Géométrie dans l`espace

Géométrie dans l'espace
La géométrie dans l'espace consiste à étudier les objets définis dans la géométrie plane dans
un espace à trois dimensions et à y ajouter des objets qui ne sont pas contenus dans des plans :
surfaces (plans et surfaces courbes) et volumes fermés. Il s'agit donc de géométrie dans un
espace à trois dimensions.
Sommaire
•1 Géométrie euclidienne dans l'espace
o1.1 Exemple d'objets non plans
o1.2 Adaptation de notions de géométrie plane
o1.3 Notions spécifiques
•2 Géométrie non euclidienne dans l'espace
•3 Bibliographie
•4 Voir aussi
Géométrie euclidienne dans l'espace
On peut adopter, dans l'espace à trois dimensions, les mêmes axiomes que la géométrie
euclidienne.
Lorsque l'on étudie les objets de la géométrie plane (appris au complémentaire), il suffit en
général de se contenter de les imaginer dans un plan. Résoudre un problème revient ainsi à
considérer différents plans, et à étudier les propriétés des objets contenus dans ces plans. La
solution vient en général du fait qu'un objet appartient à plusieurs plans à la fois.
Les objets sont dits « coplanaires » s'ils appartiennent à un même plan. Notons que :
•par deux droites sécantes, il passe un plan et un seul.
•par deux droites parallèles non confondues, il passe un plan et un seul.
•par trois points non alignés, il passe un plan et un seul.
•par une droite et un point hors de cette droite, il passe un plan et un seul.
donc on peut définir un plan par trois points non alignés – ou – par deux droites sécantes
– ou – par deux droites parallèles non confondues – ou – par une droite et un point hors de
cette droite.
Exemple d'objets non plans
Surfaces courbes ouvertes :
•paraboloïdes de révolution
•hyperboloïdes de révolution
•cônes de révolution
Surfaces fermées :
•polyèdres
ocônes à base polygonale
oprismes

oparallélépipèdes
opyramides
•surfaces de révolution
ocônes de révolution
ocylindres
osphères
oellipsoïdes
oparaboloïdes
Adaptation de notions de géométrie plane
•Perpendicularité
oNormale à une surface
•Transformations :
oHomothétie
oProjection
oRotation
Notions spécifiques
•Angle solide
•Solide géométrique
Voir aussi Géométrie analytique > Géométrie analytique dans l'espace.
Géométrie non euclidienne dans l'espace
On peut appliquer les axiomes des géométries non euclidiennes (géométrie hyperbolique et
elliptique) dans l'espace.
Le résultat est assez déroutant pour le sens commun, mais a permis le développement de la
théorie de la relativité générale, notamment en fournissant un modèle géométrique à la
gravité. On ne parle plus de « droite », mais de « géodésique » ; ainsi, la trajectoire d'un
satellite dans l'espace est une géodésique, ce qui permet de prédire par exemple le phénomène
d'avance du périhélie; de même, la trajectoire d'un rayon lumineux entre deux étoiles
correspond à une géodésique de longueur nulle (ce qui ne signifie pas pour autant que les
deux points de l'espace-temps soient confondus : rappelons que celui-ci constitue un espace
non euclidien).
En utilisant une géométrie dans l'espace euclidien et la théorie de la gravitation de Newton
(force reliant les centres des astres), on obtiendrait une trajectoire elliptique sans avance du
périhélie, contrairement à ce qui est constaté expérimentalement (abstraction faite de l'avance
du périhélie due aux perturbations des autres planètes). On dit parfois, par boutade, que le
modèle de gravitation de Newton n'est totalement valable que dans un seul cas : celui où
aucun corps massif n'est là pour en perturber le modèle, ce qui a évidemment quelque chose
de gênant.
Calcul vectoriel en géométrie euclidienne
(Redirigé depuis Géométrie vectorielle)

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Cet article traite des opérations portant sur les vecteurs en géométrie euclidienne.
Sommaire
•1 Opérations sur les vecteurs dans le plan et l'espace
o1.1 Produit d'un vecteur par un scalaire
o1.2 Somme de deux vecteurs
o1.3 Produit scalaire de deux vecteurs
1.3.1 Définition
1.3.2 Propriétés
•2 Produit vectoriel de deux vecteurs dans l'espace
•3 Produit mixte
o3.1 Définition et propriétés
o3.2 Application du produit mixte
•4 Double produit vectoriel
•5 Articles connexes
Opérations sur les vecteurs dans le plan et l'espace
Les vecteurs dont il sera question dans cet article sont ceux de l'espace ou du plan .
Comme souligné ci-dessus, certaines constructions géométriques sont spécifiques aux
vecteurs. Ces constructions géométriques ayant des propriétés communes avec les opérations
sur les nombres (addition, multiplication), on adopte une notation similaire.
Produit d'un vecteur par un scalaire
Le terme « scalaire » désigne ici un nombre réel. Le produit d'un vecteur par un scalaire a
est un vecteur noté
Ce vecteur est égal à si ou si . Sinon :
•il est de même direction, de même sens que et de longueur

, si a > 0
•de même direction, de sens contraire et de longueur
, si a < 0.
Produit d'un vecteur par un scalaire a
On a
1 est donc l'élément scalaire neutre, et 0 l'élément scalaire absorbant pour cette opération. Le
produit d'un vecteur par un scalaire est distributif sur l'addition des scalaires
Notez que deux vecteurs sont colinéaires si et seulement s’ils sont proportionnels, c'est-à-dire
s'il existe un nombre a tel que ou . Attention un des vecteurs peut être nul !
Somme de deux vecteurs
La somme de deux vecteurs et est un vecteur, noté , qui est construit de la manière
suivante :
on amène l'origine du deuxième vecteur à l'extrémité du premier, la somme est le
vecteur qui joint l'origine du premier vecteur à l'extrémité de second.
Il s'agit du troisième côté d'un triangle formé par les deux premiers vecteurs.
On peut aussi le construire d'une autre manière :
on amène les origines des deux vecteurs en un même point, on trace un
parallélogramme dont les vecteurs sont deux côtés, la somme est alors la diagonale
du parallélogramme partant de l'origine.
Dans les deux cas, on place les vecteurs bout-à-bout ; mais si l'origine d'un vecteur correspond
à l'extrémité de l'autre, on utilise la méthode du triangle, si les origines sont confondues, on
utilise la méthode du parallélogramme.

Somme de deux vecteurs.
Si l'on a trois points A, B et C, alors on a la « relation de Chasles » :
on déduit de cela que
ce qui permet de définir l'opposé d'un vecteur, et donc la soustraction : en posant la notation
on a
L'opposé d'un vecteur est le vecteur de même direction, de même longueur, mais de sens
opposé.
On a :
est l'élément neutre de l'addition des vecteurs. L'addition des vecteurs est commutative
Le produit d'un scalaire par un vecteur est distributif sur l'addition des vecteurs :
.
Produit scalaire de deux vecteurs
Article détaillé : Produit scalaire.