I - Division euclidienne II - PGCD de deux entiers naturels

CHAPITRE N1 - NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS
I - Division euclidienne
A - Multiples et diviseurs
Définition a est un entier naturel et b est un entier naturel non nul
Si a = b × k (ou a ÷ b = k) où k est un entier naturel alors :
- a est un multiple de b
- ou a est divisible par b
- ou b est un diviseur de a
- ou b divise a.
Exemple : 1 739 est-il un multiple de 47 ? 1 980 est-il divisible par 88 ?
B - Division euclidienne
Définition a est un entier naturel et b est un entier naturel non nul
Effectuer la division euclidienne de a par b, c'est trouver deux entiers naturels q et r tels
que :
a = b × q  r avec r  b où q est le quotient (entier) et r le reste de la division euclidienne.
Exemple : a. Effectue la division euclidienne de 293 par 34.
b. 379 = 7 × 53  8 : quelle(s) division(s) euclidienne(s) cette égalité représente-t-elle ?
a. b.
II - PGCD de deux entiers naturels
Définition
Le PGCD de deux entiers naturels non nuls est leur Plus Grand Diviseur Commun.
Remarques : • a et b étant des entiers naturels, si b divise a alors PGCD(a ; b) = b.
• a et b étant des entiers naturels, PGCD(a ; b) = PGCD(b ; a).
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b
q
a
r

Théorème a et b sont deux entiers naturels non nuls
Si a  b alors PGCD(a ; b) = PGCD(b ; a – b).
Exemple 1 : Détermine PGCD(539 ; 385) par la méthode des soustractions successives.
Théorème a et b sont des entiers naturels non nuls
Si a  b alors PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r) où r est le reste de la division euclidienne de a par b.
Remarque : Dans cet algorithme, appelé aussi « algorithme d'Euclide », le PGCD est le dernier reste
non nul.
Exemple 2 : Trouve le PGCD de 918 et de 136 par la méthode des divisions successives.
III - Fractions irréductibles
Définition
Deux entiers naturels non nuls sont premiers entre eux leur PGCD est égal à 1.
Autrement dit, 1 est le seul diviseur commun à ces deux entiers naturels.
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CHAPITRE N1 - NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS
Exemple 1 : Démontre que 45 et 182 sont premiers entre eux.
Exemple 2 : 566 et 14588 sont-ils premiers entre eux ?
Définition
Une fraction est irréductible
Exemple 3 : Rends les fractions
90
105
;
396
360
et
136
918
irréductibles.
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