CHAPITRE N1 - NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS I - Division euclidienne A - Multiples et diviseurs a est un entier naturel et b est un entier naturel non nul Définition Si a = b × k (ou a ÷ b = k) où k est un entier naturel alors : a est un multiple de b - ou a est divisible par b - ou b est un diviseur de a - ou b divise a. - Exemple : 1 739 est-il un multiple de 47 ? 1 980 est-il divisible par 88 ? B - Division euclidienne Définition a b r q Effectuer la division euclidienne de que : a est un entier naturel et b est un entier naturel non nul a par b, c'est trouver deux entiers naturels q et r tels a = b × q r avec r b où q est le quotient (entier) et r le reste de la division euclidienne. Exemple : a. Effectue la division euclidienne de 293 par 34. b. 379 = 7 × 53 8 : quelle(s) division(s) euclidienne(s) cette égalité représente-t-elle ? a. b. II - PGCD de deux entiers naturels Définition Le PGCD de deux entiers naturels non nuls est leur Plus Grand Diviseur Commun. Remarques : • a et b étant des entiers naturels, si b divise a alors PGCD(a ; b) = b. • a et b étant des entiers naturels, PGCD(a ; b) = PGCD(b ; a). - CHAPITRE N1- NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS – FICHE ÉLÈVE - PAGE 1 a et b sont deux entiers naturels non nuls Théorème Si a b alors PGCD(a ; b) = PGCD(b ; a – b). Exemple 1 : Détermine PGCD(539 ; 385) par la méthode des soustractions successives. a et b sont des entiers naturels non nuls Théorème Si a b alors PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r) où r est le reste de la division euclidienne de a par b. Remarque : Dans cet algorithme, appelé aussi « algorithme d'Euclide », le PGCD est le dernier reste non nul. Exemple 2 : Trouve le PGCD de 918 et de 136 par la méthode des divisions successives. III - Fractions irréductibles Définition Deux entiers naturels non nuls sont premiers entre eux leur PGCD est égal à 1. Autrement dit, 1 est le seul diviseur commun à ces deux entiers naturels. - CHAPITRE N1- NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS – FICHE ÉLÈVE - PAGE 2 CHAPITRE N1 - NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS Exemple 1 : Démontre que 45 et 182 sont premiers entre eux. Exemple 2 : 566 et 14588 sont-ils premiers entre eux ? Définition Une fraction est irréductible Exemple 3 : Rends les fractions 90 396 136 ; et irréductibles. 105 360 918 - CHAPITRE N1- NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS – FICHE ÉLÈVE - PAGE 1 3