Université de Gabès, Faculté des Sciences de Gabès. Cours

Université de Gabès, Faculté des Sciences de Gabès.
Départements de Mathématiques.
Cours d’Algèbre LFSNA1.
2014-2015
présenté par
Hedi REGEIBA
Faculté des Sciences de Gabès, cité Erriadh 6072 Zrig Gabès Tunisie.

II

Contents
1 Espaces vectoriels. 1
1.1 Généralités. ......................................... 1
1.1.1 Introduction et but. ................................. 1
1.2 Espaces vectoriels. ..................................... 1
1.3 Sous-espaces vectoriels. ................................... 3
1.4 Familles libres - Familles liées, Familles génératrice, Bases d’un e-v. .......... 3
1.4.1 Familles libres- Familles liées. ........................... 3
1.4.2 Familles génératrice. ................................ 4
1.4.3 Base d’un espace vectoriel. ............................. 5
2 Applications linéaires. 7
2.1 Définitions. ......................................... 7
2.2 Noyau et images. ...................................... 8
2.3 Théorème du rang. ..................................... 10
2.4 Caractérisation des isomorphismes. ............................ 10
3 Matrices. 11
3.1 Définitions. ......................................... 11
3.2 Matrices et applications linéaires. ............................. 12
3.3 Produit de matrices. .................................... 12
3.3.1 Rang d’une matrice. ................................ 14
3.3.2 Trace d’une matrice. ................................ 15
4 Déterminants. 17
4.1 Déterminants 2×2...................................... 17
4.2 Déterminant 3×3...................................... 18
III

Chapter 1
Espaces vectoriels.
1.1 Généralités.
1.1.1 Introduction et but.
Dans R2et R3on sait additionner deux couples ou deux triplets
(x1, x2)+(y1, y2)=(x1+y1, x2+y2).
De la même façon on sait calculer pour α∈R
α(x1, x2, x3) = (αx1, αx2, αx3).
But: Généraliser toutes notions à des ensembles arbitreures dont les éléments seront appelés vecteurs
Dans toute la suite Kdésigne le corps des nombres ou celui des nombres complexes (K=Rou
K=C).
1.2 Espaces vectoriels.
Définition 1.2.1. On appelle espace vectoriel sur Kest un ensemble non vide Emuni de deux
applications
•une loi interne:
0+0:E×E−→ E
(x, y)−→ x+y
•une loi externe:
0·0:K×E−→ E
(α, x)−→ α·x
vérifiant:
1. ∀(x, y, z)∈E3, x + (y+z) = (x+y) + z,
1