Définition : On appelle multiple d`un nombre entier tout nombre qui

DIVISION EUCLIDIENNE
Définition!: On appelle multiple d’un nombre entier tout nombre qui peut s’écrire
comme le produit de ce nombre par un nombre entier.
Exemple!: 12 (= 3×4) et 30 (= 3×10) sont des multiples de 3.
30 (= 15×2) , 75 (= 15×5) et 150 (= 15×10) sont des multiples de 15.
Définition! La division euclidienne est l’opération qui permet de calculer le
quotient entier de 2 nombres entiers.
+12 +12 +12 +12 +12 278
0×12 1×12 2×12 3×12 21×12 22×12 23×12 24×12
0 12 24 36 252 264 276 288
278
12
278
est le dividende
(a)
a
b
38
23
12
est le diviseur
(b)
r
2
23
est le quotient entier
(q)
2
est le reste entier
(r)
q
278 = ( 23 × 12 ) + 2 et 2 < 12
a = ( q × b ) + r et r < b
dividende = (diviseur × quotient) + reste et reste < diviseur
23 × 12 ≤ 278 < 24 × 12!: 23 est le quotient entier approché par défaut.
24 est le quotient entier approché par excès.
Le quotient exact s’écrit!:
€
(278 ÷12) ou 278
12
 Dans la division euclidienne de a par b, lorsque le reste est nul, on dit a est
divisible par b, ou encore que b est un diviseur de a.
Le quotient est alors le quotient exact.
Propriété!:
«!b est un diviseur de a!» = «!a est divisible par b!» = «!a est un multiple de b!»
45 = 9 × 5+0
45 = 9 × 5
45 est divisible par 9 et par 5
9 et 5 sont des diviseurs de 45
45 est un multiple de 9 et de 5

Critères de divisiblité!:
• Un nombre entier est divisible par 2 si le chiffre des unités de son écriture
décimale est 0!; 2!; 4!; 6 ou 8.
(On les appelle les nombres pairs).
• Un nombre entier est divisible par 5 si le chiffre des unités de son écriture
décimale est 0 ou 5.
• Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
• Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
EXERCICE !: Range les nombres suivants dans le tableau.
23 ; 45! ; 31!; 76 !; 78 !; 36 !; 125 !; 324 !; 732 !; 60 !; 748!; 535!; 438!; 2 340.
Multiples de 2
Multiples de 3
Multiples de 4
Multiples de 5
Multiples de 9
Autres
BONUS
BONUS
Critères de divisiblité par 4!; 7!; 11!; 13!:
• Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par les deux derniers
chiffres est un multiple de 4.
• Un nombre entier est divisible par 7 si la différence entre le nombre des dizaines
et le double du chiffre des unités est un multiple de 7.
• Un nombre entier est divisible par 11 si la différence entre la somme des chiffres
de rangs pairs et la somme des chiffres de rangs impairs est un multiple de 11.
• Un nombre entier est divisible par 13 si la somme entre le nombre de dizaines et
le quadruple du chiffre des unités est un multiple de 13.