Algèbre commutative effective Une introduction

Fichier CoursYaoundé2009.tex compilation le 10 septembre 2009
Algèbre commutative effective
Une introduction
Cours à l’École du CIMPA au Cameroun. Août 2009
http://www.cimpa-icpam.org/spip.php?article138
Henri Lombardi (Besançon, France)
Esprit : Dans ce cours on donne quelques techniques constructives de base en algèbre com-
mutative. On en profite pour expliquer comment l’exigence d’effectivité modifie le point de vue
sur le fonctionnement des démonstrations.
On peut retrouver la dernière version mise à jour de ces notes de cours sur
http://hlombardi.free.fr/publis/NotesDeCours.html
Références
1. Modules sur les anneaux commutatifs (cours de M1). Henri Lombardi.
http://hlombardi.free.fr/publis/NotesDeCours.html
2. Algèbre Commutative. Méthodes constructives. (livre à paraître) Henri Lombardi,
Claude Quitté. http://hlombardi.free.fr/publis/LivresBrochures.html
3. Méthodes matricielles. Introduction à la complexité algébrique. Springer (2003) Jounaïdi
Abdeljaoued, Henri Lombardi.
http://hlombardi.free.fr/publis/LivresBrochures.html
4. Cours de calcul formel vol 2 : Corps finis, systèmes polynomiaux, applications. Ellipses
2002. Saux Picart P., Rannou E.
5. Ideals, varieties and algorithms, Second edition. New York, Springer-Verlag, 1997. Cox D.,
Little J., O’Shea D.

Table des matières
1 Matrices à coefficients entiers 1
1.1 Réduction de Smith d’une matrice sur Z....................... 1
Les théorèmes doivent avoir un contenu calculatoire ................. 1
Forme réduite de Smith ................................ 1
Complexité algorithmique de la réduction de Smith ................. 2
1.2 Systèmes linéaires sur Z................................ 2
1.3 Sous Z-modules de type fini de Zn.......................... 4
Structure d’une application linéaire entre Z-modules libres de rang fini ...... 4
Théorème de la base adaptée pour les sous-Z-modules de type fini de Zn..... 5
1.4 Structure des Z-modules de présentation finie .................... 5
1.5 Nœthérianité et cohérence ............................... 5
Cohérence ........................................ 5
Noetherianité ...................................... 7
1.6 Généralisation aux anneaux principaux ........................ 9
Anneaux de Bezout et anneaux principaux ...................... 9
Théorème de réduction de Smith et conséquences .................. 10
Anneaux de Smith ................................... 13
Exercices ........................................... 14
2 Systèmes linéaires sur les anneaux commutatifs 15
2.1 Systèmes de Cramer, idéaux déterminantiels ..................... 15
Calcul matriciel et systèmes de Cramer sur un anneau commutatif arbitraire . . . 15
Idéaux déterminantiels ................................. 17
Pivot de Gauss généralisé ............................... 18
Systèmes linéaires (( bien conditionnés )), matrices localement simples. ....... 19
2.2 Principe local-global de base .............................. 20
Localisations comaximales et principe local-global .................. 20
Caractère local de la cohérence ............................ 25
2.3 Modules de type fini .................................. 25
Rang d’un module libre de type fini ......................... 25
Matrice représentant une application A-linéaire entre modules de type fini . . . 26
Un résultat structurel important pour les modules de type fini ........... 27
2.4 Petites choses ...................................... 28
Dualité .......................................... 28
Torsion, annulateurs .................................. 28
Modules monogènes .................................. 29
Un important résultat d’unicité ............................ 29
2.5 Modules de présentation finie ............................. 30
Systèmes linéaires sur un anneau commutatif .................... 30
Changement de système générateur pour un module de présentation finie . . . . 31
Digression sur le calcul algébrique ........................... 33
Applications linéaires entre modules de présentation finie .............. 34

ii Table des matières
Propriétés de stabilité ................................. 34
Idéaux de Fitting d’un module de présentation finie ................ 35
2.6 Idéal résultant ...................................... 37
3 Bases de Gröbner 41
3.1 A constructive Dickson’s lemma ............................ 42
3.1.1 Posets and chain conditions .......................... 42
3.1.2 Dickson’s lemma for finitely generated submodules of Nd.......... 43
3.2 Acceptable orders and division algorithm ....................... 44
3.2.1 Acceptable orders on Nd............................ 44
3.2.2 Division algorithm ............................... 45
3.3 Gröbner bases and Buchberger’s algorithm for ideals ................ 45
3.3.1 Buchberger’s algorithm ............................ 46
3.4 A few constructions relative to polynomial ideals .................. 48
3.4.1 Hilbert’s basis theorem ............................. 48
3.4.2 Polynomial rings over discrete fields are coherent .............. 48
3.4.3 Some classical constructions .......................... 49
3.5 Finitely generated submodules of a free module ................... 50
3.5.1 Acceptable order, Gröbner bases, Dickson’s lemma, Buchberger’s algorithm 50
3.5.2 Constructive noetherianity and coherence .................. 51
Annexe A. Quelques généralités concernant les modules 53
A.1 Modules et applications linéaires ........................... 53
A.2 Sous-modules, systèmes générateurs .......................... 55
A.3 Applications linéaires entre modules libres de rang fini ............... 55
Matrice d’une application linéaire .......................... 55
Composition d’applications linéaires et produit de matrices ............ 56
Formule de changement de bases ........................... 56
A.4 Modules quotients ................................... 56
Anneaux quotients ................................... 56
Théorème de factorisation pour les modules quotients ................ 57
Sous-modules et quotients d’un module quotient ................... 58
A.5 Localisation ....................................... 58
Annexe B. Réductions de Hermite et Smith : méthodes modulaires 61
Annexe C. Logique constructive 79
Introduction .......................................... 79
C.1 Objets de base, Ensembles, Fonctions ......................... 79
C.2 Affirmer signifie prouver ................................ 83
C.3 Connecteurs et quantificateurs ............................. 83
C.4 Calculs mécaniques ................................... 85
C.5 Principes d’omniscience ................................ 85
C.6 Principes problématiques . . . .............................. 88
Exercices ........................................... 90
Commentaires bibliographiques ............................... 90
Bibliographie 91

1. Matrices à coefficients entiers
1.1 Réduction de Smith d’une matrice sur Z
Les théorèmes doivent avoir un contenu calculatoire
Un principe de base général du constructivisme est le suivant : en mathématiques les théorèmes
doivent avoir un contenu calculatoire. En particulier lorsqu’un théorème affirme l’existence d’un
objet mathématique sa preuve doit montrer comment construire cet objet. On ne peut pas se
contenter d’une existence purement idéale de l’objet : la vérité en mathématiques doit avoir
contenu calculatoire.
Un premier mini contre exemple est donné par la plaisanterie suivante.
Question : Trouver deux nombres irrationnels aet btels que absoit un nombre rationnel.
Réponse : Soit α=√3,β=√2,γ=αβ. Si γest rationnel, prendre a=α,b=β. Sinon
prendre a=γ,b=β.
On voit qu’il y a un (( malaise )). Si nous n’avons pas moyen de répondre, au moins en principe, à
la question (( γest-il un nombre rationnel ? )), alors nous n’avons pas donné une réponse concrète
à la question de départ. Le nombre γest bien défini en tant que nombre réel à la Cauchy : on
peut le calculer avec une précision arbitraire. Mais il est nettement plus difficile de décider s’il
est rationnel ou irrationnel.
Nous étudions maintenant un exemple plus sérieux. Le théorème de la base adaptée pour les
sous-groupes de Zn.
Théorème 1.1 (Théorème de la base adaptée). Si Gest un sous-groupe de (Zn,+) alors il
existe une Z-base (e1, . . . , en)de Zn, un entier r(0 6r6n), et des entiers positifs a1, . . . , ar
qui vérifient :
–aidivise ai+1 (1 6i<r)
–(a1e1, . . . , arer)est une Z-base de G.
Dans ces conditions, la liste des entiers aiest déterminée de manière unique. En outre le sous-
groupe e G=Ze1⊕ ··· ⊕ Zerde Znne dépend que de G: c’est l’ensemble des xtels qu’il existe
k > 0avec kx ∈G. Enfin on a (e G:G) = a1···ar.
Nous allons faire une analyse assez complète du contenu constructif de ce théorème.
Le contenu concret du théorème dépend de la réponse à la question (( comment Gnous est-il
donné ? )) Nous démontrons tout d’abord le théorème de réduction de Smith avant d’examiner
plus en détail ce problème.
Forme réduite de Smith
Lorsque Gest donné comme sous-groupe de type fini de Zn, le théorème de la base adaptée
a un contenu extrêmement concret. En fait le théorème suivant donne des renseignements plus
précis.