
et
4-02
Nous
appelons
continue à valeurs scalaires
sur
compact (U ~
U ; (1.3) définit
°
une
p
fonctionnelle linéaire
d’ordre
p
suffisamment diffé-
T , U > la valeur de
le’tenseur-distribution défini par le tenseur
Nous notons
0
T On obtient les courants
ordinaire
U
les tenseurs
rentiables è support
T pour le tenseur
d’ordre
T
tenseur-distribution
de Go DE RHAM
au sens
0
en
limitant
se
aux
antisymétriques ou p-formeso Pour éviter toute confusion avec le courant électrique9 nous emploierons l’expression de p-forme-distribution au lieu
de celle de courant de Gc DE RHAM. Nous désignons par * l’opérateur adjoint sur
tenseurs
o
o
°
les formes défini par la
respondre
une
p-forme distribution9 il fait
métrique° à toute
(4 - p)-forme distribution.
cor-
une
l’opérateur de différentiation extérieure (d2 = 0) y
(- l)P ;1 d* l’opérateur de codifférentiation extérieure sur les p-formes
p-formes distributions Un champ électromagnétique est défini dans V, par
2-forme distribution F satisfaisant les équations de Maxwell
où
J
b. Soit
S=
ou
d
o
est la
1-forme distribution définie
tions (1.4) peuvent
où
désigne
culaire
sur
les
du vide
(ou
du
co
s’écrire explicitement
la dérivation
covariante~
en
repères
S
la sommation
Pour
o
J
électrique.
le courant
nar
=
0 ,
Les
équa-
locaux
on a
après permutation cirles
équations
de Maxwell
champ libre)o
0
symétriques d’ordre 2 , considérons l’application rA.,. qui 9
t~-(P) défini parô
P 9 fait correspondre le tenseur Q
Sur les tenseurs
à tout tenseur
=
On vérifie aisément que cette
application
sont dits associés l’un à l’autre
est involutive et
F =
P
et
o
Si
La
R
est le tenseur de Ricci de
métrique
de
suivantes : si
tiques,
,
ces
son
tenseur d’Einstein
astreinte à satisfaire
V4
est
T
est le tenseur
en
v4 9
équations s’écrivent
d’impulsion, énergie
usuellement
aux
S
équations
est1
dEinstein
des distributions
énergé-
Q
4-03
Si
nous
posonsr
il résulte du caractère involutif
Sous
ces
formes9 les équations
équations
rentes des
Soit
a.
R,r,r~ 9 ~,P~
équations peuvent
aussi s’écrire :
champ gravitati onnel semblent profondément diffé-
du
de Maxwell.
équations
20 Les vraies
que ces
de
du
champ gravitationnel
0
le tenseur de courbure de
l’ espace-temps.
Ce tenseur satisfait
identités de Bianchi,
aux
qui entraînent
comme
conséquence1
D’autre part, il satisfait
aux
équations
d’Einstein
qui peuvent aussi s’écrireô
(202)
De
qu’il
en
déduit par contraction que
est conservatif y il résulte de (20
est de même pour T..~ -~. 3
est donc le tenseur associé d’un tenseur
on
conservatif D’autre
o
bure vérifie les
bo Nous
4 ~
en
à
R ~ B
~~c.~.~ ~ ~
sommes
p
de
(2.2)
et
(2.4)9
il résulte que le tenseur de
cour-
équations1
ainsi conduits à considérer
satisfaisant
vérifiant les
un
part ,
3)
équations
tenseur conservatif
par soustraction ~
aux
de
champ décrit
pa r
un
tenseur d’ordre
identités algébriques :n
champ (201)
T . De
o
un
(205)
(202) conséquence
et
où
de
U
est le tenseur
(201)
et
(~Q~)s
on
associé
déduit
4-04
(2.2),
D’autre part, par contraction de
thèse. Tl
(2.7)
De
Q
Précise,
le Q
(2.7)
0
en
s’écrit
a
vertu do
l’est par hypo-
T
(207),
de simples conditions initiales
comme
o
de
orientée dans l’espace
V4
hypothèses faites;
est aussi
Q
Q1
pour
champ envisagé 9 les équations d’Einstein
il suffit pour l’établir d’observer que
~
03A3
P = S -
hypersurface
Îl’
conservatif ;
est
il ré sulte que)pour le
Sous les
D’une
pour ~ = 0 9 ’
laquel-
sur
nécessairement nul
=
u
façon
en
(u
=
dehors
1 )
2 , 3)
u
/~== 0 ~ (2.8) s’ écrit ~1
et que s pour
Si
( 2 o R ) j;
soit
0
=
~,...~
de
et
même pour
peuvent être considérées
0
=
est donc de
en
S
pour
équation
donnée initiale nulle
x"
locale
sur
~-~
le
est 0 sur 1 et pour une
système (2aS) (2010) n’admet d’autre solution
g
0 ,
=
que la solution nulleo
0
résultat précédent est
Le
équations (2.5)
Les
sur ~
Si
c.o
dre
R~= ~ë~’B ?
champ gravitationnel
4 y H ,
jouissant
X03B4,
"vraies
U
un
particulier applicable
il
de
est le tenseur
où ~
encore
de
en
dehors
donc décrit dans la suite par
sera
des
e st
en
propriétés
tenseur conservatif
équations
au cas
réduisent alors à ~1
Un
Etant donné
où
on a
se
en
de
un
o
tenseur d’or-
symétrie
T ~ le champ H
est astreint a satisfaire les
champu
associé de
T On pourra
o
ajouter
la condition
supplémentaireô
4-05
condition
De
qu’il suffit
de vérifier
plus , la variété étant
de dimension
4
orientée dans l’espace.
a
antisymétrique SH’,
.
o
est le tenseur élément de volume. Si
~9 A~
le à
le tenseur
>
est 2 dérivée covariante nulle
où
1-
hypersurface
sur une
H
est nul.
en un
point,
ou
s’annu-
il vérifie nécessairement l’identité :â
l’ infini,
II . Quantification è
3. Quantification du champ
l’approximation
électromagnétique
libre
en
linéaire.
relativité restreinte.
0
indiquer un processus de quantification directe du champ électromagnétique libre en relativité restreinte9 sans recours au potentiel-vecteuro Ce
Nous allons
processus
qui
être adapté
ao
à
est étroitement lié 2 la notion de radiation
une
Prenons pour
rapporté à
repère
sera
Considérons
un
du
quantification
espace-temps
repère orthonormé
électromagnétique
champ gravitationnel à l’approximation linéaire.
V 4 l’espace-temps de Minkowski que nous
(s.) .o La métrique de V. rapportée à
supposons
tel
un
désignée
un
peut
,
champ électromagnétique libre, c’est-à-dire satisfaisant
équa-
aux
tions de Maxwell
oti 03B4
désigne ici
butions
tempérées),
la dérivation ordinaireo Sous des
F
est
une
hypothèses simples (distri-
transformée de Fourier d’une distribution N
et
(301) s’écrita
De l’étude de la radiation
une
2-forme distribution
A la
électromagnétique
portée
2-forme distribution
notation, satisfaisant
au
même
par le
et
de (302)s
il résulte que
N
est
cône isotrope dans lespace des momentso
F 9 substituons
une
et
2-forme
désignée
correspondant
à
une
par la
même
fonctionnelle
4-06
à valeurs dans
espace vectoriel
un
plexeo Par abus de langages
nous
o
valeurs dans
l’opérateur adjoint
1
et
nous
d’opérateurs
dirons que F
au
de
l’espace
lieu
de nilbert
com-
d’être à valeurs scalaires
par
le passage d’ un de ces opérateurs
supposons que les valeurs de F sont des
désignons
Nous
o
M
opérateurs
hermitienso
o
A
caractère hermitien,
du
partir
C~
usuel
Le
peut établir
cône ~
ce
système (30 1)
Supposons
l’abus de notation
l’élément d’aire invariant
est le demi-cône isotrope rositif et
sur
(avec
que
physiciens)
usuel chez les
où
on
que
se
traduit par1
G
soit
2-forme è valeurs scalaires satisfaisant
une
(3"4).
Ces
o
expriment que la 2-forme G est singulière A chaque l ~ C associons
et
deux vecteurs orthogonaux de carré s - 1 ,
tangents au
cône isotrope le long de ~ . On sait que, dans ces conditions s il existe deux
scalaires a(i $ ,Ù)
(i = 1 ~ 2) tels que1
relations
o
n (1) (~’ )
n(2)(~) ,
o
(305)
traduit
champ.
La
physiciens appellent
le double état de
Par l’introduction d’une forme linéaire sur l1
voit que si
encore
que les
ce
G
est 2 valeurs dans
M
(304)
a(i, .f)
et satisfait
valable à condition de prendre pour les
quantification
du
champ
F
s"effectuera
2.
en
polarisation du
valeurs scalaires, on
la formule
(305)
des éléments de
est
M
postulant les conditions de
0
cro-
chet°
E
re
C+ ,
ou
de Dirac relatif
S ..
au
est le
symbole
cône isotrope muni
’-’J
de Kronecker et où
S
est le biscalai-
--
de 1~ élément de volume
dÇl,. On peut
4-07
obtenir
formalisme ~lus condensé
un
les valeurs
avec
+
notations> les conditions
ces
introduisant des indices
(306)
(3.7)~
le
s
champ F ~9
B
prenant
s’écrivent :
auxquelles satisfaite
b. Dans le calcul des relations de commutation
de
A ~
et en nosant1
et - 1
1
en
nous
utilisons la formule
suivante
géométrique
en
vertu
qu’il
est
aisé d.’ établir*
Etant données des
quantités
à 4 indices
nous poserons
L03B103BB, 03B203B1
dans la suite :
de telle sorte que>
Cela
posé,
on
a~
d’après (303)
(307) on déduit, avec
[F(x) , F(x’)] rapporté
De
et
(3.5) ~
l’ aide de
au
repère unique
une
expression du
(e~) .
J
Dans cette
bi-2-tenseur
expression apparaît
la distribution scalairet
ou
plutôt
D(x , x’)
chaque
tion
x’
le biscalaire .distribution ~
ou
propagateur
son
support
de Jordan-Pauli est
sur
le
antisymétrique
cône isotrope issu de
ce
point
en
x ~
x’ ,
et satisfait
a
pour
l’équa-
4-08
Ô.
où
est
partir de
A
ou les
l’opérateur défini en repères
D(x ~ x’ ) ~ on obtient :
dérivations ont lieu par rapport
la relation de commutation
classique
6t.
mobiles arbitraires par
=
-
V ~
.
au
point
de la théorie
x
o
Dans
retrouvons
nous
quantique
du
champ électroma-
gnétiqueo
voisinage U de V4 nous associons un
repère arbitraire e~(x) Procédons de même pour un second voisinage U’ ; nous
obtenons les repères
Si le champ est rapporté en x a (e~) et en
à (e ,) 9 on obtient par changement de repères et en introduisant les dérivées
x’
par rapport à x’1
Supposons qu’à chaque point
co
d’un
x
o
e«,(x’) .
w
Considérons le
bi-1-tenseur
dérivée covariante nulle
trique.
(3011)
ou
Si
nous
en
et
x
introduisons le
peut s’écrire
en
t
x’
défini par
et pour
Supposons
a.
V4
orthonormé pour la
le tenseur
~
gravitationnel
de
est l’infiniment petit
principale
équations
H03B103B203B
de
champ1
V 44
équations
libre à
porté par un espace-temps
métrique minkowskienne. Si
métrique g03B103B2
x’ =
x
Il est à
=
se
réduit
tenseur mé-
au
bi-1-tenseur distribution
le second membre vérifie manifestement les
0
t~~1
la forme simple et invariante :
sous
40 Quantification du champ
où
symétrique
de Maxwell.
l’approximation linéaire.
0
minkowskien
rapporté
le champ de
gravitation
à
un
repère
est
faible,
peut s’écrire :&
principal.
région sans sources, la partie
vérifie (2.12), (2.16) et satisfait les
Dans
du tenseur de courbure
une
4-09
Pour les
La
équations
quantification
employé
d’Einstein
du
pour le champ
champ
R~= 0 ,
on a
la condition
peut s’effectuer
H
électromagnétique.
par un
Sous les
supplémentaire:1
procédé identique
mêms hypothèses
et
2 celui
des
avec
no
tations évidentes
avec
Il
en
résulte ~
Sur la forme
quadratique
de
polarisation
3
.~) 9 (4.3)
se
traduit par la
condition de trace1
Au
ra
moTren
du formalisam
condensé introduit dans le
les conditions de crochet
De cette relation et de
compatibles
(4.4)~
avec
(407)
cas
sous
électromagnétique,
on
écri-
la forme ~
il résultes
où les dérivations sont faites par
rapport
à
xo
Introduisons des repères mobiles
arbitraires ; le prmier terme du second membre donne1
Nous
sommes
ainsi conduits F introduire
l’opérateur Q défini
park
sur
les tenseurs
symétriques
L
d’ordre
2
4-10
et le
bi-2-tenscur
symétrique
(4.9);,
Pour exprimer le second terme de
rateur
où
défini part
P
est le tenseur
g
défini par1
F
y
introduisons
ces
notations,
sur
les
scalaires 03C6
l’ oDé
.
métrique,
Avec
o
(4.9) sécrit
sous
la forme
invariante :
(407),
tenu de
Compte
la
quantification précédente conduit
irréductible caractérisée par la
0
masse
et le spin
8
une
2 . Le
e
représentation
procédé beaucoup
peut être justifié a posteriori par la
comparaison des deux méthodes. DROZ-VINCENT et CAPPELLA ont adapté la méthode
précédente à la quantification en première approximation de la théorie de Jordan-
plus
arbitraire
employé
par PAULI et FIER2
Thiry
o
’
III.
Propagateurs
tensoriels et
applications.
5. Le bitenseur de transport
0
a.
un
Sur
une
voisinage
variété différentiable
de
munie d’une connexion
homéomorphe à. une boule ouverte tel
par un arc géodésique et un seul dans
x
être joint
à
de cet
définit
x
Vn
linéaire,
:~’ ~ U
que tout
U 0 Le
soit
U
puisse
transport le long
isomorphisme canonique de l’esDace vectoriel Tx , tangent
en
x
sur l’espace vectoriel
Tx, tangent en x’ . Cet isomorphisme définit un
0
de composantes
bi-1-tenseur
x’) élément
(x , x’) , pour
chaque x , t(x y x’) est transporté relativement à x’ le long de l’arc et s
arc
un
J
de. T *X
t, B ’
.
bo Si
t03B103BB,
nous avons
Si
T
J(p)(x ,
variété riemannienne,
une
symétrique
euclidien
par
est
Vn
o
Ce
désigné
est
xl)
un
en
x
dont
et
nous
nous
définisson ainsi
désignerons
les
bi-1-tenseur
composantes covarian
bi-1-tenseur coïncide en relativité restreinte
avec
celui que
la même notationo
par
tenseur d’ordre p à
tel que
un
oo
-
support compact, le bitenseur-distribution
_
4-11
peut être représente par la formleâ
où S
est le biscalaire de Dirac relatif l’élément de volume riemannien.
U
En munissant
des différents
de
arcs
repères déduits
géodésiques
repère
d’ un
issus de
x
on
s
le
long
peut établir la formule imporen
x
par
transport
tante :
60
Opérateurs différentiels linéaires
o
Sur la variété riemannienne
ao
néaire
sur
les tenseurs d’ordre
Donnons-nous
dans les tenseurs
tenseurs d’ordre
p
o
T
transposé L
où indique
considérons l’opérateur différentiel lidéfini partr
c
B
(6.1)
L’opérateur
les tenseurs.
d’applications linéaires de tenseurs d’ordre (p + 1 )
d’ordre p en x et un champ C d’opérateurs en x sur les
p . Introduisons l’opérateur différentiel L défini pars
champ
un
sur
le passage
de
aux
+
L
(T
CT
tenseur d’ordre
peut
1
transposéso 3i
o
.
=
o
p)
0 ~
C
L est auto-
=
adjointo
bo Sur les
Cet
p-formes
opérateur peut s’écrire
Pour tout tenseur
et
T , Georges
désignerons
adjointo En
0
ce
par
qui
de RHAM
introduit le
laplacien1
explicitement :
T y antisymétrique
ÜT
a
ou
nons
tenseur
appellerons laplacien
(6 .4)
symétrique d’
le tenseur défini par
concerne un
nous
o
Cet
opérateur
ordre 2°
de
est auto-
T
4-12
présente
Si T
une
sumétrie
même pour Q
est de
il
en
70
Propagateurs associés
antisymétrie
ou
par
à
rapport
un
couple d’ indices,
0
aux
opérateurs auto-adjoints
les tenseurso
sur
variété riemannienne de’ dimension paire dont la métrique est
’et j 1’ ,
sont les deux demi-conoïdes caracte." ’
de type hyperbolique normalo ,Si 03A3+,
x
x
Soit
ao
une
0
-
ristiques
x’ , il
en
E (p)y+-(x)
locales
res
de
x
distributions dans
x
existe
U
8
pour chaque
L
support respectivement dans et
vé rif iant
,
élé;entaisystèmes de
deux solutions
U
boule ouverte
une
deux
x’
+
r +,
sur
ou
dans et
sur
,
De l’unicité des deux solutions élémentaires définies et du caractère tensoriel
du second membre de
Xl
en
x’ Il
o
en
tion
U
x
homogène
bo
LT
P,
Supposons
sique>
=
0
des bitenseurs-distributions. On
et
U
(ou
L
qui
le support est dans et
dont
S’il
0
en
a
enfin le théorème d’u-
l’équa-
est solution de
sur un
demi-conoïde
carac-
nécessairement nul.
est
auto-adjoint
tenseur
de deux noyaux élémentaires
u
suivant : tout tenseur distribution dans
téristique
Nous
qui sont
est un
il résulte
résulte l’existence dans
x)
nicité
(7.1),
appelons propagatcur associé
8
en
est
ainsi,
on a
par
un
raisonnement clas-
l’opérateur auto-adjoint L ~
le
bi-p-tenseur
distribution défini par1
antisymétrique en x
conoïde caractéristique
est
sur
le
On montre aisément que pour
8.
Xl ;
1
,
pour
’,,
L’opérateur auto-adjoint
(A
+
c)
où
x’
et il vérifie
il
a son
support dans et
l’équation homogène
i
de la relativité restreintet
l’espace-temps
Propagateurs antisymétriques associés
chaque
l’ opérateur
à
c
est
un
( Ô + c)
sur
les formes
scalaire cov.ariant
o
opère
4-13
les
sur
p-formeso
obtient deux
x)
noyaux
tivement dans et
Nous
En antisymétrisant les noyaux élémentaires
-Î ’ 1 , ,
sur
qui
et
ou
appelons propagateur antisymétrique
x’
chaque
pour
corresnondants,
on
ont leurs supports respec-
qui vérifient :1
relatif
à (~ + c)
la différence :
qui jouit des trois propriétés des propagateurs
o
G
G
et
vérifient des relations différentielles importantes que
allons former. Los
li x
D’autre part
.
et
Ô.x
en
J*
et
t
permutant
permutant :>
d.
x.
t
.
iJ résulte immédiatement de
Or~
On
opérateurs
nous
(50 3)
queg
déduit par soustraction
Du théorème d’ unicité
Los propagateurs
,
il ré
antisymétriques
1
des différents ordres satisfont aussi
aux
rela-
tions
9 Propagateur
Q
Supposons
que
trisation des
deux
symétrique attaché
(A
à
l’ opé rateur
( 0394 + c )
c) opère sur un tenseur symétrique
élémentaires, on obtient deux noyaux
+
bi-2-tens’eurs distributions
symétriques
Leur différence définira le propagateur
,..
d’ ordre 2 Par
o
K±(x’ ,
x)
qui
satisfaisant°
symétrique
K
d’ordre 2 Posons
0
symésont
4-14
g03B103B2 K ,
=
Il,, ,
dent ,
on
,
A) f,
Far
o
,
raisonnement
un
G
dérivée covariante nulle
G
et
sont les
100 Quantification du champ
Dans
un
espace-temps
électromagnétique
proposons de
F
électromagnétique
ait
libre
0
et
en
1
(/).
relatifs 2
relativité
+
c) .
o
générale.
0
de
V,
m
champ~ c’ est-1.-dire
ce
bi-2-forme distribution
une
chaque x’
propagateurs d’ordre
métrique donnée quelconque; considérons un champ
satisfaisant aux équations de Maxwell du vide. Nous nous
quantifier
de construire
pour
paragraphe précé-
établira les relations :
et si le tenseur àe Ricci
où
à celui du
analogue
son
support dans
et
[F(x)
évaluer le crochet
antisymétrique
li
sur
Dour
en
x ,
x’ , qui
caractéristique 1
le conoïde
,
et
qui satisfasse ;
Si
voulons sortir du
nous
lement
hyperbolique
L’étude faite
en
cas
au sens
purement local,
nous
supposerons que
est
V
globa-
de LERAY .
a
relativité restreinte
conduit à considérer ici la
nous
bi-2-
forme distribution
où
G
est le
antisymétrique
nous
relativité
associé à
une
X
générale
o
du
X
est manifestement
o
satisfait (10.1).
quantification rigoureuse
A3
support De Dlus
propagateur antisymétrique d’ordre
il résulte que
fournit
1
et satisf ait à la condition de
est le
et (1003)
propagateur d’ordre
2 . Des
o
,
expressions
Ainsi la relation
champ électromagnétique
libre
en
4-15
11. Le problème de la
a.
Sur
un
quantification
espace-temps
de
V4
du
champ gravitationnel
a
métrique donnée
satisfaisant
aux
équations
d’Einstein
nous
décrivons le champ à quantifier
propriétés
de
symétrie
et satisfaisant
avec
aux
la condition
construire
a un
[H (x ) , H(xt)J
mentaire
équations
champ analogues
=
03B g03B103B2
distribution,
o
aux
équations
los tenseurs
sur
En
générale
cet
o
défini par
aus
Considérons
en
symétriquest
Au
n’est pas
nous
x ,
conduit 2
}r’
,
qui
pour
.
symétrique
par
rapport
une
aux
couples
contraire, il résulte de l’identité de Ricci
"
identités désiréeso
un
en.visa,ger l’opérateur
Â
tenseur
symétrique
défini par
.’
e st
H , c’est
Quantifier la champ
antisymétrique
l’approximation linéaire
opérateur
pas (11.1).
satisfait
v
de Maxwell
Q
Q
Q
jouissant des
H
4-tenseur
et qui permet d’évaluer le crochet
support da.ns
àe manière compatible avec (11.2), ( 1 1 o 3 ) ot la condition supplé-
bo L’étude faite à
rif ie
de
moyen d’un
courbure, vérifiant
supplémentaire H03B1 03B2
bi-4-tenseur
un
X’
chaque
du tenseur de
au
f orme linéaire arbitraire. Dn montre que
que
et
ne
vé-
l’opérateur
4-16
co
En
qui
ce
concerne
les
opérateurs figurant
modulo les termes obtenus par
120 Cas d’un
Si
est
V4
De
(110 5)
et
quel
et
de
C’
et
V
(1102)
et
(110])
on as
et soustraction.
courbure constante.
0
espace 8 courbure constante
(1106)
il résulte que ,
quel
que soit1
Fl ( v )x
L~â
l’opérateur sur les
scalaires
’f’
défini par ?°
considérons le double-4-tenseur distribution ~
et
ou
d’ordre
X
un
que soit
Introduisons
et
espace p
échange
dans
2
vérifie
K
sont respectivement les
relatifs à
l’opérateur 0394 -
(11.2) ; (11.7)
compte-tenu de (9.2).
o
se
réduit pour
part :t
propagateurs scalaire
6k
=
K
D - 2B .
o
à ~1
De
et
(12.2)
symétrique
il résulte que
4-17
De
(9.3)
et X
et
(12.1)
déduit :t
(1103) ; on a
supplémentaire)
vérifie
la condition
on
donc la condition de crochet
qui fournit une quantification rigoureuse
temps de de SITTTR par exemple.
a
du
(compatible
aussi
avec
champ gravitationnelpourun espace-