`ÉGALITÉ DE PYTHAGORE Déterminer si un triangle est rectangle

A
B
C
CHAPITRE 2
L 'ÉGALITÉ DE PYTHAGORE
Déterminer si un triangle est rectangle ou non en utilisant l'égalité de Pythagore
Utiliser l'égalité de Pythagore pour calculer la longueur d'un côté d'un triangle rectangle à partir des
deux autres
Un peu d'histoire
Pythagore de Samos (-569 à -475) a fondé l’école pythagoricienne (à Crotone, Italie du Sud).
l'égalité de Pythagore bien connu des élèves de 4e, n'est en fait pas une découverte de Pythagore, il était déjà
connu par les chinois et les babyloniens 1000 ans avant lui. Pythagore (ou ses disciples) aurait découvert la
formule générale.
Les Egyptiens connaissaient aussi l'égalité. Ils utilisaient la corde à 13 noeuds (régulièrement répartis) qui une
fois tendue formait le triangle rectangle 3 ; 4 ; 5 et permettait d’obtenir un angle droit entre deux « longueurs ».
Corde qui sera encore utilisée par les maçons du XXe siècle pour s’assurer de la perpendicularité des murs.
I) Rappels : Triangle rectangle.
On dit qu’un triangle est rectangle quand l’un de ses 3 angles est droit.
Exemple :
ABC est un triangle rectangle en A.
BAC est l’angle droit.
[AB] et [AC] sont les côtés de l’angle droit.
[BC] est l’hypoténuse. C'est le plus long des côtés

II) L 'égalité de Pythagore.
SI UN TRIANGLE EST RECTANGLE, ALORS LE CARRÉ DE L'HYPOTÉNUSE EST ÉGALE À LA SOMME DES CARRÉS DES DEUX
AUTRES CÔTÉS.
Exemples :
SI un triangle ABC est rectangle en A,
ALORS BC² = AB² + AC² .
[« Le carré de l’hypoténuse est égal à
la somme des carrés des côtés de l’angle droit »]
ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 3cm et AC = 4cm.
Calculer BC
ABC triangle rectangle en A, d'après l'égalité de Pythagore
BC² = AB² + AC²
BC² = 3² + 4²
BC² = 9 + 16
BC² = 25.
Donc (en utilisant la touche de la machine) BC = 5cm.
III) Carré et racine carrée
Listes des principaux nombres à connaître
x²↓nombre 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ↑√
carré 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 139
Pour les autres nombres on utilise la calculatrice
exemple d'après la calculatrice
√
78
≈ 8,8317608663278468547640427269593
attention cela n'est qu’une valeur approchée pas une valeur exacte.
valeur approchée au dixième 8,8 valeur approchée au millième 8,832
valeur exacte
√
78
IV)Utilisation d e l 'égalité pour calculer une longueur
Condition nécessaire : Pour pouvoir utiliser l'égalité de Pythagore, il faut absolument se placer dans un
triangle rectangle. Connaissant 2 mesures, on peut ainsi toujours trouver la mesure du troisième côté.
Méthode s
Repérer l’hypoténuse ( le plus grand côté, opposé à l’angle droit ) : SR
on écrit, en justifiant, l'égalité de Pythagore :
Le triangle RST étant rectangle en T , on peut appliquer l'égalité de Pythagore :
SR² = TR² + TS²
le carré de l’hypoténuse = somme des carrés des 2 autres côtés
on remplace par les valeurs numériques connues :
SR² = 32 + 42
SR² = 9 + 16
SR² = 25
on calcule RS avec l’aide de la touche de la calculatrice
RS = 5 ( valeur exacte )
C
4 cm
3 cm
A B
34
R
S
T

A
5 cm
12 cm
13 cm B
C
on cherche la mesure de [EF] :
1. Justification :
Le triangle EFG étant rectangle en E , on peut appliquer
l'égalité de Pythagore
2. Écriture de l'égalité : GF² = EG² + EF²
3. on remplace par les valeurs :
7² = 4² + EF²
49 = 16 + EF²
4. on isole l’inconnue : EF2 = 49 – 16
EF² = 33
5. on calcule : EF =
√ 33
( valeur exacte )
EF ≈ 5,7 ( valeur approchée au dixième)
V) Pour montrer qu’un triangle est rectangle
C'est une conséquence de la propriété :
Si dans un triangle, le carré du côté le plus long est égal à la somme des carrés des deux autres côtés,
alors ce triangle est rectangle et le plus long des côtés en est l’hypoténuse.
SI un triangle ABC est tel que BC² =AB² + AC² , ALORS il est rectangle en A.
Exemple :
ABC est un triangle tel que AB=5cm, AC = 12 cm et BC = 13cm.
On a [BC] qui est le coté le plus long,
Vérifions si BC² = AB² + AC²
D’une part: BC² = 13² = 169
D’autre part : AB² + AC² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169
Puisque BC² =AB² + AC²,
Alors l'égalité de Pythagore est vérifié donc ABC est rectangle en A.
VI) Pour montrer qu’un triangle n’est pas rectangle
C'est une conséquence de la propriété :
Si le carré du plus grand côté d’un triangle n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés,
alors le triangle n’est pas rectangle.
Exemple :
ABC est un triangle tel que AB=5cm, AC = 6 cm et BC = 7cm.
On a [BC] qui est le coté le plus long,
Vérifions si BC² = AB² + AC²
D’une part: BC² = 7² = 49
D’autre part : AB² + AC² = 5² + 6² = 25 + 36 = 61
Puisque BC² ≠ AB² + AC²,
Alors l'égalité de Pythagore n'est pas vérifié donc ABC n'est pas rectangle.
C
A
B
4
EF
G
7