Nombres carr´es et triangulaires

Nombres carr´ es et triangulaires
Sur les traces des pythagoriciens, nous allons étudier deux classes de nombres que
l’on peut représenter par des figures géométriques simples :
les nombres carrés :
1 4 916
les nombres triangulaires :
1 3 6 10
Le but du problème est de trouver des nombres à la fois triangulaires et carrés.
I. Quelques exemples
On note Cnle nombre carré figuré par un carré dont le côté comporte npoints et
Tnle nombre triangulaire figuré par un triangle dont la base comporte npoints.
1. Expliciter en fonction de nles nombres Cnet Tn.
2. Déterminer à l’aide d’une calculatrice deux nombres à la fois triangulaires et
carrés.
3. Vérifier que 41 616 est à la fois triangulaire et carré.
II. Une condition nécessaire et suffisante
Montrer qu’un entier naturel Nest à la fois triangulaire et carré si, et seulement
si, il existe deux entiers non nuls xet ytels que N=x2et y2 −8x2= 1.1
III. Les solutions...
On considère les deux suites (xn)et (yn)définies par x0= 1,y0= 3 et pour tout
n>0:
xn+1 = 3xn+ynet yn+1 = 8xn+ 3yn.
On note alors Nn=x2
n.
1. Vérifier que N0,N1et N2sont des nombres à la fois triangulaires et carrés.
2. Montrer que, pour tout n>0,xnet ynsont des entiers naturels non nuls tels
que y2
n
−8x2
n= 1.
Que peut-on en déduire concernant Nn?
3. Déterminer trois nouveaux nombres triangulaires et carrés.
1équation que l’on retrouve souvent en arithmétique sous le nom d’équation de Pell-Fermat
TS Septembre 2005