Jeux numeriques et magiques dans la troisieme dimension

A - Les carrés magiques
1. Définitions
Les carrés magiques sont des assemblages des éléments d’une suite
de nombres limitée distribués sur un graphe de forme carrée.
ils ont la
propriété de donner
:
- des lignes ;
- des colonnes ;
- deux diagonales
ayant toutes la même valeur.
On appelle somme magique la somme des nombres disposés sur
une même ligne, colonne ou diagonale.
Exemple. Le carré magique de 3.
La somme des nombres disposés dans
chaque colonne, chaque ligne ou chaque
diagonale donne la valeur
15.
On remarquera le positionnement
particulier
des nombres pairs et des nom-
bres impairs et l’on retiendra que les
difficultés de positionnement de ces
nombres impairs sont souvent la cause
principale des impossibilités auxquelles
on se heurte.
Exemple. Le carré magique de 4.
La valeur magique est égale à 34. On
remarquera également la disposition
symétrique des nombres impairs.
Là encore, on remarquera que les
nombres impairs sont placés de manière
symétrique par rapport
à un axe hori-
zontal.
EXERCICE. Avec ces mêmes nombres, ten-
ter de réaliser un autre carré magique
de
3 ou un carré ayant une autre valeur ma-
gique. Expliquer pourquoi cela vous est
tout
à fait impossible.
Les carrés magiques 5

EXERCICE. Avec les nombres de la série î à 16, réaliser par tâtonnement un
premier carré magique de
4, puis un autre carré de 4 ayant une autre valeur
magique.
EXERCICE. Essayer d‘esquisser une théorie de la distribution des nombres.
EXERCICE. Essayer de réaliser un carré magique de 4 ayant une valeur
magique de
25, et expliquer pourquoi c’est impossible.
2. Historique
Les carrés magiques ont une longue histoire, puisqu’elle remonte aux
Chinois
et aux Hindous, puis aux Arabes du neuvième siècle.
La première étude logique concernant ces carrés semble avoir été
donnée au quatorzième siècle par un moine grec du nom de Moscopule ou
Moschopulos Manuel qui publia
à Constantinople un traité sur les carrés
magiques traduit en latin
et lu par le mathématicien La Hire à l’Académie
des Sciences en 1691. (Voir en annexe la notice biographique).
Tous les grands esprits ont été préoccupés par la science des nombres,
et en premier lieu
les mathématiciens Stifel, Sauveur, Bachet de Méziriac,
Fermat, La Hire, Euler, etc.’
D’autres comme Gaffare12 (le bibliothécaire de Richelieu), voyaient
dans ces assemblages de nombres
des particularités magiques ou plutôt
cabalistiques propres
à frapper les imaginations ; en effet, certaines
Si Stifel est peu connu, Sauveur (1 653-1 71 6) fut un brillant titulaire de la chaire de
mathématiques au Collège de France. Commensal de la maison de Condé,
il entra à
l’Académie des sciences en 1696.
Bachet de Méziriac
(1 581-1 638) a laissé une réputation de savant, mais surtout de
grammairien, d’helléniste et de philosophe.11 fut membre de l’Académie française en
1635. Son principal ouvrage est intitulé
Problèmes plaisants et délectables qui se
font par les nombres.
Pierre de Fermat (1 601.-1665) conseiller au parlement deToulouse, ne s’occupait de
sciences et de mathématiques que dans ses moments de loisirs.
II est l’auteur d’un
fameux théorème dont on
a oublié la démonstration. II a aussi réalisé un cube magi-
que de
4.
Philippe de La Hire (1640-1718) est un mathématicien réputé pour ses études sur
les coniques, son travail de cartographe et ses connaissances en astronomie.
II entra
à l’Académie en 1678.
Leonhard Euler
(1 707-1 783) est un puissant mathématicien qui s’est illustré dans
tous les domaines de la science.
II professa à St-Pétersbourg, appelé par Catherine II.
II s’est aussi préoccupé de physique et de philosophie. II est le précurseur du calcul
sur les séries et du calcul différentiel et intégral.
Jacques Gaffarel (1601-1681) était docteur en théologie et en droit canon.
II
connaissait les langues orientales et les sciences dites cabalistiques. il écrivit un
ouvrage en 1629
Curiosités inouïes qui fut condamné par la Sorbonne et dont il dut
rétracter certaines propositions considérées comme entachées de magie.
Jeux numériques et magiques

dispositions de nombres ont des propriétés troublantes, mais qui viennent
seulement de la méthode de numération, et non d‘une influence cabalis-
tique.
Afin de rappeler l’importance que l’on
accordait
à ces études de carrés magiques,
autrefois interprétés comme magiques ou
divinatoires, citons la gravure d’Albrecht
Dürer, exécutée sur cuivre au début du
xvie siècle et intitulée (( la mélancolie ». II
porte en exergue un petit carré magique
de
4, image destinée à renforcer le
concept
de magie ou de culture magique
du tableau.
Là encore, nous remarquerons le
positionnement symétrique des nombres
impairs, toujours par rapport
à un axe
horizontal (mais qui peut être rendu verti-
cal par simple pivotement).
4 15 14 1
3. Propriétés des carrés magiques
Homogénéité -ez* -cI>vI*”II1*I> i ‘6
3.1
Les carrés magiques sont des graphes homogènes puisqu’ils sont cons-
titués d’un même nombre
de cases sur chaque ligne, colonne ou diagonale.
Cette particularité entraîne
les propriétés suivantes :
On peut augmenter ou diminuer d‘une même valeur chacun des éléments
du carré
: il restera magique.
On peut multiplier par un même nombre chacun des éléments du carré
: il
restera magique.
On peut ajouter ou retrancher les éléments correspondants de deux carrés
magiques
: le carré obtenu restera magique. Notons en passant que cette
propriété sera mise
à profit par la méthode préconisée par La Hire pour la
résolution des carrés impairs.
On ne pourra pratiquement pas interchanger deux cases d’un carré magi-
que sans intervenir également sur
les cases correspondantes de la ligne, de
la colonne ou de la diagonale.
Valeur magique
magique. On dit qu’il est unisérié ou univoque.
3.1.1 -
3.1.2 -
3.1.3 -
3.1.4 -
3.2
~ _>- *i */ x- d
Par ailleurs, un carré magique ne peut admettre qu’une seule valeur
Les carrés magiques 7