Nombres carr´es et triangulaires

Nombres carrés et triangulaires
Sur les traces des pythagoriciens, nous allons étudier deux classes de nombres que
l’on peut représenter par des figures géométriques simples :
les nombres triangulaires :
les nombres carrés :
b
1
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
4
9
16
b
b
b
b
1
b
b
b
b
3
b
b
b
b
b
b
b
6
b
b
b
b
b
10
Le but du problème est de trouver des nombres à la fois triangulaires et carrés.
I.
Quelques exemples
On note Cn le nombre carré figuré par un carré dont le côté comporte n points et
Tn le nombre triangulaire figuré par un triangle dont la base comporte n points.
1. Expliciter en fonction de n les nombres Cn et Tn .
2. Déterminer à l’aide d’une calculatrice deux nombres à la fois triangulaires et
carrés.
3. Vérifier que 41 616 est à la fois triangulaire et carré.
II.
Une condition nécessaire et suffisante
Montrer qu’un entier naturel N est à la fois triangulaire et carré si, et seulement
si, il existe deux entiers non nuls x et y tels que N = x2 et y 2 − 8x2 = 1.1
III.
Les solutions...
On considère les deux suites (xn ) et (yn ) définies par x0 = 1, y0 = 3 et pour tout
n>0:
xn+1 = 3xn + yn et yn+1 = 8xn + 3yn .
On note alors Nn = x2n .
1. Vérifier que N0 , N1 et N2 sont des nombres à la fois triangulaires et carrés.
2. Montrer que, pour tout n > 0, xn et yn sont des entiers naturels non nuls tels
que yn2 − 8x2n = 1.
Que peut-on en déduire concernant Nn ?
3. Déterminer trois nouveaux nombres triangulaires et carrés.
1
TS
équation que l’on retrouve souvent en arithmétique sous le nom d’équation de Pell-Fermat
Septembre 2005