TD: Transformée de Fourier

TD: Transform´ee de Fourier
1 D´efinition
Soit une fonction complexe fde la variable r´eelle x. Si elle est de carr´e sommable, c’est-`a-dire si l’int´egrale
R+∞
−∞ |f(x)|2dxconverge (on se reportera au cours de math´ematiques pour discuter le crit`ere de convergence),
on d´efinitsa transform´ee de Fourier F(u), fonction de la variable upar:
T.F.(f) = F(u) = r1
2π.Z+∞
−∞
f(x).e−iux.dx.
Inversement, f(x) se d´eduit de F(u) par la transform´ee de Fourier inverse, qui a pour expression:
T.F.−1(F) = f(x) = r1
2π.Z+∞
−∞
F(u).eiux.du
•La transform´ee de Fourier est une extension des s´eries de Fourier: f(x) est alors une somme continue (et non
plus discr`ete) de sinuso¨ıdes.
Si f(x) est p´eriodique, de p´eriode a, alors: f(x) = P+∞
−∞ ap.exp i.2π
a.p.x
Si f(x) n’est pas p´eriodique, alors: f(x) = R+∞
u=−∞ F(u).eiux.du
Dans ce dernier cas, uest une pulsation, et `a l’intervalle ducorrespond une composante harmonique complexe
´el´ementaire: df=F(u).du.eiux.
F(u), transform´ee de Fourier de f, repr´esente donc la distribution des pulsations spatiales de f.
•Si f(x) est `a valeurs r´eelles: F(u) = q1
2π.R+∞
−∞ f(x).cos(ux).dx−i.q1
2π.R+∞
−∞ f(x).sin(ux).dx
2 Exemples
2.1 Impulsion en cr´eneau
Soit f(x) = Apour |x|<∆x
2et f(x) = 0 pour |x|>∆x 2. V´erifier que la transform´ee de Fourier s’´ecrit:
F(u) = A.∆x
√2π.sinc(2π.u
∆u) o`u sinc α=sin α αet ∆u.∆x= 4π. Tracer F(u).
2.2 Sinus cardinal
R´eciproquement, la transform´ee de Fourier d’un sinus cardinal est une impulsion en cr´eneau.
2.3 Gaussienne
Soit f(x) = A. exp −(2x
∆x)2. V´erifier que la transform´ee de Fourier est ´egalement une gaussienne qui
s’´ecrit: F(u) = A.∆x
2√2.exp −(2.u
∆u)2avec ∆u.∆x= 8. Tracer F(u).
2.4 Lorentzienne
Soit f(x) = A
1+( 2x
∆x)2. V´erifier que la transform´ee de Fourier s’´ecrit: F(u) = pπ
8.A.∆x. exp −2.|u| ∆uavec
∆u.∆x= 4. Tracer F(u).
Il existe plusieurs d´efinitions possibles. On peut, par exemple, poser: F(u)=1.R+∞
−∞ f(x).e−j.u.x.dxet
f(x) = 1
2π.R+∞
−∞ F(u).e+j.u.x.du. On peut aussi d´ecider de sym´etriser les formules en introduisant q1
2πdans
les deux expressions.
1

ISEN-Brest. Kany. TD: Transform´ee de Fourier
2.5 Exponentielle de la forme exp(−|x|)
R´eciproquement, la transform´ee de Fourier de f(x) = pπ
8.A.∆u. exp −2.|x| ∆xest une Lorentzienne.
2.6 Dirac
Soit f(x) = 1
∆xpour |x|<∆x 2et f(x) = 0 pour |x|>∆x 2. Cette “fonction”, not´ee souvent δ0(x), est en
r´ealit´e une distribution (voir cours de math´ematiques). Montrer que la transform´ee de Fourier est constante et
s’´ecrit: F(u) = 1
√2π.
2.7 Constante
R´eciproquement, la transform´ee de Fourier de la fonction constante f(x) = 1
√2πest la “fonction” de Dirac.
Solution
2.1 Impulsion en cr´eneau
Si A=1
∆x, la fonction est norm´ee (i.e. R+∞
−∞ f(x).dx= 1).
La transform´ee de Fourier s’´ecrit: F(u) = 1
√2.π .R+∞
−∞ f(x).e−i.u.x.dx=A
√2.π .R+∆x/2
−∆x/2.e−i.u.x.dx
F(u) = A
√2.π .he−i.u.x
−i.u i+∆x/2
−∆x/2=A
√2.π .e−i.u.∆x/2−e+i.u.∆x/2
−i.u =A
√2.π .2
u.sin(u.∆x 2) = A
√2.π .∆x. sinc(u.∆x
2)
o`u sinc(x) = sin x
x.
La transform´ee de Fourier d’un cr´eneau est un sinus cardinal.
F(u)s’annule une premi`ere fois pour u=±2.π/∆xce qui permet de d´efinir la “largeur” caract´eristique
d’un sinus cardinal. D’o`u: ∆u=4.π
∆x⇒∆x.∆u= 4.π.
2.2 Sinus cardinal
Soit f(x) = A.sin(u0.x)
u0.x avec u0=2.π ∆x.
•f(x)s’annule lorsque x=±π
u0=±∆x 2.∆xrepr´esente donc la “largeur” caract´eristique du sinus cardinal.
•R+∞
−∞ f(x).dx=A. R+∞ −∞
sin(u0.x)
u0.x .dx=2.A u0.R+∞
0
sin(u0.x)
u0.x .u0.dx=2.A u0.π 2(voir Annexe).
La fonction est norm´ee si A.π
u0= 1 ⇒A=u0 π=2 ∆x.
•On admet que la transform´ee de Fourier s’´ecrit: F(u) = A
2.pπ 2.(signe(u+u0)−signe(u−u0))
o`u signe(x) = +1 si x > 0et signe(x) = −1si x < 0.
F(u)repr´esente donc une impulsion en cr´eneau de largeur ∆u= 2.u0. D’o`u: ∆u.∆x= 4.π.
La transform´ee de Fourier d’un sinus cardinal est un cr´eneau.
2.3 Gaussienne
Soit une gaussienne d´efinie par: f(x) = A. exp −(2.x
∆x)2.
•Lorsque x=±∆x
2, on a: f(x) = f(0) e.∆xrepr´esente donc la “largeur” caract´eristique de la gaussienne.
•R+∞
−∞ f(x).dx=A. R+∞ −∞ exp(−(2.x
∆x)2).dx=A.∆x 2.R+∞
−∞ exp(−(2.x
∆x)2).2.dx ∆x=A.∆x 2.R+∞
−∞ exp(−τ2).dτ
avec τ=2.x
∆x.
On ne peut pas d´efinir l’´ecart-type d’un sinus cardinal car R+∞
−∞ x2.f(x).dxne converge pas.
 On peut ´egalement d´efinir une gaussienne par: f(x) = A. exp(−(x
√2.∆x)2). Elle est alors norm´ee pour
A=1
√2.π.∆xet ∆xcorrespond `a l’´ecart-type de la distribution (i.e. σ2=R+∞
−∞ x2.f(x).dx= (∆x)2). La
transform´ee de Fourier, dans ce cas, s’´ecrit: F(u) = A.∆x. exp(−(u
√2.∆u)2)avec ∆u.∆x= 1.
2

ISEN-Brest. Kany. TD: Transform´ee de Fourier
Or:I=R+∞
−∞ exp(−x2).dx=√π. La fonction est norm´ee si A.∆x
2.√π= 1 ⇒A=2
√π.∆x.
•La transform´ee de Fourier s’´ecrit: F(u) = 1
√2.π .R+∞
−∞ f(x).e−i.u.x.dx=A
√2.π .R+∞
−∞ e−(( 2.x
∆x)2+i.u.x).dx.
Soit X2= ( 2.x
∆x)2+i.u.x =4.x2+i.u.x.(∆x)2 (∆x)2=4 (∆x)2.h(x+i.u.(∆x) 8)2+u2.(∆x)4 64 i=h2 ∆x.(x+i.u.(∆x) 8)i2+
u2.(∆x)2
16 .
On pose: τ=2
∆x.(x+i.u.(∆x) 8).
On a: F(u) = A
√2.π .R+∞
−∞ e−(τ2+u2.(∆x)2
16 ).2.dx
∆x.∆x 2=A
√2.π .R+∞
−∞ e−τ2.dτ.e−u2.(∆x)2
16 .∆x
2=A
√2.π .√π. ∆x
2.e−u2.(∆x)2
16
F(u) = A.∆x
2.√2.e−(u.(∆x)
4)2=A.∆x
2.√2.e−(2.u
∆u)2avec ∆u=8
∆x⇒∆u.∆x= 8.
La transform´ee de Fourier d’une gaussienne est ´egalement une gaussienne.
2.4 Lorentzienne
Soit une Lorentzienne d´efinie par: f(x) = A
1+( 2.x
∆x)2.
•Lorsque x=±∆x
2, on a: f(x) = f(0) 2.∆xrepr´esente donc la “largeur” caract´eristique de la Lorentzienne.
•R+∞
−∞ f(x).dx= 2.A. R+∞ 0
1
1+( 2.x
∆x)2.dx. 2
∆x.∆x 2= 2.A. R+∞
0
dτ
1+τ2.dτ.∆x 2en posant τ=2.x ∆x.
La fonction est norm´ee si A.∆x.[Arctan τ]+∞
0= 1 ⇒A=2
π.∆x.
•On admet que: F(u) = A.∆x
2.pπ 2.e−|u|.∆x
2.
On a: F(u) = A0.exp −2.|u|
∆u(voir paragraphe suivant) avec A0=A.∆x 2.pπ 2et 2 ∆u=∆x 2⇒∆u.∆x= 4.
La transform´ee de Fourier d’une Lorentzienne est une exponentielle.
2.5 Exponentielle
Soit une distribution exponentielle d´efinie par: f(x) = A. exp −2.|x|
∆x.
•Lorsque x=±∆x
2, on a: f(x) = f(0) e.∆xrepr´esente donc la “largeur” caract´eristique de l’exponentielle.
•R+∞
−∞ f(x).dx=A. R+∞ −∞ exp −2.|x|
∆x.dx=A.∆x.2.R+∞
0exp(−2.x
∆x).dx ∆x=A.∆x. R+∞
0exp(−τ).dτ
avec τ=2.x
∆x.
La fonction est norm´ee si A.∆x= 1 ⇒A=1
∆x.
•La transform´ee de Fourier s’´ecrit: F(u) = 1
√2.π .R+∞
−∞ f(x).e−i.u.x.dx=A
√2.π .R+∞
−∞ e−(2.|x|
∆x+i.u.x).dx
F(u) = A
√2.π .nR0
−∞ e2.x
∆x−i.u.x.dx+R+∞
0e−(2.x
∆x+i.u.x).dxo=A
√2.π .(e2.x
∆x−i.u.x
2
∆x−i.u 0
−∞ −e−(2.x
∆x+i.u.x)
2
∆x+i.u +∞
0)
F(u) = A
√2.π .n1
2
∆x−i.u +1
2
∆x+i.u o=A
√2.π .2
∆x+i.u+2 ∆x−i.u
(2
∆x)2+u2=A
√2.π .4
∆x.1
(2
∆x)2+u2=A
√2.π .4
∆x.1
(2
∆x)2.(1+( u.∆x 2)2)
F(u) = A.∆x
√2.π .1
1+( 2u
∆u)2avec ∆x
2=2 ∆u⇒∆x.∆u= 4.
La transform´ee de Fourier d’une exponentielle est une Lorentzienne.
2.6 Dirac
Soit f(x)une impulsion en cr´eneau tr`es courte (∆x→0) et norm´e A=1
∆x→+∞.
La transform´ee de Fourier peut s’obtenir de deux fa¸cons:
Se d´emontre en consid´erant I=R+∞
−∞ exp(−x2).dxet J=R+∞ −∞ exp(−y2).dy. On a I=Jet
I.J =R+∞
−∞ exp(−(x2+y2)).dx.dy. En passant en coordonn´ees polaires (x2+y2=r2et dS=r.dr.dθ),
on montre que: I.J =π; d’o`u I=J=√π.
 On ne peut pas d´efinir l’´ecart-type de cette distribution car R+∞
−∞ x2.f(x).dxne converge pas.
 On peut ´egalement d´efinir une distribution exponentielle par: f(x) = A. exp −√2.|x|
∆x. Elle est alors
norm´ee pour A=1
√2.∆xet ∆xcorrespond `a l’´ecart-type de la distribution (i.e. σ2=R+∞
−∞ x2.f(x).dx= (∆x)2).
La transform´ee de Fourier, dans ce cas, s’´ecrit: F(u) = A.∆x
√π.1
1+( u.∆x
√2)2.
3

ISEN-Brest. Kany. TD: Transform´ee de Fourier
Soit `a partir du calcul de l’impulsion en cr´eneau: F(u) = A
√2.π .∆x. sinc(u.∆x
2)−−−−→
∆x→0
1
√2.π .
Soit `a partir de la d´efinition: F(u) = 1
√2.π .R+∞
−∞ δ0(x).e−i.u.x.dx=1
√2.π .e−i.u.0=1 √2.π
La transform´ee de Fourier d’un Dirac est constante: F(u) = 1
√2π.
2.7 Constante
Soit f(x)la fonction constante f(x) = 1
√2π.
•Cette fonction n’est pas norm´ee et poss`ede une largeur caract´eristique infinie.
•F(u) = 1
√2.π .R+∞
−∞ f(x).e−i.u.x.dx=1
2.π .R+∞
−∞ e−i.u.x.dxn’est pas d´efinie.
On admet que F(u)est une distribution nulle quel que soit u`a l’exception de la valeur u= 0 o`u elle est infinie.
La transform´ee de Fourier de la fonction constante f(x) = 1
√2πest un Dirac.
3 Code avec Mathematica
Transform´ ee de Fourier
In[1]:= Needs["Calculus‘FourierTransform‘"]
Cr´eneau
In[2]:= A=.;DeltaX=.; f1[x ]=A*UnitStep[x+DeltaX/2]*UnitStep[-x+DeltaX/2];
TF=ComplexExpand[Sqrt[1/(2 Pi)] FourierTransform[f1[x], x, u]];
TF=TF/.{Im[UnitStep[DeltaX]]->0, Re[UnitStep[DeltaX]]->1}
Out[5]=
2 DeltaX u
A Sqrt[--] Sin[--------]
Pi 2
------------------------
u
In[6]:= TF=TF/. DeltaX->4 Pi/DeltaU
Out[6]=
2 2 Pi u
A Sqrt[--] Sin[------]
Pi DeltaU
----------------------
u
In[7]:= f[x ]=f1[x]/.{A->1,DeltaX->1}; F[u ]=TF/.{A->1,DeltaU->4 Pi};
Plot[f[x],{x,-10,10},PlotRange->{0,1.1}]; Plot[F[u],{u,-20,20},PlotRange->{-.2,.5}]
4

ISEN-Brest. Kany. TD: Transform´ee de Fourier
Out[10]= -Graphics-
f
x
TF [f]
u
Sinus Cardinal
In[11]:= f2[x ]=Sin[x]/x; F[u ]=Integrate[f2[x] Cos[u x],{x,-Infinity,+Infinity}];
Plot[f2[x],{x,-3 Pi,3 Pi},PlotRange->{-1,1}]; Plot[F[u],{u,-10,10},PlotRange->Automatic]
Out[14]= -Graphics-
Autre m´ethode
In[15]:= F[u ]=Sqrt[1/(2 Pi)] FourierTransform[f2[x], x, u];
Plot[F[u],{u,-10,10},PlotRange->Automatic]
Out[16]= -Graphics-
f
x
TF [f]
u
Gaussienne
In[17]:= A=.;DeltaX=.; f3[x ]=A Exp[-(2 x/DeltaX)^2];
TF=Sqrt[1/(2 Pi)] Integrate[f3[x] Cos[u x],{x,-Infinity,+Infinity}];
TF=TF/. Sqrt[DeltaX^(-2)]->1/DeltaX
5