A - Les carrés magiques 1. Définitions Les carrés magiques sont des assemblages des éléments d’une suite de nombres limitée distribués sur un graphe de forme carrée. ils ont la propriété de donner : - des lignes ; - des colonnes ; - deux diagonales ayant toutes la même valeur. On appelle somme magique la somme des nombres disposés sur une même ligne, colonne ou diagonale. Exemple. Le carré magique de 3. La somme des nombres disposés dans chaque colonne, chaque ligne ou chaque diagonale donne la valeur 15. On remarquera le positionnement particulier des nombres pairs et des nombres impairs et l’on retiendra que les difficultés de positionnement de ces nombres impairs sont souvent la cause principale des impossibilités auxquelles on se heurte. Exemple. Le carré magique de 4. La valeur magique est égale à 34. On remarquera également la disposition symétrique des nombres impairs. Là encore, on remarquera que les nombres impairs sont placés de manière symétrique par rapport à un axe horizontal. EXERCICE.Avec ces mêmes nombres, tenter de réaliser un autre carré magique de 3 ou un carré ayant une autre valeur magique. Expliquer pourquoi cela vous est tout à fait impossible. Les carrés magiques 5 EXERCICE.Avec les nombres de la série î à 16, réaliser par tâtonnement un premier carré magique de 4, puis un autre carré de 4 ayant une autre valeur magique. EXERCICE. Essayer d‘esquisser une théorie de la distribution des nombres. EXERCICE. Essayer de réaliser un carré magique de 4 ayant une valeur magique de 25, et expliquer pourquoi c’est impossible. 2. Historique Les carrés magiques ont une longue histoire, puisqu’elle remonte aux Chinois et aux Hindous, puis aux Arabes du neuvième siècle. La première étude logique concernant ces carrés semble avoir été donnée au quatorzième siècle par un moine grec du nom de Moscopule ou Moschopulos Manuel qui publia à Constantinople un traité sur les carrés magiques traduit en latin et lu par le mathématicien La Hire à l’Académie des Sciences en 1691. (Voir en annexe la notice biographique). Tous les grands esprits ont été préoccupés par la science des nombres, et en premier lieu les mathématiciens Stifel, Sauveur, Bachet de Méziriac, Fermat, La Hire, Euler, etc.’ D’autres comme Gaffare12 (le bibliothécaire de Richelieu), voyaient dans ces assemblages de nombres des particularités magiques ou plutôt cabalistiques propres à frapper les imaginations ; en effet, certaines Si Stifel est peu connu, Sauveur (1653-1 71 6 ) fut un brillant titulaire de la chaire de mathématiques au Collège de France. Commensal de la maison de Condé, i l entra à l’Académie des sciences en 1696. Bachet de Méziriac (1 581-1 638) a laissé une réputation de savant, mais surtout de grammairien, d’helléniste et de philosophe.11fut membre de l’Académie française en 1635. Son principal ouvrage est intitulé Problèmes plaisants et délectables qui se font par les nombres. Pierre de Fermat (1601.-1665) conseiller au parlement deToulouse, ne s’occupait de sciences et de mathématiques que dans ses moments de loisirs. II est l’auteur d’un fameux théorème dont on a oublié la démonstration. II a aussi réalisé un cube magique de 4. Philippe de La Hire (1640-1718) est un mathématicien réputé pour ses études sur les coniques, son travail de cartographe et ses connaissances en astronomie. II entra à l’Académie en 1678. Leonhard Euler (1 707-1 783) est un puissant mathématicien qui s’est illustré dans tous les domaines de la science. II professa à St-Pétersbourg, appelé par Catherine II. II s’est aussi préoccupé de physique et de philosophie. II est le précurseur du calcul sur les séries et du calcul différentiel et intégral. Jacques Gaffarel (1601-1681) était docteur en théologie et en droit canon. II connaissait les langues orientales et les sciences dites cabalistiques. il écrivit un ouvrage en 1629 Curiosités inouïes qui fut condamné par la Sorbonne et dont il dut rétracter certaines propositions considérées comme entachées de magie. Jeux numériques et magiques dispositions de nombres ont des propriétés troublantes, mais qui viennent seulement de la méthode de numération, et non d‘une influence cabalistique. Afin de rappeler l’importance que l’on accordait à ces études de carrés magiques, autrefois interprétés comme magiques ou divinatoires, citons la gravure d’Albrecht Dürer, exécutée sur cuivre au début du xvie siècle et intitulée (( la mélancolie ».II 4 15 14 1 porte en exergue un petit carré magique de 4, image destinée à renforcer le concept de magie ou de culture magique du tableau. Là encore, nous remarquerons le positionnement symétrique des nombres impairs, toujours par rapport à un axe horizontal (mais qui peut être rendu vertical par simple pivotement). 3. Propriétés des carrés magiques 3.1 Homogénéité -ez* -cI>vI*”II1*I> i ‘6 Les carrés magiques sont des graphes homogènes puisqu’ils sont constitués d’un même nombre de cases sur chaque ligne, colonne ou diagonale. Cette particularité entraîne les propriétés suivantes : On peut augmenter ou diminuer d‘une même valeur chacun des éléments du carré : il restera magique. 3.1.1 - On peut multiplier par un même nombre chacun des éléments du carré : il restera magique. 3.1.2 - On peut ajouter ou retrancher les éléments correspondants de deux carrés magiques : le carré obtenu restera magique. Notons en passant que cette propriété sera mise à profit par la méthode préconisée par La Hire pour la résolution des carrés impairs. 3.1.3 - On ne pourra pratiquement pas interchanger deux cases d’un carré magique sans intervenir également sur les cases correspondantes de la ligne, de la colonne ou de la diagonale. 3.1.4 - 3.2 Valeur magique ~ Par ailleurs, un carré magique ne peut admettre qu’une seule valeur magique. On dit qu’il est unisérié ou univoque. Les carrés magiques 7 _>- */ x- *i d